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第七节 抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p21．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1， ∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .故选D.]4．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]5．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于________．8 [|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，A (3,2)，则|PA |＋|PF |的最小值为________，取最小值时点P 的坐标为________．(1)C (2)72 (2,2) [(1)如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C. (2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.因为6＞2，所以点A 在抛物线内部，如图所示．过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PQ |， 当PA ⊥l ，即A ，P ，Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以所求点P 的坐标为(2,2)．] [规律方法] 应用抛物线定义的两个关键点1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2注意灵活运用抛物线上一点P x 0，y 0到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.(1)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(1)y 2＝4x (2)6 [(1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . (2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x(2)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝_______.(1)B (2)4 [(1)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B. (2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－1cos∠AFO＝4.][规律方法] 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.△POF的面积为( )A. 2B. 3C．2 D．3(2)设抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x(1)B (2)C [(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为直线x＝－1.设点P(x，y)，由抛物线的定义，得|PF|＝x＋1＝4，所以x＝3.把x＝3代入y2＝4x，得y＝±23，故△POF的面积S＝12×|OF|×|y|＝12×1×23＝ 3.故选B.(2)如图所示，抛物线y2＝2px的焦点F坐标为⎝⎛⎭⎪⎫p2，0，准线方程为l：x＝－p2.由|MF|＝5，可得点M到准线的距离为5，则点M的横坐标为5－p2，可设M⎝⎛⎭⎪⎫5－p2，m，则MF中点B的坐标为B⎝⎛⎭⎪⎫52，m2，∵以MF为直径的圆过点A(0,2)，∴|AB|＝12|MF|＝52，则有⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫m2－22＝⎝⎛⎭⎪⎫522，解得m＝4，由点M在抛物线上可得m2＝42＝2p⎝⎛⎭⎪⎫5－p2，解得p＝2或p＝8，∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.]直线与抛物线的位置关系【例3】(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－12x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .[规律方法] 解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式.3涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法. 提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．(2)(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C . ①求证：直线BC 的斜率为定值；②若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围．(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．] (2)[解] ①证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4，又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 214x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.②设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )．又点M 在抛物线内部，∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0，∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·x 3＋x 42－4x 3x 4＝5×64＋16b . 又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8D [过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，得x2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5， ∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1ky ＋1，即y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.]4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
第七节抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716 B.1516C.78 D.0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－1 16，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]3．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B.y＝－2 C．x＝－1 D.x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2017·西安质检)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__________.22[抛物线的准线方程为x＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以－p2＝－2，p＝2 2.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.]A(x0，y0)是C上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1 B.2 C ．4D.8(2)(2017·广东汕头调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3 B.4 C ．5D.2＋1(1)A (2)A [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12， 因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14.设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] (2017·郑州调研)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D.2C [∵FP →＝4 FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3.根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.]程是( )【导学号：01772323】A ．x 2＝112yB.x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD.x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B.4 C ．6D.8(1)D (2)B [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.][规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝6x B.y 2＝8x C ．y 2＝16xD.y 2＝15x2(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．(1)B (2)x ＝－2 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |， 所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ， 所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)． 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)， 又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.依题意，得p2＝2， 于是抛物线的准线x ＝－2.]☞角度(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解](1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，2分故直线ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.5分 (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).8分 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.12分[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N ，H 的坐标．(2)第(2)问将直线MH 的方程与抛物线C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．☞角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.【导学号：01772324】(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．[解](1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分 ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .5分(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .6分由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.8分由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0).10分 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.12分[规律方法] 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．。
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质[微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m 的距离为4，则m的值为()A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.答案 B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案 B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案 (1)B (2)A规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2. 【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x 解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)， 圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165， 把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形).答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ， 又切点A 在抛物线y ＝x 22p上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2. (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3， 故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203[一般解法] 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 C基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )A.2B.1C.14D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( )A.32B.2C.52D.3解析 ∵点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴|MF |＋|NF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝4，∴x 1＋x 2＝3，∴线段MN 中点的横坐标为32.答案 A3.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|F A |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，又0＜∠EAF ＜π，∴∠EAF ＝π3，即直线F A 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线F A 的倾斜角为2π3.答案 C4.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8xD.y 2＝4x解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 答案 C5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B 二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y . 设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________. 解析 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33，因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33， 可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33，根据抛物线的定义可知|PF |＝|P A |＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.答案 68.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________. 解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以ba ＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 答案 x 2＝16y 三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 即5p4＋p ＝9，所以p ＝4. 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0， 可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2. 所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)， 整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4. 于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1). 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)， 解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ， ∵|AF |＋|BF |＝233|AB |， ∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2， 在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3. 答案 D12.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎨⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)， 则S △PEF S OAB ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C13.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－114.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1， S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.新高考创新预测15.(思维创新)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8 解析 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B. 答案 B。
