汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题理数

广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测评（一）理科综合可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 Na-3 Cl-35.5 AL-27 C-12 Ba-137 Ca-40一、单项选择题（本题包括16小题，每小题4分，共64分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1、生物大分子包括蛋白质、核酸、多糖等。

下列中不能用于检测生物大分子的试剂是（）A．双缩脲试剂B．甲基绿C．碘液D．斐林试剂2、研究表明，突触小泡膜上蛋白通过与突触前膜上的S蛋白结合而引发膜的融合，进而释放出神经递质。

此过程与下列中的哪一项直接有关？A．膜的选择透过性B．载体的功能C．ATP的消耗D．蛋白质的合成与分解3、蜜蜂中雌蜂的染色体为2N=32，雄峰的染色体为N=16。

在其精子形成过程中，能出现多少个四分体？A．0 B．4 C．8 D．164、右图表示某细胞的局部结构。

下列分析中正确的是A．该细胞有可能是蓝藻细胞B．活细胞内的②总是在不停地流动C．①和③的成分完全相同D．④⑤⑥都具有单层膜结构5、最近，汕头市农科所的农艺师通过嫁接，得到了地上长白菜、地下长萝卜的特殊植株，极具趣味性。

关于这种植株的叙述中正确的是A．这种特殊植株属于新物种B．地上部分与地下部分形成寄生关系C．不能结出种子或所产生的后代高度不育D．地上部分与地下部分之间有激素传递6、右侧的概念图中错误的是A．①④⑤B．①③④C．⑤⑧D．⑦⑧7.下列类推正确的是A.CaCO3与稀硝酸反应生成CO2，CaSO3也能与稀硝酸反应生成SO2B.铜在氯气中剧烈燃烧生成二价铜，铜也能在硫蒸气中剧烈燃烧生成二价铜C.锌可以与溶液中的银离子发生置换反应，钠也能与溶液中的银离子发生置换反应D.钠与乙醇反应产生氢气，钾与乙醇也能反应产生氢气8.下列说法正确的是A.聚乙烯可使酸性高锰酸钾溶液褪色B.用新制氢氧化铜悬浊液可以鉴别乙酸、葡萄糖和淀粉三种溶液C.乙酸与乙醇的酯化反应中是乙酸中羧基氢与乙醇中羟基结合生成水D.C3H8的二氯代物有3种9.下列有关说法正确的是A.7.45g NaClO中含有6.02×1022个NaClO分子B.1.00molNaClO中所有ClO-的电子总数为26×6.02×1023C.1 L 2 mol/L明矾经水解可得到氢氧化铝胶体粒子数目为2×6.02×1023D.将2.00mol明矾完全溶于1.00 L水中，得到溶液的物质的量浓度为2 mol/L10.下列叙述正确的是A.电镀时，通常把待镀的金属制品作阳极B.氯碱工业是电解熔融的NaCl，在阳极能得到Cl2C.右图中电子由Zn极流向Cu，盐桥中的Cl—移向CuSO4溶液D.氢氧燃料电池（酸性电解质）中O2通入正极，电极反应为:O2+4H++4e—= 2H2O11.某物质溶于水中后可得到0.10 mol/L的溶液，该溶液中除水电离出的H+、OH−外不存在其它离子，则该物质可能是A.乙醇B.乙酸C.苯酚D.苏打12.下列离子方程式书写正确的是A.将铜屑加入Fe3＋溶液中：Fe3＋＋Cu＝Fe2＋＋Cu2＋B.NH4HCO3溶液与过量KOH浓溶液共热：NH＋4＋OH－NH3↑＋H2OC.稀硝酸和过量的铁屑反应：3Fe＋8H＋＋2NO－3＝3Fe3＋＋2NO↑＋4H2OD.KI溶液与H2SO4酸化的H2O2溶液混合：2I－＋H2O2＋2H＋＝2H2O＋I213．放射性元素Th 23490的衰变方程为：X +→Pa Th 2349123490，下列表述正确的是A ．该衰变叫做β衰变B ．X 粒子是构成原子核的核子C ．加压或加温可以改变衰变的快慢D ．发生衰变时原子核要吸收能量14．氢原子的部分能级如图，关于氢原子的表述正确的是A ．处于基态时最不稳定B ．从不同能级向基态跃迁时辐射的光子频率都一样C ．从基态跃迁到n =2能级需吸收10.2eV 的能量D ．跃迁时辐射光子说明了原子核能的存在15．如图，在正点电荷Q 形成的电场中，在某点M 放入一电荷量为q 的正点电荷P ，P 受到的库仑力为F ，下列表述正确的是A ．P 、Q 之间相互吸引B ．若将P 移走，则M 点的电场强度为零C ．若将P 移近Q ，则P 所受库仑力减小D ．若将P 的电荷量增大为2q ，则P 所受库仑力增大为2F16．如图，滑板运动员以速度v 0从离地高度h 处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是A ．v 0越大，运动员在空中运动时间越长B ．v 0越大，运动员落地瞬间速度越大C ．运动员落地瞬间速度与高度h 无关D ．运动员落地位置与v 0大小无关二、双项选择题（本题包括9小题，每小题6分，共54分。

绝密★启用前试卷类型：A 汕头市2013届高三上学期期末统一检测理科综合本试卷共12页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

选对的得4分，选错或不答的得0分。

1．在分泌蛋白的合成加工、运输和分泌过程中，用35S标记的氨基酸作为原料，则35S存在于右图中的A.①B.②C.③D.④2．对下列四幅图的描述正确的是A．图1 a阶段染色体复制数目加倍，b阶段会发生同源染色体分离现象B．图2表明温度在b时酶分子活性最强C．图3中阴影部分面积代表一昼夜有机物的积累量D．图4中cd段下降应该发生在有丝分裂后期和减数分裂第二次分裂的后期3．囊性纤维病的病因如图所示，该实例可以说明A.基因能通过控制酶的合成来控制生物体的性状B.基因能通过控制激素的合成，控制生物体的性状C.基因能通过控制蛋白质的结构直接控制生物体的性状D.DNA 中部分某个碱基发生改变，相应的蛋白质结构必然改变4．下列各图所表示的生物学意义，哪一项是正确的：A ．甲图中生物自交后代产生AaBBDD 的生物体的概率为1/8B ．乙图中黑方框图表示男性患者，该病可能为常染色体隐性遗传病C ．丙图所示的一对夫妇，如产生的后代是一个男孩，该男孩是患者的概率为 1/4D ．丁图细胞表示高等动物的生物有丝分裂后期5. 下列关于细胞的叙述正确的是①T 淋巴细胞属于干细胞；②同一个体的不同种类细胞中mRNA 不同；③细胞间的信息传递大多与细胞膜有关；④骨骼肌细胞膜上不存在神经递质受体；⑤不是分泌细胞则不含高尔基体A ．①②③④B ．②④⑤C ．①②③D ．②③④6．下列关于酒精的描述不正确．．．的是 A ．无水乙醇可以作为叶绿体色素的提取液B ．95%酒精和15%盐酸等体积配比后可用于洋葱根尖细胞的解离C ．植物组织无氧呼吸的产物是酒精和二氧化碳D ．浓硫酸酸化饱和的重铬酸钾溶液遇酒精颜色变化为灰绿色7．下列对物质用途的描述中，错误的是A.铝可用于冶炼某些熔点较高的金属B.22O Na 可用作漂白剂C.碱石灰可用于干燥22O CO 、等气体D.NaClO 可用作消毒剂8．常温时，下列各组离子能大量共存的是A.--++23S NO K Ag 、、、B.--++32443NO SO NH Fe 、、、C.--++ClO Cl Na Fe 、、、2D.---+224AlO SO Cl H 、、、9．用A N 表示阿伏加德罗常数之值，下列说法正确的是A.2.3g 金属钠与过量的氧气反应，无论加热与否转移电子数均为A N 1.0B.3211CO Na mo 晶体中含 23CO 离子数小于A N 1C.惰性电极电解食盐水，若线路中通过A N 1电子电量，则阳极产生气体11.2LD.mol 1.0的2CaO 中含阴离子数是A N 2.010.下列说法正确的是A.分子式为O CH 4和O H C 62的物质一定互为同系物B.甲烷、乙烯和苯在工业上都可通过石油分馏得到C.苯酚钠溶液中通入少量二氧化碳生成苯酚和碳酸钠D.2，3一二甲基丁烷的核磁共振氢谱中会出现两个峰11.短周期元素R 、T 、Q 、W 在元素周期表中的相对位置如右下图所示，其中T 所处的周期序数与族序数相等。

汕头市2012-2013学年度第二学期高三级数学综合测练题（理一）参考答案一、选择题（５分×８＝40分）二、填空题（５分×６＝30分）9. 1，1或3；10. 25；11. 4，(]28,57；12. ①②；13. 8; 14. 8； 部分答案提示： 3.等于圆的直径. 9.列举法；12.①图象C 关于直线24π2ππ+=+k x 对称，当k=0时，图象C 关于8π=x 对称；①正确；②x∈)8π5,8π(时，4π2+x ∈)2π3,2π(，∴函数)(x f 在区间)8π5,8π(内是减函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向左平移4π个单位长度可以得到x x x f 2cos 3)4π22sin(3)(=+=，得不到图象，③错误。

三、解答题： 16.(本小题12分)解：（１）由题意可设二次函数f (x )=a (x -1)(x -3)(a <0) ………2分当x =0时,y =-3,即有-3=a (-1)(-3), 解得a =-1,f (x )= -(x -1)(x -3)=342-+-x x ,)(x f 的解析式为)(x f =342-+-x x . ………………6分（２）y =f (sin x )=3sin 4sin 2-+-x x=()12sin 2+--x . ……………………8分[0,]2x π∈ , sin [0,1]x ∴∈,则当sin x =0时,y 有最小值-3;当sin x =1时,y 有最大值0. …………………12分17．(本小题12分)解：（1）依题意，有AM －BM =1.5×8=12 (km)，CM －BM =1.5×20=30 (km)∴MB =(x －12)(km )，MC =30+(x －12)=(18+x ) (km ). ……………… 2分 在△ABM 中，AB =20 kmABMA MB AB MA MAB ⋅-+=∠2cos 222x x x x x 5323202)12(20222+=⋅--+=同理，xxMAC 372cos -=∠ ……………5分∵MAC MAB ∠=∠cos cos ，∴x x x x 3725323-=+ 解得 )(7132km x = ……………8分(2)作MN ⊥AD 于N ，在△AMN 中，).(71.17532713235323cos km x x x AMN MA MN ≈+⨯=+⋅=∠= ………………11分 答：静止目标M 到海防警戒线AD 的距离约为17.71km ………………12分18．（本小题14分）解：（１）xx x e x x e x x f e x x x f )1()12()(,)1()(22++++='++=,)23(2x e x x ++= …………………………………………2分当()021,()021,f x x x f x x ''><->-<-<<-时解得或当时解得 所以函数的单调增区间为（－∞，－2），（－1，＋∞）；单调减区间为（－2，－1） …………………………6分（２）xxxe a x a x e a ax x e a x xf )2)2([)()2()(22'+++=++++=,0)2)((=++=x e x a x,2,-=-=∴x a x …………………………………9分列表如下：2,2-≥-∴≤a aAB C……………………………………12分由表可知,3)24()2()(2=+-=-=-ea a f x f 极大解得2342≤-=e a ，所以存在实数a ，使)(x f 的极大值为3。

xyOAC y x =2y x =(1,1) B 汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学理试题本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．一．选择题（共8小题，每小题5分） 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么=A C u(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤3．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b(A) 2(C)(D)4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或 -1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 1 5．6的展开式中常数项是 (A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 1606．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)-7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 168．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f(x 1)= g(x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞二．填空题（共6小题，每小题5分） （一）必做题：9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4，则cosα= ．510.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于。

汕头市2012~2013学年度普通高中教学质量监测高一级数学本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第 Ⅰ 卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若0sin >α，0tan <α，则α是（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角2．图中阴影部分表示的集合是（ ）A.()U C A B ⋂B.()U A C B ⋂C.()u C A B ⋂D.()u C A B ⋃3．下列函数)(),(x g x f 表示的是相同函数的是（ ）A. x x g x f x2log )(,2)(== B.2)(,)(x x g x x f ==C. x x x g x x f 2)(,)(== D. )2lg()(,lg 2)(x x g x x f ==4．已知平面向量(12)=，a ，(2)m =-，b ，且a b ∥，则23a b +=（ ） A.(510)--，B.(48)--，C.(36)--，D. (24)--，5．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数）， 则(1)f -的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 36．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ． ⎪⎭⎫⎝⎛1e 1， B ．(),e +∞ C ．()1,2 D ．()2,37．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k 的值是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 58．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 中点，,AB a AD b ==，则BE 等于（ ）A ．12a b --B ．12a b -+C ．12a b -D ． 12a b +9．将函数x y 2cos =的图象先向左平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）A. x y 2sin -=B. x y 2cos -=C. x y 2sin 2= D. 22cos y x =-10．已知正项等比数列}{n a 中，31=a ，2433=a ，若数列}{n b 满足n n a b 3log =， 则数列}1{1+n n b b 的前n 项和=n S （ ） A ．221n n - B ．221n n + C ．21n n - D ． 21nn +第 Ⅱ 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．已知幂函数αx y =的图象过点)2,2(，这个函数的表达式为______ 12．．如右图是甲篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分 的十位数，据图可知甲运动员得分的众数为 ．13．设1322,2()((2))log 2.(1)x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨≥⎪-⎩＜，则的值为1， ． 14．计算：已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，x+y 的最小值 ．三、解答题：(共80分，解答过程要有必要文字说明与推理过程．)15．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，Ｃ所对的边长分别为a ，b ，c ，且cosB ＝54，b ＝2.（1）当A ＝30°时，求a 的值；（2）当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值.16．(本小题满分12分)浙江卫视为《中国好声音》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间 为30秒（即宣传和广告每次合共用时4分钟），收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有4分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．两套宣传片每周至少各播一次，问电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？17．(本小题满分14分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生 中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y 事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }， 求()P EF ．甲5 0 13 2 28 7 5 2 2 1 39 4 418．(本小题满分14分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的的最大值和最小值； (3)若3()4f α=，求sin 2α的值.19．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的首项为a (,0)a R a ∈≠．设数列的前n 项和为S n ，且对任意正整数n都有24121n n a n a n -=-．(1) 求数列{a n }的通项公式及S n ；(2) 是否存在正整数n 和k ，使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列？若存在，求出n 和k 的值；若不 存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数a x x x x f -+=3)(2，其中R a ∈， （1）当2a =时，把函数)(x f 写成分段函数的形式； （2）当2a =时，求)(x f 在区间[1，3]上的最值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在开区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m 、的取值 范围（用a 表示）．2012-2013学年度普通高中新课程教学质量监测高一数学参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBBADBBCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．11．21x y = 12．32 13．2e214. 16三、解答题（共80分，解答过程要有必要文字说明与推理过程）15、解：（1）因为cosB ＝54，所以sinB ＝53.3分由正弦定理A a sin ＝B b sin ，可得︒30sin a ＝532.所以a ＝35. 6分 （2）因为△ABC 的面积S ＝21acsinB ，sinB ＝53，所以103ac ＝3，ac ＝10. 9分 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2＝－2accosB ， 得4＝a 2＋c 2－58ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.22 16. 解：设电视台每周应播映甲片x 次，乙片y 次，总收视观众为z 万人．…………1分由题意得0.543.5161,*1,*x y x y x x N y y N +≥⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩ 即2872321,*1,*x y x y x x N y y N +≥⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩ ………5分目标函数为 z=60x+20y ． ………6分作出二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域如图（能画出相应直线，标出阴影部分，标明可行域，即可给分） ………8分作直线l ：60x+20y=0，即3x+y=0．（画虚线才得分） ………9分平移直线l ，过点（1,12.5）时直线的截距最大, 但,*x y N ∈ A （1,12），B （2,9）这两点为最优解 故可得：当x=1，y=12或x=2，y=9时，z max =300．┄┄┄┄┄11分 （本题两组答案，答对每组给1分）答：电视台每周应播映宣传片甲1次，宣传片乙12次或宣传片甲2次，宣传片乙9次才能使得收视观众最多． ……12分17．解：（1）第六组的频率为40.0850=, …………………2分 所以第七组的频率为10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=； …………………4分（2）身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=， 身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=， 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=， 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=，由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ，则170175<<m由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m ………………6分 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 ………………8分 （本小题4分，只要能写出正确答案的给2分，解答过程可能多样，若合理，解答过程2分）（3）第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人,设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况， ……10分 因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况， 故7()15P E =． …………12分 由于max 19518015x y -=-=，所以事件F ={15->x y }是不可能事件，()0P F =…………13分 由于事件E 和事件F 是互斥事件，所以7()()()15P E F P E P F =+=………14分18.解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2x sin sinx x f π= cosx sinx + ………1分()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4x s i n 2x f π ………3分(1)2T π= ………5分(2)min max f f = ………9分 (3) ()43cosx sinx x f =+= ()43cos sin f =+=ααα ………11分169cos cos sin 2sin 22=++αααα ………12分169sin21=+α ………13分7sin 216α=-………14分 19. 解(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，在1-n 21-n 4a a n n 2=中，令n=1 可得12a a =3，即3a =+a d………3分 故d=2a ，a 12()1(1）-=-+=n d n a a n 。

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2013届汕头市高三第一教学质量检测理综试题（化学部分）单选题（每小题4分，共24分）7。

下列类推正确的是A。

CaCO3与稀硝酸反应生成CO2，CaSO3也能与稀硝酸反应生成SO2B.铜在氯气中剧烈燃烧生成二价铜,铜也能在硫蒸气中剧烈燃烧生成二价铜C。

锌可以与溶液中的银离子发生置换反应,钠也能与溶液中的银离子发生置换反应D。

钠与乙醇反应产生氢气,钾与乙醇也能反应产生氢气8。

下列说法正确的是A。

聚乙烯可使酸性高锰酸钾溶液褪色B。

用新制氢氧化铜悬浊液可以鉴别乙酸、葡萄糖和淀粉三种溶液C。

乙酸与乙醇的酯化反应中是乙酸中羧基氢与乙醇中羟基结合生成水D。

C3H8的二氯代物有3种9.下列有关说法正确的是A。

7.45g NaClO中含有6。

02×1022个NaClO分子B。

1.00molNaClO中所有ClO-的电子总数为26×6.02×1023C。

1 L 2 mol/L明矾经水解可得到氢氧化铝胶体粒子数目为2×6。

02×1023D。

将2.00mol明矾完全溶于1。

00 L水中，得到溶液的物质的量浓度为2 mol/L 10。

下列叙述正确的是A.电镀时，通常把待镀的金属制品作阳极B.氯碱工业是电解熔融的NaCl,在阳极能得到Cl2C。

汕头市2013年普通高中高三教学质量测评理数参考答案及评分标准一、选择题：BCDAC BCA二、填空题：9、1-=x y 10、]6,23[-11、94=a 12、)1,41(-13、⎪⎭⎫⎝⎛-37,35 14、222- 15、 4 部分解析：8、理解一：理解二：由于涂色过程中，要保证满足条件（用四种颜色，相邻的面不同色），正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。

因此共有24C =6种不同的涂法。

15题的答案探讨：15题是一个错题，因为里面要同时满足条件CP=2, PA=6, ∠B=30º，AC 与BD 相交于P 的弦AC 是不存在的。

由此，可能会获得以下答案，建议应把以下答案也做为符合要求的答案，才显得公平。

（1） 评分标准提供的4.AB CD13、N（2） 由∠D=90º，∠B=30º，得AD=12AB=3，再由勾股定理得3==（3） 连结BC ，由勾股定理得3==，再由△BCP∽△ADP 得DP=PC ·722A DB C=⨯=7；三、解答题16、解：（1） →→n m // )14cos 2(2sin2cos 32-=∴A A A …………………… …（2分）A A A A A A sin 2cos2sin 2)14cos2(2sin2cos 32==-=∴……………… ………（4分）3tan =∴A 又),0(π∈A 3π=∴A ………………………………………………（6分） （2） 3233sin21sin 21===∆πbc A bc S ABC …………………………………（8分）6=∴bc ……………………………………………………………………（9分）由余弦定理得：3cos 2222πbc c b a -+=………………………………………（10分）2537)(2=+=+⇒bc c b …………………………………………………………（11分） 5=+∴c b …………………………………………………………………（12分） 17、解：（Ⅰ）记Ex 表示这50位市民幸福指数的数学期望，则)(6.63)3073021601990(501分=⨯+⨯+⨯+⨯=∴Ex …………………………（1分）（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 ………………………………………………（2分）1251)51()54()0(3003===C P ξ ………………………………………………（3分）12512)51()54()1(2113===C P ξ ………………………………………………（4分）12548)51()54()2(1223===C P ξ ………………………………………………（5分）12564)51()54()3(0333===C P ξ ………………………………………………（6分）∴ξ分布列为……………………（7分）（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件60+≥m n 的概率为1P①满足600==n m 且的事件数为：6312113=A A ……………………（8分）②满足900==n m 且的事件数为：5711913=A A ……………………（9分） ③满足9030==n m 且的事件数为：13311917=A A ……………………（10分）245025313357632501=++=∴A p ……………………（11分）所以满足条件60+<m n 的事件的概率为245021972450253111=-=-=P P .…………………………………………………（12分）方法二：基本事件的总数为2450250=A满足条件60+<m n 的有如下各种情况：①满足0=m 时，30,0=n 的事件数为：1913A A ……………………（8分）②满足30=m 时，60,30,0=n 的事件数为：13017A A ……………………（9分）③满足60=m 时，90,60,30,0=n 的事件数为：149121A A ……………………（10分）④满足90=m 时，90,60,30,0=n 的事件数为：149119A A ……………………（11分）所以245021974950491949213079325049119149121130171913=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+++=AA A A A A A A A p…………………………………………………（12分） 18、证明：（Ⅰ）因为4====AC PC PB PA ，取AC 的中点O ，连接OB OP ,，易得：AC OP ⊥，……………………………（1分）P32242222=-=-=OCPCOP32,2,4===BC AB AC ,,,222∆∆∴+=∴Rt ABC BC ABAC为.……………………………（2分）OB OP OP OBPBOC OB ⊥∴+===∴,,2222.……………（3分）又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂= OP ∴⊥平面ABC ，又PAC OP 平面⊂ABC PAC 平面平面⊥∴……………………………（5分）注意：该步骤要求学生的表达严谨规范，对于几个垂直的证明，如果没有过程，相应步骤得分为0分，而利用结论的后续证明只要正确，可以相应步骤得分） （Ⅱ）43222132312131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P …………………（7分）（注意：该步骤只要计算出错，就0分）（Ⅲ）方法一：过点E 作AC EH ⊥于H ，过点H 作AD HM ⊥于M ， 连接ME ，因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面 PAC 平面ABC =AC ，AC EH ⊥，⊂EH 平面ABC ，所以⊥EH 平面PAC ， AD ME ⊥∴(三垂线定理)（注意：也可以证明线面垂直） EMH ∠∴即为所求的二面角的平面角………（10分）D E , 分别为中点，AC EH ⊥， ∴在HEC RT ∆中： 2330cos 0==EC HC ，2330sin 0==EC EH …………………（11分）254=-=∴HC AH在HMA RT ∆中，4530sin 0==AH MH …………（12分）所以，HME RT ∆中，43716254322=+=+=HMHEME所以3737543745cos ===∠MEMH EMH ………………（14分）方法二：以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系)0,0,0(O ,)0,2,0(-A ,)0,1,3(-B ,)0,2,0(C ,)3,1,0(D ,)0,21,23(E ,)32,0,0(P , )0,25,23(=∴AE ,)3,3,0(=AD ,…………………………………………（9分） 所以，可以设平面AED 的一个法向量为),,(1z y x n =，平面ACD 的一个法向量为)0,0,1(2=n ，…………………………………………（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙=+=∙0330252311z y AD n y x AE n ，所以令1=x ，则53-=y ，53=z y所以)52,53,1(1-=n ，可以设所求的二面角为θ，显然θ为锐角…………（11分） 由,,cos 212121><⨯⨯=⋅n n n n n n 可得：………………………………（12分）373752592531)0,0,1()52,53,1(,cos cos 212121=++∙-=⨯⋅=><=n n n n n n θ………………（14分）19.解：（Ⅰ）易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -………………………………（1分） 1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a B F AF1222==-∴b c a ……………………（3分）又23=e 43122222=-==∴aa a c e ，解得42=a1422=+∴y x所求椭圆方程为：…………………………（5分）（Ⅱ）设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ …………（6分）所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y ………………………………………（7分）)28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N ………………………………………（8分）4222242000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到：442020=+y x ，所以 2244y x -=-0200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴…………………………………………（10分）∴直线 QN 的方程：)(220000x x y x y y --=-………………………………（11分）化简整理得到：442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x ………（12分） 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切…………………………………….（14分）20．解:(Ⅰ) 因为213122n n a S n n +=--+，所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112a =-，……………………………….（1分）② 当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+，…………………….（2分） 所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，所以11(2)2n n b b n -=≥，而11112b a =+=，…………………….（3分）所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以1()2n n b =．…………….（4分）（Ⅱ） 由(Ⅰ)得2n nn nb =．所以 ①nn n n n T 221 (24232)2211432+-+++++=-②1232221 (2)4232212--+-+++++=n n n nn T …………….（6分）②-①得：nn n nT 221 (2)121112-++++=-…………….（7分）nnnn n n T 2222211211+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=………………（8分）（Ⅲ）由(Ⅰ)知n a nn -=)21( n c n =∴………………（9分）=(1)111111(1)(1)1n n n n n n nn ++==+=+-+++，………………（11分）所以111111111(1)(1)(1)(1)2014122334201320142014P =+-++-++-+++-=-，故不超过P 的最大整数为2013．………………………………………………..（14分）21、解：（Ⅰ）存在1,0-==b a 使)(x f y =为偶函数，………………（2分） 证明如下：此时：xxxe ee xf ++=-)(，R x ∈)()(x f ee ex f xx x=++=-∴--，)(x f y =∴为偶函数。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（1）一、选择题1 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数,且满足()()0xf x f x '-≤,对任意正数b a ,, 若b a <,则必有 （ ）A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤【答案】A 2 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(1)01(1)(2x xx x x f ,则⎰=-dx x f )(11（ ）A ．12π+B ．124π+ C ．14π+D ．122π+【答案】B 二、填空题 3 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）计算()321d x x -=⎰______【答案】64 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）dx x ⎰-2024=______________【答案】π5 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）dx x x )cos (sin 0⎰+π=________.【答案】26 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）若axdx =1⎰,则实数a 的值是_________. 【答案】27 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）对于三次函数32()(0),:()()f x ax bx cx d a f x y f x '=+++≠=给出定义设是函数的导数,()f x ''函数()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解000,(,())x x f x 则称点为函数()y f x =的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-,请你根据上面探究结果,解答以下问题: (1)函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心坐标为_________________;(2)计算1232012()()()()2003201320132013f f f f ++++=__________________.【答案】对称中心1(,1)2; 20128 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数__________.c =【答案】2c =± (答对一个不得分)9 ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值,则a 的取值范围为__________【答案】10a -<<10．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x轴所围成的图形面积为__________ 【答案】8311．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）函数321()2323f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为____________ 【答案】解析:23-2()4301,3f x x x x x '=-+=⇒==,24(0)2,(1),(2)33f f f =-=-=- 12．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）设函数()y f x =在(-∞,+∞)内有意义.对于给定的正数K,已知函数(),()(),()k f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩,取函数()f x =x e x ---3.若对任意的x ∈(-∞,+∞),恒有()k f x =()f x ,则K 的最小值为_____________. 【答案】213．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）若曲线y =与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a 2.则正实数a=____ 【答案】94=a 14．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）函数y=lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______.【答案】1-=x y三、解答题15．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ,其中a b ∈R ，.(Ⅰ)当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围 【答案】解:(Ⅰ)322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++.当103a =-时,2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=,解得10x =,212x =,32x =.当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:)所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，,(2)+，∞内是增函数,在(0)-∞，,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数. (Ⅱ)解:2()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程24340x ax ++=的根.为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24340x ax ++≥恒成立,即有29640a ∆=-≤. 解此不等式,得8833a -≤≤.这时,(0)fb =是唯一极值. 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.(Ⅲ)解:由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<,从而24340x ax ++>恒成立. 当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>.因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者. 为使对任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立.所以4b -≤,因此满足条件的b 的取值范围是 16．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知函数x x ax x g 2231)(23-+=,函数)(x f 是函数)(x g 的导函数.(1)若1=a ,求)(x g 的单调减区间; (2)若对任意R x x ∈21,且21x x ≠,都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+,求实数a 的取值范围; (3)在第(2)问求出的实数a 的范围内,若存在一个与a 有关的负数M,使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立,求M 的最小值及相应的a 的值.【答案】解:(1)当1a =时,321()223g x x x x =+-,2'()42g x x x =+- 由'()0g x <,解得22x -<<-+∴当1a =时,函数()g x的单调减区间为(22--(2)易知2()'()42f x g x ax x ==+-. 依题意知1212()()()22x x f x f x f ++-222121211224242()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<因为12x x ≠,所以0a >,即实数a 的取值范围是(0,)+∞ (3)解法一易知2224()42()2f x ax x a x aa=+-=+--,0a >. 显然(0)2f =-,由(2)知抛物线的对称轴20x a=-<①当424a --<-,即02a <<时,2(,0)M a∈-且()4f M =-.令2424ax x +-=-,解得x =此时M 取较大的根,即2422422a M a a -+--==-+ 02a <<, ∴21422M a -=>--+②当424a --≥-,即2a ≥时,2M a<-且()4f M =. 令2424ax x +-=,解得246ax a-±+=此时M 取较小的根,即2466462a M a a --+-==+- 2a ≥,∴63462M a -=≥-+-,当且仅当2a =时取等号由于31-<-,所以当2a =时,M 取得最小值3- 解法二对任意[,0]x M ∈时,“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()”.由(2)可知实数a 的取值范围是(0,)+∞,故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上,对称轴20x a =-<的抛物线 ①当20M a -≤<时,()f x 在区间[,0]M 上单调递增,∴f x =max ()(0)24f =-<, 要使M 最小,只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()()若1680a ∆=-<,即2a >时,无解; 若1680a ∆=-≥,即02a <≤时,解得2422a M a a ---=<-(舍去) 或2421aM a -+-=≥-,故1M ≥-(当且仅当2a =时取等号) ②当2M a <-时,()f x 在区间2[,]M a -上单调递减,在2(,0]a-递增,(0)24,f =-<24()24f a a-=--≥-,则2a ≥要使M 最小,则2424f M aM M =+-=(), 即2460aM M +-=,解得2M a=>-(舍去),或3M ==≥-(当且仅当2a =时取等号)综上所述,当2a =时,M 的最小值为3-17．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l 平行.(1)求(2)f 的值;(2)已知实数t∈R,求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值;(3)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数βα,, 存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =,即1a =, ∴2(),f x x x =-,2(2)222f =-=2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>, ∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=,抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时,2min 0|u y y t t ===-②当122t u e -=≥即122e t -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时,22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时,F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=,得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设 ②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤, ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.18．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知三次函数32() ()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、为奇函数,且在点(1,(1))f 的切线方程为22y x =-.(1) 求函数()f x 的表达式.(2) 求曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线方程,并求曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线与曲线()y f x =围成封闭图形的面积.(3) 如果过点(2)t ，可作曲线()y f x =的三条切线,求实数t 的取值范围;【答案】(1)解:2()()00f x f x bx d -+=∴+=恒成立30()b d f x ax cx ∴==∴=+ 又2()3f x ax c '=+∴在点(1,(1))f 的切线方程为(3)(1)y a c x a c =+-++,即3321(3)2()221a c a y a c x a f x x x a c +==⎧⎧=+-∴∴∴=-⎨⎨-=-=-⎩⎩(2)解:设切点为00(,())x f x ,2()31f x x '=-则切线方程是: 200(31)()y x x x =--300()x x +-,令3x x -=200(31)()x x x --300()x x +-得32300320x x x x -+=200()(2)0x x x x ∴-+=所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是02x -00x >时000323422300002213(32)(2)42x x x x S x x x x dx x x x x x --=-+=-+⎰40274x =00x <时0000232332300002(32)(32)x x x x S x x x x dx x x x x dx --=--+=-+⎰⎰40274x =00x =时,切线与曲线恰有一个公共点,402704S x == (此步不扣分)综上:曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线与曲线()y f x =围成封闭图形的面积40274S x =0()x R ∈ (3)解: 令切线过(2,)t ,代入整理得:32002620x x t -++= 关于0x 有三个不同的解; 设32()262g x x x t =-++即()g x 有三个不同的零点;又()6(2)(0,2)g x x x x '=-∴∈时()0()g x g x '<∴递减;(,0)(2,)x ∈-∞+∞()0,()g x g x '>在区间(,0)(2,)-∞+∞、上分别递增,故(0)20(2)60g t g t =+>⎧⎨=-<⎩26t ∴-<<19．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数()2ln bf x ax x x=--,(1)0f =.(Ⅰ)若函数()f x 在其定义域内为单调函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0,且211()11n n a f n a n +'=-+-+,已知14a =,求证:22n a n ≥+;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小,并说明你的理由.【答案】20．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数()b ax x x f +-=331,其中实数b a ,是常数.(Ⅰ)已知{}2,1,0∈a ,{}2,1,0∈b ,求事件A :“()01≥f ”发生的概率;(Ⅱ)若()x f 是R 上的奇函数,()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值,求当1≥a 时()a g 的解析式; (Ⅲ)记()x f y =的导函数为()x f ',则当1=a 时,对任意[]2,01∈x ,总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=,求实数b 的取值范围.【答案】① 当1a ≥时,因为11x -≤≤,所以()0f x '≤,()f x 在区间[]1,1-上单调递减,从而1()(1)3g a f a ==-;② 当1a ≤-时,因为11x -≤≤,所以()0f x '>,()f x 在区间[]1,1-上单调递增,从而1()(1)3g a f a =-=-+,综上,知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩21．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知函数2()()xf x ax x e =+,其中e 是自然对数的底数,a R ∈. (1)当0a >时,解不等式()0f x ≤;(2)当0a =时,求整数的所有值,使方程()2f x x =+在[,1]t t +上有解; (3)若()f x 在[1,1]-上是单调增函数,求a 的取值范围.【答案】解:(1)因为e 0x >,所以不等式()0f x ≤即为20ax x +≤,又因为0a >,所以不等式可化为1()0x x a +≤,所以不等式()0f x ≤的解集为1,0a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. (4 分)(2)当0a =时, 方程即为e 2x x x =+,由于e 0x >,所以0x =不是方程的解,所以原方程等价于2e 10x x --=,令2()e 1x h x x =--,因为22()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立,所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数, 又(1)e 30h =-<,2(2)e 20h =->,31(3)e 03h --=-<,2(2)e 0h --=>,所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根,且分别在区间[]12，和[]32--，上,所以整数的所有值为{}3,1-. (3)22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++,①当0a =时,()(1)e xf x x '=+,()0f x '≥在[11]-，上恒成立,当且仅当1x =-时取等号,故0a =符合要求; (10 分) ②当0a ≠时,令2()(21)1g x ax a x =+++,因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>,所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ,2x ,不妨设12x x >,因此()f x 有极大值又有极小值. 若0a >,因为(1)(0)0g g a -⋅=-<,所以()f x 在(11)-，内有极值点,故()f x 在[]11-，上不单调. 若0a <,可知120x x >>,因为()g x 的图象开口向下,要使()f x 在[11]-，上单调,因为(0)10g =>,必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤. 综上可知,a 的取值范围是2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 (1)若()00='x f ,求0x 的值; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围.【答案】23．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数x e x f =)(,曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为)(x g y =(1)证明:对R x ∈∀,)()(x g x f ≥; (2)当0≥x 时,xaxx f ++≥11)(恒成立,求实数a 的取值范围【答案】解:(1)由xe xf =)(得x e x f =')( 由题意知00)()(0x x e x x e x g +-=令)1()()()()(00000+--=---=-=x x e e e x x e e x g x f x h x xx x x 则0)(x x e e x h -='当0x x <时,0)(<'x h ,故)(x h 在),(0x -∞单调递减当0x x >时,0)(>'x h ,故)(x h 在),(0+∞x 单调递增所以0)()(0=≥x h x h ,即)()(x g x f ≥(2)ⅰ)当1≤a 时,由(1)知,当00=x 得1+≥x e x故01)1(11111)(≥+-+=+-≥+--=+--x a x x x ax x x ax e x ax x f xⅱ)当1>a 时,令ax x e ax x x f x H x-+-=-+-=)1)(1()1)(1)(()( 则a x e x H x --+='1)2()(令a x e x H x M x --+='=1)2()()(,则0)3()(>+='x e x M x,故)(x H '在),0[+∞上单调递增,而011)02()0(0<-=--+='a a e H故存在区间),0(0x 使得0)(<'x H ,即存在区间),0(0x 使)(x H 单调递减,所以存在区间),0(0x 使得0)0()(=<H x H ,即x ax x f ++<11)(这与x axx f ++≥11)(在),0[+∞上恒成立矛盾综上可得1≤a24．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;(2)若函数()'()axg x e f x -=⋅,求函数()g x 的单调区间.【答案】②当0a >时,令'()0g x =,得0x =或2x a a=- (ⅰ)当20a a->,即02a <<时,()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -,单调递减区间为(,0)-∞,22(,)a a-+∞; (ⅱ)当20a a-=,即2a =时,'()g x =2220x x e -=-≤, 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减; (ⅲ)当20a a-<,即2a >时,()g x 在22(,0)a a -上单调递增,在(0,)+∞,22(,)a a--∞上单调递减 综上所述,当0a =时,()g x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞;25．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）集合A={|lg x R y x ∈=},B={2|22(1)(1)0x R x a x a a ∈--+->},D=A∩B. (I)当a=2时,求集合D(用区间表示); (II)当102a <<时,求集合D(用区间表示); (III)在(II)的条件下,求函数32()43(12)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 【答案】解:(1) A={}0x x > 当a=2时 B={}210x R x x ∈+->解不等式 210x x +-> 得 x <或 x >B x x x ⎧⎪∴=<>⎨⎪⎩或1A B ⎛⎫-+∴=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭(2)不等式 ()()222110x a x a a --+-> 令()()()22211h x x a x a a =--+-()()22142a a a ∆=---⨯⨯-⎡⎤⎣⎦a a )1- =()()24181a a a --- =()()4112a a a --- =()()4113a a -- =()()4131a a -- ① 当1003a <<∆>时 ()0h x =此时方程有两个不同的解1x ==2x =={}12,B x x x x x ∴=<>或121x x a +=-103a << 1210x x a ∴+=->()()()()()()()()2121311113112104442a a a a a a a a a a x x -------+---⋅====> 1200x x ∴>>且()()20,D A B x x ∴==+∞()1a ⎛⎛⎫-+ ⎪=+∞ ⎪⎝⎝⎭② 当13a =时 ()=00h x ∆=此时方程有唯一解121=3x x = 1111,0,3333B D A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∞+∞==+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时，于是，③ 当1132a <<时 0x R ∆<∀∈对 ()0h x > B R ∴= ()0D A B A ∴===+∞，(3)()()2126126f x x a x a '=-++()()()26212621x a x a x x a ⎡⎤=-++⎣⎦=--令121()0,2f x x x a '===得 102a <<()0x a f x '∴<>当时 ()(),f x a ∴-∞在上单调递增当1()02a x f x '<<<时 1(),2f x a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭在上单调递减 当1()02x f x '>>时 1()+2f x ⎛⎫∴∞ ⎪⎝⎭在，上单调递增 ① 当2131<<a 时 ()0D =+∞，当()00x a f x '<<>时 ()()0,f x a ∴在单调递增 当()102a x f x '<<>时 ()1+2f x ⎛⎫∴∞ ⎪⎝⎭在，上单调递增 当()102x f x '>>时 ()1+2f x ⎛⎫∴∞ ⎪⎝⎭在，上单调递增()12f x a ∴有极小值点为，极大值点为② 当13a =时 110,33D ⎛⎫⎛⎫=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，此时()12f x 在D 上有极小值点 ③ 103a <<时 ()()120,,D x x =+∞1x ==()()()222341961622312130a a a a a aa a a a -+--+=-+=--=->()()113111322a a a a x ------∴<== 22a a ==当113a <<时21122a a x -+=<= 此时()21,2x ∈+∞ (2124122a x a --=>==-又又()12130a a a --=->212x a a ∴>->()2,a x ∴∉+∞,此时()12f x 在D 上有极小值点当01a << 21122a a x -+=>= ()f x 此时在D 上没有极值点综上所述:当1132a << 时,()12f x a 有极小值点为，极大值点为; 当13a =时 ,时()12f x 在D 上有极小值点;当01a <<,()f x 在D 上没有极值点;当21123a -<<时,()12f x 在D 上有极小值点﹒26．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知函数||12(),()x a bx f x e f x e -==.(I)若122()()()()f x f x f x bf x =+--,是否存在a,b ∈R,y=f(x)为偶函数.如果存在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;〔II)若a=2,b=1.求函数12()()()g x f x f x =+在R 上的单调区间; (III )对于给定的实数成立.求a 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)存在1,0-==b a 使)(x f y =为偶函数, 证明如下:此时:x xxe ee xf ++=-)(,R x ∈)()(x f e e ex f x x x=++=-∴--,)(x f y =∴为偶函数.(注:)0,0==b a 也可以)(Ⅱ)xx e ex g +=-2)( =⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--)2()2(22x ee x e e xxx x ,① 当2≥x 时x x e ex g +=-2)(,0)(2'>+=∴-x x e e x g② )(x g y =∴在[)+∞,2上为增函数. ②当2<x 时x xe e x g +=-2)(,则x xe ex g +-=-2')(,令0)('=x g 得到1=x ,(ⅰ)当1<x 时0)('<x g ,)(x g y =∴在()1,∞-上为减函数. (ⅱ) 当21<≤x 时0)('>x g ,)(x g y =∴在()2,1上为增函数.综上所述:)(x g y =的增区间为[)+∞,1,减区间为()1,∞-. (Ⅲ)1)()(021<-x f x f ,1)()(1)(02102+<<-∴x f x f x f[][]1,01,00∈∀∈∃∴x x 对,1)()(1)(02102+<<-x f x f x f 成立.即:⎩⎨⎧>+<-max 1max2min 1min 2)(1)()(1)(x f x f x f x f①当0≥b 时,)(2x f 为增函数或常数函数,∴当]1,0[∈x 时b e f x f f x f ====∴)1()(,1)0()(2max 22min 20)(1>=-ax ex f min 12min 2)(01)0(1)(x f f x f <=-=-∴恒成立.时当21≤a a e f x f -==11max 1)1()( a b e e ->+∴11 )1ln(1+->∴b e a21ln 2ln )1ln(=>≥+e e b 21)1ln(1<+-∴b e⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∈∴21),1ln(1b e a时当21>a a e f x f ==)0()(1max 1 a b e e >+∴1 )1ln(+<∴b e a21ln 2ln )1ln(=>≥+e e b⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∴)1ln(,21b e a综上所述:())1ln(),1ln(1++-∈∴bb e e a②当0<b 时,)(2x f 在[0,1]上为减函数,b e f x f f x f ====∴)1()(,1)0()(2min 22max 2011,0)(01=-<->=-e e ex f b ax min 1min 2)(1)(x f x f <-∴恒成立.时当21≤a a e f x f -==11max 1)1()( a e x f ->=+∴1max 221)( 2ln 1->∴a ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈∴21,2ln 1a时当21>a a e f x f ==)0()(1max 1 a e >∴2 2ln <∴a⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴2ln ,21a综上所述:()2ln ,2ln 1-∈∴a (13分)由①②得当0≥b 时,())1ln(),1ln(1++-∈bb e e a ; 当0<b 时,()2ln ,2ln 1-∈a .27．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知函数21()()ln ()2f x a x x x R =-+∈.(1)当a=1时,0[1,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤,求实数m 的取值范围;(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax 的下方,求实数a 的取值范围.【答案】28．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知函数f(x)=xe -1,()g x x x =,其中e 是自然对数的底,e=2.71828.(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)求方程f(x)=g(x)根的个数,并说明理由;(3)若数列{n a }(*n N ∈)满足1(0)(a a a a =>为常数),1()()n n f a g a +=, 证明:存在常数M,使得对于任意*n N ∈,都有n a M ≤【答案】解:(1)由h(x)=f(x)-g(x)=xe x ,得:h(1)=e-3<0,h(2)=e 2>0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)由(1)得:h(x)=xe x由()g x x =知,[0,)x ∈+∞,而(0)0h =,则0x =为()h x 的一个零点,且()h x 在12（，）内有零点,因此()h x 至少有两个零点.解法1:121'()2xh x e x -=--1,记()x ϕ=1212x e x ---1,则321'()4xx e x ϕ-=+.当(0,)x ∈+∞时,'()0x ϕ>,因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增,则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.()h x 有且只有两个零点. 所以,方程f(x)=g(x)根的个数为2.(3)记()h x 的正零点为0x ,即001xe x -=(1)当0a x <时,由1a a =,即10a x <.而3210a a x =<=01xe -,因此20a x <,由此猜测:0n a x <.下面用数学归纳法证明: ①当1n =时,10a x <显然成立;②假设当(1)n k k =≥时,有0k a x <成立,则当1n k =+时,由310k k a a x +=<=01x e -知,10k a x +<,因此,当1n k =+时,10k a x +<成立.故对任意的*n N ∈,0n a x <成立.(2)当0a x ≥时,由(1)知,()h x 在0(,)x +∞上单调递增.则0()()0h a h x ≥=,即3a a ≥.从而3321a a a a ==≤,即2a a ≤,由此猜测:n a a ≤.下面用数学归纳法证明:①当1n =时,1a a ≤显然成立;②假设当(1)n k k =≥时,有k a a ≤成立,则当1n k =+时,由331k k a a a a +=≤知,1k a a +≤,因此,当1n k =+时,1k a a +≤成立.故对任意的*n N ∈,n a a ≤成立.综上所述,存在常数0max{,}M x a =,使得对于任意的*n N ∈,都有n a M ≤.29．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知函数321()223g x ax x x =+-,函数()f x 是函数()g x 的导函数. (1)若1a =,求()g x 的单调减区间;(2)若对任意1x ,2x R ∈且12x x ≠,都有1212()()()22x x f x f x f ++<,求实数a 的取值范围; (3)在第(2)问求出的实数a 的范围内,若存在一个与a 有关的负数M ,使得对任意[,0]x M ∈时4f x ≤|()|恒成立,求M 的最小值及相应的a 值.茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷(理科 【答案】解:(1)当1a =时,321()223g x x x x =+-,2'()42g x x x =+-由'()0g x <解得22x --<<-∴当1a =时函数()g x 的单调减区间为(22---;(2)易知2()'()42f x g x ax x ==+- 依题意知 1212()()()22x x f x f x f ++-222121211224242()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<因为12x x ≠,所以0a >,即实数a 的取值范围是(0,)+∞ ; (3)解法一:易知2224()42()2f x ax x a x aa=+-=+--,0a >. 显然(0)2f =-,由(2)知抛物线的对称轴20x a=-< ①当424a --<-即02a <<时,2(,0)M a∈-且()4f M =-令2424ax x +-=-解得x =此时M 取较大的根,即2422422a M a a -+--==-+ 02a <<, ∴21422M a -=>--+②当424a --≥-即2a ≥时,2M a<-且()4f M = 令2424ax x +-=解得246ax a-±+=此时M 取较小的根,即2466462a M a a --+-==+- 2a ≥, ∴63462M a -=≥-+-当且仅当2a =时取等号由于31-<-,所以当2a =时,M 取得最小值3-解法二:对任意[,0]x M ∈时,“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()” 由(2)可知实数a 的取值范围是(0,)+∞故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上,对称轴20x a=-<的抛物线 ①当20M a-≤<时,()f x 在区间[,0]M 上单调递增, ∴f x =max ()(0)24f =-<, 要使M 最小,只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()()若1680a ∆=-<即2a >时,无解 若1680a ∆=-≥即02a <≤时, 解得2422a M a a ---=<-(舍去) 或2421aM a-+-=≥-故1M ≥-(当且仅当2a =时取等号) ②当2M a <-时,()f x 在区间2[,]M a-上单调递减,在2(,0]a -递增,(0)24,f =-< 24()24f a a-=--≥-则2a ≥,要使M 最小,则2424f M aM M =+-=()即2460aM M +-=解得2M a=>-(舍去)或23M a -==≥-(当且仅当2a =时取等号)综上所述,当2a =时,M 的最小值为3-。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____【答案】14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______. 【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.【答案】19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x ==---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222xy b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当k <<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12x x == ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k k k --+⋅=--+,即2102k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的,. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a+⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ② 所以2223c a a -=,即224c a = 故2c e a==所以双曲线C 的离心率为2e =(注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴, 因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y )28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y =,'y =1222(22)x x ---切线的斜率为所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:0y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由e =得223a c =,再由222c a b =-,解得a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线,所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x PF +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m 2 <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=. ∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y += (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =- 由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==<,故曲线C 上的点Q 到直线l 当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的距43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１　>=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴=　∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。

绝密★启用前试卷类型：B广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测评（二）理科综合2013．4注意事项： 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上，并粘贴好条形码。

认真核准条形码上的姓名、考生号、试室号和座位号。

 选择題每小題选出答案后，用 铅笔把答題卡上对应題目选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

 非选择題必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各題目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按 以上要求作答的答案无效。

 作答选做題时，请先用 铅笔填涂选做題的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、 多涂的，答案无效。

 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质最：☟   ☠ ☠♋ ✌● ● ♋ ☞♏ ◆一 单项选择题：本大题共 小题，每小题 分。

共 分，在每小题给出的四个选顷中， 只有一个选项符合题目要求 选对的得 分，选错或不答的得 分  根据右图分析神经细胞，下列叙述错误的是✌ 若此图为突触前膜，则其兴奋时 面电位为正 静息电位的形成可能与膜上的②⑤有关 若此图为突触后膜，则突触间隙位于图示膜的✌面 面 若将神经细胞膜的磷脂层平展在空气一水界面上，则④与水面接触 下图是几种物质进出细胞方式中运输速度与影响因素间的关系曲线图，下列与此图相关 的叙述中，正确的是✌与水进出细胞相符的图有①、③、⑤ 与葡萄糖进人红细胞相符的图有②、④、⑥ 与 进入丽藻细胞相符的图有②、④、⑤ 与蛋白质进出细胞相符的图有②、③、⑥右阁表示基因型为✌♋♌♎的某动物正在分裂的细胞，下列叙述 不♓♐的是✌ 此细胞不可能发生基因重组过程 若①上有✌基因，④上有♋基因，可能曾经发生了基因突 变或基因重组 ①②③可组成一个染色体组，④⑤⑥为另一个染色体组 若①、④是性染色体，只能是✠染色体或是✡染色体中的一种 右图表示人体缩手反射的相关结构☎虚线内表示脊髓的部分结构✆，有关说法错误的是✌ 要检测反射弧是否完整和正常，可在⑤处给予适宜的电刺激 若抑制某神经元的呼吸作用，将会影响神经兴奋的传递 兴奋在神经元之间传递时，都存在化学信号与电信号的 转换 在②处给予适宜的电刺激，大脑皮层会产生痛觉 在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量称为环境容纳又称 值。