2017北京一六一中学高三(上)期中数学(文)

2017海淀区高三（上）期中数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1}2．（5分）已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q4．（5分）若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞16．（5分）设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）给定条件：①∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②∀x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜B．C．0≤a＜1 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）计算lg2﹣lg+3lg5= ．10．（5分）已知sinα=，则cos2α= ．11．（5分）已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x= 处取得极值．12．（5分）在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ= ．13．（5分）在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B= ．14．（5分）去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：x 5 8 11y 13 31 13则该地2月份的月平均气温约为℃，φ= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2=﹣1，数列{b n}满足b n﹣b n﹣1=a n（n=2，3，4，…），且b1=b3=1．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．17．（13分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求CD的长．18．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．19．（13分）已知{a n}是等比数列，a2=2且公比q＞0，﹣2，a1，a3成等差数列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）已知b n=a n a n+2﹣λna n+1（n=1，2，3，…），设S n是数列{b n}的前n项和．若S1＞S2，且S k＜S k+1（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣9x，g（x）=3x2+a．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点处具有公共切线，求a的值；（Ⅱ）若存在实数b使不等式f（x）＜g（x）的解集为（﹣∞，b），求实数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，写出实数a的值．（只需写出结果）数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．【解答】向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，可得﹣2x=﹣4，解得x=2．故选：D．3．【解答】∵x＞0时，，当且仅当x=1时取“=”；∴命题p为真命题，则￢p假；若a＞b＞0，c＜0，则ac＞bc不成立；∴命题q为假命题；∴p∨q为真命题．故选C．4．【解答】∵角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=﹣tanθ=﹣=﹣=，故选：C．5．【解答】由图象可知，0＜a＜1，b＞1，故选：A．6．【解答】若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．【解答】条件②说明函数的对称轴是x=1，函数y=x3是奇函数，满足条件．①，但不满足条件②，y=|x﹣1|的对称轴是x=1，满足条件．②，不满足条件①，y=cosπx中，当x=1时，y=cos（﹣π）=﹣1，此时函数关于x=1对称，满足条件②，当x=时，f（﹣）=cos（﹣π）=0，f（）=cos（π）=0，即此时满足f（﹣）=﹣f（），满足条件．①，故同时满足条件①②的函数是y=cosπx，故选：B．8．【解答】当x≤0时，a＜f（x）≤1+a，若a≥0，当x＞0时，f（x）=ln（x+a）≥lna，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则，即，得≤a＜，∵a≥0，∴0≤a＜，若a＜0，当x＞0时，f（x）=ln（x+a）∈R，即此时函数f（x）=有一个解，则当x≤0时，f（x）=有一个解即可，此时满足1+a≥＞a，即可，则﹣≤a＜0，综上﹣≤a＜，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】lg2﹣lg+3lg5=3lg2+3lg5=3lg10=3．故答案为：3．10．【解答】∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．11．【解答】函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，x＜﹣1时，f′（x）＜0，x＞﹣1时，f′（x）≥0，所以函数只有在x=﹣1时取得极值．故答案为：﹣1．12．【解答】如图在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ===，所以，；故答案为：．13．【解答】∵在△ABC中，cosA=，∴sinA==，∵7a=3b，∴sinB==×=，∵B∈（0，π），∴B=或．故答案为：或．14．【解答】∵函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数），∴当x==8时，sin（x+φ）取得最大或最小值，∴×8+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=kπ﹣，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ=；∴a﹣b=31，且a+bsinπ=13，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=2时，y=13﹣18sin（×2+）=﹣5（°C）．故答案为：﹣5，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=（cos2x+sin2x）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin （2x﹣），∴f（0）=sin（0﹣）=﹣．（Ⅱ）由于函数f（x）=sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．16．【解答】（Ⅰ）由数列{b n}满足b n﹣b n﹣1=a n，（n≥2，n∈N*），∴b2﹣b1=a2=﹣1，b1=b3=1，∴b2=0，a3=b3﹣b2=1，∵数列{a n}是等差数列，∴d=a3﹣a2=1﹣（﹣1）=2，∴a1=a2﹣d=﹣1﹣2=﹣3，a1的值﹣3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{a n}是以﹣3为首项，以2为公差的等差数列，a n=﹣3+2（n﹣1）=2n﹣5，∴当n≥2时，b n﹣b n﹣1=2n﹣5，b n﹣1﹣b n﹣2=2（n﹣2）﹣5，…b2﹣b1=﹣1，将上述等式相加整理得：b n﹣b1=•（n﹣1）=n2﹣4n+3，∴b n=n2﹣4n+4，（n≥2），当n=1时，b1=1也满足，∴b n=n2﹣4n+4（n∈N*）．17．【解答】（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，又∵BC=2CD，∴AC=2CD，∴在△ACD 中，由正弦定理可得：，∴==．（Ⅱ）设CD=x，则BC=2x，∴BD=3x，∵△ABD中，AD=，AB=2x，∠B=，∴由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠B，即：7=4x2+9x2﹣2x×3x，解得：x=1，∴CD=1．18．【解答】（Ⅰ）a=1时，f（x）=，x∈R，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）由f（x）=得：f′（x）=，x∈[0，1]，令f′（x）=0，∵a＜0，解得：x=1+＜1，①1+≤0时，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）min=f（0）=﹣1；②当0＜1+＜1时，即a＜﹣1时，x，f′（x），f（x）在[0，1]上的情况如下：x 0 （0，1+）1+（1+，1）1f′（x）﹣0 + f（x）递减极小值递增∴f（x）min=f（1+）=；综上，﹣1≤a＜0时，f（x）min=﹣1，a＜﹣1时，f（x）min=．19．【解答】（Ⅰ）由﹣2，a1，a3成等差数列，∴2a1=﹣2+a3，∵{a n}是等比数列，a2=2，q＞0，∴a3=2q，a1==，代入整理得：q2﹣q﹣2=0，解得：q=2，q=﹣1（舍去），∴q=2，（Ⅱ）由（Ⅰ）a n=2n﹣1，b n=a n a n+2﹣λna n+1=4n﹣λn2n，由S1＞S2，∴S2﹣S1＜0，即b2＜0，∴42﹣2λ•22＜0，解得：λ＞2，S k＜S k+1（k=2，3，4，…）恒成立，b n=a n a n+2﹣λna n+1，即λ＜，设c k=（k≥2，k∈N*），只需要λ＜（c k）min（k≥2，k∈N*）即可，∵=×=＞1，∴数列{c n}在k≥2且k∈N*上单调递增，∴（c k）min=c2==，∴λ＜，∵λ＞2，∴λ∈（2，）．20．【解答】（Ⅰ）设f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，y0），由，解得x0=﹣1或x0=3，解得a的值为：5或﹣27．（Ⅱ）令h（x）=x3﹣3x2﹣9x，则y=h（x）的图象在直线y=a下方的部分对应点的横坐标x∈（﹣∞，b），由h′（x）=3x2﹣6x﹣9=0，解得x的值．h′（x），h（x）的情况如下：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞） h（x）+ 0 ﹣0 + h′（x）增极大值减极小值增因为h（a2+5）=（a2+5）（a4+7a2+1）＞a2+5≥2|a|≤a，即h（a2+5）＞a；h（﹣a2﹣2）=﹣（a2+2）（a4+7a2+1）＜﹣（a2+2）≤﹣2|a|≤a，即h（﹣a2﹣2）＜a，（或者：因为当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞），又因为：h（x）max=h（﹣1）=5，h（x）min=h（3）=﹣27．所以当a＞5或a≤﹣27满足条件．（Ⅲ）由（Ⅱ）h（x）=x3﹣3x2﹣9x，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，则h′′（x）=6x﹣6，令6x﹣6=0，可知x=1，此时y=﹣11，函数h（x）的对称中心为：（1，﹣11），方程f（x）=g（x）有三个不同的解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，实数a的值：﹣11．11 / 11。

2017届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共14小题．每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】有由题意可得：，则( -2,3 ] .本题选择B选项.2. 极坐标方程表示的圆的半径是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】将极坐标方程两边同乘，得，化为直角坐标方程为，整理得，所表示圆的半径。

选．3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知选项,,,中的函数均为偶函数，但只有选项中的函数在上单调递增。

选．4. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。

输出k=4。

选B。

5. 设，是两个向量，则“”是“且”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“”可推出“且”；但反之不成立。

所以“”是“且”的充分而不必要条件。

选．6. 若，，，则，，的大小关系是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，，∴。

选．7. 命题“，”的否定是（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由特称命题的否定知，命题“，”的否定是“，”。

选．8. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）．A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】∵，∴将函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编平面向量15 44、（东城区2017届高三上学期期末） △ ABC 的内角 代B, C 的对边分别为a,b,c ，若a=5,b=7, c = 8 ,则AB AC 等于5、（丰台区2017届高三上学期期末）平面向量a 二(x,1) ,b = (1,y) ,c = (2,- 4)，如果a A （b -c ），那么实数x , y 的值分别是1 A. -B . 127、 （海淀区2017届高三上学期期中）已知向量 1 1 A. -2B. C. D.22 28、 （石景山区2017届高三上学期期末）向量a(A)2, - 2(B)- 2 , - 2(C)(D)6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知向量a,b 满足 a -2b= 0 , (a -b )2，贝U |bF1、（昌平区2017届高三上学期期末）在平行四边形 ABCD 是（A ）矩形(B)梯形(C)A.-C. uuu uuuAB-AD D.uun uuuAB AD ，则平行四边形菱形 b5E2RGbCAP），则a 与a b 的夹角为5兀~63、（朝阳区2017届高三上学期期中） 已知三角形 ABC 外接圆O 的半径为1 （ O 为圆心），且OB 0^ -0 ,|OA| = 2| AB|，则CA BC 等于（15D .bll c ，且(J3,1) ,b=(J3, —1) ,a 与b 夹角的大小为 _________________2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知平面向量ABCD 中，若 正方形（C. 2a= (-1,x), b = (-2,4).若a^b，则x 的值为9、(通州区2017届高三上学期期末)如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点,T T T设向量AC =扎DB + 4APU 九+卩的取值范围是 ________________ .10、(西城区2017届高三上学期期末)设a , b 是非零向量，且a^=b .则“| a |=| b |”是“ (a b ) _(a b ) ”A . -3 B14、(朝阳区 2017届高三上学期期中) 设平面向量 a= (1,2), b = (-2,y)，若 a 〃b ，则 y =15、(海淀区 2017届高三上学期期中) 在正方形ABCD 中，E 是线段CD 的中点，若AE = • AB 」BD ，则(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件11、 (北京昌平临川育人学校 2017届高三上学期期末)已知向量b ，其中1 a 1三:打，1 b 1 =2，且(a丄a ，则向量a 和b 的夹角是()p1EanqFDPwC .3兀~T5兀~T12、 (北京市 2017届高三春季普通高中会考) ■4a -4b) 2b 等于()A .a —2b B . a 「4bC13、(北京市 2017届高三春季普通高中会考) 已知向量.a =(3,-1), b =(1,x)，但a_b ，那么x 的值是已知向量 a , b ，那么参考答案6、C 1、A 2、B 3、A 4、44228、- 3-----------------------11、【解答】 解：设两个向量的夹角为|1 ；丄;-1-^-―■ —fl二(a - b )F=C - .. -■-- -i-i - |即• ’ . .1 j 故选A 12、 C 13、 B 14. — 4[1,3] 10、 C•/ eq 。

2016-2017年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷及参考答案（文科）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知命题p：?x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac ＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q4．（5分）若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞16．（5分）设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）给定条件：①?x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②?x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜ B．C．0≤a＜1 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）计算lg2﹣lg+3lg5=．10．（5分）已知sinα=，则cos2α=．11．（5分）已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x=处取得极值．12．（5分）在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ=．13．（5分）在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B=．14．（5分）去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：。

北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。

选：A。

2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。

选D。

3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。

选A。

4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，，所以，整理得，所以。

选D。

5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。

选D。

6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。

选B。

7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。

如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。

将代入得，∴点的坐标为。

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） 2016.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈R C ．{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ．1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为 ，4S 的值为 ．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（文史类） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A. {|2}x x >B. {|12}x x <<C. {|1}x x >D. {|0}x x > 2. 执行如右图所示程序框图，则输出i 的值为 .A ．3B ．4C ．5D ．63. 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 4. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度5. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87. 函数()f x 在其定义域内满足()xf x '()e xf x ，（其中()f x '为函数()f x 的导函数），(1)e f ，则函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值8. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S =___________. 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60︒，得到线段OB ，则向量OB 的坐标为___________.正视图 侧视图俯视图11. 已知函数12log , 0< 1,()21, 1.x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩若方程()f x m =有2个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．13. 某品牌连锁便利店有n 个分店，A,B,C 三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价表1某日总店向各分店分配的商品A,B,C 的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C 的总价和总重量：表3则a = ；b = . 14. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ①定义域为R ； ②值域为[0,2]； ③()()0f x f x --=.俯视图试写出一个函数解析式()f x = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数π()2sin cos()3f x x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ，满足21n n S a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，求n T .17. （本小题满分13分）已知ABC ∆中，3B π=，a =（Ⅰ）若b =A ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为2，求b 的值.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 上的一个动点．（Ⅰ）若E 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若三棱锥P BDE -的体积是四棱锥P ABCD -体积的13，求EA PA的值．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数12()ln e e x f x x x=--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.PADBE北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试题答案（文史类） 2017.11一、选择题二、填空题三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅+1sin 2cos2)2x x =+- πsin(2)3x =- （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈.所以()[0,1f x ∈. ……………………………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由21n n S a =-可得， 当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列, 即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分（Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin 3A =π.所以sin 2A =. 在三角形中，由已知b a >，所以4A π=. ………………………………6分 （Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =可得1222=⨯，解得c =. 由余弦定理知2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=，所以b =………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形， 所以O 是AC 的中点． 又因为E 为PA 的中点， 所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥． 因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分PADBCOE（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅． 又因为底面ABCD 是菱形，所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==， 所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=， 所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x-++= 2(1)(1)kx x x--=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时， 令()0f x '>，解得10x k<<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， PADBE令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分 综上所述，当0k ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1+∞，； 当01k <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，(+)k∞1，，单调递减区间为(1)k1，； 当1k =时，函数()f x 的单调递增区间为()0+∞，； 当1k >时，函数()f x 的单调递增区间为(0)k 1，，()1+∞，,单调递减区间为(+)k∞1，. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x--≤在(1,2)上成立. 设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分） 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+，即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.因此，函数()g x 的最小值为()e e g =-.故ln ex x ≥-. 即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。