湖北省八年级上学期数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中考试八年级数学试卷时间: 120分钟满分: 120分一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 ( )A. 4, 4, 9B. 5, 6, 10C. 6, 7, 13D. 1, 3, 22. 下列各式运算正确的是 ( )A.(−2a)³=−6a³B.a+a=a²C.a³⋅a²=a⁵D.a⁸÷a⁴=a²3. 下列三个图形中，具有稳定性的图形的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，连接OC.可知△OMC≌△ONC, OC便是∠AOB的平分线. 则△OMC≌△ONC的理由是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5. 一个多边形的每个外角都是45°，则此多边形是 ( )A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形6. 下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是( )7. 如图, D 是AB 上一点, E 是AC 上一点, BE 和CD 相交于点 F, ∠A =61°,∠ACD =34°,∠ABE=19°, 则∠BFD=( )A. 44°B. 45°C. 53°D. 66°8. 下列说法正确的是 ( )A. 三角形的一个外角大于任何一个内角B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C. 各条边都相等的多边形叫做正多边形D. 三角形的三条高交于一点，这一点不一定在三角形内部9. 如图, 已知四边形ABCD 中, AB=15cm, BC=9cm, CD=10cm, ∠B=∠C, 点E 是线段BA 的三等分点(靠近B 处) .如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段 CD 上由点 C 向点D 运动.若要使得△BPE 与△CQP 全等，则点Q 的运动速度为( ) cm/s.A. 3B. 3 或 103C.203D. 3 或 20310. 我们定义：一个整式能表示成( a²+b²(a 、b 是整式) 的形式，则称这个整式为“完全式”.例如：因为M =x²+2xy +2y²=(x +y )²+y²(x 、y 是整式) ，所以M 为“完全式”.若 S =x²+4y²−8x +12y +k (x 、y 是整式，k 为常数) 为“完全式”，则k 的值为 ( )A. 23B. 24C. 25D. 26二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置.11. 计算:2024°= ; x(x-2)= ; a-b-c=a- ( ) .12. 在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=2:3:4, 则∠C= .13. 已知2ᵐ=64,2ⁿ=16,,m, n为正整数, 则2ᵐ⁻ⁿ=.14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则它的顶角的大小是 .15. 如图,在△ABC中, ∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD相交于点O, 过点O作OM⊥BC于点 M, 则下列结论:①若∠A=50°,则∠BOC=115°;②AEEC =ABBC;③若OM=m,AB+BC+AC=n, 则S ABC=12mn;④平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有3个.正确的有 .(只填写序号)16.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点O,OD⊥OA交AB于点D, OE⊥OC交 BC于点E, 连接DE, AC=7, BC=8, △BDE的周长为6, 则AB的长为 .三、解答题(共8大题，共72分)下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17. (本题8分) 计算: (1)x⋅x⁵+(x³)²+(−2x²)³;(2)(12x²y−8xy²)÷4xy18. (本题8分)如图,点 B、F、C、E在一条直线上,BC=EF,AB=DE.请从下列条件①AB∥DE;②AC=DF;③AC∥DF中添加一个条件证明: ∠A=∠D.19. (本题8分) 先化简, 再求值[(2x+y)(2x−y)−(2x+3y)²]+y,其中6x+5y−2=0.20. (本题8分) 如图, AB∥CD,点E是BC的中点, AE是∠BAD的平分线.(1) 求证: DE 是∠CDA的平分线;(2) 若AB=5, AD+2CD=10, 求CD 的长.21. (本题8分)如图是由小正方形组成的9×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.(1) 在图1中, 画△PQC,使得△PQC≌△ABC;(2) 在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分△ABC的面积；(3) 在图2中, 画△ABC的高AE;(4) 在图2中, 在高AE上作点 F, 使得∠ABF=45°.22. (本题10分) 我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式。

．．．．．若分式的值为，则（ ）．．．．11x x -+A ．166．已知一个等腰三角形的一边长等于A ．13cm A ．100厘米xy x y =-≠三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有分）19．先化简，再从20．如图，在下列带有坐标系的网格中，，(1)画出关于轴的对称的22121x x x x x -+÷-+-()23A -，(B -ABC x嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题方法2：如下图，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题(1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系；【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；AC AE AE AB =DE .AB E BE BD =DE .AC AB BD ABC D BC 2B C ∠=∠AD BC ⊥D CD AB BD ABC D AB CD CD CD CDE F DE AF CD G G ACE ∠=∠GF AE AF =+参考答案与解析1．B 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．B【分析】根据分式的值为0的条件,列式求解即可.分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.【详解】解：由题意得： 解得：x=1故答案为B|x|-1=010x ⎧⎨+≠⎩【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．5．C在和中，，∴，∴，∵，∴，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键．16．(1)(2)【分析】（1）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．17．(1)(2)AFB △CNA V 4522.5BAF C AB ACABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()ASA AFB CAN ≌AF CN =AF AE =AE CN =23y xy+25x +()233xy xy xy ⎡⎤+÷⎣⎦()3223xy x y xy=+÷23y xy =+()()()2122x x x +-+-()22214x x x =++--22214x x x =++-+25x =+()22m n +-()()233x x +-，．21．(1)；(2)(3)证明见解析．117678768+=⨯⨯⨯11(1)(2)+1n n n n +=⨯+⨯+，证明，得出，证明出是等腰直角三角形，得出，从而得出，即可得解．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，而，为等腰直角三角形，过作的垂线交延长线于，，，而，，，在和中，，，，，又，，在中，，为等腰直角三角形，，CH BH 、()SAS BOC CEH ≌OCB EHC BC CH ∠=∠=，B C H V 45CBH ∠=︒45ADB CBH ∠=∠=︒22220a ab b c -+-= ()22a b c ∴-=000a b c >≤> ，，a b c ∴-=AB OC ∴=0b = AB OC =ABC ∴ A BF BF G ABF BCF ∠=∠ 90ABC ∠=︒90FBC FCB ∴∠+∠=︒90BFC ∴∠=︒ABG BCF △90ABF BCF G BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AAS ABG BCF ∴ ≌AG BF ∴=BG CF =2CF BF = BF FG AG ∴==AFG 90FG AG G =∠=︒，AFG ∴ 45AFG ∠=︒；（3）①证明：，，，，又，，；②的度数为定值，，过作于，取，连接，，，，，，，即是等腰直角三角形，，，∴，∴可由平移所得，，，．135AFB ∴∠=︒()0E c b - ，()E c OE x c b x b OC CE ∴==-=+-=+OC c = CE b ∴=-()0B b ，OB b ∴=-CE OB \=BDE ∠135BDE ∠=︒E EH OE ^E EH OC =CH BH 、OB CE BOC CEH OC EH =∠=∠= ，，()SAS BOC CEH ∴ ≌OCB EHC BC CH ∴∠=∠=，90OCB ECH CHE ECH ∴∠+∠=∠+∠=︒90BCH ∴∠=︒B C H V 45CBH ∴∠=︒AB OC OC EH == ，AB EH =EH AB AE BH ∴∥45ADB CBH ∴∠=∠=︒135BDE ∴∠=︒24．(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质；（1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论；方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论；（2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证；（3）先证明 ，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论．【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴，在和中，，，，∴∴，，∵，∴，∴，∴，∴；方法二：延长到点E ，使得，连接，∴，则，∵，AC AB BD =+CD AB BD =+ABD AED ≌ BD ED =2AED ABC C ∠=∠=∠ED EC =BD EC =E C ∠=∠()AAS EAD CAD ≌AE AC =CD DE DB =AE AEB B ∠=∠CAE C ∠=∠EA EC =ACE BCD ≌()SAS D D H A E ∥AG H AEF HDF ≌△△GH HD =AD BAC ∠BAD CAD ∠=∠BAD EAD AD AD =BAD EAD ∠=∠AB AE =()SAS ABD AED ≌BD ED =2AED ABC C ∠=∠=∠AED C EDC ∠=∠+∠EDC C ∠=∠ED EC =BD EC =AC AB BD =+AB BE BD =DE E BDE ∠=∠2ABD E BDE E ∠=∠+∠=∠2ABC C ∠=∠∴，∵平分，∴，在和中，，，，∴，∴，∵，∴；（2）在上取，连接，∵于∴∴∵，∴，∴∴；（3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，，∴∴，∴ ∴∴过作，交于点，E C ∠=∠AD BAC ∠BAD CAD ∠=∠EAD CAD EAD CAD ∠=∠E C ∠=∠AD AD =()AAS EAD CAD ≌AE AC =AE AB BE =+AC AB BD =+CD DE DB =AE AD BC ⊥DAE AB=AEB B∠=∠AEC C CAE ∠=∠+∠2B C∠=∠CAE C ∠=∠EA EC=CD CE ED AE DB AB DB =+=+=+CDE ABC 60ACB ECD ∠=∠=︒,CA CB CE CD ==ACB ECB ECD ECB∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌()SAS 120EAC DBC ∠=∠=︒60ACE AEC ∠+∠=︒D D H AE ∥AG H∴，∵是的中点，∴，又∴∴ ，，而，∴，又∵∴∴即　．EAF FHD ∠=∠F ED =EF FD AFE HFD∠=∠()ASA AEF HDF ≌AF HF =AE DH =AEF HDF∠=∠120GDF HDF GDH ∠=∠+∠=︒6060120AEF ACE FEC AEC ACE ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ACE GDH ∠=∠G ACE∠=∠G GDH∠=∠GH HD AE ==GF AE AF =+。

2023-2024硚口区八（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑．1．若分式23x x --的值为0，则x 的值（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-2．成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245米，用科学记数法表示为7.24510n⨯米，则n 的值是（）A ．6-B ．5-C ．6D ．53．点(1)A a ，和点(2)B b ，关于y 轴对称，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列四张剪纸图形，其中是轴对称图形的个数是（）①②③④A ．4B ．3C ．2D ．15．亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS6．下列运算正确的是（）A ．3412a a a⋅=B ．()233aa=C ．()32628aa-=-D ．22()ab a aa b a b-=--7．从边长为a 的大正方形纸板正中间挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子是（）甲乙A ．222()2a b a ab b +=++B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b-=-+D ．22(2)()32a b a b a ab b++=++8．运用乘法公式计算2(22)a b +-，得到的结果是（）A ．2244444a b ab a b ++--+B ．2242244a b ab a b ++--+C ．2244484a b ab a b ++--+D ．2244484a b ab a b ++-++9．欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖203个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（）A ．13个克罗索B ．14个克罗索C ．15个克岁索D ．16个克罗索10．如图，在平面直角坐标系中，已知点(0,1),(4,0),(2,2),(,2)A B C m D m +，当四边形ABCD 的周长最小时，m 的值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．分式11x +有意义，则x 的取值范围是_________．12．如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，农民李伯伯的做法是：过点P 作PM 垂直于河岸l ，垂足为M ，沿PM 开挖水渠距离最短，其中的数学道理是_________．13．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是_________．14．已知22517x y x y +=+=，，则2()x y -的值是_________．15．如图，在等腰Rt ABC △中，90ACB AC BC BAC ∠=︒=∠，，的邻补角的角平分线AE 交ABC ∠的角平分线BD 于点D ，交直线BC 于点E ，作DF AE ⊥交BE 于点F ，连接AF ．下列四个结论：①45ADB ∠=︒；②BD 垂直平分AF ；③2EC BF =；④ED AF DF =+．其中正确的是_________．（填写序号）16．如图，在等腰Rt EAB △和等腰Rt EDC △中，90EAB EDC ∠=∠=︒，AB AE =，DC DE =，AE ED <．若3AD =，则五边形ABCDE 的面积是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题8分）因式分解：（1）22363x xy y ++；（2）34a b ab -．18．（本题8分）解下列方程：（1）2131x x =+-（2）315162231x x x +-=--19．（本题8分）如图，,,AB DE AB DE AF DC ==∥．求证：B E ∠=∠．20．（本题8分）化简22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭．21．（本题8分）如图是由相同的小正方形组成108⨯的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌ABCD 的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点P ，Q 处．图1图2（1）在图1中，先在边BC 上画点E ，使EQ PQ ⊥，再在边AD 上画点F ，使135FPQ ∠=︒；（2）在图2中，先在边CD 上画点G ，连接PG ，QG ，使PGD QGC ∠=∠，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球Q ．22．（本题10分）一辆汽车开往距离出发地360km 的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前50min 到达目的地．（1）求原计划的行驶速度；（2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以km /h a 的速度行驶，另一半路程以km /h b 的速度行驶（a b ≠），共用时1t 小时；若司机准备用一半时间以km /h a 的速度行驶，另一半时间以km /h b 的速度行驶，共用时2t 小时．①直接写出用含a ，b 的式子分别表示1t 和2t ；②试比较1t ，2t 的大小，并说明理由23．（本题10分）图1图2图3问题提出如图1，在锐角等腰ABC △中，AB AC BAC α=∠=，，K 是动点，满足BK AK ⊥，将线段AK 绕点A 逆时针旋转α至AD ，连接DK 并延长，交BC 于点M ，探究点M 的位置．特例探究（1）如图2，当点K 在BC 上时，连接CD ，求证：12CD BC =；（2）如图3，当点K 在AC 上时，求证：M 是BC 的中点．问题解决再探究一般化情形，如图1，求证：M 是BC 的中点．24．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知(,0),(0,)A a B b 两点，30OBA ∠=︒．图1图2（1）若a ，b 满足221|3|0a a b -++-=．①直接写出AOB △的周长；②P 在第一象限内，若PBA △为等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标，（2）如图2，C 是x 轴上点A 右侧的动点，D 在第一象限内，满足60BCD ABC ADC ∠=︒∠=∠，．①探究三条线段AO ，AD ，AC 之问的数量关系，并给出证明；②设BCD △与BOA △的面积的比值为k ，直接写出k 的取值范围．2023-2024学年度第一学期期末质量检测八年数学答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）12345678910AADBCCBCBB9．提示：方法1，代值验算：方法2，设第一个农妇带了x 个鸡蛋，则第二个农妇带了(100)x -个鸡蛋，有26153(100)100x x x x ⋅=⋅--，得到241009x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以21003x x =-，解得40x =．故第一个农妇带了40个鸡蛋，每个鸡蛋卖1511004x =-个克罗索．10．提示：注意到2CD =，考虑“造桥选址模型”．如图，过D 作DE CB ∥，交x 轴于点E ，作A 关于直线CD 的对称点1A ，连接1A E 交CD 于0D ，连接0AD ．AB BE + 是定值，∴当DE DA +最小时，四边形ABCD 的周长最小．由1100A OE A OD OD E S S S =+△△△，得11123322222m ⨯⨯=⨯+⨯⨯，解得23m =．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．1x ≠-12．垂线段最短13．814．915．①②④16．92（第15题，在未填③的前提下，每填对1个给1分）16．提示：方法1，取BC 中点F ，连接AF 并延长至G ，使得FG AF =，连接DF ，DG ．可证AFB CFG AED GCD ≌，≌△△△△．所以五边形ABCDE 的面积等于ADG △的面积．又可证ADG △为等腰直角三角形，所以五边形ABCDE 的面积21922AD ==．方法2，过B ，C ，E 三点，分别作AD 的垂线段，证全等．三、解答题（共8小题，共72分）17．（1）解：原式()2232x xy y =++2分23()x y =+4分（2）解：原式()24ab a =-2分(2)(2)ab a a =-+4分18．（1）解：方程两边乘(3)(1)x x +-，得2(1)3x x -=+1分解得5x =2分检验：当5x =时，(3)(1)0x x +-≠3分所以，原分式方程的解为5x =．4分（2）解：方程两边乘2(31)x -，得315(31)2x x +--=1分解得13x =2分检验：当13x =时，2(31)0x -=，因此13x =不是原分式方程的解．3分所以，原分式方程无解4分19．证明：,AB DE A D ∴∠=∠∥ ．2分,AF DC AF CF DC CF =∴+=+ ，即AC DF =4分在ABC △和DEF △中,,,AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC DEF ∴≌△△，6分B E ∴∠=∠．20．解：原式221(2)(2)4x x xx x x x ⎡⎤+-=-⋅⎢---⎣⎦2分2(2)(2)(1)(2)4x x x x xx x x +---=⋅--4分24(2)4x x x x x -=⋅--6分21(2)x =-8分21．图1图2提示：（2）中得路径不唯一，画出一条路径即可，22．解：（1）设原计划的行驶速度为km/h x ，则360360501.260x x x x ---=，4分解得60x =，6分经检验，60x =是原方程的解，且符合题意，∴原分式方程的解为60x =．答：原计划的行驶速度为60km /h ．7分（其他方法酌情给分，没有检验扣1分）（2）①12180()720,a b t t ab a b+==+（各1分）9分②12t t >，理由如下：因为212180()720180()()a b a b t t ab a b ab a b +--=-=++，,a b 为正数，且a b ≠，212180()0.()a b t t ab a b -∴>∴>+．10分23．解：特例探究（1）证明： 线段AK 绕点A 逆时针旋转α至AD ，,AD AK DAC KAC KAB α∴=∠=-∠=∠．1分在DAC △和KAB △中，AC AB DAC KAB AD AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC KAB ∴△≌△，CD BK ∴=．2分又AB AC AK BC =⊥， ，3分11,22BK BC CD BC∴=∴=4分（2）在ABC △中，,AB AC BAC α=∠=，()11802ABC ACB α∴∠=∠=︒-， 线段AK 绕点A 逆时针旋转α至AD ，()()11180,18022AKD ADK MKC AKD αα∴∠=∠=︒-∴∠=∠=︒-5分AK BK ⊥ ，所以()1190,9018022ABK BKM ααα∠=︒-∠=︒-︒-=，()()111809022KBM ααα∴∠=︒--︒-=，6分,,,KCM MKC KBM BKM CM KM BM KM ∴∠=∠∠=∠∴==，CM BM ∴=，即M 是BC 的中点．问题解决如图，连接CD ，过点C 作CE DM ⊥于E ，过点B 作BF DM ⊥，交DM 的延长线于F．线段AK 绕点A 逆时针旋转α至AD ，∴同（1）可证得，CD BK=90CE DM BF HF CED BFK ⊥⊥∴∠=∠=︒，， ，AD AK ADK AKD =∴∠=∠， ，9090CDE ADK AKD BKF ∴∠=︒-∠=︒-∠=∠．8分在CDE △和BKF △中，,,.CED BFKCDE BKF CDE BKF CE BF CD BK ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∴=⎨⎪=⎩△≌△9分在CEM △和BFM △中，,,CEM BFM CME BMF CEM BFM CM BM CE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∴=⎨⎪=⎩△≌△，即M 是BC 的中点．10分（其他方法酌情给分）24．解：（1）①AOB △的周长为3．3分②11(11),,22⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭．6分提示：每一个坐标得1分．（2）①2AD AC AO =+．7分证明如下：在AD 上截取AE AC =，连接CE ．ABC ADC ∠=∠ ，60BAD BCD ∴∠=∠=︒，8分18060DAC BAO BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒．,AE AC CAE =∴ △是等边三角形，120CE CA CED CAB ∴=∠=∠=︒，9分在CED △和CAB △中，,CED CAB EDC ABC CED CAB CE CA ∠=∠⎧⎪∠=∠∴⎨⎪=⎩△≌△．ED AB ∴=，10分又2AB AO = ，2AD AE ED AC AB AC AO ∴=+=+=+．11分（其他方法酌情给分）②2k >12分提示：如图，由CED CAB ≌△△可得BCD △是等边三角形，当边长最小即C 靠近点A 是比值最小，由BDH ABO ≌△△，所以2k >．。

湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．若代数式13-有意义，则实数x 的取值范围是（）x ≠．3x <3x >3x ≠．一种花粉颗粒直径约为0.00000750.0000075用科学记数法表示为（67.510-⨯．0.7510-⨯57.510-⨯77510-⨯．下列计算中正确的是（）45a a +=．333a a a ⋅⋅4523a a ⋅34()a -=．已知正多边形的一个外角为45︒，则该正多边形的边数为（6．81012．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一A ．ASA 7．如图所示，在ABC 则ABC 的周长为（A ．22cmB 8．已知甲做360个零件与乙做A ．3BD DC =B ．10．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把开式中各项的系数直观地体现了出来，角第(1)n +行的每一项，如下所示：0()1a b +=1()a b a b +=+222()2a b a ab b +=+++=++332()33a b a a b ab 43224()46a b a a b a b +=+++……根据上述材料，则2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．12B ．二、填空题11．计算：02=．12．点(2,3)-关于x 轴对称的点的坐标是13．等腰三角形的一个角是14．如图，在ABC 中，BO15．若正方形ABCD 的边长为16．如图，在等腰ABC 中，点，且2BE AD =，将线段DE 绕点最短时，ABF ∠=．三、解答题17．计算：(1)(21)(3)x x +-；(2)()432682x x x -÷．18．分解因式：(1)224a b -；(2)22363ax axy ay ++．19．先化简，再求值：2x x 20．如图，点B 、D 、C 、F AC DE ∥．21．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）．(1)画ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)画出ABC 的高BE ；(3)在x 轴上作点P ，使AP PB +的和最小；(4)已知M 是线段AB 上一点，画M 关于y 轴的对称点N ．22．甲、乙两地相距180km ，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min 到达乙地，设前一小时行驶的速度为km/h x ．(1)提速后走完剩余路程的时间为________h （用含x 的式子表示）；(2)求汽车前一小时的行驶速度；(3)当汽车以km/h y 的速度原路返回时，同时有一辆货车以km/h ay （01a <<）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a 的式子表示）23．在等边ABC 中，D 、E 两点分别在边BC AC 、上，BD CE =，AD BE 、相交于点F ．(1)如图1，求AFE ∠的度数；(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标；(2)如图1，若点E 的坐标为(0,2)-，点F 是第三象限内一点，且连接BF 交x 轴于G ，求BCGABGS S △△的值；(3)如图2，点P 为y 轴上一动点（P 在B 点上方），在AB 写出PC 与PQ 的数量关系与位置关系，并说明理由．。

八年级数学试卷2024.11（请将答案写在答题卡上 满分：120分 时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．垂线段最短D ．三角形的稳定性3．若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（）A ．7B ．4C ．13D ．54．若从一个多边形的一个顶点出发，可以作7条对角线．则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形5．如图，△ABC ≌△DEF ，BC ＝6，CF ＝2．则EC 的长为（）第5题图A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝7，则△ABD 的面积是（）第6题图12MNA ．5B ．7C ．14D ．287．在如图的三角形纸片中，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在边AB 上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长为（）第7题图A ．5cm B ．6cmC ．7cmD ．8cm8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ．若AC ＝9，则AD 的长为（）第8题图A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点P ，∠A ＝60°，∠D ＝10°，则∠P 为（）第9题图A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，，直线EF 垂直平分线段AB ，若点D 为边BC 的中点，点G 为直线EF 上一动点，则△BDG 周长的最小值为（）第10题图A ．12B ．13C ．10D ．14第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．11．已知点P （a ，2）和点Q （－4，b ）关于x 轴对称．则a ＋b ＝______．27ABC S △12．若n 边形的内角和与外角和相等．则n ＝______．13．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，请补充一个条件，使△ABE ≌△ACD ，你补充的条件是______．第13题图14．已知等腰三角形一个内角的度数为80°．则这个等腰三角形底角的度数为______．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝36°，∠BAC ＝117°，过A 作AD ⊥BC 于点D ，CO 为△ABC 的角平分线，连接OD ，过O 作OE ⊥AB 交BC 于点E ，交AD 延长线于点F ．则下列四个结论，其中一定正确的是______．（填写正确序号）①∠AOC ＝45°；②；③∠COD ＝∠B ；④BC －AC ＝AF ．第15题图16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝50°，O 是射线CB 上的一个动点，连接OA ，将△ACO 沿着AO 翻折得到△ADO ，当△ADO 的三边与△ABC 的三边有一组边垂直时，则∠AOC ＝______°．第16题图三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（本题满分8分）如图，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠1＝∠2，∠C ＝60°．求∠BAC 的度数．AC OEBC BE18．（本题满分8分）如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且BF＝CE，AE＝DF．求证：AB∥CD．19．（本题满分8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠C＋10°．求∠C的度数．20．（本题满分8分）如图，在等边△ABC中，D为射线BA上一点，过D作DE∥BC交射线CA于点E，点F为AB边上一点，BF＝DE，过F作FH⊥CE，垂足为点H．（1）求证：DF＝BC；（2）求证：H为CE中点．21．（本题满分8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的15×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AB＝AC＝10，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示．（1）在BC 上画点D ，使得AD 平分△ABC 的面积；（2）在AB 边上画点E ，使得∠BCE ＝∠BAD ；（3）M 为AC 边上一点，在AB 边上画点N ，使得AN ＝AM ；（4）在平面内画点G ，使得NG ＝2ND ．22．（本题满分10分）已知，在△ABC 与△ADE 中，AE ＝AC ，AB ＝AD ，∠BAC ＋∠DAE ＝180°．（1）如图1，若AB ＝AC ，AM ⊥BC 于点M ．①求证：∠E ＝∠BAM ；②猜想AM 与DE 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，求证：．23．（本题满分10分）如图，O 是△ABM 内一点，OB ＝OM ，，．（1）已知，△ABC 为等边三角形．①如图1，若点C 与点M 重合，请补充条件：______°，可得结论：OA ＝OB ＝OM ；②如图2，若点C 在边AM 上，在①补充的条件下，结论OA ＝OB ＝OM 是否仍成立？并说明理由；（2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论OA ＝OB ＝OM 仍然成立，并说明理由．24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （0，b ），且a ，b 满足．（1）直接写出△AOB 的面积；（2）如图1，若点C 为线段OB 上一点，连接AC ，作CD ⊥AC ，且CD ＝AC ，连接BD ．求∠DBA 的度数；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OD ，点E ，F 分别为OD ，AB 的中点，连接CE ，EF ，请探究线段CE 与EF之间的关系，并证明你的结论．ABC ADE S S =△△BAM α∠=BOM β∠=β=αβ()20a b -=2024～2025学年度第一学期期中质量检测八年级数学参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的标号填在下面的表格中．）题号12345678910答案CDADCCCBBA二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．）11．－6；12．4；13．AD ＝AE 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC 等；14．80°或50°；15．①③④；16．70°或45°或25°．三、解答题：（本大题共8个小题．共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：∵AD ⊥BC ∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠DAC ＋∠C ＝90°∵∠1＝∠2，∠C ＝60°，∴∠1＝∠2＝45°，∠DAC ＝90°－∠C ＝30°∴∠BAC ＝∠1＋∠DAC ＝45°＋30°＝75°．注：本题其它解法参照评分．18．证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∵BF ＝CE ∴BF －EF ＝CE －BC 即：BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中 △ABE ≌△DCF （SAS ）∴∠B ＝∠C ∴AB ∥CD ．BE CFAEB DFC AE DF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩注：本题其它解法参照评分．19．解：∵AB ＝AD ＝DC ，∴设∠C ＝∠DAC ＝x ° 则∠B ＝∠ADB ＝2x ．∵∠BAD ＝∠C ＋10° ∴∠BAD ＝（x ＋10）°在△ABD 中 ∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180° ∴x ＋10＋2x ＋2x ＝180．解得：x ＝34；∴∠C 的度数为34°．20．证明：（1）∵△ABC 为等边△，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠C ＝∠BAC ＝60°∵DE ∥BC ∴∠B ＝∠D ＝60°，∠E ＝∠C ＝60°．∴∠D ＝∠E ＝∠DAE ＝60°．∴△DAE 为等边△．∴DE ＝AD ．∵BF ＝DE ∴AB ＝BF ＋AF ＝AD ＋AF ＝DF ．∵AB ＝BC ∴DF ＝BC ．（2）连接EF ，CF ．在△EDF 和△FBC 中 △EDF ≌△FBC （SAS ）∴EF ＝CF ．∵FH ⊥CE ，∴EH ＝HC ．即：H 为CE 中点．注：本题两问其它解法参照评分．21．（1）如图，点D 即为所求；（2）如图，点E 即为所求；（3）如图，点N 即为所求；（4）如图，点G即为所求．DE BF D B DF BC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩注：本题几问其它画法参照评分．22．（1）①证明：∵AE ＝AC ，AB ＝AD ，AB ＝AC ，∴AE ＝AD ∴∠E ＝∠D ∴2∠E ＋∠DAE ＝180°∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAC ＝2∠E ．∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴∠BAC ＝2∠BAM ．∴∠E ＝∠BAM ．②猜想：．证明：过A 作AF ⊥DE 于F ．∵AE ＝AD ∴ ∵AM ⊥BC ∴∠EFA ＝∠AMB ＝90°在△EFA 和△AMB 中 △EFA ≌△AMB （AAS ）∴．（2）延长EA 至G ，使AE ＝AG ，连接DG ．则∠EAD ＋∠DAG ＝180°，∵∠BAC ＋∠DAE ＝180° ∴∠DAG ＝∠BAC在△DAG 和△BAC 中 △DAG ≌△BAC （SAS ）∴．注：本题两问其它解法参照评分．12AM ED =12EF FD ED ==E BAM EFA AMB AE AB ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩12EF AM ED ==ADE ADG S S =△△AD AB DAG BAC AE AC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩ADG ABC ADE S S S ==△△△23．（1）①补充条件：，可得结论：OA ＝OB ＝OM ；②在①补充的条件下，结论OA ＝OB ＝OM 成立，理由如下：证明：连接OC ，在BC 上截取BD ＝CM ，连接OD ．∵△ABC 为等边三角形 ∴AB ＝AC ＝BC ，∠ACB ＝60°．∴∠BCM ＝180°－∠ACM ＝120°＝∠BOM ．又∵∠BOM ＋∠OBC ＝∠BCM ＋∠CMO ＝∠1 ∴∠OBC ＝∠OMC ．在△OBD 和△OMC 中 ∴△OBD ≌△OMC （SAS ）∴OD ＝OC ，∠BOD ＝∠MOC ．∴∠DOC ＝∠DOM ＋∠MOC ＝∠DOM ＋∠BOD ＝∠BOM ＝120°．∴∠OCD ＝∠ODC ＝30°．又∵∠ACB ＝60°∴∠AOC ＝∠ACB －∠OCD ＝30°．在△AOC 和△BOC 中 ∴△AOC ≌△BOC （SAS ）∴OA ＝OB ．又∵OB ＝OM ∴OA ＝OB ＝OM ．（2）解：当时，①中结论OA ＝OB ＝OM 成立证明：在AM 上找一点C ，使在BC 上截取BD ＝CM ，连接OD ．又∵∠BOM ＋∠OBC ＝∠BCM ＋∠CMO ＝∠1 ∴∠OBC ＝∠CMO．120β=︒OB OMOBD OMC BD MC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩AC BC ACO BCO OC OC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩12αβ=BCM BOM β∠=∠=在△OBD 和△OMC 中 ∴△OBD ≌△OMC （SAS ）∴OD ＝OC ．∠BOD ＝∠MOC ∴∴∵ ∴∴ ∴∠ACO ＝∠BCO ∵，∴ ∴∠ABC ＝∠BAC ∴AC ＝CB在△ACO 和△BCO 中 ∴△ACO ≌△BCO （SAS ）∴AO ＝OB 又∵OB ＝OM ∴AO ＝OB ＝OM ．注：本题几问其它解法参照评分．24．（1）△AOB 的面积为8．（2）作DH ⊥y 轴于H ，∵CD ⊥AC ，∴∠DHC ＝∠COA ＝∠DCA ＝90°．∴∠DCH ＋∠OCA ＝∠OCA ＋∠OAC ＝90°．∴∠DCH ＝∠CAO ．在△DHC 和△COA 中 ∴△DHC ≌△COA （AAS ）∴DH ＝OC ，CH ＝OA ＝OB ＝4．∴BH ＋BC ＝BC ＋OC．OB OM OBD CMO BD MC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩DOC DOM MOC ODM BOD BOM β∠=∠+∠=∠+∠=∠=1902ODC OCD β∠=∠=︒-BCM β∠=180ACB β∠=︒-1902ACO ACB BOC β∠=∠-∠=︒-BCM β∠=12BAC αβ∠==12ABC BCM BAC β∠=∠-∠=AC BC ACO BCO OC OC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩DCH CAODHC COA DC CA ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴BH ＝OC ＝DH ．∴∠HBD ＝∠HDB ＝45°．∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90° ∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°．∴∠DBA ＝90°．（3）连接OF ，延长FE 交BD 于G ，连接CG ，CF ．∵OB ＝OA ，F 为AB 中点，∴OF ⊥AB ．∴∠OFB ＝∠DBA ＝90°．∴DB ∥OF ．∴∠BDE ＝∠FOE ．∵E 为OD 中点，∴ED ＝EO ，在△DEG 和△OEF 中 ∵ ∴△DEG ≌△OEF （ASA ）∴DG ＝OF ，EG ＝EF ．∵∠DHA ＝∠DBA ＋∠BDH ＝∠DCA ＋∠CAH ，∠DBA ＝∠DCA ＝90°∴∠BDH ＝∠CAF ．在△GDC 和△FAC 中 ∵ ∴△GDC ≌△FAC （SAS ）∴GC ＝CF ，∠GCD ＝∠FCA ．∴∠GCF ＝∠DCA ＝90°．∴△GCF 为等腰直角三角形．∵EG ＝EF ∴CE ⊥EF ，CE ＝EF ．注：本题两问其它解法参照评分．BDE FOE DEG OEF DE EO ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩DG OF GDC FAC DC AC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩。

监利市2023-2024学年度上学期期末考试八年级数学试题本卷满分120分，考试时间120分钟，共三大题，24个小题． 一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”．其中一定不．是．轴对称图形的是（） A ． B ． C ． D ．2．在下列运算中，正确的是（） A ．236a a a ⋅=B ．22(3)6a a =C ．()325aa =D ．32a a a ÷=3．如图，DAC BAC ∠=∠，再添加下列条件，仍不能判定ABC ADC △≌△的是（）A ．DC BC =B ．AB AD =C ．D B ∠=∠D ．DCA BCA ∠=∠4．下列各式与aa b−相等的是（） A ．22()a a b −B ．22()a ab a b −−C ．33aa b− D ．aa b−+ 5．一个三角形的两边长为3和8，且第三边长为奇数，则第三边长为（） A ．7B ．9C ．5或7D ．7或96．将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x −的是（） A ．21x −B ．(2)(2)x x x −+−C ．221x x −+D ．221x x ++7．边长分别为a 和2a 的两个正方形按如下图的样式摆放并连线，则图中阴影部分的面积为（）A ．23aB ．274a C ．22aD ．232a 8．某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km ，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，如果设慢车的速度为km/h x ，那么可列方程为（）A ．12012011.5x x −= B ．12012011.5x x −=+ C ．12012011.5x x −= D ．12012011.5x x−=+9．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是AC 的中点，EC BD ⊥于E ，交BA 的延长线于F ，若12BF =，则FBC △的面积为（）A ．40B ．46C ．48D ．5010．如图，在ABC △中，9AB =，13AC =，点M 是BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，//MF AD ，则CF 的长为（）A ．12B ．11C ．10D ．9二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．分式11x x +−的值为0，则x 的值为______．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为______． 13．若3m n +=，则222426m mn n ++−的值为______．14．如图，在ABC △中，74B ∠=︒，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，若AB BD BC +=，则BAC ∠的度数为______．15．若27193m n =，则23n m −的值是______．16．如图，在ABC △中，AB AC =．点D 为ABC △外一点，AE BD ⊥于E ．BDC BAC ∠=∠，3DE =，2CD =，则BE 的长为______．三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题，满分72分） 17．（本题满分8分）计算：（1）()()21a a −+ （2）()()22224ab a b −÷−18．（本题满分8分）分解因式：（1）329a ab −（2）2(2)8x y xy +−19．（本题满分6分）如图AE BD =，AC DF =，BC EF =，求证：A D ∠=∠．20．（本题满分10分）（1）先化简，再求值：524223m m m m −⎛⎫+−⨯⎪−−⎝⎭，其中4m =． （2）若分式方程15102x mx x−=−−无解，求m 的值． 21．（本题满分8分）如图是68⨯的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中取格点S ，使得BSC CAB ≌△△（S 不与A 重合）；. （2）在图2中AB 上取一点K ，使CK 是ABC △的高； （3）在图3中AC 上取一点G ，使得AGB ABC ∠=∠．22．（本题满分10分）如图1，ABC △中，AB AC =，点D 在AB 上，且AD CD BC ==．（1）求A ∠的大小；（2）如图2，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，连接EF 交CD 于点H ． ①求证：CD 垂直平分EF ；②请求出线段AE ，DB ，BF 之间存在的数量关系并说明理由．23．（本题满分10分）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． （1）该商店第一次购进这种水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优恵销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？24．（本题满分12分）平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴，点C 在y 轴正半轴，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，90ACB ∠=︒，AB 交y 轴负半轴于点D ．（1）如图1，点C 的坐标是(0,4)，点B 的坐标是(8,0)，求点A 的坐标；（2）如图2，AE AB ⊥交x 轴的负半轴于点E ，连接CE ，CF CE ⊥交AB 于F ． ①求证：CE CF =； ②求证：点D 是AF 的中点； ③求证：1=2ACD BCE S S △△．2023-2024学年度上学期八年级数学期末考试参考答案一、选一选，比比谁细心11.=-1x 12. 6 13. 1214.69° 15. 1 16. 5三、解一解，试试谁更棒17．（1）22a a −−（2）-3b18．（1）(3)(3)a a b a b +−（2）2(2)x y − 19．证明：∵AE ＝BD ，∴AE +BE ＝DB +BE ，即AB ＝DE ， 在△ABC 和△DEF 中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠A ＝∠D ． 20．（1）原式化简得：2(m +3) 当m =4时，原式=2×（4+3）=14 （2）m =-821．解：（1）如图1中，点S 即为所求；（2）如图2中，线段CK 即为所求； （3）如图，点G 即为所求．22．（1）解：设∠A ＝x ， ∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠A ＝x ，∵CD ＝BC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝∠ACD +∠A ＝2x ； ∵AC ＝AB ，∴∠ACB ＝∠B ＝2x ，则∠DCB ＝x ， ∵x +2x +2x ＝180°， ∴x ＝36°，即∠A ＝36°；（2）①证明：由（1）得：∠ACD ＝∠A ＝x ，∠DCB ＝x ， ∴∠ACD ＝∠DCB ，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵CD＝CD，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，CE＝CF，∴CD垂直平分EF；②解：三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：AE＝DB+BF，理由如下：在CA上截取CG＝CB，连接DG，如图2所示：由①已得：DE＝DF，CE＝CF，且CG＝CB，∴CG﹣CE＝CB﹣CF，即GE＝BF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEG＝∠DFB＝90°，∴△DEG≌△DFB（SAS），∴DG＝DB，∠DGE＝∠B，由（1）得：∠B＝2x，∠A＝x，∴∠DGE＝2∠A，∵∠DGE＝∠A+∠GDA，∴∠A＝∠GDA，∴AG＝DG，∴AE＝AG+GE＝DG+BF＝DB+BF．23．解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克．由题意，得1000240022x x+=，解得x＝100．经检验，x＝100是所列方程的解且符合题意．答：该商店第一次购进水果100千克．（2）设每千克这种水果的标价是y元，则（100+100×2﹣20）•y+20×0.5 y≥1000+2400+950，解得y≥15．答：每千克这种水果的标价至少是15元．24．（1）解：如图1中，过点A作AH⊥y轴于点H．∵点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），∴OC＝4，OB＝8，∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ACH＝∠CBO，在△AHC 和△COB 中，AHC COB ACH CBO CA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHC ≌△COB （AAS ）， ∴AH ＝OC ＝4，CH ＝OB ＝8， ∴OH ＝CH ﹣CO ＝8﹣4＝4， ∴A （﹣4，﹣4）；（2）证明：①如图2中，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBF ＝45°， ∵AE ⊥AB ，∴∠EAC ＝∠CAB ＝∠CBF ＝45°，∴CE ⊥CF ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECA ＝∠FCB ， 在△ECA 和△FCB 中，ECA FCB CA BCEAC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ECA ≌△FCB （ASA ），∴CE ＝CF ；②如图2中，过点F 作FN ⊥CD 于点N ，过点A 作AM ⊥CD 于点M ． ∵∠ECF ＝∠EOC ＝∠CNF ＝90°，∴∠ECO +∠FCN ＝90°，∠FCN +∠CFN ＝90°， ∴∠ECO ＝∠CFN ， 在△EOC 和△CNF 中，EOC CNF ECO CFN CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△CNF （AAS ）， ∴OC ＝FN ，同法可证，△BOC ≌△CMA （AAS ），∴OC ＝AM ， 在△FND 和△AMD 中，90FDN ADM FND AMD FN AM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△FND ≌△AMD ，∴DF ＝AD ；③设OE ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， ∵△EOC ≌△CNF ，△BOC ≌△CMA ， ∴CN ＝OE ＝a ，CM ＝OB ＝b ，OC ＝AM ＝c ， ∴MN ＝b ﹣a ，∵△FND ≌△AMD ，∴DN ＝DM =12（b ﹣a ）， ∴CD ＝DN +CN =12（a +b ）， ∵S △ACD=12•CD •AM =12•=12（a +b ）•AM =14（a +b ）•c ，S △BCE=12•EB •CO =12（a +b ）•OC =12（a +b ）•c ，∴S △ACD=12S △ECB ．。

湖北省武汉市七一华源中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）A ．5，6，10B ．5，2，9C ．5，7，12D ．3，4，8 2．画ABC V 的边BC 上的高，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一个三角形最多有（ ）钝角A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．如图，ACE DBF V V ≌，8AD =，2BC =，则BD =（ ）A ．2B ．8C ．6D ．55．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）边形 A ．六 B ．五 C ．四 D ．三6．已知，如图所示的两个三角形全等，则1∠=（ ）A ．72︒B ．60︒C ．48︒D ．50︒7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在AOB ∠的边OA 、OB 上分别取OM ON =，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M 、N 重合，得到AOB ∠的平分线OP ，做法中用到三角形全等判定方法是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．SSA8．根据下列条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ）A ．2AB =，5BC =，2AC =B ．6AB =，30B ∠=︒，4AC = C ．4AB =，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．8BC =，90C ∠=︒9．如图，在四边形ABCD 中，AD CD =，BD 平分ABC ∠，作D H B C ⊥于点H ．9BC =，5AB =，则HC 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．52D ．74二、填空题10．从八边形的一个顶点出发可以引条对角线．11．如果四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，则B D ∠+∠=．12．等腰三角形的两边长为6和12，则该等腰三角形的周长为．13．如图的三角形纸片中，865AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为 ．14．下列四个命题其中正确的有（填序号）．①全等三角形的对应角相等；②AB DE =，BC EF =，120C F ∠=∠=︒，则ABC DEF ≌△△；③A D ∠=∠，C F ∠=∠，BC DE =，则ABC V 和DEF V 全等；④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在边AC 上，点E 在线段BD 上，若AD DE =，45DEC ∠=︒，34BD CD =，则AB AD=．三、解答题16．求出图形中x 的值．17．用一条长为20cm 的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为5cm 的等腰三角形吗？为什么？18．如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ，求证：AC ＝DF ．19．如图1，ABC V 的角平分线CE 和BD 交于点I ，记A α∠=．(1)当60α=︒时，则BIC ∠=_______；(2)求BIC ∠的度数（用含α的式子表示）；(3)如图2，若ABD ∠和ACE ∠的角平分线交于点G ，则B G C ∠=_______（用含α的式子表示）．20．如图，90ABC DBE ∠=∠=︒，BE BC =，AC ED =，DE 、AC 交于点F ．(1)求证：AB DB =；(2)求证：BF 平分DFC ∠．21．四边形ABCD 中，点E 为线段BC 的中点．(1)AB CD ∥，AE 平分DAB ∠．①如图1，若AB CD =，90B ??，则ADE ∠=_______；②如图2，若AB CD ≠，求证：DE 平分ADC ∠；(2)AB 和CD 不平行时，AE DE ⊥，求证：AB CD AD +>．22．问题背景如图（1），在等腰直角ABC V 中，AB AC =，过直角顶点A 作直线MN ，BE MN ⊥于点E ，CF MN ⊥于点F ，求证：ABE CAF ≌△△．尝试应用如图（2），在等腰直角ABC V 中，AB AC =，点D 在ABC V 内部，135ADC BDC ∠=∠=︒，求证：2BD AD =．拓展创新如图（3），45BOA ∠=︒，点M 为BOA ∠内的一点，过点M 作MN OA ⊥于点N ，点H 在线段ON 上，点K 在射线OB 上，HMK V 为等腰直角三角形，若2MN =，8ON =，直接写出HN 的长．23．在平面直角坐标系中，()0,A a ，(),0B b ，(),0C c （a ，b ，c 均为正数，3b >），()2330a c -+-=．(1)判断AOC △的形状并证明；(2)如图1，作OD AB ⊥于点D 交AC 于点F ，点E 在AB 上且AE OF =，求证：EF OA ⊥；(3)如图2，点M 在y 轴的负半轴上，45ABM ∠=︒，过点O 作ON MB ⊥于点N ，过点N 作NH AB ⊥于点H ，NH 交x 轴于点K ．探究：当点B 在运动时，KB OK -是否为定值．若是，求出其值；若不是，请说明理由．。

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版八上第十一章~第十二章（三角形+全等三角形）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题 共30分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，5cm B ．4cm ，4cm ，10cm C ．3cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，4cm ，9cm2．下列是四个同学画△ABC 的高，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D．以上都不对ABC DE A F 12100∠+∠=°A ∠80︒100︒50︒4．如图，已知AO =CO ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABO ≌△CDO 的是（ ）A ．∠A =∠CB ．BO =DOC ．AB =CD D ．∠B =∠D5．如图，在△AB C 中，，，，，BD 是的平分线，设和的面积分别为，，则的值为（ ）A ．5：2B ．2：5C ．1：2D ．1：56．将一副三角板按如图所示的方式摆放，，与交于点，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且面积为，则阴影部分的面积等于（）90A ∠=︒2AB =5BC =1AD =ABC ∠ABD △BDC V 1S 2S 12:S S AC DE ⊥BC DF G CGF ∠15︒20︒25︒720︒30︒45︒60︒135︒ABC V D E F BC ABC V 24cmA ．B ．C ．D ．9．已知的三边长x ，y ，z，化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，，点为的平分线上的一个定点，点A ，B 分别为边，上的动点，且，则以下结论中：①；②为定值；③四边形的面积为定值；④四边形的周长为定值．正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

湖北省武汉市江岸区汉铁初级中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）一、单选题1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是()A ．B ．C ．D ．2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A ．1，1，2B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，3，53．ABC V 中，如果A B C ∠∠=∠+，那么ABC V 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．从n 边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n 的值是（）A ．6B ．8C ．10D ．125．如图，90Rt ABC ACB CD AB ∠=︒⊥ ，，于40D BCD ∠=︒，，则A ∠的度数为（）A ．40︒B ．38︒C ．50︒D ．30°6．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝（）度．A ．155B ．160C ．165D ．1707．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与边AB ，AC 交于点D ，点E ，若△ABC 与△BCE 的周长分别是36cm 和22cm ，则AD 的长是（）A ．7cmB ．8cmC ．10cmD ．14cm8．下列命题：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；其中正确命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，ABC V 中，BD 平分ABC ∠，AD 垂直于BD ，BCD △的面积为10，ACD 的面积为6，则ABD △的面积是（）A ．16B ．14C ．13D ．2210．如图，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，10AB CD ==，180DAC BCA ∠+∠=︒，90BAC ACD ∠+∠=︒．四边形ABCD 的面积是（）A ．25B ．40C ．50D ．100二、填空题11．如图，AD BC =，要利用SAS 判定ABC CDA △△≌，则可以添加一个条件是．12．如图，ABO DCO B D A C ≌，、、、在同一直线上，19AD BC ==，，则BD =13．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G =14．如图，△ACB 在平面直角坐标系中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，O 是AC 的中点，点A 的坐标是（1，2），则点B 的坐标为．15．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，M 为BC 的中点，CE AM ⊥于点E ，其延长线交AB 于点D ，连接DM ．下列结论：①DC DM AM +=，②=ADC BDM ∠∠，③CE BD =，④2AMD DCM ∠=∠．其中正确的有．（填序号）16．如图，在ABC V 中，AH 是高，AE BC ∥，AB AE =，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE AC =，若6ABC ADE S S =△△，2BH =，则CH =．三、解答题17．如图，DE 分别与△ABC 的边AB ，AC 交于点D ，点E ，与BC 的延长线交于点F ，∠B ＝65°，∠ACB ＝70°，∠AED ＝42°，求∠BDF 的度数．18．用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长是4cm 的等腰三角形吗？为什么？19．如图，AC BC ⊥，BD AD ⊥，垂足分别为C ，D ，AC BD =，求证BAC ABD ∠=∠．20．已知：2AB AE CD BC DE ===+=，90ABC AED ∠=∠=︒，求ABCDE S 五边形．21．如图，是由80个边长为1的正方形组成的108⨯的长方形网格．ABC V 的顶点都在正方形的顶点上，5AB =．(1)ABC V 的面积为__________，点C 到AB 的距离为__________；(2)仅用无刻度的直尺作图（保留画图过程的痕迹）①作ABC ∠的角平分线．②在边AC 上确定一点P ，使得45ABP ∠=︒．22．如图，AB AD ⊥，AB AD =，AC AE ⊥，AC AE =．(1)如图1，BAC ∠、ADE ∠、AED ∠之间的数量关系为；(2)如图2，点F 为DE 的中点，连接AF ．①求证：2BC AF =．②判断BC 与AF 的位置关系，并说明理由．23．（1）如图1，在ABC V 中，B C ∠=∠，请用全等三角形的知识说明AB AC =；（2）如图，在ABC V 中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D ，2ACB B ∠=∠．①求证：2AB CF =；②若3EF =，8=CF ，直接写出BD CD=__________．24．已知，点(),4A t 是平面直角坐标系中第一象限的点，点B ，C 分别是y 轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB AC BC ，，．(1)如图1，若()0,4B -，()5,0C 且A ，B ，C 在同一条直线上，求t 的值；(2)如图2，当4t =，180∠+∠=︒ACO ACB 时，求BC OC OB +-的值；(3)如图3，点(),H m n 是A 上一点，90A OHA ∠=∠=︒，若OB OC =，且37m n -=，求A 点的坐标．。

湖北省武汉市江汉区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，若将其中的一块带去，就能配一块同样的三角形玻璃，则带去的编号是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．下列各式中计算结果为x 6的是（）A ．24x x +B ．()32x -C ．122x x ÷D ．24x x ⋅4．如图，ABC V 与A B C ''' 关于直线l 对称，则B ∠的度数是（）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒5．如图，两根钢条AA BB ''，的中点O 连在一起，AA BB ''，可绕点O 自由转动，则A B ''的长等于内槽宽AB ．判定AOB OA B ''△≌△的理由是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS6．如图，点E 、F 在BC 上，AB CD =，AF DE =，AF DE 、相交于点G ，添加下列哪一个条件，可使得ABF DCE △△≌（）A ．BC ∠=∠B ．AG DG =C ．AFE DEF ∠=∠D ．BE CF=7．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22y x x y +-B ．()()33x y x y --+C ．()()222222x y x y -+D ．()()44a b a b +-8．如图，三条公路将,,A B C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点9．如图，A 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交A 于点G ，下列结论不．一定．成立的是（）A ．DE DF =B ．EG FG =C ．AD EF ⊥D ．AG DG=10．已知5a x =，2b x =，则23a b x -的值是（）A ．200B ．17C ．258D ．52二、填空题11．计算：()2633a a a -÷=．12．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 上的一点，O 是AD 上一点，且OB OC =，若4BC =，则BD 的长是．13．若()()2312x m x x nx +-=+-对任意的x 恒成立，则n 的值是．14．如图，已知7AB AC ==，5BC =，分别以A ，B 两点为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，直线MN 与AC 相交于点D ，BDC 的周长是．15．如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，AE BC ⊥于点E ．若3CD =，5CE =，则BC 的长是．16．计算：210011006994-⨯=．三、解答题17．（1）计算：()()2342a a a a --÷；（2）解不等式：()()()()3422x x x x +->+-．18．如图，已知点E ，C 在线段BF 上，BE CF =，AB DE ∥，AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)AC 与DE 交于点G ，当35B ∠=︒，70F ∠=︒时，求AGD ∠的度数．19．先化简，再求值：(1)()()2211xx x x x --+-，其中12x =．(2)()()()()232121128m m m m m +----÷，其中m 满足260m m +-=．20．如图，在ABC V 中，BD 是中线．(1)如图（1），延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接AE ．①求证：ADE CDB ≌；②若6AB =，4BC =，设BD x =，直接写出x 的取值范围；(2)如图（2），延长CA 到点F ，使AF BC =，若ABC BAC ∠=∠，求证：2BF BD =．21．在平面直角坐标系中有1012⨯的正方形网格，仅用无刻度的直尺画图，并回答问题．其中，()()()0,3,3,1,6,0A B C -．(1)在图（1）中，画ABC V 关于x 轴对称的A B C ''△，写出点，A B ''的坐标；(2)在图（1）中，点M 在AC 上，画点M 关于x 轴的对称点M '；(3)在图（2）中，AC 向下平移到DE ，画点P ，使DPE 与ABC V 全等（画出所有满足条件的点P ）；(4)在图（2）中，在AC 上画点Q ，使AQB ABC ∠=∠．四、填空题22．若()211x x +-=，则x 的值是．23．如图，在ABC V 中，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于点P ，若ABC V 的面积是14，ABP 的面积是5，则APC △的面积是．24．定义一种新运算a b ☆：当a b ≥时，2a b a b =+☆；当a b <时，2a b a b =-☆．若()()22272433xx x x +--+=☆，则x 的值是．25．如图，在ABC 中，A 的垂直平分线与ABC 的外角平分线A 交于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．下列结论：①ADE BDF ≌V V ；②1902DCF BDA ∠=︒-∠；③1902ADC ABC ∠=︒-∠；④若AC a =，()BC b a b =>，则224a b AE CF -⋅=．其中一定成立的是（填序号）．五、解答题26．（1）【问题呈现】已知1a b -=，6ab =，求下列各代数式的值：①22a b +；②a b +．（2）【问题推广】若()()342x x --=，则()()2234x x -+-=________；（3）【问题拓展】如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 的边A ，DC 上的点，且2AE =，5CF =，长方形DEMF 的面积是20，分别以MF ，DF 为边长作正方形MFRN 和正方形DHGF ，直接写出阴影部分的面积．27．如图，已知ABC V ，AD BC ∥，AD AB =，在直线AB 上取点E ．(1)如图（1），点E 在BA 的延长线上，证明以下结论：①若AE BC =，则DE AC =．②若DE AC =，则AE BC =．(2)如图（2），点E 在边AB 上，DE AC =，CF AB ⊥于点F ．若AB BC =，求证F 是BE 的中点．28．如图，在平面直角坐标系中，()()50,012A B ，，，已知13AB =．(1)如图，点C 在第二象限，且90ACB ∠=︒，AC BC =．①如图（1），求点C 的坐标；②如图（2），BAO ∠的平分线交射线OC 于点P ，连接PB ，求点P 的坐标；(2)如图（3），点D ，E 分别在x 轴，y 轴上，若AB EB AD ==，点I 是ABO 内角平分线的交点，ID IE ，分别交坐标轴于点F ，G ，直接写出OFG △的周长．。