(新课标)2018年高考数学 专题17 12月第二次周考(第八章 解析几何测试二)测试卷 文

12月第三周 解析几何测试三测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力以及转化与化归能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重圆锥曲线定义的应用、椭圆双曲线及抛物线简单几何性质的运用、整体思想及常用解题方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第5，10，16，17，19，21，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线2310x y +-=与直线4110x my ++=平行，则m 的值为（ ） A ．83 B ．83- C ．6- D ．6 【答案】D 【解析】由题设可得411321m =≠-，则6m =，应选答案D ． 2．抛物线264y x =的准线方程为（ ）A ．8x =B ．8x =-C ．16x =-D ．16x = 【答案】C【解析】根据抛物线22y px =的准线方程为2p x =-可知264y x =的准线方程为16x =-．故选择C ．3．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设椭圆的方程为 ，直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得，，故选B．4．离心率为，且过点的椭圆的标准方程是( )A ．B ．或C ．D ．或【答案】D5．已知椭圆22:143x yC+=，直线:1l y x=-，点()1,0P，直线l交椭圆C于A B、两点，则22PA PB+的值为( )A．32149B．32449C．32749D．33049【答案】B【解析】设点,A B的坐标分别为()()1122,,,x y x y，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点()1,0F，此时直线1y x=-经过点F，可得11122PA a ex x=+=+，22122PB a ex x=+=+，所以()()222221112121211122822224PA PB x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++++-⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭联立方程组221{143y xx y=-+=，得27880x x--=，所以121288,77x x x x+==-，代入上式可得()()2221212121324822449PA PB x x x x x x⎡⎤+=++++-=⎣⎦，故选B．点睛：本题考查至直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆标准方程及其简单的几何性质，椭圆的定义等知识点的综合考查，解答中合理转化为直线与圆锥曲线联立，根据根与系数的关系，利用韦达定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 6．直线，且不同为经过定点（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A7．已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B【解析】把圆的方程22230x y y +--+=化为(()2211x y +-=，以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有交点，所以121a a -≤≤+，解得13a ≤≤ ，选B ． 8．下列说法正确的是（ ）A ．若命题p ： 0x R ∃∈， 20010x x -+<，则p ⌝： x R ∀∉， 210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位 C ．命题“若圆C ： ()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()2~2,X N σ，若()0.32P X a <=，则(4)0.68P X a >-=【答案】C【解析】命题2000",10"x R x x ∃∈-+<的否定是2000",10"x R x x ∀∈-+≥，A 错误；相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均减少4个单位，B 错误； 若圆()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则1{11m m ≤-≤，解得01m ≤≤，C 正确；随机变量()22,X N σ~，若()0.32P X a <=，则(4)0.32P X a >-=，D 错误．故选C ．9．已知椭圆（）的右顶点和上顶点分别为、，左焦点为．以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于、两点．若四边形是平行四边形，则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A解得： ．故选A ．10．已知抛物线2:4C y x =，过焦点F C 相交于,P Q 两点，且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点，则MFN S ∆=（ ）A ．83 B C ．163 D 【答案】B【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是)1y x =- 与抛物线方程联立， 214y y ⎫=-⎪⎭，整理为： 240y --= ，12124y y y y +==-，所以12y y -===B ． 11．已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为（ ）A ．2 C 【答案】C 【解析】故选C ．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．12(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c +=在y 轴右侧交于点P ，若P 在抛物线2=2y px 上，则2e =（ ）A C 1 D 【答案】D 【解析】试题分析：设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，设双曲线的右焦点为F′，P （x ，y ），利用抛物线的定义、双曲线的渐近线以及直线平行的性质、圆的性质：直径所对的圆周角为直角即可得出所求值． 解：如图，设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，设双曲线的右焦点为F′，P （x ，y ）．由题意可知FF′为圆x 2+y 2=c 2的直径，∴PF′⊥PF ，且tan ∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x 2+2cx ﹣c 2=0，则x=﹣c±c ，即x=（﹣1）c ，（负值舍去），代入③，即y=，再将y 代入①得，=2（﹣1）c 2，即为b 2=c 2﹣a 2=（﹣1）a 2，由e=，可得e 2=．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知点，直线，则点到直线的距离为__________，点关于直线对称点的坐标为__________．【答案】利用对称的性质得：，解得：x =5，y =−2，∴点P 到直线l 的距离为，点M 的坐标为(5，−2)．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>__________．【答案】y =【解析】22213,b be a a=+=∴= y =15．已知点(),p x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为__________． 【答案】2 【解析】考点：1、直线的方程及圆的方程；2、切线的性质及根据几何性质求最值．【方法点晴】本题主要考查直线的方程及圆的方程、切线的性质及根据几何性质求最值，属于难题．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用平面几何的有关结论求得四边形面积的最值后解出k 值的．16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，则曲线E 的面积为4π；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l 的斜率为±；④若DN DM λ= ，则λ的取值范围是513λ<≤．其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】试题分析：①根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，为圆的方程，半径为2，那么面积就是π4=S ，正确，②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k k x x +-=+，2214160k x x +=，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，∴351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ故填：①④． 考点：1．命题；2．圆锥曲线的综合问题．【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于中档题型，比较好判断前三个命题，而对于第四个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，∴在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，∵有两个交点，∴1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可得结果；（2）把直线:l y kx =+，代入椭圆方程消去y 得：()2234360k x+++=，根据韦达定理、弦长公式 及点到直线的距离公式、三角形面积公式可将ABM ∆的面积表示为关于k 的函数，利用基本不等式求最值即可．试题解析：（1）由题意知圆F 的圆心为()1,0F -，半径为4，所以4|2PF PF CF FF =='+='，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），且焦距为2c (0)c >，则：22224{1a c abc ===+，即2{1a c c ===，故椭圆E 的方程为22143x y +=；则12x x +=1223634x x k =+，因为点(M ，直线l 与y轴交于点(0,D ABM ∆的面积12121•2ABM S MD x x x x ∆=-=-==243k ==+6=≤==k =时取等号，k =满足0∆>， 所心ΔABM 面积的取值范围是⎛⎝⎦． 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题．解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形范围的．18．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点()1,0F-，且长轴长与短轴长的比是 (1)求椭圆C 的方程；(2)设点1,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，点是椭圆上任意一点，求MP 的最小值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3． 【解析】试题分析：（1）用待定系数法求解即可；（2）设(),P x y 为椭圆上的动点，可得21413433MP x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ，再根据22x -≤≤求解可得结果．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得2221{ c a b a b c ===+，解得224{ 3a b ==，∴椭圆C 的方程为22143x y +=．又22x -≤≤，所以当43x =时， 2||MP 有最小值为83，所以MP．19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -．（I ）求椭圆的方程； （II ）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F ，为直径的圆交于C ，D两点，且满足AB CD=l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=（2）12y x =-+或12y x =-．【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得b=利用离心率求出2a=（2）由垂径定理求出CD，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB，代入条件ABCD=m试题解析：解：（1）由题设b=12ca=，222b a c=-解得2,1a b c==，∴椭圆的方程为221 43x y+=．由22143{12x yy x m+==-+得：2230x mx m-+-=，12x x m+=，2123x x m=-∴AB==．由ABCD=1=，解得m=∴直线l的方程为12y x=-或12y x=-．20．（本小题满分12分）已知12,F F分别是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的两个焦点，(1,2P是椭1122|,||PF F F PF成等差数列．（I）求椭圆C的标准方程；、（II）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A B、两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（I1122|,||PF F FPF成等差数列，∴12212||||||)F F PF PF=+．将1212||||2,||2PF PF a F F c+==，代入化简，得a=，∴，由222221112a ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得1,1a b ===，∴椭圆的标准方程为2212x y +=． （II ）假设在x 轴上存在点0Q m （，），使得716QA QB ⋅=-恒成立． ①当直线l的斜率不存在时，A，(1,B ，由于（7(1,(1,2216m m ---=- ，解得54m =或34m =；下面证明54m =时，716QA QB ⋅=- 恒成立．当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， ∴0∆>，∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++＝ 22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=- 恒成立．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>O 为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线260x +=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点,A B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问:在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB λ=⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22162x y +=；（Ⅱ）7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由()222{162y k x x y =-+=得()222213121260k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ⋅ 为定值，定点为7,03⎛⎫⎪⎝⎭．试题解析：（Ⅰ）由e =c a =，即c =，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=， 且圆M与直线260x +=相切， 所以a ==2c =，则2222b a c =-=．所以椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由()222{x 162y k x y =-+=得()222213121260k x k x k +-+-=，且0∆> 设()()1122,,,A x y B x y ，则212221221213{12613k x x k k x x k +=+-⋅=+，根据题意，假设x 轴上存在定点(),0E m ，使得EA EB λ=⋅为定值，则有()()()()11221212,,EA EB x m y x m y x m x m y y λ=⋅=-⋅-=-⋅-+()()()()()()()()222221212121222124x m x m k x x k x x k m x x k m =-⋅-+-⋅-=+-++++()()()()()22222222222231210612612124131313m m k m k k k k m k m k k k -++--=+-+++=+++ 要使上式为定值，即与k 无关，则应()223121036m m m -+=-，即73m =，此时2569EA EB m λ=⋅=-=- 为定值，定点为7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键．22．（本小题满分12分）已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（2）设出直线的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为．再把直线方程和椭圆方程联立 试题解析：（I ）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为由求根公式得（*）∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得同理求得故．综上，得．点睛：本题第（2）容易忘记讨论斜率不存在的情形．。

2017--2018年高考数学解析几何汇编及答案解析类型一选择填空1、（2018年高考全国卷1文科4）（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，∵c=2，∴e===．故选：C．2、（2018年高考全国卷1理科8）（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2﹣6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•=（0，2）•（3，4）=8．故选：D．3、（2018年高考全国卷1理科11）（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C 的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|==3．故选：B．4、（2018年高考全国卷2文科6）（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．5、（2018年高考全国卷2文科11）（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．6、（2018年高考全国卷2理科5）（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．7、（2018年高考全国卷2理科12）（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．8、（2018年高考江苏卷理科12）（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．9、（2018年高考上海卷2）（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±10、（2018年高考上海卷8）（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．11、（2018年高考上海卷12）（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为1．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然d1+d2≤AB=1，即+的最大值为1，故答案为：1．12、（2018年高考上海卷13）（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．13、（2018年高考浙江卷9）（4分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．14、（2018年高考浙江卷12）（6分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是﹣2，最大值是8．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：其中B（4，﹣2），A（2，2）．设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．=F（4，﹣2）=﹣2．∴z最小值可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：z最大值=F（2，2）=8．故答案为：﹣2；8．15、（2018年高考浙江卷17）（4分）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．16、（2018年高考天津卷文科12）（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．17、（2018年高考天津卷文科7）（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．18、（2018年高考北京卷理科14）（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．19、（2018年高考天津卷理科7）（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：C．20、（2018年高考天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．21、（2018年高考北京卷文科10）（5分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，∴x=1，代入到y2=4ax，可得y2=4a，显然a＞0，∴y=±2，∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，∴4=4，解得a=1，∴y2=4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）22、（2018年高考北京卷文科12）（5分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=4．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，可得：，解得a=4．故答案为：4．23、（2018年高考全国卷3文科）8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3] D．[2，3]【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，），∴点P到直线x+y+2=0的距离：d==，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：[，]=[2，6]．故选：A．24、（2018年高考全国卷3文科）10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．2【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得=，即：，解得a=b，双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．故选：D．25、（2018年高考全国卷3理科）11．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，∵|PF1|=|OP|，∴|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即a=c，∴e==，故选：C．26、（2018年高考全国卷3理科）13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．27、（2018年高考全国卷3理科）16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C 的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=2．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵M（﹣1，1），∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB=90°=0，∴•=0∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+﹣4﹣+2=0，即k2﹣4k+4=0，∴k=2．故答案为：228、（2018年高考江苏卷理科）8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为c ，则其离心率的值是 2 ．【解答】解：双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线y=x 的距离为c ，可得：=b=，可得，即c=2a ，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．类型二 解答题1.（2017年高考数学北京卷（理））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.解：（Ⅰ）因为抛物线C 过点(1,1)P ，把(1,1)P 代入22y px =，得12p =∴2:C y x =∴焦点坐标1(,0)4，准线为14x =-。

2018届高考理科数学新课标卷 （2015-2017）三年汇编解析几何解答题【2015新课标1】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【2015新课标2】已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，44【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．【名师点睛】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3mm 列方程求k 的值． 【2016新课标1】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

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1．如图,在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r(）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A． B． C． D．3．双曲线的焦点坐标是A．（−，0)，（，0） B． (−2，0)，（2，0）C．（0,−)，(0，) D． (0，−2），（0，2)4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A． B． C． D．5．直线分别与轴,轴交于,两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．6．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．7．双曲线的离心率为,则其渐近线方程为A． B． C． D．8．已知,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．9．已知抛物线C:的焦点是F,准线是l，（Ⅰ）写出F的坐标和l的方程;（Ⅱ）已知点P(9,6），若过F的直线交抛物线C于不同两点A，B(均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M,N.求证:MF⊥NF.10．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1)用表示点到点距离；(2)设，,线段的中点在直线，求的面积；（3)设,是否存在以、为邻边的矩形,使得点在上？若存在，求点的坐标;若不存在,说明理由．11．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴;（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x〈0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．12．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1)求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于,两点，与直线交于点M,且点P ，M 均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．13．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A ,B 。

2018年全国二卷立体几何（文理）详解各位铁子门，欢迎大家再次来到孙老师的鹏哥谈数学！上两节课带着大家分析了2018年全国一卷、三卷的立体几何解答题，大家有怎么样的感受？此时，你的内心有没有一点点涟漪浮起？……12分的解答题，简直是弱爆了，竟然只考……面面垂直、空间角……其实吧，所谓命题专家也就这点能耐了！……不信，你再看2018年的全国二卷之立体几何…………竟然……线面垂直、空间角……（据说葛大爷葛军退役后，江湖再无哭泣，人间宁静安详……）来看看二卷的这道题，心细的伙伴们有没有发现，我们二卷的立体几何经常考棱锥（文理科一样样），不信，你看………16年五棱锥（菱形对折）、17年四棱锥、18年三棱锥…….……额……19年要考谁？能考谁？来来来，孙老师偷偷告诉你……（哈哈，我总是低调不了，总是这么傲娇，我想总有一天会死得很惨，哈哈哈）我们先看18年二卷理科的这道题（孙老师忍不住想告诉你，18年理科这道题的题号发生了调整，干翻了解析几何老二的宝座，跑到了第20题，这是疏忽还是有意，各位童鞋们怎么看，哈哈哈！）：（1）线面垂直……我不想多做解释了，实在记不起来，回头看我的前一篇帖子2018年全国一卷理科数学立体几何详解我还是忍不住想再说一遍，老师嘛，传道受业解惑也！……如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直……当然，我们需要先尝试找到边角关系，中点是突破口，等腰三角形是关键，勾股定理是核心，判定定理算锤子，于是乎……（2）空间角之线面角……还要再重复吗？no……你已成仙，再不晓得就自己挂掉吧！（童话里都是骗人的.......忽然想到了成龙大哥，金喜善.......年代久远，尔等可能不知道，历史人物......）建系……我们再看18年二卷文科的这道题：……立体几何，同样的三棱锥，长相神似理科，两个问题…………线面垂直、点面距……额，文科的特点来了，都说文科感性，理科理性，扯什么淡，有证据吗？我也会写诗，我也能抒情，原谅一个理工直男的表白吧！哈哈，我都说了些什么？嗯…….算了吧，不作践自己了！孙老师也是重情之人，脸皮薄，容易脸红，本来脸黑，一红就更黑了……（哈哈哈）点面距…..？什么东西？……垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离!那么，我们怎么解决点面距的问题？（三个方法，随便你爱那个，只要能放电就行！）（1）找点投影法求点面距（告诉你，这个基本帮不了什么你忙，所以，别多想……）（2）等体积法求点面距（学马克思的小伙伴们，注意啦！这个是需要你记住的，重要的事情孙老师历来只说一遍，这次孙老师说三遍三遍啊，什么概念？不想死就必须记下！）（3）空间向量法求点面距（哈哈哈，文科生不太能理解，专属理科生，万能的！重要性你懂得！）我们看这道题：（1）线面垂直……（2）点面距……等体积法（文科嘛！也只能这样了，局限性……）。

专题18 12月第单次周考（第八章 解析几何测试三）测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力以及转化与化归能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重圆锥曲线定义的应用、椭圆双曲线及抛物线简单几何性质的运用、整体思想及常用解题方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第5，10，16，17，19，21，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线2310x y +-=与直线4110x my ++=平行，则m 的值为（ ） A ．83 B ．83- C ．6- D ．6 【答案】D 【解析】由题设可得411321m =≠-，则6m =，应选答案D ． 2．抛物线264y x =的准线方程为（ ）A ．8x =B ．8x =-C ．16x =-D ．16x = 【答案】C【解析】根据抛物线22y px =的准线方程为2p x =-可知264y x =的准线方程为16x =-．故选择C ．3．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设椭圆的方程为 ，直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得，，故选B．4．离心率为，且过点的椭圆的标准方程是( )A ．B ．或C ．D ．或【答案】D5．已知椭圆22:143x yC+=，直线:1l y x=-，点()1,0P，直线l交椭圆C于A B、两点，则22PA PB+的值为( )A．32149B．32449C．32749D．33049【答案】B【解析】设点,A B的坐标分别为()()1122,,,x y x y，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点()1,0F，此时直线1y x=-经过点F，可得11122PA a ex x=+=+，22122PB a ex x=+=+，所以()()222221112121211122822224PA PB x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++++-⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭联立方程组221{143y xx y=-+=，得27880x x--=，所以121288,77x x x x+==-，代入上式可得()()2221212121324822449PA PB x x x x x x⎡⎤+=++++-=⎣⎦，故选B．【名师点睛】本题考查至直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆标准方程及其简单的几何性质，椭圆的定义等知识点的综合考查，解答中合理转化为直线与圆锥曲线联立，根据根与系数的关系，利用韦达定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 6．直线，且不同为经过定点（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A7．已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B【解析】把圆的方程22230x y y +--+=化为(()2211x y +-=，以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有交点，所以121a a -≤≤+，解得13a ≤≤ ，选B ． 8．下列说法正确的是（ ）A ．若命题p ： 0x R ∃∈， 20010x x -+<，则p ⌝： x R ∀∉， 210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位 C ．命题“若圆C ： ()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题 D ．已知随机变量()2~2,X N σ，若()0.32P X a <=，则(4)0.68P X a >-= 【答案】C【解析】命题2000",10"x R x x ∃∈-+<的否定是2000",10"x R x x ∀∈-+≥，A 错误；相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均减少4个单位，B 错误； 若圆()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则1{11m m ≤-≤，解得01m ≤≤，C 正确；随机变量()22,X N σ~，若()0.32P X a <=，则(4)0.32P X a >-=，D 错误．故选C ．9．已知椭圆（）的右顶点和上顶点分别为、，左焦点为．以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于、两点．若四边形是平行四边形，则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A解得： ．故选A ．10．已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线与C 相交于,P Q 两点，且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点，则MFN S ∆=（ ）A ．83 B C ．163D 【答案】B【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是)1y x =- 与抛物线方程联立， 214y y ⎫=-⎪⎭，整理为： 240y --= ，12124y y y y +==-，所以12y y -===，故选B ． 11．已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为（ ）A ．2 C 【答案】C【解析】试题分析：由x x 4)1(2=-，得2610x x -+=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则621=+x x ，将1y x =-代入2222:2x y E a b -=，化简，得022)(2222222=--+-a b a x a x a b ，则62222=-ba a ，解得315==a c e ，故选C ． 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．12(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c +=在y 轴右侧交于点P ，若P 在抛物线2=2y px 上，则2e =（ ）A B ．2C 1D 【答案】D 【解析】FF′为圆x 2+y 2=c 2的直径，∴PF′⊥PF ，且tan ∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x 2+2cx ﹣c 2=0，则x=﹣c±c ，即x=（﹣1）c ，（负值舍去），代入③，即y=，再将y 代入①得，=2（﹣1）c 2，即为b 2=c 2﹣a 2=（﹣1）a 2，由e=，可得e 2=．故选D ．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知点，直线，则点到直线的距离为__________，点关于直线对称点的坐标为__________．【答案】利用对称的性质得：，解得：x =5，y =−2，∴点P 到直线l 的距离为，点M 的坐标为(5，−2)．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>__________．【答案】y =【解析】22213,b be a a=+=∴=y =15．已知点(),p x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为__________． 【答案】2 【解析】试题分析：圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACB 的最小面积是2，PBC S ∆∴的最小值11(2rd d ==是切线长）=2d ∴最小值，圆心到直线的距离就是PC0,2k k ==>∴=，故答案为2．考点：1、直线的方程及圆的方程；2、切线的性质及根据几何性质求最值．【方法点晴】本题主要考查直线的方程及圆的方程、切线的性质及根据几何性质求最值，属于难题．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用平面几何的有关结论求得四边形面积的最值后解出k 值的．16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，则曲线E 的面积为4π；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l 的斜率为± ④若DN DM λ=，则λ的取值范围是513λ<≤． 其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k k x x +-=+，2214160k x x +=，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，∴351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ故填：①④． 考点：1．命题；2．圆锥曲线的综合问题．【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于中档题型，比较好判断前三个命题，而对于第四个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，∴在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，∵有两个交点，∴1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P ． （I ）求动点P 的轨迹E 的方程；（II ）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围．【答案】（I ）22143x y +=；（II）⎛ ⎝⎦．ABM ∆的面积表示为关于k 的函数，利用基本不等式求最值即可．试题解析：（I ）由题意知圆F 的圆心为()1,0F -，半径为4，所以4|2PF PF CF FF =='+='，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），且焦距为2c (0)c >，则：22224{1a c abc ===+，即2{1a c c ===， 故椭圆E 的方程为22143x y +=；则12x x +=1223634x x k=+，因为点(M ，直线l 与y轴交于点(0,D ABM ∆的面积12121•2ABM S MD x x x x ∆=-=-2==243k ==+6122=≤=，=，即k =±时取等号，k =满足0∆>， 所心ΔABM 面积的取值范围是0,2⎛ ⎝⎦．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题．解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（II ）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形范围的．18．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点()1,0F -，且长轴长与短轴长的比是2 (1)求椭圆C 的方程； (2)设点1,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点是椭圆上任意一点，求MP 的最小值．【答案】（I ）22143x y +=；（II ．【解析】试题分析：（I ）用待定系数法求解即可；（II ）设(),P x y 为椭圆上的动点，可得21413433MP x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，再根据22x -≤≤求解可得结果．试题解析：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b ab +=>>，由题意得2221{ c a b a b c ===+，解得224{ 3a b ==，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （II ）设(),P x y 为椭圆上的动点，则22x -≤≤． 因为1,3MP x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222211||31334x MP x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221228148439433x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭又22x -≤≤，所以当43x =时， 2||MP 有最小值为83，所以MP 的最小值为．19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点()，离心率为12，左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -．（I ）求椭圆的方程； （II ）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F ，为直径的圆交于C ，D 两点，且满足AB CD=l 的方程． 【答案】（I ）22143xy +=（II ）12y x =-+或12y x =-．【解析】试题分析：（I ）根据椭圆几何意义得b =利用离心率求出2a =（II ）由垂径定理求出CD ，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，代入条件4AB CD=，解出参数m试题解析：解：（I）由题设b =12c a =， 222b a c =-解得2,1a b c ===， ∴椭圆的方程为22143x y += ．由22143{ 12x y y x m+==-+得： 2230x mx m -+-=， 12x x m +=， 2123x x m =- ∴AB ==AB CD=1=，解得 3m =±，满足①∴直线l 的方程为123y x =-+或123y x =--．20．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，(1,2P是椭1122|,||PF F F PF 成等差数列．（I ）求椭圆C 的标准方程；、（II ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（I1122|,||PF FF PF 成等差数列，∴12212||||||)F F PF PF =+． 将1212||||2,||2PF PF a F F c +==，代入化简，得a =，∴，由222221112a ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得1,1a b ===，∴椭圆的标准方程为2212x y +=． （II ）假设在x 轴上存在点0Q m （，），使得716QA QB ⋅=-恒成立．①当直线l 的斜率不存在时，(1,2A ，(1,2B -，由于（7(1,(1,2216m m ---=-，解得54m =或34m =；下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， ∴0∆>，∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++＝ 22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=-恒成立．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点,A B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问:在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB λ=⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22162x y +=；（Ⅱ）7,03⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（I）由e =，以原点O 为圆心，椭圆C的长半轴为半径与直线260x +=相切，求出,a b 的值，由此可求出椭圆的方程；试题解析：（Ⅰ）由3e =，得3c a =，即3c a =，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=，且圆M与直线260x +=相切， 所以a ==2c =，则2222b a c =-=．所以椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由()222{x 162y k x y =-+=得()222213121260k x k x k +-+-=，且0∆> 设()()1122,,,A x y B x y ，则212221221213{12613k x x k k x x k +=+-⋅=+， 根据题意，假设x 轴上存在定点(),0E m ，使得EA EB λ=⋅为定值，则有()()()()11221212,,EA EB x m y x m y x m x m y y λ=⋅=-⋅-=-⋅-+()()()()()()()()222221212121222124x m x m k x x k x x k m x x k m =-⋅-+-⋅-=+-++++()()()()()22222222222231210612612124131313m m k m k k k k m k m k k k-++--=+-+++=+++ 要使上式为定值，即与k 无关，则应()223121036m m m -+=-， 即73m =，此时2569EA EB m λ=⋅=-=-为定值，定点为7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键．22．（本小题满分12分）已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（I）求动点的轨迹曲线的方程；（II）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（II）设出直线的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为．再把直线方程和椭圆方程联立试题解析：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为（II）（I）假设直线的斜率存在，设其方程为，设联立，可得将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．（II）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得同理求得故．综上，得．【名师点睛】本题第（II）容易忘记讨论斜率不存在的情形．。

2018解析几何高考题1【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 42．【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 43．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 84．【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. 2 C. D.5．【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.6．【2018年理数全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.7．【2018年理数全国卷II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.8．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．9．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．10．【2018年理新课标I卷】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.11．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．12．【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．1.【答案】C点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．2.【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.3【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.4【答案】C点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。

第八章 第六讲A 组基础巩固一、选择题1．(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 30072525( B )A ．11B ．9C ．5D ．3解法一：依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9，故选B ．解法二：根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)，故选B ．2．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)双曲线x 2－y 23＝1的两条渐近线夹角是导学号 30072526( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．130°根据题意可知，双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，其倾斜角为π3，故两渐近线的夹角是π3，故选B ． 3．(2015·安徽) 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是导学号 30072527( A )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 22－y 2＝1对于A ，令x 2－y 24＝0，得y ＝±2x ；对于B ，令x 24－y 2＝0，得y ＝±12x ；对于C ，令x2－y 22＝0，得y ＝±2x ；对于D ，令x 22－y 2＝0，得y ＝±22x .故选A ． 求双曲线x 2a －y 2b ＝1或y 2a －x 2b ＝1的渐近线方程时，可令x 2a －y 2b ＝0或y 2a －x 2b＝0.4．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为导学号 30072528( A )A ．x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝1 由题意得，c ＝r ＝4，∴a 2＋b 2＝16，而双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，故不防A (a ，b )，∴(a －4)2＋b 2＝16，联立方程组，从而可知a ＝2，b ＝23，∴双曲线的标准方程是x 24－y 212＝1，故选A ．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：1.掌握方程；2.掌握其倾斜角、斜率的求法；3.会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．5．(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)设F 1，F 2分别为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝90°，若椭圆的离心率e ＝34，则双曲线C 2的离心率e 1为导学号 30072529( B )A ．92B ．322C ．32D ．54利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可． 解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|MF 1|－|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|＝a ＋a 1，|MF 2|＝a －a 1. 因为∠F 1MF 2＝90°，所以|MF 1|2＋|MF 2|2＝4c 2，即a 2＋a 21＝2c 2，即(1e )2＋(1e 1)2＝2，因为e ＝34，所以e 1＝322.故选B ．6．(2015·重庆高考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为导学号 30072530( C )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2题意，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B (c ，b 2a )，C (c ，－b 2a )，∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a＝－1，∴a ＝b ，∴双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C ．7．(2016·衡水模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝导学号 30072531( B )A ．14 B ．34 C ．35D ．45设|PF 1|＝2|PF 2|＝2m ，则根据双曲线的定义，可得m ＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵双曲线C ：x 2－y 2＝1，∴|F 1F 2|＝22a ， ∴cos ∠F 1PF 2＝16a 2＋4a 2－8a 22·4a ·2a ＝34，故选B ．8．(2016·广西柳州一模)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是导学号 30072532( B )A ．(1，＋∞)B ．(2＋1，＋∞)C ．(12，＋1)D ．(1，3)由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，只要∠AF 2B 为钝角即可，所以有b 2a>2c ，即2ac <c2－a 2，解出e ∈(1＋2，＋∞)，故选B ．二、填空题9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝_1__；b ＝_2__.导学号 30072533由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.10．(2015·新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为 x 24－y 2＝1 .导学号 30072534方法一：因为双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－32b 2＝1，b a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ＞0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.11．(2016·北京)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝_2__.导学号 30072535双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得b a＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.三、解答题12．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一支P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程.导学号 30072536设双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cosπ3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，∴4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴4c 2＝4a 2＋8，∴c 2＝a 2＋2，∴b 2＝c 2－a 2＝2，又e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，∴4a 2＝a 2＋2，∴a 2＝23，∴双曲线的标准方程为3x 22－y 22＝1.13．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).导学号 30072537 (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． (1)x 2－y 2＝6 (2)略 (3)6(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝ 6. ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.方法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的边F 1F 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.B 组能力提升1．(2017·重庆市西北狼教育联盟高三上学期12月月考数学试题)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为23c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率e 为导学号 30072538( C )A ．73B ．372C ．377D ．37根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点坐标为(±c,0)．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b ，c 关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．解：双曲线双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点坐标为(±c,0)，其中c ＝a 2＋b 2∴一个焦点到一条渐近线的距离为d ＝|±bc |a 2＋b2＝23，即7b 2＝2a 2， 由此可得双曲线的离心率为e ＝c a ＝377.故选C ．2．(2016·开封模拟)从双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的关系为导学号 30072539( C )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |<b －aC ．|MO |－|MT |＝b －aD ．|MO |－|MT |≥b －a设F 1是双曲线的右焦点，连接PF 1， 由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2a ，① ∵OM 是△FF 1P 的中位线， ∴|PF 1|＝2|OM |.②又∵M 是FP 的中点，∴|PF |＝2|MF |，③②③代入①得2|MF |－2|OM |＝2a ， |MF |－|OM |＝a .④ ∵|MF |＝|MT |＋|TF |， |FT |2＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2， ∴|FT |＝b . ∴|MF |＝|MT |＋b .⑤把⑤代入④得|MT |＋b －|OM |＝a ， ∴|OM |－|MT |＝b －a ，故选C ．3．(2016·潍坊模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为导学号 30072540( D )A ．2＋12 B ．2＋1C ．3＋12D ．3＋1∵(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0， ∴(OP →＋OF 2→)·(OP →－OF 2→)＝0， ∴OP →2－OF 2→2＝0，OP ＝OF 2＝c ＝OF 1， ∴PF 1⊥PF 2，Rt △PF 1F 2中，∵|PF 1|＝3|PF 2|， ∴∠PF 1F 2＝30°.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a3－1， sin30°＝12＝PF 2F 1F 2＝2a3－12c ＝ac 3－，∴2a ＝c (3－1)， ∴ca＝3＋1，故选D ．4．(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是_2__.导学号 30072541如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.5．(2016·江西横峰中学第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆O ：x2＋y 2＝3相切，过C 的左焦点且斜率为3的直线也与圆O 相切.导学号 30072542(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A 、B 两点，△AOB 的面积为32，求直线l 的方程．(1)x 23－y 2＝1 (2)y ＝－x ＋ 6(1)∵双曲线C 与圆O 相切，∴a ＝3，由过C 的左焦点且斜率为3的直线也与圆O 相切，得c ＝2，进而b ＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0，m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 圆心O 到直线l 的距离d ＝m k 2＋1，由d ＝3，得m 2＝3k 2＋3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，得(3k 2－1)x 2＋6kmx ＋3m 2＋3＝0，(*)则x 1＋x 2＝－6km 3k 2－1，x 1x 2＝3m 2＋33k 2－1.|AB |＝k 2＋1·|x 2－x 1|＝k 2＋1·x 2＋x 12－4x 1x 2＝k 2＋1·23m 2－9k 2＋3|3k 2－1|＝43k 2＋1|3k 2－1|. 又△AOB 的面积S ＝12|OP |·|AB |＝32|AB |＝32，∴|AB|＝2 6.由43k2＋1|3k2－1|＝26，得k＝－1，m＝6，此时(*)式Δ＞0，x1＋x2＞0，x1·x2＞0，∴直线l的方程为y＝－x＋ 6.。