第三讲非齐次定解问题-2讲解
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非齐次线性方程组有解的条件课件
系数矩阵的行列式
总结词
系数矩阵的行列式是判断非齐次线性 方程组是否有唯一解的重要依据。
详细描述
系数矩阵的行列式不为零时，方程组 有唯一解；系数矩阵的行列式为零时， 方程组可能无解或有无穷多解。
系数矩阵的秩
总结词
系数矩阵的秩是判断非齐次线性方程组是否有解的重要依据。
详细描述
系数矩阵的秩等于增广矩阵的时，方程组有解；系数矩阵的秩不等于增广矩 阵的秩时，方程组无解。
用领域。
数值稳定性
03
研究非齐次线性方程组的数值稳定性，提高计算结果的可靠性
和准确性。
THANKS
感谢观看
形式
Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x 是一个n×1的列向量，b是一个n×1的 列向量。
方程组的解
解的定义
如果存在一个n×1的列向量x，使得Ax=b成立，则称x为方程 组的解。
解的分类
根据解的情况，可以将解分为唯一解、无穷多解和无解三种 情况。
02
CATALOGUE
非齐次线性方程组有解的条件
增广矩阵的秩
总结词
增广矩阵的秩是判断非齐次线性方程组是否有解的重要依据。
详细描述
增广矩阵的秩等于方程组中未知数的个数时，方程组有唯一解；增广矩阵的秩小 于方程组中未知数的个数时，方程组可能无解或有无穷多解。
03
CATALOGUE
非齐次线性方程组的解法
高斯消元法
高斯消元法是一种求解非齐次线性方程组的经典方法，通过消元和回代过程逐步求解未知数。
非齐次线性方程 组有解的条件 课 件
contents
目录
• 非齐次线性方程组简介 • 非齐次线性方程组有解的条件 • 非齐次线性方程组的解法 • 实例分析 • 总结与思考
大学物理-非齐次方程及其次边界条件的定解问题
u(r,) Cr2(a2 r2)sin 2
方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程
有特解
2u x2
2u y2
24Cxy
us (r,) us (x, y) 2C x3 y xy3 Cr4 sin 2
设解为
u(r,) us (r,) v(r,)
v(r, ) 应该满足如下定解问题
2v 0 (r a)
u(x,t) = X(x)T(t)，不能把方程 (1) 化为两个常微分方程。但
其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系
，
可将 u(x,t) 及非齐次项 f (x,t) 按
展开，有
(6-3-4)
(6-3-5)
其中： 把 (4) 和 (5) 代入 (1)，得到
(6-3-6)
再由
的正交性可得
(6-3-7)
v '(x) y1 f (x)
(7)
( y1, y2 )
( y1, y2 )
式中 (y1, y2) = y'2 y1 – y2 y'1 为朗斯基行列式。用 表示式 (7) 中的 x，再对 由 0 到 x 积分，得到
u(x)
x 0
y2 f ( )
( y1, y2 )
d
C1
(x)
x 0
由 (6-3-3),(6-3-4) 可得到初始条件
(6-3-8)
求 u (x,t) 的问题变为在初始条件 (8) 下求解非齐次常微分 方程。由常数变易法可求得
(6-3-9)
把 (6-3-9) 代入 (6-3-4) 式，即为所求。
例：求解下列定解问题
2u 24Cxy (x2 y2 a2 ) U ra 0
(2)
07 分离变量法-2 非齐次方程
9/16
DENG S.H
物理学院 邓胜华
10:57:18
第 7 章 分离变量法
四、例题
ut − a 2 uxx = Asinωt 求解定解问题： ux |x= 0 = 0 , ux |x= l = 0 u | = 0 t=0
解：① 对应的齐次方程的本征值问题为
X ′′ − µX = 0 n2 π 2 →µ=− 2 , l X ′(0) = 0 , X ′( l ) = 0 nπx , n = 0 ,1 ,2 ,... X n ( x) = Cncos l
T0 ( t ) =
A
ω
(1 − cos ωt ) ;
A
Tn ( t ) = 0 ( n = 1,2,3,...)
u( x , t ) =
10/26/2015
ω
(1 − cosωt )
DENG S.H 11/16
物理学院 邓胜华
10:57:18
第 7 章 分离变量法
II. 解非齐次方程的特解法
ut − a2 uxx = f ( x , t ) , 0 < x < L 一.定解问题 u |x= 0 = α ( t ) , u |x= L = β ( t ) （非齐次边界条件） u |t = 0 = ϕ ( x) 二.求解
解法1： 令 u = u I + u II , 使：
utt I - a 2 u xx I = 0 I I = u u | 0 , |x=l = 0 x=0 I I = ϕ u x u | ( ), t |t = 0 = ψ ( x ) t =0
§7.1
10/26/2015
nπ x u( x , t ) = ∑ Tn ( t )sin l n=1
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10:57:18
第 7 章 分离变量法
四、例题
ut − a 2 uxx = Asinωt 求解定解问题： ux |x= 0 = 0 , ux |x= l = 0 u | = 0 t=0
解：① 对应的齐次方程的本征值问题为
X ′′ − µX = 0 n2 π 2 →µ=− 2 , l X ′(0) = 0 , X ′( l ) = 0 nπx , n = 0 ,1 ,2 ,... X n ( x) = Cncos l
T0 ( t ) =
A
ω
(1 − cos ωt ) ;
A
Tn ( t ) = 0 ( n = 1,2,3,...)
u( x , t ) =
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ω
(1 − cosωt )
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第 7 章 分离变量法
II. 解非齐次方程的特解法
ut − a2 uxx = f ( x , t ) , 0 < x < L 一.定解问题 u |x= 0 = α ( t ) , u |x= L = β ( t ) （非齐次边界条件） u |t = 0 = ϕ ( x) 二.求解
解法1： 令 u = u I + u II , 使：
utt I - a 2 u xx I = 0 I I = u u | 0 , |x=l = 0 x=0 I I = ϕ u x u | ( ), t |t = 0 = ψ ( x ) t =0
§7.1
10/26/2015
nπ x u( x , t ) = ∑ Tn ( t )sin l n=1
2.4非齐次方程的求解问题详解
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
(54)
u ( x,0)
( x),
ut (x,0) (x).
v(x,t) 和 w(x,t) 分别满足如下定解问题：
vvt(t 0, t
a )
2vxx 0,
f (x,t) v(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
v(x,0) vt (x,0) 0.
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
(46) (47) (48)
un
( x, t )
Nn
sin(nt
n
) sin
nx
l
,
(16)
由2.1节的知识可知，与(46)相应的齐次方程
utt a 2u xx ,
X
n
(x)
Bn
sin
nx
l
(n 1, 2, ).
因此可知与(46)相应的齐次方程且同时满足 齐次边界条件(47)的固有函数系为 {sin nx},
l 11
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
第一步：设所求的解为
利用条件 u(0) 0 即得 C 0
所以原问题的解可表示为
u(t) t f ( )ek2 (t )d . 0
2
补充 用拉普拉斯变换求解
数理方程 齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解
常数变易得非齐次特解为：
y u( x) y1 ( x) v( x) y2 ( x)
将其两端求导数得：
vy2 vy2 y uy1 uy1
令： 得：
uy1 vy2 0
vy2 y uy1
将其代入原方程并注意到y1与y2是齐次解得：
14
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 动，于是，可设问题的解为：
u( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
3
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
其中，V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移，而W(x,t) 表示强迫振动引起的弦振动位移。
固有函数为：Xn(x) 2、令一般解为：
W ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
17
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
3、将一般解代入泛定方程和初始条件，并把自 由项和初始函数按固有函数系展开后通过比较系 数得到Tn(t)的微分方程；
**
4
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
齐次化原理回顾
齐次化原理1(推广)
2 t 2 L , (0 x l , t ) x 0 0, x l 0 t 0, t f , x t
非齐次方程的解法
x cos
y
sin
2u
2
1
u
1
2
2u
2
12 2
cos 2
u
|
a
u
| b
0
ab 0 2π
由于齐次之解为
u( ,
)
a0 2
n1
n(an
cos n
bn
sin n
)
因此利用常数变易法令上述问题为:
u( , ) [ An( )cos n Bn( )sin n ] n0
vtbvt22222116214212222221421相加起来即得vxt将这个vxt代入uxtvxtxxyyxbuu用分离变量法求解各种有界问题直角坐标系中的分离变量有界弦的自由振动分离变量法的精神分离变量法的四项步骤特征值问题非齐次方程的求解非齐次边界条件的齐次化1适当选择坐标系
现考虑有界弦(或杆)受强迫力作用所产生的振动 现象:
An(
)
n0
1
An ( )
n2
2
A（n ) cos n
Bn(
)
1
Bn ( )
n2
2
B（n ) sin n
12 2
cos 2
比较两端关于 sin n , cos n 的系数可得:
A2( )
1
A2 ( )
n2
2
A（2 ) 12 2
(e)
An( )
1
An ( )
n2
2
A（n )
2、将未知函数 u(x，t) [或 u(x，y)等]按上面求得 的特征函数展开，其展开系数为另一变量的函数， 代入非齐次方程和初始条件(或另一变量的边界条 件)，得到关于时间因子的常微分方程的初值问题。
非齐次定解问题
2 2u u 2 t 2 a x 2 f ( x , t ), t 0, 0 x l u (0, t ) u (l , t ) 0, t0 0 xl u ( x , 0) ut ( x , 0) 0,
对应的齐次定解问题的固有函数系为： n
于是
带入方程(P1)得 由上式及附加条件
An '(t ) cos n a n a l An '(t ) sin t Bn '(t ) cos t f n (t ) l l n a
n a n a t Bn '(t ) sin t0 l l 解得 l n a l n a An '(t ) f n (t ) sin t , Bn '(t ) f n (t ) cos t n a l n a l
非齐次定解问题
1. 非齐次方程的解法 固有函数法 2. 非齐次边界条件的处理 非齐次边界条件的齐次化 3. 非齐次方程+非齐次边界条件问题
第三章 非齐次定解问题
2
非齐次方程的解法
以弦振动方程为例介绍求解非齐次方程的固有函数法 2 2u u 2 t 2 a x 2 f ( x , t ), t 0, 0 x l u (0, t ) u (l , t ) 0, t0 0 xl u ( x , 0) ut ( x , 0) 0, 固有函数法基本思想： 寻找一组完备的函数系 { X n ( x ), n 1, 2,3,...} 则可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)均按该组函数系展开
其中An(t)和Bn(t)为待定可微函数且满足附加条件
n a n a An '(t ) cos t Bn '(t ) sin t0 l l 另由边界条件得 An (0) 0, Bn ( 0) 0
对应的齐次定解问题的固有函数系为： n
于是
带入方程(P1)得 由上式及附加条件
An '(t ) cos n a n a l An '(t ) sin t Bn '(t ) cos t f n (t ) l l n a
n a n a t Bn '(t ) sin t0 l l 解得 l n a l n a An '(t ) f n (t ) sin t , Bn '(t ) f n (t ) cos t n a l n a l
非齐次定解问题
1. 非齐次方程的解法 固有函数法 2. 非齐次边界条件的处理 非齐次边界条件的齐次化 3. 非齐次方程+非齐次边界条件问题
第三章 非齐次定解问题
2
非齐次方程的解法
以弦振动方程为例介绍求解非齐次方程的固有函数法 2 2u u 2 t 2 a x 2 f ( x , t ), t 0, 0 x l u (0, t ) u (l , t ) 0, t0 0 xl u ( x , 0) ut ( x , 0) 0, 固有函数法基本思想： 寻找一组完备的函数系 { X n ( x ), n 1, 2,3,...} 则可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)均按该组函数系展开
其中An(t)和Bn(t)为待定可微函数且满足附加条件
n a n a An '(t ) cos t Bn '(t ) sin t0 l l 另由边界条件得 An (0) 0, Bn ( 0) 0
D3.5非齐次方程定解问题求解
14
nπ x W ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin L (a) L n =1
+∞
(b) 对自由项 对自由项f(x,t)也按固有函数系展开成傅 也按固有函数系展开成傅 立叶级数： 立叶级数：
f ( x, t ) = ∑
n =1
+∞
2 L 其中：f n (t ) = ∫0 f ( x, t ) sin L dxL (n = 1, 2,L) L
6
齐次化原理回顾
齐次化原理1 齐次化原理 如果
∂ 2ω = Lω , ( M ∈ R 3 , t > τ ) W (M , t;τ ) 满足方程： ∂ t 2 满足方程： ∂ω ω = 0, t =τ t = τ = f (τ , M ∂t
)
那么非齐次柯西问题
∂ 2u = Lu + f (t , M ), ( M ∈ R 3 , t > 0 ) ∂t 2 ∂u u = 0, t =0 = 0 t=0 ∂t
LV + LxV = 0, (t > 0, x1 < x < x2 ) t a V (t , x ) + β V (t , x ) = 0 1 x 1 1 1 LL (1) 与 a2Vx (t , x2 ) + β 2V (t , x2 ) = 0 V (0, x) = ϕ ( x), Vt (0, x) = ψ ( x)
分析： 分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 于是，可设问题的解为： 动，于是，可设问题的解为：
u ( x, t ) = V ( x , t ) + W ( x, t )
nπ x W ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin L (a) L n =1
+∞
(b) 对自由项 对自由项f(x,t)也按固有函数系展开成傅 也按固有函数系展开成傅 立叶级数： 立叶级数：
f ( x, t ) = ∑
n =1
+∞
2 L 其中：f n (t ) = ∫0 f ( x, t ) sin L dxL (n = 1, 2,L) L
6
齐次化原理回顾
齐次化原理1 齐次化原理 如果
∂ 2ω = Lω , ( M ∈ R 3 , t > τ ) W (M , t;τ ) 满足方程： ∂ t 2 满足方程： ∂ω ω = 0, t =τ t = τ = f (τ , M ∂t
)
那么非齐次柯西问题
∂ 2u = Lu + f (t , M ), ( M ∈ R 3 , t > 0 ) ∂t 2 ∂u u = 0, t =0 = 0 t=0 ∂t
LV + LxV = 0, (t > 0, x1 < x < x2 ) t a V (t , x ) + β V (t , x ) = 0 1 x 1 1 1 LL (1) 与 a2Vx (t , x2 ) + β 2V (t , x2 ) = 0 V (0, x) = ϕ ( x), Vt (0, x) = ψ ( x)
分析： 分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 于是，可设问题的解为： 动，于是，可设问题的解为：
u ( x, t ) = V ( x , t ) + W ( x, t )
《非齐次线性方程组》课件
《非齐次线性方程组 》ppt课件
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。
非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解线性方程组是数学中一个非常重要的概念，可以用来描述多个未知数之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到非齐次线性方程组，即右端项不为0的线性方程组。
非齐次线性方程组的解是指使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。
在本文中，将详细讨论非齐次线性方程组的解及其求解方法。
首先，我们先回顾一下齐次线性方程组的解。
对于齐次线性方程组Ax=0，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，0为零向量，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么x就是齐次线性方程组的解。
齐次线性方程组总有非零解，因为零向量满足Ax=0。
但齐次线性方程组的解不唯一，它有无穷多个解。
可以通过求解方程组的增广矩阵，经过高斯消元法得到阶梯形矩阵，再得到最简形矩阵，从而得到基础解系。
然而，非齐次线性方程组Ax=b是指右端项不为0的线性方程组，我们需要找到一组解使得Ax=b成立。
如果存在一个向量x使得Ax=b，那么x就是非齐次线性方程组的解。
但是，非齐次线性方程组的解不再有无穷多个，而是只有一个特解x0加上齐次线性方程组的解。
也就是说，非齐次线性方程组的解是特解加上齐次线性方程组的解。
具体来说，对于非齐次线性方程组Ax=b，我们可以通过增广矩阵的高斯消元法来求解。
我们将增广矩阵进行行变换，使得增广矩阵的左半部分变为一个最简形矩阵，然后根据最简形矩阵的形式来确定特解。
最后，我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来得到齐次线性方程组的解。
举个例子来说明非齐次线性方程组的解的求解过程：假设我们有一个非齐次线性方程组：2x+y+z=23x+2y+z=4首先，我们可以写出增广矩阵：[211，2][321，4]接下来，我们对增广矩阵进行高斯消元法。
通过行变换，将增广矩阵的左半部分变为最简形矩阵：[10-1，0][011，2]从最简形矩阵中可以看出，特解x0=0，y=2，z=-2、然后，我们需要求解齐次线性方程组Ax=0。
根据最简形矩阵的形式，我们可以得到齐次线性方程组的解：x=t,y=-t,z=t，其中t为任意实数。
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第三章 分离变量法
§3-3 非齐次方程的定解问题 1. 叠加原理 在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原 因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假 设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠 加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的 物理现象来说，都是成立的。
例如：若u1(x, t)是方程 的解，而u2(x, t)是方程
3. 齐次化原理 现在讨论非齐次方程的初边值问题
为了求解此问题，我们可以利用下述的齐次化原理，把非齐 次方程的求解问题转化为相应的齐次方程的问题来解决，这 样就可以直接利用前面关于齐次方程的结果。
由弦振动方程的推导过程来看，自由项 f(x,t)= F(x,t)/ρ表示时
刻t时在x处单位质量受到的外力，而∂u/∂t表示速度。如果我 们把一个时间段[0,t]划分成若干小的时段 ∆tj = tj+1-tj
单独考虑外力因素 对振动过程的影响。
下面，我们求解上述初边值问题。首先注意到微分 方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在 叠加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分别是上述初边值问题(I) 和(II)的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值问题 的解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带非 齐次初始条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件 的初值问题(II)
(j=1,2,…,m)，在每一个小的时段 ∆tj 中， f(x,t) 可以看作与时
间无关，从而以 f(x,tj) 来表示。于是在时段∆tj中自由项所产 生的速度改变量为f(x,tj) ∆tj。如果把这个速度改变量看作在时 刻t = tj 时的初始速度，它所产生的振动可以由下面的齐次方 程的初值问题描述：
的解，则对于任意的常数C1、C2，函数
是方程
的解。
典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分 解成各种单音的叠加。
2. 非齐次弦振动方程
由于方程中非齐次项的出现，故若直接以代入方程，不能实 现变量分离。 利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问 题：
单独初始振动状态 对振动过程的影响。
将其解记为Ŵ (x,t；tj,∆tj )，按照叠加原理，自由项f(x,t) 所产生的效果可以看成无数个这种瞬时作用的叠加，这样定 解问题(II)的解u(x,t)应表示为
由于 (2.16) 为线性方程，所以 Ŵ (x,t ； tj,∆tj) 与 ∆ tj 成正比， 即如果记W(x,t;τ)为如下齐次方程的定解问题的解
的直线。 令
(t ) A(t ) x B(t )
B(t ) g (t ) h(t ) g (t ) A(t ) l
得：
故有
h(t ) g (t ) ( x, t ) x g (t ) l
3. 把
u( x, t ) ( x, t ) ( x, t )
那么有Ŵ (x, t; tj, ∆tj)= ∆tjW(x,t; tj) 成立。于是定解问题(II)的解 可以表示为
于是我们可以得到如下的齐次化原理： 若 W(x,t;τ)
是初边值问题 (2.28)的解 (其中τ是参数 )，则初 边值问题(II)的解可以表示为
为了写出W(x,t;τ)的具体表达式，在初边值问题 (2.28)中 tt a 2 ν xx f(x,t)-( ωtt -a 2 ω xx ) ν x 0 ν x l 0 ν (x) ω(x, 0 ),νt t 0 ψ(x) -ω 0) t (x, t 0
这是一个非齐次方程问题，其求解方法前面已讲过。 对于其它类型的非齐次边界条件问题： （1） 则
( x, t ) u( x, t ) ( x, t )
x 0 x l
其满足齐次边界条件 2．辅助函数的选取
0 0
x 0 g (t ) 对于任意的t，在平面 x 上，满足 x l h(t ) 条件， 即过 (0, g (t )),(l , h(t两点的曲线有无穷多个，取最简单 ))
§3-4. 非齐次边界条件的情形 前面两节讨论的问题都是齐次边界条件，但大多实 际并非都是齐次的，因此需要讨论非齐次边界条件 问题。现讨论弦振动方程具有非齐次边界条件的初 边值问题，即
u tt a u xx f ( x, t ) 假设连续性条件和 u g ( t ), u h ( t ) x 0 x l 边界取值条件满足 u ( x ), u (x) t t 0 t 0
(2.29)与初边值问题(Ⅰ) 属于同一类，直接利用前面分离变 量法的结果我们得到：
于是根据齐次化原理，初边值问题(II)的解为
可以证明，在 f(x,t) 二阶连续可导，且在边界满足 f(0,t)= f(l,t)=0 的假设下，上面的级数确实是初边值 问题(II)的解。
t t
'
例题2.6.3, p42
2
1．边界条件的齐次化：为此引入新的未知函数 ( x, t ) 辅助函数 ( x, t ) ，令
和
u( x, t ) ( x, t ) ( x, t )
若能找到函数 ( x, t ) ，具备性质
x 0 x l
g (t ) h(t )
则新函数
x l
（3）对于
x 0
则选
x2 ( x, t ) [h(t ) g (t )] g (t ) x 2l
u x 0 g (t )
u x
x l
h(t )
( x, t ) h(t ) x g (t )
u x g(t), u x l h(t)
（2）
x 0
则
( x, t ) g (t ) x h(t ) g (t )l
u x u g (t ), x h(t )
§3-3 非齐次方程的定解问题 1. 叠加原理 在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原 因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假 设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠 加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的 物理现象来说，都是成立的。
例如：若u1(x, t)是方程 的解，而u2(x, t)是方程
3. 齐次化原理 现在讨论非齐次方程的初边值问题
为了求解此问题，我们可以利用下述的齐次化原理，把非齐 次方程的求解问题转化为相应的齐次方程的问题来解决，这 样就可以直接利用前面关于齐次方程的结果。
由弦振动方程的推导过程来看，自由项 f(x,t)= F(x,t)/ρ表示时
刻t时在x处单位质量受到的外力，而∂u/∂t表示速度。如果我 们把一个时间段[0,t]划分成若干小的时段 ∆tj = tj+1-tj
单独考虑外力因素 对振动过程的影响。
下面，我们求解上述初边值问题。首先注意到微分 方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在 叠加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分别是上述初边值问题(I) 和(II)的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值问题 的解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带非 齐次初始条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件 的初值问题(II)
(j=1,2,…,m)，在每一个小的时段 ∆tj 中， f(x,t) 可以看作与时
间无关，从而以 f(x,tj) 来表示。于是在时段∆tj中自由项所产 生的速度改变量为f(x,tj) ∆tj。如果把这个速度改变量看作在时 刻t = tj 时的初始速度，它所产生的振动可以由下面的齐次方 程的初值问题描述：
的解，则对于任意的常数C1、C2，函数
是方程
的解。
典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分 解成各种单音的叠加。
2. 非齐次弦振动方程
由于方程中非齐次项的出现，故若直接以代入方程，不能实 现变量分离。 利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问 题：
单独初始振动状态 对振动过程的影响。
将其解记为Ŵ (x,t；tj,∆tj )，按照叠加原理，自由项f(x,t) 所产生的效果可以看成无数个这种瞬时作用的叠加，这样定 解问题(II)的解u(x,t)应表示为
由于 (2.16) 为线性方程，所以 Ŵ (x,t ； tj,∆tj) 与 ∆ tj 成正比， 即如果记W(x,t;τ)为如下齐次方程的定解问题的解
的直线。 令
(t ) A(t ) x B(t )
B(t ) g (t ) h(t ) g (t ) A(t ) l
得：
故有
h(t ) g (t ) ( x, t ) x g (t ) l
3. 把
u( x, t ) ( x, t ) ( x, t )
那么有Ŵ (x, t; tj, ∆tj)= ∆tjW(x,t; tj) 成立。于是定解问题(II)的解 可以表示为
于是我们可以得到如下的齐次化原理： 若 W(x,t;τ)
是初边值问题 (2.28)的解 (其中τ是参数 )，则初 边值问题(II)的解可以表示为
为了写出W(x,t;τ)的具体表达式，在初边值问题 (2.28)中 tt a 2 ν xx f(x,t)-( ωtt -a 2 ω xx ) ν x 0 ν x l 0 ν (x) ω(x, 0 ),νt t 0 ψ(x) -ω 0) t (x, t 0
这是一个非齐次方程问题，其求解方法前面已讲过。 对于其它类型的非齐次边界条件问题： （1） 则
( x, t ) u( x, t ) ( x, t )
x 0 x l
其满足齐次边界条件 2．辅助函数的选取
0 0
x 0 g (t ) 对于任意的t，在平面 x 上，满足 x l h(t ) 条件， 即过 (0, g (t )),(l , h(t两点的曲线有无穷多个，取最简单 ))
§3-4. 非齐次边界条件的情形 前面两节讨论的问题都是齐次边界条件，但大多实 际并非都是齐次的，因此需要讨论非齐次边界条件 问题。现讨论弦振动方程具有非齐次边界条件的初 边值问题，即
u tt a u xx f ( x, t ) 假设连续性条件和 u g ( t ), u h ( t ) x 0 x l 边界取值条件满足 u ( x ), u (x) t t 0 t 0
(2.29)与初边值问题(Ⅰ) 属于同一类，直接利用前面分离变 量法的结果我们得到：
于是根据齐次化原理，初边值问题(II)的解为
可以证明，在 f(x,t) 二阶连续可导，且在边界满足 f(0,t)= f(l,t)=0 的假设下，上面的级数确实是初边值 问题(II)的解。
t t
'
例题2.6.3, p42
2
1．边界条件的齐次化：为此引入新的未知函数 ( x, t ) 辅助函数 ( x, t ) ，令
和
u( x, t ) ( x, t ) ( x, t )
若能找到函数 ( x, t ) ，具备性质
x 0 x l
g (t ) h(t )
则新函数
x l
（3）对于
x 0
则选
x2 ( x, t ) [h(t ) g (t )] g (t ) x 2l
u x 0 g (t )
u x
x l
h(t )
( x, t ) h(t ) x g (t )
u x g(t), u x l h(t)
（2）
x 0
则
( x, t ) g (t ) x h(t ) g (t )l
u x u g (t ), x h(t )