【精编版】华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解

13.2 三角形全等的判定-角边角教学目标1．三角形全等的条件：角边角、角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．教学重点已知两角一边的三角形全等探究．教学难点灵活运用三角形全等条件证明．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？两种：①定义；②S.A.S．2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？Ⅱ．导入新课问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．问题2：三角形的两个内角分别是60°和40°，它们的夹边为4.5cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和其夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“A.S.A.”）．问题3：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？D C AB FE证明：∵∠A +∠B +∠C =∠D +∠E +∠F =180°∠A =∠D ，∠B =∠E∴∠A +∠B =∠D +∠E∴∠C =∠F在△ABC 和△DEF 中∴△ABC ≌△DEF （A.S.A.）．两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）． 小试牛刀：例：如图，∠ABC ＝∠DCB ，∠ABD ＝∠DCA ，试说明：AB ＝DC ．解：因为∠ABC ＝∠DCB ，∠ABD ＝∠DCA ，所以∠ABC －∠ABD ＝∠DCB －∠DCA ，即∠DBC ＝∠ACB ，∵∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB (公共边)，∠ACB ＝∠DBC ，∴△ABC ≌△DCB （A.S.A ）∴AB ＝DC （全等三角形的对应边相等）．试一试：如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：AD =AE ．【解析】AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD =AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．证明：在△ADC 和△AEB 中所以△ADC ≌△AEB （A.S.A.）所以AD =AE ．Ⅲ．随堂练习（一）课本练习1.2．（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．50︒50︒45︒45︒DC A B (1)29︒29︒DC A B (2)E【答案】图（1）中由“A .S.A.”可证得△ACD ≌△ACB ．图（2）由“A .A.S.”可证得△ACE ≌△BDC ． Ⅳ．课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边角边（S.A.S.）角边角（A.S.A.）角角边（A.A.S.）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．Ⅴ．作业1．课本习题。

第十三章全等三角形应知一、基本概念命题：可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成"如果.......，那么......."的形式。

用"如果"开始的部分就是题设，而用"那么"开始的部分就是结论。

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。

二、基本法则1. 四种命题的关系(见下图)。

2. 假命题的证明：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为"举反例"。

⑵公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

⑶定理：有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

⑷逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。

3. 全等三角形的判定：⑴如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）⑵如果两个三角形有两角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等。

简写成“角边角”或简记为（A.S.A.）⑶如果两个三角形有两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。

（此文档为word 格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）第13章 全等三角形一、命题与定理1、判断一件事情的语句叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

如：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题） （2）三角形的内角和是180°；（真命题） （3）同位角相等；（假命题）（4）平行四边形的对角线相等；（假命题） （5）菱形的对角线相互垂直（真命题）2、把一个命题改写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．3、从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．二、全等三角形1、全等三角形的概念及其性质1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。

2）全等三角形性质：（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等 例1.已知如图（1），ABC ∆≌DCB ∆,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,对应角:______与_______,______与_______,______与_______.例2.如图（2），若BOD ∆≌C B COE ∠=∠∆,.指出这两个全等三角形的对应边；若ADO ∆≌AEO ∆,指出这两个三角形的对应角。

（图1） （图2） （ 图3）例3．如图（3）, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ,ο105=∠=∠AED ACB ,οο25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.2.全等三角形的判定方法1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）例1．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD=AC,在CF 的延长线上截取CG=AB ，连接AD 、AG 。

13.2.3三角形全等的判定(S.A.S)教学内容：华师版13.2.3三角形全等的判定(S.A.S)教学目标：1、使学生掌握全等三角形的判定条件；掌握S.A.S.的内容,会运用S.A.S.来识别两个三角形全等。

2、经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题；学习分析事物本质的方法。

3、通过S.A.S.定理的学习,让学生体验分类的思想,培养学生合作的精神。

教学重难点：重点：理解并掌握三角形全等的判定方法S.A.S.定理。

难点：灵活运用S.A.S.定理证明三角形全等。

教学准备：三角板、量角器、课件教学过程：一、创设情境1、探索：如果两个三角形只有三组对应相等的元素，那么会出现几种情况？这两个三角形全等吗？（学生讨论解决）⑴有三个角对应相等；⑵有两个角对应相等、一条边对应相等；⑶有一个角对应相等、两条边对应相等；⑷有三条边对应相等。

二、新授课1、有一个角对应相等、两条边对应相等的情况，这两个三角形一定全等吗？2、思考有几种类型：两种类型：⑴角夹在两条边的中间，形成两边夹一角;⑵角不夹在两边的中间，形成两边一对角。

3、研究：角夹在两条边的中间，形成两边夹一角⑴完成P63的做一做，师示范，学生跟着画图。

⑵学生间验证是否全等。

⑶同桌选取相同的数据画图并验证。

⑷得出三角形全等的判定方法(S.A.S)。

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

⑸数学语言表述用S.A.S定理判定两个三角形全等。

⑹讲解例1、例2强调角是两边的夹角。

4、研究：角不夹在两边的中间，形成两边一对角。

⑴完成P65的做一做，学生画图验证。

（有两种情况）⑵两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。

三、练习1、完成P65练习第1、2题2、巩固练习四、小结三角形全等的判定方法（一）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（S.A.S）。

五、作业1、完成习题13.2第2题。

全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、（2016•泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC∴∠BAP ＝∠CAP在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS)∴ QC ＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】3、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；在△ADF 与△CBE 中，，∴△ADF≌△CB E （ASA ）．类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF5、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用6、要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ，从而得解．【答案与解析】解：∵AB⊥l，CD⊥l，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴AB=DE，即ED 的长就是A ，B 两点间的距离．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。

【巩固练习】一、选择题1.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD2．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去6．（2016•金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD二、填空题7. 如图,∠1＝∠2，要使△AB E≌△ACE，还需添加一个条件是. (填上你认为适当的一个条件即可).8. 在△ABC 和△'''A B C 中，∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠'C ＝69°，∠'B ＝44°，且AC ＝ ''B C ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，AF ＝DE ，且BE ＝2，BC ＝10，则EF ＝________.10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE ＝OF ，图中全等三角形共有______对.11.（2016•石景山一模） 如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“ASA ”为依据，还缺条件（2）若以“AAS ”为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由． 答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14.如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE，CE 平分∠BCD，CD=CE ．求证：△ACD≌△BCE．E DC B A15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且∠E＝∠F.求证：EB=CF.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；故选：B．2. 【答案】D；【解析】连接AC或者BD用SAS判定三角形全等即可得只有D答案是错误的.3. 【答案】C；【解析】可由AAS证全等，得到A、B、D三个选项是正确的.4. 【答案】C；【解析】没有SSA定理判定全等.5. 【答案】C；【解析】由ASA定理，可以确定△ABC.6. 【答案】A【解析】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；故选：A ．二、填空题7. 【答案】∠B ＝∠C ；【解析】可由AAS 来证明三角形全等.8. 【答案】一定；【解析】由题意，△ABC ≌△'''B A C ，注意对应角和对应边.9. 【答案】6；【解析】△ABF ≌△CDE ，BE ＝CF ＝2，EF ＝10－2－2＝6.10.【答案】5；【解析】△ABO ≌△CDO ，△AFO ≌△CEO ，△DFO ≌△BEO ，△AOD ≌△COB ，△ABD ≌△CDB.11.【答案】答案不唯一，B C ∠=∠或AC AB =等；【解析】12.【答案】（1）∠A ＝∠D ；（2）∠ACB ＝∠F.三、解答题13. 【解析】解： 这位同学的回答及证明过程不正确.因为∠D 所对的是AO ，∠C 所对的是OB ，证明中用到了OA ＝OB ，这不是一组对应边，所以不能由ASA 去证明全等.14. 【解析】证明：∵C 是线段AB 的中点∴AC=BC∵CD 平分∠ACE，CE 平分∠BCD∴∠ACD=∠ECD，∠BCE=∠ECD∴∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中∴△ACD≌△BCE（SAS ）．15.【解析】证明：∵AB ∥CD,∴∠CDO ＝∠BAO在△OAB 和△ODC 中，CDO BAO OD OA DOC AOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAB ≌△ODC （ASA ）∴OC ＝OB在△OCF 和△OBE 中FOC EOB F E OC OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCF ≌△OBE （AAS ） ∴EB=CF。

华东师大版八年级数学上册一、全等三角形。

1. 概念。

- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

- 对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质。

- 全等三角形的对应边相等。

- 全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定。

- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

- HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

二、轴对称。

1. 轴对称图形。

- 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

- 对称轴是一条直线，它把一个图形分成两个完全相同的部分。

2. 轴对称变换。

- 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

- 性质：- 关于某条直线对称的两个图形是全等形。

- 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

- 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3. 线段的垂直平分线。

- 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

- 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

- 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三、实数。

1. 平方根。

- 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

- 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

- 表示方法：正数a的平方根记为±√(a)。

2. 算术平方根。

- 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√(a)。