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§2两角和与差的三角函数(第3课时) 课件(北师大版必修四)

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高中数学必修四北师大版 两角和与差的正弦、余弦函数ppt课件(23张)

高中数学必修四北师大版 两角和与差的正弦、余弦函数ppt课件(23张)

要点一 利用和(差)角公式化简 例1 化简下列各式：
2π 3cos 3 －x；
π π (1)sinx＋3＋2sinx－3－
sin2α＋β (2) －2cos(α＋β)． sin α
π π π π 解 (1)原式＝sin xcos 3＋cos xsin 3＋2sin xcos 3－2cos xsin 3 2π 2π － 3cos 3 cos x－ 3sin 3 sin x 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[学习目标] 1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？
答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时
候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝ cos 60°＋cos(－60°)．
2． 你能结合三角函数诱导公式， 由公式 C(α＋β)或 C(α－β)推导出公 式 S(α－β)吗？ 答
5 3 12 4 ＝ × －－13×－5 13 5 33 ＝－65.
规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角
之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间
的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的 和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知 角．
3π π 3 5 又∵sin 4 ＋α＝13，cos4－β＝5， 3π π 12 4 ∴cos 4 ＋α＝－ ，sin4－β＝－ ， 13 5 π ∴cos(α＋β)＝sin2＋α＋β 3π π ＝sin 4 ＋α－4－β 3π π 3π π ＝sin 4 ＋αcos4－β－cos 4 ＋αsin4－β

高中数学必修四北师大版 两角和与差的三角函数 课件(54张)

高中数学必修四北师大版 两角和与差的三角函数 课件(54张)
cos 17 2
2.cos 165°=cos(45°+120°)=
cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120°
2 1 2 3 6 2 ( ) . 2 2 2 2 4 答案： 6 2 4
=
3.(1)sin(α+30°)cos α+cos (α+30°)sin(-α) =sin(α+30°)cos(-α)+cos (α+30°)sin (-α) =sin(α+30°-α)=sin 30°= 1 .
答案：0
【要点探究】 知识点 两角和与差的正弦、余弦公式
1.公式的记忆
(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，
和差相反”.
(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，
和差相同”.
2.公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，如 cos( ) 中的“
的特例.如sin (2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0〓
cos α-1〓sin α=-sin α.当α或β中有一个角是 的整数
2
倍时，通常使用诱导公式较为方便 . (2)逆用公式的关键是什么？ 提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构 特征.
【即时练】
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数 名称 差的正弦 差的余弦 和的正弦 和的余弦 公式 sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β __________________________ 简记 S α-β C α-β S α+β C α+β

2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第四章-§2两角和与差的三角函数公式

2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第四章-§2两角和与差的三角函数公式
cos （ + ） + cos （ − ）＝2cos cos ；cos （ + ） − cos （ − ）＝ − 2sin sin .
+
−
，＝
.这样，上面得出的四个式子可以写成
2
2
设 + ＝， − ＝，则＝
sin + sin ＝2sin
+
−
∴tan ( +

3
tan +tan 4
+1

4
)＝
＝
3＝7.
4
1−tan ·tan
1−
4

4




4

3
（2）∵ ∈(0， 6 )，∴ + 6 ∈( 6 ， 3 ).又∵sin ( + 6 )＝5，∴cos ( + 6 )＝5.

6

6

6
又∵ ∈(0， )，∴ − ∈(− ，0).
cos
；sin
2
2
cos + cos ＝2cos
− sin ＝2cos
+
−
cos
；cos
2
2
+
−
sin
；
2
2
− cos ＝−2sin
+
−
sin
.
2
2
这四个公式叫作和差化积公式，利用它们和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积
的形式.
高中数学
sin （ + ） + sin （ − ）＝2sin cos ，sin （ + ） − sin （ − ）＝2cos sin ，

高中数学第3章三角恒等变换2.3两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

高中数学第3章三角恒等变换2.3两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

30° .
同理，1＋tan
40°tan
50°＝tan
50°－tan tan 10°
40°，
1＋tan
50°tan
60°＝ta第十四页，共36页。
所以原式＝
tan
40°－tan tan 10°
30°＋tan
50°－tan tan 10°
40°＋tan
60°－tan tan 10°
【导学号：66470070】
【精彩点拨】 先由α＝(α－β)＋β，求出tan α，再由2α－β＝(α－β)＋α求出 tan(2α－β)，然后根据α，β的范围，求出2α－β的值．
第十六页，共36页。
【自主解答】 ∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17. ∴tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ ＝1＋12－17×17 12＝13.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
α，β，α＋β≠kπ＋π2(k ∈Z)且tan α·tan β≠1 α，β，α－β≠kπ＋π2(k ∈Z)且tan α·tan β≠－1
第四页，共36页。
1.变形公式
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
第二十三页，共36页。
在△ABC中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A＋ 3tan B ＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
【精彩点拨】 可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求 tan A和tan C的值，从而可得A，B，C可判断三角形形状．

高中数学第3章三角恒等变形23两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

高中数学第3章三角恒等变形23两角和与差的正切函数课件北师大版必修4

＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－ 3.
4.tant2a0n°2＋0°ttaann4400°°＋ tant1an2102°0°＝(
)
A．1
B．－1
C． 3
D．－ 3
解析：选 A ∵tan20°＋tan40°＋tan120°＝tan(20°＋40°)(1－ tan20°tan40°)＋tan120°＝tan60°－tan20°tan40°tan60°－tan60°
考试加油。
复习课件
高中数学第3章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变形23两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4
第三章 三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数 2.3 两角和与差的正切函数
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 公式的直接应用
＝－tan20°tan40°tan60°， ∴原式＝－ －ttaann2200°°ttaann4400°°ttaann6600°°＝1.
知识点三 利用公式求角
5．若 α，β∈0，π2，tanα＝43，tanβ＝17，则 α－β 等于(
)
A．π3
B．π4
C．π6
D．π8
解析：选 B
∵tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋43－43×17 17＝2255＝1，
)
A．2＋ 3 C．1
B．2－ 3 D． 3
பைடு நூலகம்解析：选 B
∵tanπ4＋α＝1t－anπ4ta＋nπ4ttaannαα
＝11＋－ttaannαα＝2＋1 3＝2－ 3.
知识点二 公式的变形应用

3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数 课件(北师大版必修4)

3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数 课件(北师大版必修4)

1．sin75° 的值为( 2－1 A. 2 6－ 2 C. 4 答案： D
) 2＋1 B. 2 6＋ 2 D. 4
2．sin7° cos37° －cos7° sin37° 的值为( 1 1 A. B．－ 2 2 3 3 C. D．－ 2 2 答案： B
)
π π 1 π 3． 已知 <α< ， cosα＝ ， cos(α＋ )＝________. 则 4 2 3 3 1－2 6 答案： 6 4．化简sin(α－β)·cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝ ________. 答案： sinα
给值式求值 3 12 (1)已知 sin α＝－ ，sin β＝ ，且 5 13 180° <α<270° ，90° <β<180° ，求 sin(α－β)，cos(α＋ β)的值． 4 4 3π (2)已知 cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝－ ， <α＋ 5 5 2 π β<2π， <α－β<π，求 cos 2α 的值． 2
4 3π (2)∵cos(α＋β)＝ ， <α＋β<2π， 5 2 42 3 ∴sin(α＋β)＝－ 1－ ＝－ . 5 5 4 π ∵cos(α－β)＝－ ， <α－β<π， 5 2 42 3 ∴sin(α－β)＝ 1－－ ＝ . 5 5 ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) 4 4 3 3 7 ＝ ×(－ )－(－ )× ＝－ . 5 5 5 5 25
[题后感悟] 解此类问题的关键是把“所求角” 用“已知角”表示出来． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示 为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求 角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱 导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆 分方式．

北师大版高中数学必修四课件3.2两角和与差的三角函数(第三课时)


证明：
左边= (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) sin2 cos2
sin2 cos2 cos2 sin2
cos2 sin2

sin2 cos2
1 sin2 cos2
tan2

2 2(sin

2
cos
cos

sin
)

6
6
2sin( ) =右边 ∴等式成立.
练习2.填空：
6
(((132)))12ssiicnnosxxccoos2s3xxsin___2_2_s_si_in_s_ni_((_n_xx_(__-6___4___)__)___)___ _－__2___cc_2o_o_s_s_c_((o___3s__(___x__x__)_)__4__;;);

8 5 11
3
.
3
3
3.小结 （1）三角恒等式证明;
（2）形如的a三si角n函数 化b c简o;s a sin b cos a2 b2 sin( )
由确sc定ion,s称为辅助a角2ba. b2


a2 b2
sin B cos B B sin2 B

3,
1 3 sin A cos A 1 即 sin(
tan C A )
6
.
1 2

5
0 A A
A A .
6
66
1 62si6n B cos B3
(cos B sin B)2
1 tan2 =右边 ∴等式成立.

高中数学北师大版必修四 两角和与差的正切函数ppt课件(45 张)


(2)∵ tan120 tan(70 50) tan70 tan50 3,
1 tan70gtan50
tan70 tan50 3 3tan70gtan50，
所以原式 3 3tan70gtan50 3tan70gtan50 3.
利用公式求角
求角问题中的特别关注:
(1)角的变换
前面学习Sα±β、Cα±β的过程中运用的角的变换技巧仍然 适用于公式Tα±β，如2α-β=α+(α-β)，在求值过程中 要进一步掌握这些角的变换方法.
(2)函数名称的选取
在明确所求角是如何通过已知角变换之后,具体要根据题设 条件去选择恰当的函数. (3)角的范围的界定 根据求出的三角函数值确定所求的角时,角的范围会直接影 响解的个数,因此,角的范围的确定是求角问题中最为关键 的因素.
3 ”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角 3 的正切值去代换，如 “ 1＝tan ”,“ 3 tan ”，这 3 4
“ 3 ”“
样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
【例1】化简下列各式并求值 (1) cos75 sin75
cos75 sin 75
(2) tan70 tan50 3tan70gtan50
【规范解答】 Q 3tanA 3tanB tanAtanB 1，
3 tanA tanB tanAtanB 1， tanA tanB 3 ， 1 tanA gtanB 3 3 又∵0＜A+B＜π, tan A B . 3 5 3 A B , Q A B C , C , tanC . 6 6 3
(2)tan(2α-β)=tan[(α-β)+]

北师大版高中数学必修四第3章三角恒等变形3.2.3两角和与差的正切函数课件


典例透析
随堂演练
1.两角和的正切公式 tan(α+β)=1-tan ������ tan ������ .(Tα+β) 2.两角差的正切公式 tan(α-β)=1+tan ������ tan ������ .(Tα-β)
tan ������ -tan ������ tan ������ +tan ������
2.3
两角和与差的正切函数
-1-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解两角和与差的正切公式,并能运用它们进行简单的化简、 求值与证明. 2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的内在联系,完善知 识结构,培养逻辑思维能力.
-2-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
名师点拨 1.公式成立的条件 π 在两角和与差的正切公式中,α±β,α,β 都不等于 kπ+ (k ∈Z),否则不成立.如果遇到正切值无意义的问题不能用两 角和与差的正切公式,那么可以用诱导公式去完成.比如化 简 tan
π 2 2
-������ ,由于 tan 不存在,故不能用两角差的正切公式
2
π
化简,可以改用诱导公式化简.
-8-
2.3
两角和与差的正切函数
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型四
【例 2】 已知 sin(π+θ)=− 5 , tan ������ = 2 , 且������是第二象限角, 求 tan(������ − ������)的值. 分析首先利用诱导公式求出 sin θ, 然后利用 sin2θ+cos 2θ=1 求出

高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数课件 北师大版必修4


≠1(或tan αtan β≠-1).
2
第九页，共48页。
2.结构特征 公式Tα±β的右侧为分式形式，其中(qízhōng)分子为tan α与 tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
第十页，共48页。
3.符号规律(guīlǜ)：分子同，分母反.
第十一页，共48页。
【微思考】 (1)正用Tα±β时应注意什么? 提示：应注意①角α±β及α,β的范围及分母不为零； ②分子、分母中间符号的选取及“1”的位置. (2)逆用Tα±β的关键是什么？ 提示：利用相关三角(sānjiǎo)知识将逆用的三角(sānjiǎo)函数式化简到 Tα±β公式右边的结构，再逆用公式.
第十二页，共48页。
【即时(jíshí)练】 1.tan(-165°)的值是( )
2.A计.2算 3 C.2 3
的值为B.__2_____3___. D. 3 2
1 tan75 1 tan75
第十三页，共48页。
【解析(jiě xī)】1.选C.原式=tan 15°=tan(60°-45°)
(4)错误,因为tan 90°不存在. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
第五页，共48页。
2.做一做(请把正确(zhèngquè)的答案写在横线上)
(1)tan(30°+45°)=_________.
(2)tan(60°-45°)=_________.
(3)
=_________.
(4) tan 78 tan 18 =_________. 1 tan 78tan 18
的和或差?
【探究提示】1.x1+x2= x1x2=
2.α=(α-β)+β,2α-β=α+(α-β).
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.
理解： 1.两角和的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的和比1减两角
正切的积.
3.公式成立的条件是： k 且 2 k 且 k (k∈Z). 2 2
二、 两角差的正切公式 在两角和的正切公式中用 代换

,
2.原式可化为:
sin(45 30 ) cos(45 30 )


sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30

,
是否太麻烦了?能否直接用角的正切来表示呢?
一、两角和的正切公式
sin( ) tan( ) cos( )
tan(20 40 )(1 tan 20 tan 40 ) 3 tan 20 tan 40 3.
3. 已知锐角 , ，满足 tan 3, tan 2，
3 求证： . 4
证明：因为 tan 3, tan 2，
tan tan 3 2 1， 所以 tan( ) 1 tan tan 1 3 2
5.已知 tan ， tan 是方程ax 2 bx c 0(a 0, a c) 的两根，求tan( + )的值.
b tan tan ， a 解：由根与系数的关系,得 tan tan c ， a tan tan 所以 tan( ) 1 tan tan
因为 , (0, ), 2 3 从而 .
4

所以 (0, ),
4.已知： tan 2,求tan( - )的值. 4
tan tan 4 解： tan( ) 4 1 tan tan 4 2 1 1 . 1 2 3
提升总结：构造三角形，通过直角三角形，
将问题转化为角的正切公式，建立方程，顺利解决问题.
tan＋tan tan( ) 三、正切公式的变形： 1－tantan
（1） tan tan tan( )（ 1 tan tan ）;
tan tan (2) 1 tan tan ； tan( )
2 tan , tan x 是方程 5 x 6 0 的两根， 解法二：因为
所以
tan tan 5, tan tan 6,
根与系数的关系
因此
tan tan 5 tan( ) . 1 tan tan 7
提升总结：常规与巧妙，特解与通解，体现了数学知识
例1 已知 tan , tan 是方程 x 2 5 x 6 0 的两根， 求 tan( ) 的值.
解法一：解方程得
（或 tan 1, tan 6） tan 6, tan 1, 代入两角和的正切公式，得
tan tan 6 1 5 tan( ) . 1 tan tan 1 6 7
范围的界 定是关键
tan

4
1. 所以 .
4

例4 在斜三角形 ABC 中，求证：
tan A tan B tan C tan Atan B tan C.
三角形内 角和公式
证明：在斜三角形ABC中，有 A B C , A , B , A B A B C 且 都不等于 . 所以有 即
(3) tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
1. 已知 ( , ),sin 2 5

4 5 , 则 tan 2 _______ . 3
2 5 5 2 , 解:由 ( , ),sin , 得cos 1-sin = 5 2 5
tan( A B) tan( C )，
tan A tan B tan C， 即 1 tan A tan B
2
即 tan A tan B tan C tan A tan B tan C , 所以 tan A tan B tan C tan Atan B tan C. 提升总结：从待证式的角和结构两方面考虑， 选用两角和的正切公式，这是证明三角恒等式的基本思路.
D
作辅助线， 构造直角三角形
6 9 在 Rt AEC 和 Rt AED 中，有 tan , tan(45 ) . x x
因为 tan(45 )
1 tan , 1 tan
6 9 x 所以 6 . x 1 x 1
化简，得 x2 15x 54 0, 解得 x 18, x 3 (舍去). 答：两建筑物底部间的距离BD等于18 m.
例5 如图，两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m，
从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD 45 ， 求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD. 解: 如图，作AE CD 于点E.BC Eα45°-α
A
因为 AB // CD, AB 9, CD 15,
所以 DE 9, EC 6. 设 AE x, CAE . 因为 CAD 45 , 所以 DAE 45 .
§2.1两角和与差的三角函数（第3课时）
1. 了解两角和与差的正切公式的推导和证明过程；
2. 掌握两角和与差的正切公式，能利用公式进行简单
的三角函数式的求值、化简、证明.(重点）
思考 tan15 ? 1.切化弦: tan15 代入 sin15 , cos15 .

sin15 cos15

所以 tan
sin 1 . cos 2
则 tan 2 tan( )
tan tan 4 . 1 tan tan 3
2.求值：tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40.
解: tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40
的相互联系，同时亦是对思维的有效训练.
例2 求证：
1 tan15 1 tan15

3.
证明：左边
tan 45 tan15 1 tan 45 tan15
提升总结：将一般角 转化为特殊角的和(差)， 逆向思维.
tan(45 15 ) tan 60 3.
b b a . c ca 1 a
一、公式的推导
S T , C
S T . C
二、公式的正用、逆用、变形用
(1) tan tan tan( )（ 1 tan tan ）；
cos15 sin15 练习：
cos15 sin15
cos15 sin15 1 tan15 cos15 cos15 sin15 1 tan15 cos15
1 3 3 . 3
例3 如图，三个相同的正方形相接，求证： .
转化为 正余弦
sin cos cos sin . cos cos sin sin
展开
当 cos cos 0 时，分子分母同时除以 cos cos , 得到： tan( )
tan tan 1 tan tan
(2) tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
光阴给我们经验，读书给我们知识。
——奥斯特洛夫斯基
tan tan( ) tan tan tan ( ) . 1 tan tan( ) 1 tan tan
tan tan tan( ) 1 tan tan
公式特点：1.两角差的正切值可以用α 和β 的正切值表示. 2.公式的右端是分式形式，它是两角正切的差比1加两角正切 的积.
1 1 证明：如图，易知 tan , tan ， 2 3 因为 , (0, ),
4
tan tan tan( ) 1 tan tan

2
1 1 2 3 1. 1 1 1 2 3


因为 , (0, ), 所以 (0, ). 2 在区间 (0, ) 内，正切值为1的角只有1个，即