型如an+1=pan+f(n)中高考常见题型

高考数学一轮复习考点知识专题讲解数列中的构造问题题型一形如a n＋1＝pa n＋f(n)型命题点1a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)例1(2022·九江模拟)在数列{a n}中，a1＝5，a n＋1＝3a n－4，求数列{a n}的通项公式．解由a n＋1＝3a n－4，可得a n＋1－2＝3(a n－2)，所以an＋1－2an－2＝3.又a1＝5，所以{a n－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以a n－2＝3n，所以a n＝3n＋2.命题点2a n＋1＝pa n＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{a n}的通项公式．解∵a n＋1＝2a n－n＋1，∴a n＋1－(n＋1)＝2(a n－n)，∴an＋1－(n＋1)an－n＝2，∴数列{a n－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n－n＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n＋n.命题点3a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求数列{a n }的通项公式． 解方法一原递推式可化为a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)．① 比较系数得λ＝－4，①式即是a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)．则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴a n －4·3n －1＝－5·2n －1， 即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.方法二将a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1的两边同除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝23·a n 3n ＋432， 令b n ＝a n3n ，则b n ＋1＝23b n ＋49，设b n ＋1＋k ＝23(b n ＋k )，比较系数得k ＝－43，则b n ＋1－43b n －43＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －43是以－53为首项，23为公比的等比数列．∴b n －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，则b n ＝43－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴a n ＝3n ·b n ＝4·3n －1－5·2n －1.思维升华(1)形如a n ＋1＝αa n ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．(2)递推公式a n ＋1＝αa n ＋β的推广式a n ＋1＝αa n ＋β×γn (α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γn ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ，转化为b n ＋1＝kb n ＋βγ(k ≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －βγ(1－k )求解． 跟踪训练1(1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝－3×2n －1B ．a n ＝3×2n －1 C ．a n ＝5n ＋3×2n －1D ．a n ＝5n －3×2n －1 答案D解析方法一将递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1， 得a n ＋15n ＋1＝25·a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25的等比数列，所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n ，故a n ＝5n －3×2n －1.方法二设a n ＋1＋k ×5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )， 则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1， 即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n}是首项为a 1－5＝－3， 公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1， 故a n ＝5n －3×2n －1.(2)(2022·衡水质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________． 答案a n ＝2n －1，n ∈N * 解析因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＝2S n ＋1. 因此S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)， 因为a 1＝S 1＝1，S 1＋1＝2，所以{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以S n ＋1＝2n ，S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型)例4已知在数列{a n }中，a 1＝5，a 2＝2，a n ＝2a n －1＋3a n －2(n ≥3)，求这个数列的通项公式． 解∵a n ＝2a n －1＋3a n －2， ∴a n ＋a n －1＝3(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝7，∴{a n ＋a n －1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则a n ＋a n －1＝7×3n －2，① 又a n －3a n －1＝－(a n －1－3a n －2)，a 2－3a 1＝－13，∴{a n －3a n －1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则a n －3a n －1＝(－13)·(－1)n －2，② ①×3＋②得，4a n ＝7×3n －1＋13·(－1)n －1， ∴a n ＝74×3n －1＋134(－1)n －1.思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2(1)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________． 答案a n ＝10－2n (n ∈N *)解析由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n }为等差数列．设公差为d ，由题意得2＝8＋3d ⇒d ＝－2， 得a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则a n ＝________. 答案2n －1解析由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∵a 2－a 1＝2，∴{a n －a n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝1－2n 1－2＝2n －1. 显然n ＝1时满足上式， ∴a n ＝2n －1.题型三 倒数为特殊数列⎝ ⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型 例5(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. 答案2n ＋1解析∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________.答案22×3n －1－1解析∵1a n ＋1＝3·1a n＋1，∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，1a 1＋12＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是以1为首项，3为公比的等比数列，∴1a n ＋12＝3n －1， ∴1a n＝3n －1－12， ∴a n ＝22×3n －1－1(n ∈N *)． 思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n .跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2.故a n ＝13n －2(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2na n ＋1，则a n ＝__________.答案1n 2－n ＋1解析对递推关系两边取倒数， 得1a n ＋1＝2na n ＋1a n ＝1a n＋2n .即1a n ＋1－1a n＝2n ，分别用1,2,3，…，n －1替换n ，有 1a 2－1a 1＝2×1， 1a 3－1a 2＝2×2，1 a4－1a3＝2×3，…，1 an －1an－1＝2(n－1)，以上n－1个式子相加，得1an－1a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，所以1an＝n2－n＋1.所以a n＝1n2－n＋1.课时精练1．数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是()A．15B．255C．16D．63答案B解析∵a n＝4a n－1＋3(n≥2)，∴a n＋1＝4(a n－1＋1)(n≥2)，∴{a n＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n＋1＝4n－1.∴a n＝4n－1－1，∴a5＝44－1＝255.2．(2022·许昌模拟)数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，令b n＝log2(a n＋2)，则b1＋b2＋…＋b20222022等于()A．2020B．2021C．2022D．2023答案D解析∵a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，∴a n＋1＋2＝4a n＋6＋2＝4(a n＋2)>0，即an＋1＋2an＋2＝4且a1＝2，∴数列{a n＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列，故a n＋2＝4n，由b n＝log2(a n＋2)得，b n ＝log24n＝2n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S2022＝2(1＋2＋3＋…＋2021＋2022) ＝2022×2023，∴b1＋b2＋…＋b20222022＝2022×20232022＝2023.3．(2022·绵阳模拟)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n ＝3a n －1＋4a n －2(n ≥3)， 得a n ＋a n －1＝4(a n －1＋a n －2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列， 所以a 9＋a 10＝49.4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *，则a 4等于() A ．64B ．56 C ．32D ．24 答案C解析由a n ＋1＝2a n ＋2n得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12， 而a 12＝12， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是首项为12，公差为12的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n2， ∴a n ＝n ·2n －1，∴a 4＝4×24－1＝32. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，则数列{b n }的通项公式b n 等于() A.12n B ．n －1 C ．n D ．2n 答案C解析由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n，所以1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1， 又1a 1＋1＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是首项为2，公比为2的等比数列，所以1a n＋1＝2·2n －1＝2n，所以b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝log 22n ＝n .6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递增数列D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n ＋4答案A 解析因为a n ＋1＝a n 2＋3a n，所以1a n ＋1＝2＋3a na n＝2a n＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 且1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1，所以1a n＝2n ＋1－3，可得a n ＝12n ＋1－3， 故选项A 正确，选项B 不正确； 因为1a n＝2n ＋1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项C 不正确；⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n 1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4.故选项D 不正确．7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，则a 5等于() A ．405B ．300C ．450D ．500 答案A解析∵a n ＋1＝3a n ＋3n ， ∴a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 是等差数列，公差为13，又a 13＝13， ∴a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n 3， ∴a n ＝n ·3n －1，a 5＝5×34＝405.8．(2022·甘肃西北师大附中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)，则n ＋2na n的最小值为() A.252B ．12C ．24D.392答案D 解析∵a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)， ∴1a 1＝10，1a n ＋1－1a n＝1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以10为首项，1为公差的等差数列，∴1a n＝n ＋9，∴n ＋2na n ＝(n ＋2)(n ＋9)n ＝n ＋18n＋11. ∵y ＝n ＋18n在(0,32)上单调递减，在(32，＋∞)上单调递增，∴当n ＝4时，n ＋2na n 取得最小值为392. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案12n －1解析因为a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1， 所以等式两边同除以a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1. 10．已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝__________.答案3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n解析由a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两边同除以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，即两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1，令b n ＝2n ·a n ， 则b n ＋1＝23b n ＋1，b n ＋1－3＝23(b n －3)，所以{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，即b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以b n ＝3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，所以a n ＝b n 2n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .11．已知首项为1的数列{a n }各项均为正数，且na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案n解析因为na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，所以n (a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n (a n ＋1＋a n )， 因为数列{a n }各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0， 所以n (a n ＋1－a n )＝a n ， 所以a n ＋1n ＋1＝a nn， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为常数列，由a 1＝1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .12．已知数列{a n }满足递推公式a n ＋1＝2a n ＋1，a 1＝1.设S n 为数列{a n }的前n 项和，则a n ＝______，4n ＋7－n －S na n ＋1的最小值是________．答案2n－117 4解析因为a n＋1＝2a n＋1，所以a n＋1＋1＝2(a n＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1；所以S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝2(1－2n)1－2－n＝2n＋1－2－n，所以4n＋7－n－S nan＋1＝4n＋7－n－(2n＋1－2－n)2n＝2n＋92n－2，由对勾函数的性质可得，当n＝1时，21＝2,21＋921－2＝2＋92－2＝92；当n≥2时，2n≥4，所以y＝2n＋92n－2单调递增，当n＝2时，22＋922－2＝4＋94－2＝174<92，所以4n＋7－n－S nan＋1的最小值是174.。

高考数学冲刺差分方程考点精讲在高考数学的复习冲刺阶段，差分方程作为一个重要的考点，常常让同学们感到困惑和棘手。

但其实，只要我们掌握了它的核心概念和解题方法，差分方程也并非难以攻克。

下面就让我们一起来深入了解一下差分方程这个考点。

一、什么是差分方程差分方程是一种用于描述离散变量之间关系的数学方程。

与我们熟悉的微分方程不同，差分方程处理的是相邻离散时刻或位置上的变量变化。

比如说，我们有一个数列｛an}，如果存在一个关系式，能够通过an 与其前一项或前几项的关系来表示，那么这个关系式就是一个差分方程。

二、差分方程的类型1、一阶线性差分方程形如 an+1 ＝ pan ＋ q （其中 p、q 为常数，p ≠ 0）的方程就是一阶线性差分方程。

当 p ＝ 1 时，方程变为 an+1 ＝ an ＋ q ，这是一个简单的等差数列形式。

当p ≠ 1 时，我们可以通过一些方法求解出通项公式。

2、二阶线性差分方程形如 an+2 ＋ pan+1 ＋ qan ＝ f(n) （其中 p、q 为常数，f(n) 为已知函数）的方程就是二阶线性差分方程。

三、差分方程的求解方法1、一阶线性差分方程的求解对于一阶线性差分方程 an+1 ＝ pan ＋ q ，我们可以使用待定系数法来求解。

首先，设 an+1 k ＝ p(an k)，通过展开并对比系数，求出 k 的值。

然后，将方程变形为 an+1 k 是以 p 为公比的等比数列，从而求出通项公式。

2、二阶线性差分方程的求解对于二阶线性差分方程 an+2 ＋ pan+1 ＋ qan ＝ f(n) ，我们通常需要先求出其对应的齐次方程 an+2 ＋ pan+1 ＋ qan ＝ 0 的通解，然后再根据非齐次项 f(n) 的形式，求出一个特解，最终得到方程的通解。

四、差分方程在实际问题中的应用1、经济领域在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量随时间的变化，比如投资的增长、价格的波动等。

2、生物学领域在生物学中，差分方程可以用来模拟种群数量的变化、疾病的传播等。

数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。

下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。

一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。

1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列的公差为d ，由已知条件可得{}n a 110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列的通项公式为 {}n a 2.n a n =-2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设是公比为正数的等比数列，，。

{}n a 12a =324a a =+ （Ⅰ）求的通项公式{}n a 解：I ）设q 为等比数列的公比，则由，{}n a 21322,4224a a a q q ==+=+得即，解得（舍去），因此220q q --=21q q ==-或 2.q =所以的通项为{}n a 1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前项和的表达式，求数列的通项可用公式n n S {}n a n a 求解。

一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列的前n 项和，求的通项公式。

}{n a 12-=n s n }{n a 解：，当时011==s a 2≥n;代入化简得例23、（2007天津理）在数列中，，其{}n a 1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，中．0λ>（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a 解：，22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+．3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+由此可猜想出数列的通项公式为．{}n a (1)2n nn a n λ=-+以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．1n =12a =（2）假设当时等式成立，即，n k =(1)2k k k a k λ=-+那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-．11[(1)1]2k k k λ++=+-+这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对1n k =+(1)2n n n a n λ=-+任何都成立．n *∈N 总结：数列通项的求解是高考考查的重点。

高考数学复习考点题型专题讲解专题10 数列的递推关系与通项1.求数列的通项公式是高考的重点内容，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解.2.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)构造法(包括辅助数列法，取倒数法，取对数法等).类型一利用a n与S n的关系求通项1.已知S n求a n的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式.(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.2.S n与a n关系问题的求解思路(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解.(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解.例1 (1)已知数列{a n}为正项数列，且4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S nan＋2＝S n，求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{a n}的各项均为正数，且S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an，求数列{a n}的通项公式.解(1)由题知4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S nan＋2＝S n，①则4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S n－1an－1＋2＝S n－1(n≥2，n∈N*)，②由①－②可得4S nan＋2＝a n，即4S n＝a2n＋2a n，n≥2，n∈N*，在已知等式中令n＝1，得4S1a1＋2＝S1，则4S1＝a1(a1＋2)，③满足上式，所以4S n＝a2n＋2a n，④则4S n－1＝a2n－1＋2a n－1(n≥2)，⑤④－⑤可得4a n＝a2n＋2a n－a2n－1－2a n－1⇔2(a n＋a n－1)＝a2n－a2n－1. 因为a2n－a2n－1＝(a n＋a n－1)(a n－a n－1)，a n>0，所以a n－a n－1＝2，所以{a n}为公差是2的等差数列，由③可解得a1＝2，所以a n＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N*).(2)由S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an，得当n ≥2时，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －S n －1＋1S n －S n －1，所以2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，即S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，所以S 2n －S 2n －1＝1，所以{S 2n }为公差是1的等差数列，所以S 2n ＝S 21＋(n －1).在S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 中，令n ＝1可得S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，解得a 1＝1，所以S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，所以a n ＝⎩⎨⎧S n －S n －1，n ≥2，S 1，n ＝1＝⎩⎨⎧n －n －1，n ≥2，1，n ＝1，所以a n ＝n －n －1(n ∈N *).训练1 已知正项数列{a n ＋2n －1}的前n 项和为S n ，且4S n ＝a 2n ＋(2n ＋2)a n ＋4n －1＋2n －3.求数列{a n }的通项公式.解 由题知4S n ＝a 2n ＋(2n ＋2)a n ＋4n －1＋2n －3＝(a n ＋2n －1)2＋2(a n ＋2n －1)－3， 令b n ＝a n ＋2n －1， 则4S n ＝b 2n ＋2b n －3，①当n ≥2时，4S n －1＝b 2n －1＋2b n －1－3，②由①－②，得4b n ＝b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1， 整理得(b n －b n －1－2)(b n ＋b n －1)＝0. 因为b n >0，所以b n －b n －1＝2(n ≥2). 又4S 1＝b 21＋2b 1－3， 即b 21－2b 1－3＝0，解得b 1＝3或b 1＝－1(舍去)，所以数列{b n }是以3为首项，2为公差的等差数列， 则b n ＝2n ＋1，所以a n ＝b n －2n －1＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *). 类型二 构造辅助数列求通项(1)形如a n ＝pa n －1＋q (p ≠1，q ≠0)的形式，通常可构造出等比数列a n ＋q p －1＝p ⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1，进而求出通项公式. (2)形如a n ＝pa n －1＋q n ，此类问题可先处理q n ，两边同时除以q n ，得a nq n ＝pa n －1q n＋1，进而构造成a n q n ＝p q ·a n －1q n －1＋1，设b n ＝a n q n ，从而变成b n ＝pqb n －1＋1，从而将问题转化为第(1)个问题.(3)形如qa n －1－pa n ＝a n a n －1，可以考虑两边同时除以a n a n －1，转化为q a n －pa n －1＝1的形式，进而可设b n ＝1a n，递推公式变为qb n －pb n －1＝1，从而转变为上面第(1)个问题.(4)形如a n ＝ma n －1k （a n －1＋b ）(其中n ≥2，mkb ≠0)取倒数，得到1a n ＝k m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a n －1⇔1a n＝kb m ·1a n －1＋km，转化为(1)中的类型. (5)形如a n ＝pa r n －1(n ≥2，a n ，p >0)两边取常用对数，得lg a n ＝r lg a n －1＋lg p ，转化为(1)中的类型. 考向1 构造法求通项例2 (1)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝2a n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由a n ＝2a n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，得2n a n ＝2n ＋1a n ＋1－1，所以数列{2n a n }是首项和公差均为1的等差数列， 于是2n a n ＝1＋(n －1)×1＝n ， 所以a n ＝n2n (n ∈N *).(2)因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，n ∈N *. 因为a 1＝S 1＝1， 所以可推出S n ＋1>0，故S n ＋1＋1S n ＋1＝2， 即{S n ＋1}为等比数列. 因为S 1＋1＝2，公比为2， 所以S n ＋1＝2n ， 即S n ＝2n －1.因为S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 又a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). 考向2 取倒数法求通项 例3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n a n ＋3，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式.解 对a n ＋1＝a na n ＋3两边取倒数，可得1a n ＋1＝3a n＋1，由1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是首项为1，公比为3的等比数列，∴1a n ＋12＝3n －1， 则a n ＝22·3n －1－1(n ∈N *). 考向3 取对数法求通项例4 设正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a 2n －1(n ≥2).求数列{a n }的通项公式. 解 对a n ＝2a 2n －1两边取对数得log 2a n ＝1＋2log 2a n －1， ∴log 2a n ＋1＝2(log 2a n －1＋1)， 设b n ＝log 2a n ＋1，则{b n }是以2为公比，1为首项的等比数列，所以b n ＝2n －1， 即log 2a n ＋1＝2n －1， 故a n ＝22n －1－1(n ∈N *).训练2 (1)若数列{a n }中，a 1＝3，且a n ＋1＝a 2n ，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1，则a n ＝________.答案 (1)32n －1(n ∈N *) (2)12n －1(n ∈N *) 解析 (1)易知a n >0，由a n ＋1＝a 2n 得lg a n ＋1＝2lg a n ， 故{lg a n }是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列， 则lg a n ＝lg a 1·2n －1＝lg 32n －1， 即a n ＝32n －1(n ∈N *). (2)由a n ＝a n －12a n －1＋1，取倒数得1a n ＝2＋1a n －1，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以2为公差，1为首项的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1(n ∈N *).(3)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12(a n －2)，所以数列{a n －2}是以－1为首项，12为公比的等比数列，所以a n －2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n ∈N *.一、基本技能练1.(2022·湖北新高考协作体联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2S n ＋1，则a 7＝________. 答案 96解析 因为S n ＋1＝2S n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又因为a 1＝2，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，得a 2＝3， 所以数列{a n }从第二项开始成等比数列， 因此其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2， 所以a 7＝3×25＝96.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 答案a n ＝2n （n ＋1）(n ∈N *)解析 由S n ＝n 2a n 可得， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 则a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即(n2－1)a n＝(n－1)2a n－1，故anan－1＝n－1n＋1，所以a n＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24×13×1＝2n（n＋1）.当n＝1时，a1＝1满足a n＝2n（n＋1）.故数列{a n}的通项公式为a n＝2n（n＋1），n∈N*.3.已知正项数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a n，则a n＝________.答案221－n(n∈N*)解析将a n＋1＝a n两边取以2为底的对数得log2a n＋1＝12log2an，∴数列{log2an}是以1为首项，12为公比的等比数列，故log2an＝1×⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝21－n，即a n＝221－n(n∈N*).4.数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)，令b n＝log3(a n＋1)，则b n＝________. 答案n(n∈N*)解析由a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)可知a n＋1＋1＝3(a n＋1)，又a1＝2，知a n＋1≠0，所以数列{a n＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，因此a n＋1＝3·3n－1＝3n，故b n ＝log 3(a n ＋1)＝n .5.(2022·南京调研)在数列{b n }中，b 1＝－1，b n ＋1＝b n 3b n ＋2，n ∈N *，则通项公式b n ＝________.答案 12n －3(n ∈N *)解析 由b n ＋1＝b n 3b n ＋2，且b 1＝－1.易知b n ≠0，得1b n ＋1＝2b n＋3.因此1b n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋3，1b 1＋3＝2， 故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ＋3是以2为首项，2为公比的等比数列，于是1b n＋3＝2·2n －1，可得b n ＝12n－3，n ∈N *. 6.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋ln 3(n ≥2)，则数列{a n }的通项a n ＝________. 答案 (1＋ln 3)·2n －1－ln 3(n ∈N *)解析 由a n ＝2a n －1＋ln 3得a n ＋ln 3＝2(a n －1＋ln 3)， 则{a n ＋ln 3}是以1＋ln 3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n －1， 因此a n ＝(1＋ln 3)·2n －1－ln 3(n ∈N *).7.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n .某同学已经证明了数列 {a n ＋1－2a n }和数列{a n ＋1＋a n }都是等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 2n ＋1－（－1）n －13(n ∈N *)解析因为a n＋2＝a n＋1＋2a n，所以当n＝1时，a3＝a2＋2a1＝5.令b n＝a n＋1－2a n，则{b n}为等比数列. 又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比数列{b n}的公比q＝b2b1＝－1，所以b n＝(－1)n－1，即a n＋1－2a n＝(－1)n－1.①令c n＝a n＋1＋a n，则{c n}为等比数列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比数列{c n}的公比q1＝c2c1＝2，所以c n＝4×2n－1＝2n＋1，即a n＋1＋a n＝2n＋1.②联立①②，解得a n＝2n＋1－（－1）n－13.8.(2022·青岛二模)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝12，a n＋b n＝1，b n＋1＝bn1－a2n，则b2 023＝________.答案2 023 2 024解析因为a n＋b n＝1，b n＋1＝bn1－a2n，所以1－a n＋1＝1－a n（1－a n）（1＋a n），a n ＋1＝1－11＋a n ＝a n1＋a n ，所以1a n ＋1＝1a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，其公差为1，首项为1a 1＝2，所以1a n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝1n ＋1， 所以b n ＝n n ＋1，所以b 2 023＝2 0232 024.9.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n －na n ＝3n (n ∈N *)，且S 3＝15，则S 10＝________. 答案 120解析 当n ＝1时，2S 1－a 1＝3， 解得a 1＝3. 又2S n －na n ＝3n ，①当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝3(n －1)，② 所以①－②得(n －1)a n －1－(n －2)a n ＝3，③ 当n ≥3时，(n －2)a n －2－(n －3)a n －1＝3，④ 所以④－③得(n －1)·a n －1－(n －2)a n ＝(n －2)a n －2－(n －3)a n －1， 可得2a n －1＝a n ＋a n －2，所以数列{a n }为等差数列，设其公差为d .因为a 1＝3，S 3＝3a 1＋3d ＝9＋3d ＝15， 解得d ＝2， 故S 10＝10×3＋10×92×2＝120. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，则数列{a n }的通项公式为________.答案a n ＝2n ＋n (n ∈N *) 解析∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )， ∴a n ＋1－（n ＋1）a n －n＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋n (n ∈N *).11.数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1，a 1＝－1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案3n ＋12－2n ＋2＋52(n ∈N *)解析∵a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1， ∴a n ＋12n ＋1＝32·a n2n＋1, ∴a n ＋12n ＋1＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋2， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋2是以a 12＋2＝32为首项，32为公比的等比数列，∴a n 2n ＋2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，∴a n ＝3n －2n ＋1，∴S n ＝(31＋32＋…＋3n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)＝3－3n ＋11－3－4－2n ＋21－2＝3n ＋12－2n ＋2＋52(n ∈N *).12.已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，则{a n }的通项公式为________. 答案a n ＝3n －（－1）n4(n ∈N *)解析∵a n ＋1＝2a n ＋3a n －1， ∴a n ＋1＋a n ＝3(a n ＋a n －1)，∴{a n ＋1＋a n }是以a 2＋a 1＝3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n .① 又a n ＋1－3a n ＝－(a n －3a n －1)，∴{a n ＋1－3a n }是以a 2－3a 1＝－1为首项，－1为公比的等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝(－1)×(－1)n －1＝(－1)n ，② 由①－②得4a n ＝3n －(－1)n ， ∴a n ＝3n －（－1）n4(n ∈N *).二、创新拓展练13.(2022·金丽衢12校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且T n ＝a 1a 2…a n ，若T n ＋1＝a n T na 2n ＋1，n ∈N *，则( )A.a 50∈⎝ ⎛⎭⎪⎫112，111B.a 50∈⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110C.a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，17D.a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，15答案 B解析 因为T n ＝a 1a 2…a n ， 所以a n ＋1＝T n ＋1T n. 因为T n ＋1＝a n T na 2n ＋1， 所以a n ＋1＝a n a 2n ＋1，所以1a n ＋1＝a n ＋1a n.因为a 1＝1>0，所以1a n ＋1>1a n >0，a 2＝12， 所以0<a n ＋1<a n ≤1， 所以1a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n＋2，所以a 2n ＋2＝1a 2n ＋1－1a 2n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94，n ≥2.由累加法可得1a 210－1a 22∈(16，18)，所以1a 10∈(20，22)，所以a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2222，510，同理可得a 50∈⎝⎛⎭⎪⎫1121，110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110，故选B. 14.(多选)(2022·武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等比数列 B.{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1－3C.{a n }为递增数列D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4答案 ABD 解析 因为1a n ＋1＝2＋3a na n ＝2a n＋3， 所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 又1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋3＝4×2n －1，则a n ＝12n ＋1－3， 所以{a n }为递减数列，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝22＋23＋…＋2n ＋1－3n ＝4（1－2n ）1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4，故ABD 正确.15.(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{a n }，则( )A.a 4＝12B.a n ＋1＝a n ＋n ＋1C.a 100＝5 050D.2a n ＋1＝a n ·a n ＋2答案 BC解析 由题意知，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，…，a n ＝a n －1＋n ， 故a n ＝n （n ＋1）2，∴a 4＝4×（4＋1）2＝10，故A 错误；a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故B 正确； a 100＝100×（100＋1）2＝5 050，故C 正确；2a n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)，a n ·a n ＋2＝n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）4，显然2a n ＋1≠a n ·a n ＋2，故D 错误.16.(多选)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依次类推，第n 项记为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A.a 60＝16 B.S 18＝128 C.a k 2＋k 2＝2k －1D.S k 2＋k 2＝2k －k －1答案 AC解析 由题意可将数列分组： 第一组为20， 第二组为20，21， 第三组为20，21，22， ……，则前k 组一共有1＋2＋…＋k ＝k （1＋k ）2个数.第k 组第k 个数为2k －1， 故a k 2＋k 2＝2k －1，所以C 正确.因为10×（10＋1）2＝55，所以a 55＝29，又11×（11＋1）2＝66，则a 60为第11组第5个数，第11组为20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210， 故a 60＝24＝16，所以A 正确.每一组数的和为20＋21＋…＋2k －1＝2k －12－1＝2k －1，故前k 组数之和为21＋22＋ (2)－k ＝2（2k －1）2－1－k ＝2k ＋1－2－k ，S k 2＋k 2＝2k ＋1－k －2，所以D 错误.S 15＝26－5－2＝57，S 18＝S 15＋20＋21＋22 ＝26－5－2＋7＝64，所以B 错误.故选AC. 17.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4，则该数列的通项公式a n ＝________. 答案4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1(n ∈N *)解析 由a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4－2＝7a n －2－（a n ＋4）7a n －2－2（a n ＋4）＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1，解得a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1，n ∈N *.18.(2022·徐州考前卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，写出一个满足S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1a n 的通项公式：a n ＝________.答案 2n (答案不唯一)解析 当a n ＝2n时，S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－22n 2n＝2n ＋1－2＝S n ，∴a n ＝2n 满足条件.。

库仑定律和电场强度特训目标特训内容目标1库仑力作用下的平衡问题(1T-4T)目标2库仑力作用下的动力学问题(5T-8T)目标3三维空间的电场强度的叠加(9T-12T)目标4对称法求电场强度(13T-16T)目标5割补法求电场强度(17T-20T)【特训典例】一、库仑力作用下的平衡问题1如图所示，表面光滑的半球形绝缘物体固定在水平面上，其正上方固定一根长度与半球形物体半径相等的竖直绝缘支架，带正电的小球Q固定在支架上边，带负电的小球P重力为G，静止在半球形物体上。

现将小球Q的电荷量增加一些，小球P沿球面上滑少许重新平衡(小球P未到达半球最高点前)，以下说法正确的是()A.两球间库仑力变小B.小球对半球的压力变小C.小球对半球的压力大小为2GD.小球对半球的压力大小为G2【答案】D【详解】A．对小球P受力分析，如图所示将小球Q的电荷量增加一些，小球P沿球面上滑少许重新平衡，由相似三角形可得G2R=F NR=Fr而两球之间的距离r变小，则两球间库仑力变大，故A错误；BCD．半球对小球的支持力为F N=G2根据牛顿第三定律可知小球对半球的压力为G2，大小保持不变，则BC错误，D正确。

故选D。

2如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。

已知q1、q2间的距离是q2、q2间距离的2倍。

下列说法正确的是()A.若q 1、q 3为正电荷，则q 2为负电荷B.若q 1、q 2为负电荷，则q 3为正电荷C.q 1:q 2:q 3=36:4:9D.q 1:q 2:q 3=9:6:36【答案】AC【详解】AB ．三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以q 1、q 3为同种电荷，q 2为异种电荷，故A 正确，B 错误；CD ．根据库仑定律和矢量的合成，则有kq 1q 22r 2=kq 1q 33r 2=kq 2q 3r 2解得q 1：q 2：q 3=36：4：9故C 正确，D 错误；故选AC 。

如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。

找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：1()nna a f n 或1()n na g n a 分析：利用迭加或迭乘方法。

即：112211()()+()nnnnna a a a a a a a ……或121121n n n nna a a a a a a a ……例1.(1)已知数列na 满足11211,2nna a a nn，求数列n a 的通项公式。

（2）已知数列n a 满足1(1)1,2nn n a a s ，求数列n a 的通项公式。

解：（1）由题知：121111(1)1nna a nnn n nn 112211()())n n n n na a a a a +(a -a a (1)111111()()()121122n n nn ……312n（2）2(1)n n s n a 112(2)nn s na n两式相减得：12(1)(2)n nna n a na n 即：1(2)1n na n n a n 121121n n nn n a a a a a a a a (121)121nn n n……n类型二：1(,(1)0)nn a pa q p q pq p 其中为常数，分析：把原递推公式转为：1(),1nnq a tp a t p其中t=，再利用换元法转化为等比数列求解。

例2.已知数列n a 中，11,123n n a a a ，求n a 的通项公式。

解：由123nn a a 可转化为：132(3)n na a 令3,nn b a 11n+1n则b =a +3=4且b =2b n b 1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列11422n n bn即123n na 类型三：1()(nn a pa f n 其中p 为常数)分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()f x 是多项式或指数幂的形式。

“构造法”在求数列通项中的应用武汉市吴家山中学 刘忠君由递推公式求数列的通项公式是数列中的常见题型，也是高考考查的热点问题。

“大纲”中对递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年的高考试题中对递推数列的考查来看，其考查目标远在于教学目标。

由于此类问题的解法很多，技巧性较强，特别是对运算能力、归纳猜想能力、类比转化能力、以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力要求较高，故而成为学习中的一大难点。

本文介绍一种构造“新数列”求原数列通项的方法，思路自然，简捷实用，可给人耳目一新的感觉。

一、型如1()n n a pa f n +=+(p 为常数且0p ≠，1p ≠)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。

1、()f n q = (q 为常数)，可构造等比数列求解。

例1、已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a 。

解：∵121+=+n n a a ，∴)1(211+=++n n a a ，令1+=n n a b ，则数列}{n b 是公比为2的等比数列，∴11-=n n q b b ，即n n n q a a 2)1(111=+=+-，∴12-=n n a 。

例2、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a 。

解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-。

注：一般地，递推关系式1n n a pa q +=+ (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)可等价地改写成)1(11p q a p p q a n n --=--+，则{pqa n --1}为等比数列，从而可求n a 。

数列重难点归纳总结必考点1： 数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a . 对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么就是不同数列 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.5.数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例题1： 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=（ ） A ．30 B ．29C ．28D ．27【解析】121n S n n+=+，∴ 221n S n n =+-， ∴ 21121112a S ==⨯+-=，22776(2771)(2661)27a S S =-=⨯+--⨯+-=,∴ 1729a a +=，选B例题2： 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________ 【解析】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b =====,所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===. 【小结】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.必考点2： 数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 数列的性质主要指：1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.例题3： 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【解析】由i mi a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑ 52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；例题4： 已知数列{}n a 中，2n a n n λ=-，若{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．(],3-∞C ．(),2-∞D ．(],2-∞【解析】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立，所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<，选A. 【小结】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项． 3.前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.必考点3： 由递推公式推导通项公式例题5： 在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a ，可以是（ ） A ．1nB ．121n - C ．12n n+ D ．2n 【解析】∵11n n n a a a +=+，等式两边同时取倒数得：1111n n a a +=+，则()*1111n nn a a N +∈-=， ∴132211-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111+1nn a ⇒=++++=1n a n⇒=，当1n = 时，1111a == 亦成立，综上所述()*1n a n N n=∈,选A. 例题6： 已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S . 【解析】（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+，所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+， 所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+， 因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【小结】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-=（2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法：n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）. 解法：把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.必考点4： 由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a例题7： 已知数列{a n }的前n 项和21n S n n =-+，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．12n naC ．22n a n =-D ．1,122,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，111111a S ==-+=当2n ≥时，()()221111122n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-1a 不满足22n a n =- 1,122,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩,选D【小结】已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．必考点5： 等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．例题8： 已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A ．1-B ．0C ．14D ．12【解析】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因为324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.选B.例题9： 设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【小结】1.等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列;(3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔ {}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.2.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．必考点6： 等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 例题10： 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d ,根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-=可得1152a d a d +++=,即：()2252d d -++-+=,整理可得：66d =,解得：1d = 根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=,∴1025S =.例题11：将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=- 【小结】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.5.等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.6.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.必考点7： 等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值． 例题12： 在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．360B ．300C ．240D ．200【解析】因为34567750a a a a a ++++=，37465282a a a a a a a ++==+=,所以28300a a +=,选B例题13： 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ）A ．10B ．30-C ．15-D ．25【解析】由题意知：10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列()()20101030202S S S S S ∴-=+-，即30102015S -=+-，解得：3015S =-,选C例题14： 若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.必考点8： 等差数列综合问题例题15：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【解析】（1）方法一：由()1333182a a S +==，又因为12a =，所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===，所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二：设数列的公差为d .则3113322S a d =+⨯⨯32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-.令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤.因为*n N ∈，所以15n =. 所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列. 所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值，最小值为15225T =-. 例题16：已知数列{}n a 中148,2a a ==，且满足212n n n a a a +++=.(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设n S 是数列{}na 的前n 项和，求nS.【解析】（1）由题意得数列｛n a ｝是等差数列，4141a a d -==-－2，*210()n a n n N ∴=-+∈；（2）令0,5n a n ≥≤得,即当5n ≤时，0n a ≥，6n ≥时，0n a <， ∴当5n ≤时，n 12S a a =++…＋n a =12+n a a a ++=－29n n + 当6n ≥时， 12n n S a a a =+++=125+a a a ++－（67+n a a a ++）12=(+)n a a a -++125+2(+)a a a ++()229220940n n n n =--++⨯=-+229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤∴=⎨-+≥⎩ .例题17：记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+， 所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤， 所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈【小结】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.必考点9： 等差数列与数学文化例题18：我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+=例题19：《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第n 天织布的量为n a ，则1318a a +=_________，每天比前一天多织布________尺.【解析】由题数列{}n a 是公差为d 等差数列，则1303030()3902a a S +==，得13026a a +=，故1318a a +=13026a a +=，又15a =，得3021a =129a d =+，得21529d =+，得1629d =. 【小结】数学文化中的等差数列，主要涉及通项公式、求和公式基本量的计算，认真阅读题干，注意转化是关键.1．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135C ．95D ．23【解析】∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=，∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 2.（北京高考真题（理））已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-【解析】∵对任意的p ，q ∈N *，满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴p ＝q ＝n 时，有a 2n ＝2a n ． 又a 2＝－6，∴a 8＝2a 4＝4a 2＝－24，故a 10＝a 2＋a 8＝－30．3．（2020·全国高三二模（文））已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，248a a ⋅=，515S =，则10a =（ ） A ．10B ．4-C ．10或4-D ．10-或4【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()1111383385101532a d a d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⎨⎨+==-⎩⎩211d d ⇒=⇒=或1d =-.当1d =时，11a =，所以n a n =；当1d =-时，15a =，所以6n a n =-，所以1010a =或4-.选C 4．（2020·全国高三三模（文））记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若311a =，675S =，则12a =（ ） A ．28B ．31C ．38D ．41【解析】由题知：3161211656752a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得153a d =⎧⎨=⎩.所以12511338=+⨯=a .选C 5．（2020·全国高三其他（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若77217S a =-，则10S =（ ） A ．12B ．15C ．18D ．21【解析】解：由17747772172a a S a a +=⨯==-，得473a a +=， 所以4710310101522a a S +=⨯=⨯=.选B . 7. （2019·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20200a >，且201920200a a +<, 则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．2019 B ．2020C ．4039D ．4040【解析】20200a >，且201920200a a +<，20190a ∴<．14039403920204039()403902a a S a +∴==>，140384038201920204038()2019()02a a S a a +==+<， 则满足0n S >的最小正整数n 的值为4039．选C.8．（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知等差数列{}n a ，,,n m a m a n ==则m n a +=（ ） A ．mB ．nC ．0D ．m n +【解析】设等差数列的公差为d ，由题得111(1),1,1(1)a n d md a m n a m d n +-=⎧∴=-=+-⎨+-=⎩. 所以1(1)(1)0m n a m n m n +=+-++-⨯-=.选C 9.（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n 项和．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】分析：等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，，，排除B ，对C ，，排除C ．对D ，，排除D ，故选A ．详解：由题知，，解得，∴，故选A ．10.（2009·宁夏高考真题（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ） A ．38B ．20C ．10D ．9【解析】因为{}n a 是等差数列，所以112m m m a a a -++=，则由2110m m m a a a -++-=可得220m m a a -=，解得0m a =或2m a =. 因为12121(21)(21)382m m m a a S m m a --+=⨯-=-=，所以0m a ≠，故2m a =.代入可得，2(21)38m -=，解得10m =11．（2020·江苏盐城 高二期末）【多选题】设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值 B ．当30n =时，0n S = C ．当0d >时，10220a a +> D ．当0d <时，1022a a >【解析】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性，所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确. 对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭，故C 正确. 对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-，22129421321222a a d d d d =+=-+=， 因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.选BC12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）【多选题】已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n S 中的最大项为10SB ．数列{}n a 的公差0d <C ．100S >D ．110S <【解析】564S S S >>，故60a <，50a >且560a a +>，故数列{}n S 中的最大项为5S ，A 错误； 数列{}n a 的公差0d <，B 正确；()()110105610502a a S a a +⨯==+>，C 正确；()111116111102a a S a+⨯==<，D 正确；选BCD .13．（2020·河北新华 石家庄二中高一期中）【多选题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ）A ．14S 是唯一最小值B ．15S 是最小值C ．290S =D ．15S 是最大值【解析】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===，选CD.14．（2020·山东烟台三中高二期中）【多选题】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．100a =B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【解析】13611112323661590a a S a a d a d a d +=∴++=+∴+=即100a =，A 正确； 当0d <时，n S 没有最小值，B 错误；127891011121012750S S a a a a a a S S -=++++==∴=，C 正确；1191910()191902a a S a +⨯===，D 正确.选ACD15.（2019·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【解析】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 16.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.17.（2018·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 18.（2017·全国高考真题（文））设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和．【解析】（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ．n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1＝2（n ﹣1）．∴（2n ﹣1）a n ＝2．∴a n 221n =-． 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立．∴a n 221n =-． （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+． ∴数列{21n a n +}的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122121n n n -=++． 必考点10： 等比数列的有关概念1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 例题20： 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.选D.例题21：已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =； （2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【小结】1．等比数列的基本运算：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解． 2．等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列； (2)等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 是等比数列．必考点11： 等比数列的前n 项和一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.例题22： 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n n n n nn n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-.选B.例题23：等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nnS --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．必考点12： 等比数列的相关性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等比数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，m n m n q a a -=；（4）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ，如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a qa a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．4. 等差数列和等比数列比较判定方法(1)定义法； (2)中项公式法：212+++=n n n a a a ()n N ∈*⇔{}n a 等差数列(3)通项公式法：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔ {}n a 为等差数列；(4)前n 项和公式法：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔ {}n a 为等差数列； (5) {}n a 为等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：212++=n n n a a a()n N ∈* (0n a ≠)⇔ {}n a 为等比数列(3)通项公式法：nn a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 为等比数列(4) {}n a 为等差数列⇔{}n aA (n aA 总有意义)为等比数列性质(1)若m ，n ，p ，q N +∈，且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(2)()n m a a n m d =+- (3) 232,,n n n n n S S S S S --，…仍成等差数列(1)若m ，n ，p ，q N +∈，且m n p q +=+，则m n p q a a a a =(2) m n m n q a a -=(3)等比数列依次每n 项和(0n S ≠)，即232,,n n n n n S S S S S --，…仍成等比数列前n 项和11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 1q =时，1na S n =；当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-. 例题24： 等比数列中，已知1234567820,10a a a a a a a a +++=+++=，则数列的前16项和为（ ）A ．20B ．752C ．1252D ．752-【解析】由题意得，48420,10S S S =-=，则84412S S S -=，根据等比数列的性质可知4841281612,,,S S S S S S S ---构成公比为12等比数列，4841281612520,10,5,2S S S S S S S =-=-=-=，且812167530,35,2S S S ===，故选B ． 例题25：数列{}n a 的各项都是正数，且数列{}3log n a 是等差数列，若564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+log 35【解析】因为数列{}3log n a 是等差数列，所以13133log log log n n n n a a a d a ++-==，所以*13,d n nan N a +=∈， 所以数列{}n a 是等比数列，所以5647a a a a =，又564718a a a a +=，所以56479a a a a ==， 所以1102947569a a a a a a a a =====，所以53132310312103log log log log ()log 910a a a a a a +++===，选B【小结】应用等比数列性质解题时的两个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．必考点13： 等比数列基本运算例题26： 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．例题27：设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =.必考点14： 等比数列的前n 项和公式的综合应用例题28：设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12n a a a e e e +++.【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln2a a +=，∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =，∴ln2d =.∴()11ln2n a a n d n =+-=. （II ）由（I ）知ln2n a n =， ∵2ln 2=2nn a nln n e e e ==，∴{}n a e是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2nna a a e e e ee e+++=+++2=222n +++1=22n +-.∴12n a a a e e e +++ 1=22n +-例题29： 已知等比数列{}n a 的公比(0,1)q ∈，前n 项和为n S .若331S a +=，且2116a +是1a 与3a 的等差中项. （I ）求n a ；（II ）设数列{}n b 满足10b =，1()n n n b b a n *+-=∈N ，数列{}n n a b 的前n 项和为n T .求证：1()3n T n *<∈N . 【解析】（I ）由33=1S a +，得12321a a a ++=①. 再由2116a +是1a ，3a 的等差中项，得1321216a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即132128a a a +-=②. 由①②，得()123132282a a a a a a ++=+-，即32161770a a a -+=，亦即261770q q -+=，解得12q =或73，又()0,1q ∈，故12q =. 代入①，得1211122a q q ==++，所以111111222n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()*12n n a n N =∈；（II ）证明：对任意*n N ∈，()111111*********nn n nna q S a q⎛⎫-⎪-⎝⎭===-=---，()()()11213211201n n n n n n b b b b b b b b a a a S a ++=+-+-++-=++++==-，即11n n b a +=-. 又10b =，若规定00112a ==，则()*11n n b a n N -=-∈. 于是()*1n n n n n a b a a a n N-=-∈，从而()()1201121111111241123214n n n n n n nT a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪=+++-+++=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭12121113211323323n n n ---⋅-=-<⋅⋅，即()*13n T n N <∈.【小结】1.等比数列前n 项和S n 相关的结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)．(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m (q 为公比)．2.等比数列最值有关问题的解题思路求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．必考点15： 等差数列、等比数列的综合问题例题30：设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．。