高考能力测试步步高数学基础训练17答案

高考能力测试步步高数学基础训练17基础训练17线段的定比分点、平面向量的数量积及数量积坐标表示、平移・训练指要掌握平而向量数量积的概念及性质，会用定比分点坐标公式解题.掌握平移含义，会求平移向量.一、选择题1.下面四个有关数量积的关系式：(DO • 0=0, @(a b) • c=a • (b• c),③a • b=b•。

.④la •5IW G• b.其中正确的是A .①(§)B.②③C .③④D .①③2•已知点P分有向线段片用所成的比是-3,则点Pi分〃尸所成的比是3 3 2 23.将函数.v=2'的图象C按向量。

=(-2, 1)平移后得到图象G，则G的函数解析式是A.3^2v2+lB.v=2r+2+lC.)=2"2JD.)=2「2-1二、填空题4,若将向量。

=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转上，得到向量乩则力的坐标是 __________ .45.把函数目唯(2»-3)+4的图象按向量。

平移后得到函数尸log2(2x)的图象，则«=.三、解答题6,过两点A(-3, -1)和8(4, 6)的直线与直线3x+2y-5=O交于点P,求点尸分A3所成的比.7,已知⑷=5,族1=4,且〃与力的夹角为60° ,问当且仅当实数〃为何值时，向量加-。

与4+% 垂直？8.将函数力(*=/-2叶2的图象H按。

=依外平移后得到图象&对应的函数的最小值是广/仆)最小值的2倍：若将Fl按力=化力)平移后得到图象F3, B对应的函数产苏(x) 的最小值与函数产k+11+LMI的最小值相同，求力与〃的值.高考能力测试步步高数学基础训练17答案一、l.D 2.B, ‘ •. ■ —・21提示：P、P = _3PP? = P、P = -3(PR - P\P) = P?P\ = _,P、P—►?分P,P所成的比为一二.一3二、4.(乌吗 2 2提示：设E ==(2 .cos a =——.sina =5cosxO8=cos a cos -4.“ 3 sin\xOB=—.Vio又仍 |=|〃|二，5,/. x=\b\cosxOB=—25.(-; -4)g — [x = x + h 提不：，y = y + k⑵? =—3 h：. =>— k=4 .K3.\a=( —— ,-4).—♦7T2, 1), O3 4=(Ky),NxOA=aJi!ljNxO5=a+ — .41TT,冗 1--sin a sin —=—=.4 M....CQ 3J2-,y=l〃lsiiLYO8= - ., 2代入y，= log, (2/) => y = log,(2x + 2h) - k,3 =——2=-43.B提示：设P分布所成的比为3贝।卜+ Ax B— 3 + 44%=又3与+2)6—5=0=-1 =—8.H提示：.fi(x)=(x—1—+1 2l,.v=k+ll+Lv-4l25.f2(x)=(x—h~\)2+\+k^ 1 +k,fi(x)=(x—k—1)2+1 +h 21 +h(\ + k = 2f/? = 4/. => .l + // = 5 Z = 1。

高考能力测试步步高数学基础训练20基础训练20 不等式的性质、均值不等式及应用●训练指要掌握不等式的运算性质，两个数及三个数的几何平均值与算术平均值的不等关系.一、选择题1.若a ＞b ＞1,P =b a lg lg ⋅,Q =21(lg a +lg b ),R =lg 2b a +,则 A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q2.已知a ＞b ，则下列不等式①a 2＞b 2,②ba 11<,③ab a 11>-中不成立的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3个3.设a ∈R ，且a 2+a ＜0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小顺序是A.a 2＞a ＞-a 2＞-aB.-a ＞a 2＞-a 2＞aC.-a ＞a 2＞a ＞-a 2D.a 2＞-a ＞a ＞-a 2二、填空题4.在“充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，非充分非必要条件”中选择适当的词填空：(1)a ＞b ,c ＞d 是a +c ＞b +d 的_________条件；(2)a +b ＞2，ab ＞1是a ＞1且b ＞1的_________条件； (3)ba ＞1是a ＞b 的_________条件 5.如果-2π≤a ＜β≤2π,则2βα-的范围是_________. 三、解答题6.已知a ,b ,x ,y 均为正数，且b a 11>,x ＞y ，求证by y a x x +>+. 7.已知a ,b ∈R ，比较a 2-2ab +2b 2与2a -3的大小.8.设a ＞0，且a ≠1,t ＞0，比较21log a t 与log a 21+t 的大小.。

高考能力测试步步数学基础训练3
基础训练3 逻辑联结词、四种命题、充分必要条件
●训练指要
了解命题的概念和复合命题的构成形式，理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；掌握四种命题及其相互关系，初步掌握充分条件、必要条件和充要条件的含义.
一、选择题
1.“ab≠0”是指
A.a≠0且b≠0
B.a≠0或b≠0
C.ab中至少有一个不为0
D.a、b不同时取0
2.已知命题“如果|a|≤1,那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”.它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有
A.0个
B.2个
C.3个
D.4个
3.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的
A.充分条件，但不是必要条件
B.必要条件，但不是充分条件
C.充要条件
D.不充分，也不必要条件
二、填空题
4.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_________条件，A 是B的_________条件.
5.命题“若x、y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是_________.
三、解答题
6.判定“a>2,b>1”是“方程x2-ax+b=0两根都大于1”的什么条件.
7.试判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题是真还是假.
8.证明：关于x的方程ax2+bx+c=0有根为1的充要条件是a+b+c=0.
高考能力测试步步数学基础训练3答案
一、1.A 2.B 3.A
二、4.必要必要 5.x+y不是偶数，则x、y不都是奇数
三、6.充分不必要
7.真8.略。

1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p q，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若A B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( × )(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ )(4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(6)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )1．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”C ．“若x >y ，则x 2>y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．2．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.3．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (2)0x ＋＜”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析 x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (2)0x ＋＜，12log (2)0x ＋＜⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (2)0x ＋＜”成立的充分不必要条件．因此选B.4．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．5．(教材改编)下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④题型一 命题及其关系例1 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假答案 (1)C (2)B解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0答案 (1)C (2)D解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”． (2)“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D. 题型二 充分必要条件的判定例2 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知A ，B ，C 为△ABC 三个内角，则“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“∠C ＝90°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)B (2)B解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(2)由cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B 两边平方，得sin 2A ＝sin 2B ，故A ＝B 或A ＋B ＝π2，故“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“∠C ＝90°”的必要不充分条件．故选B.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.(2)当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0(2)已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．3<m <5B ．3≤m ≤5C ．m >5或m <3D ．m ≥5或m ≤3答案 (1)C (2)B解析 (1)方法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根． 当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1. 设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0；当有两个负实根时，⎩⎨⎧ a ≤1，－2a <0，⇒0<a ≤1.1a>0综上所述，a ≤1. 方法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.(2)p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6；∵q 是p 的必要不充分条件，{x |m －1<x <m ＋1}{x |2<x <6}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2m ＋1≤6且等号不能同时取到，∴3≤m ≤5； ∴m 的取值范围为[3,5]．故选B.1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ：(a －1)2≤1，q ：任意x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3] 解析 (1)由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A温馨提醒 (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．[失误与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2015·天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜3⇒/ 1＜x ＜2，故选A.3．(2015·浙江)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故充分性不成立；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，而a ＋b ＜0.故必要性不成立．故选D.4．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 5．已知A ，B 是非空集合，条件甲：A ∪B ＝B ，条件乙：A B ，那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件答案 B解析若A B，则A∪B＝B，反之A∪B＝B，则A⊆B，故甲是乙的必要不充分条件．故选B.6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．7．“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析“a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0；“a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”，例如a＝5，b＝－6.故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要条件．故选D.8．“3<a<4”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 “函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f (－1)·f (2)<0⇔a <－32或a >3.故选A. 9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件． 答案 充分不必要解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．12．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确． B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题错误的是( )A ．若a >0，b >0，则a ＋b 2≥abB ．若a ＋b 2≥ab ，则a >0，b >0C ．若a ≠b ，则a ＋b 2>abD ．若a ＋b 2>ab ，则a ≠b 答案 C解析 选项A ，由基本不等式可得：若a >0，b >0，则a ＋b 2≥ab ，故A 正确； 选项B ，由ab 有意义可得a ，b 不可能异号，结合a ＋b 2≥ab 可得a ≥0，b ≥0，由ab ≠0可得a ≠0，b ≠0，故可得a >0，b >0，故B 正确；选项C ，需满足a ，b 同为正数才成立，若a ＝－1，b ＝2，显然满足a ≠b ，但ab 无意义，故C 错误；选项D ，把a ＋b 2>ab 的两边分别平方，整理可得(a －b )2>0，显然a ≠b ，故D 正确．故选C. 14．(2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件答案 B解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.15．(2015·浙江)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案 A解析命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由Venn图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A ∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)]＝[2card(B)－2(card(A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证．16．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若[x]＝[y]，则|x－y|<1；反之，若|x－y|<1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的充分不必要条件．故选A.17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．。

高一数学必修一步步高分层测评与训练答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“ ”或“ ”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A；（2）若A {x|x2 x}，则 1_______A；（3）若B {x|x2 x 6 0}，则3_______B；（4）若C {x N|1 x 10}，则8_______C，9.1_______C．1．（1）中国 A，美国 A，印度 A，英国 A；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．2 （2） 1 A A {x|x x} {0,．1 }2 （3）3 B B {x|x } x 6 0} { 3．,2（4）8 C，9.1 C 9.1 N．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2 9 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x 5 3的解集．22．解：（1）因为方程x 9 0的实数根为x1 3,x2 3，所以由方程x 9 0的所有实数根组成的集合为{ 3,3}；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；y x 3y 2x 6 x 1 y 42 （3）由，得，即一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点为(1,4)，1/29所以一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由4x 5 3，得x 2，所以不等式4x 5 3的解集为{x|x 2}．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{a,b,c}的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；取一个元素，得{a},{b},{c}；取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}；取三个元素，得{a,b,c}，即集合{a,b,c}的所有子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．2．用适当的符号填空：（1）a______{a,b,c}；（2）0______{x|x2 0}；（3） ______{x R|x2 1 0}；（4）{0,1}______N；（5）{0}______{x|x2 x}；（6）{2,1}______{x|x2 3x 2 0}．2．（1）a {a,b,c} a是集合{a,b,c}中的一个元素；（2）0 {x|x2 0} {x|x 0 }22 {；0}22（3） {x R|x 1 0} 方程x 1 0无实数根，{x R|x 1 0} ；（4）{0,1}（5）{0}N （或{0,1} N） {0,1是自然数集合N的子集，也是真子集； }{x|x x} （或{0} {x|x x}） {x|x x} 222{0,；1 }22（6）{2,1} {x|x 3x 2 0} 方程x 3x 2 0两根为x1 1,x2 2．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）A {1,2,4}，B {x|x是8的约数}；（2）A {x|x 3k,k N}，B {x|x 6z,z N}；（3）A {x|x是4与10的公倍数,x N }，B {x|x 20m,m N }．2/293．解：（1）因为B {x|x是8的约数} {1,2,4,8}，所以AB；（2）当k 2z时，3k 6z；当k 2z 1时，3k 6z 3，即B是A的真子集，BA；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设A {3,5,6,8},B {4,5,7,8}，求A B,A B．1．解：A B {3,5,6,8} {4,5,7,8} {5,8}，A B {3,5,6, 8}{4,5 ,7,8}{3,．42．设A {x|x2 4x 5 0},B {x|x2 1}，求A B,A B．2．解：方程x2 4x 5 0的两根为x1 1,x2 5，方程x2 1 0的两根为x1 1,x2 1，得A { 1,5},B { 1,1}，即A B { 1},A B { 1,1,5}．3．已知A {x|x是等腰三角形}，B {x|x是直角三角形}，求A B,A B．3．解：A B {x|x是等腰直角三角形}，A B {x|是． x等腰三角形或直角三角形}4．已知全集U {1,2,3,4,5,6,7}，A {2,4,5},B {1,3,5,7}，B),(求A (痧UA) ( UB)． U。

一、选择题1．(2015·日照一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a <0D ．a ≤02．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数3．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2015·银川一中二模)定义在[a ，b ](b >a )上的函数f (x )＝12sin x －32cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则b －a 的最大值M 和最小值m 分别是( ) A ．m ＝π6，M ＝π3B ．m ＝π3，M ＝2π3C ．m ＝4π3，M ＝2πD ．m ＝2π3，M ＝4π35．(2015·温州二测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．(18π－20)cm 3B ．(24π－20) cm 3C ．(18π－28) cm 3D ．(24π－28) cm 36．(2015·石家庄二检)已知函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，a ∈R ，且y ＝f (2x －3)是偶函数．又g (x )＝x 3＋ax 2＋x 2＋14，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫k ，k ＋12，k ∈Z ，使得g (x 0)＝x 0，则满足条件的实数k 的个数为( )A ．3B ．2C ．4D ．17．(2015·湖北八校联考)已知点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．48．(2015·广西二市联考)若数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＋a n ＝a n a n －1(n 2－n )·(－1)n (n ∈N *，且n ≥2)，则数列{a n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3)}的前6项和为( )A ．－3B ．－115 C.115D ．39．(2015·台州调考)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，若E ，F 为BD 1的两个三等分点，G 为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1表面上的动点，则∠EGF 的最大值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则该椭圆的离心率为( ) A.53 B.54 C.56D.5711．直线y ＝2x －2交抛物线y 2＝ax (a >0)于A 、B 两点，若O 为原点，|AB |＝215，则|OA →＋OB →|等于( )A ．2 2 B. 2 C ．3 2D ．4 212．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．(2015·南京调研)如图，过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左顶点A 作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q .若△AOP是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．14．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n ＝________.15．如图1，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M ，N ，Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上．当三棱锥Q —BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q —BMN 的正视图面积等于________．16．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →PF →的取值范围为________． 三、解答题17．(2015·湖北七市联考)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2，cos 2x2，设函数f (x )＝m n ＋1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＝6ab cos C ，sin 2C ＝2sin A sin B ，求f (C )的值． 18.如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB ＝BC ＝CA ＝3，AD ＝CD ＝1. (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)若E 为棱BC 的中点，求证：AE ∥平面DCC 1D 1.19．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0.且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 016的值．20．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．21．(2015·浙江绍兴一中交流卷)如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，矩形ABCD 与梯形ABEF 所在的平面互相垂直，已知AB ＝2，EF ＝1. (1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角D —FE —B 的大小为60°？22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的短轴两端点分别为A ，B ，过椭圆C 外的一点T (0，m )是否存在一条直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，使得TP →·TQ →＝76TA →·TB →？若存在，请求出此直线；若不存在，请说明理由．答案解析1．D2．C [A 中，由D (x )的定义直接可得D (x )的值域为{0,1}．B 中，D (x )的定义域为R ，D (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，＝D (x )，所以D (x )为偶函数．C 中，D (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，＝D (x )，所以可以确定1为D (x )的一个周期，D 中，D (1)＝1，D (2)＝0，D (2)＝1，…，所以D (x )不是单调函数．] 3．D 4.D 5.D6．A [由于函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，所以4a －3<3－2a 2，解得－3<a <1.又函数y ＝f (2x －3)是偶函数，所以4a －3<2x －3<3－2a 2⇒2a <x <3－a 2，且2a ＋3－a 2＝0⇒a ＝－1或3，所以a ＝－1，则g (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，令h (x )＝g (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，则h ′(x )＝3x 2－2x －12＝12(6x 2－4x －1)＝0⇒x ＝2±106，且当x ＝2－106时，h (x )取得极大值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－106>0，当x ＝2＋106时，h (x )取得极小值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋106<0，所以函数h (x )有三个零点．又h (－1)<0，h ⎝⎛⎭⎫－12>0，h (0)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)<0，h ⎝⎛⎭⎫32>0，所以k ＝－1,0,1，即满足条件的实数k 有3个，故选A.] 7．C8．B [由题意可得1a n ＋1a n －1＝1n (n －1)(－1)n ，则(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＝1n －1－1n，累加得(－1)n a n ＝－1n ，a n ＝(－1)n －1n ，所以a n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n (n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3)，则前6项的和为－23×5＋35×7＋－47×9＋59×11＋－611×13＋713×15＝－⎝⎛⎭⎫13×7＋17×11＋111×15＝－14×⎝⎛⎭⎫13－17＋17－111＋111－115＝－115，故选B.] 9．D10．D [依题意得，|PF 1|sin β＝|PF 2|sin α＝|F 1F 2|sin (α＋β)，所以|PF 1|＋|PF 2|sin α＋sin β＝|F 1F 2|sin (α＋β)，故e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝sin (α＋β)sin α＋sin β.由已知得0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，即cos(α＋β)<55，又cos 2(α＋β)＋sin 2(α＋β)＝1，所以cos(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55＋45×255＝11525，故sin α＋sin β＝21525，e ＝sin (α＋β)sin α＋sin β＝57，即该椭圆的离心率为57.] 11．D12．D [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据图形可知，只有直线z ＝x ＋y 在第一象限与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切时，z 最大．根据|1＋1－z |2＝2，解得z ＝4(z ＝0舍去)，故所求的最大值为4.]13.25514．2n ＋1－2解析 曲线y ＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，所以曲线在x ＝2处的切线斜率为k ＝n ×2n －1－(n ＋1)2n ＝－(n ＋2)2n －1，切点为(2，－2n )，所以切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n－1·(x －2)，令x ＝0得，y ＋2n ＝(n ＋2)2n ，即y ＝(n ＋1)2n ，所以a n ＝(n ＋1)2n ，所以a nn ＋1＝2n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.15.14a 2 解析 当俯视图如题中所示时，点Q 与点D 1重合、点N 与点C 重合，点M 为AD 1的中点，如图①所示，此时如果把正方体的侧面CDD 1C 1作为投影面，则三棱锥Q —BMN ，即三棱锥D 1—BMC 的正视图即为侧面CDD 1C 1上的三角形CD 1H ，如图②所示，其中H 为DD 1的中点，其面积为14a 2.16.⎣⎡⎦⎤0，18 解析 椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点为F (1，0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x－1)，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2，OP →＝⎝⎛⎭⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝⎛⎭⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →PF →＝2k 2(1＋2k 2)2－k 2(1＋2k 2)2＝k 2(1＋2k 2)2＝k 21＋4k 2＋4k4，当k ＝0时，OP →PF →＝0， 当k ≠0时，OP →PF →＝k 21＋4k 2＋4k 4＝14＋1k2＋4k 2≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →PF →>0. 当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合， 所以OP →PF →＝0.综上，OP →PF →的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，18. 17．解 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2－cos 2x2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋12. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，则2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴所求增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )． (2)由a 2＋b 2＝6ab cos C ， sin 2C ＝2sin A sin B ⇒c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝6ab cos C －2ab2ab ＝3cos C －1，即cos C ＝12，又∵0<C <π，C ＝π3，∴f (C )＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(π3－π6)＋12＝1. 18．证明 (1)在四边形ABCD 中， 因为BA ＝BC ，DA ＝DC ， 所以BD ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C . 又因为AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以BD ⊥AA 1.(2)在三角形ABC 中，因为AB ＝AC ，且E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ， 又因为在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1， 所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°， 所以DC ⊥BC ，所以AE ∥CD ， 因为DC ⊂平面DCC 1D 1， AE ⊄平面DCC 1D 1， 所以AE ∥平面DCC 1D 1.19．解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2，d ＝0(舍去)． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9.∴等比数列{b n }的公比q ＝3，b 1＝1，b n ＝3n －1.(2)∵c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1，①∴c 1b 1＝a 2，即c 1＝b 1a 2＝3. 又c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n (n ≥2)，② ①－②得，c nb n ＝a n ＋1－a n ＝2，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2). 则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 016＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 016－1＝3＋2×(31＋32＋…＋32 015) ＝3＋2×3×(1－32 015)1－3＝32 016－3.20．解 方法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0. 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20 ＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0， 所以|GH |＞|AB |2. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 方法二 (1)同方法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1， GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 21．(1)证明 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，CB ⊥AB ，CB ⊂平面ABCD ，∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB .又∵AF ⊥BF ，BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .(2)解取AB 的中点O ，DC 的中点H ，EF 的中点G ，以O 为坐标原点，OA →、OG →、OH →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝t (t >0)，则点D 的坐标为(1,0，t )，易知等腰梯形ABEF 的高为32， 则F ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫－12，32，0， 所以DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，－t ，DE →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－t . 设平面DFE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则n 1DF →＝0，n 1DE →＝0，即⎩⎨⎧ －12x ＋32y －tz ＝0，－32x ＋32y －tz ＝0.令z ＝3，解得x ＝0，y ＝2t ，∴n 1＝(0,2t ，3)．取平面BEF 的一个法向量n 2＝(0,0,1)，依题意得cos 60°＝|n 1n 2||n 1||n 2|，即12＝|0＋0＋3|4t 2＋3×1， 解得t ＝32(负值舍去)． 因此，当AD 的长为32时，二面角D —EF —B 的大小为60°. 22．解 (1)因为离心率e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2，又点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a2＋94b 2＝1，联立方程即可得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．假设存在直线l ，斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中， 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以TP →TQ →＝(x 1，y 1－m )(x 2，y 2－m )＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝4(1＋k 2)(m 2－3)3＋4k 2， TA →TB →＝(0，3－m )(0，－3－m )＝m 2－3，若TP →TQ →＝76TA →TB →， 则4(1＋k 2)(m 2－3)3＋4k 2＝76(m 2－3)， 因为m 2≠3，所以4(1＋k 2)3＋4k 2＝76， 解得k 2＝34，所以k ＝±32， 所以存在过椭圆C 外的一点T (0，m )的直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＝±32x ＋m .。

高考能力测试步步高数学基础训练35 基础训练35 平面图形的翻折 ●训练指要掌握平面图形折叠的变化规律，会求翻折前后的几何量，会判断(证明)其位置关系.一、选择题1.将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为A.a 43B.a 43C.a 23D.46a 2.正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角等于A.45°B.60°C.90°D.120°3.(2003北京春季高考题)如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为A.90°B.60°C.45°D.0°二、填空题4.将边长为a 的正六边形ABCD EF 沿AD 折成二面角E —AD —C ，使CE =a ,则二面角E —AD —C 的大小为_________.5.在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =10,CD =6,M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN =42,沿MN 把它折成120°的二面角后，异面直线AC 与MN 所成角的余弦值为_________.三、解答题6.边长为4的菱形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ＝3，以DM 为棱将菱形折起成60°的二面角A －MD －C ，求折起后AC 的长.7.BD 是边长为a 的正方形ABCD 的对角线，沿BD 把△ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°.(1)求二面角A —CD —B 的大小；(2)求三棱锥A —BCD 的体积.8.(2000年京皖蒙春季高考题)在直角梯形ABCD 中，∠D =∠BAD =90°,AD =21AB =a (如图(1))，将△ADC 沿AC 折起，使D 到D ′,记面ACD ′为α,面ABC 为β,面BCD ′为γ.(1)若二面角α—AC —β为直二面角(如图(2))，求二面角β—BC —γ的大小；(2)若二面角α—AB —β为60°(如图(3))，求三棱锥D ′—ABC 的体积.高考能力测试步步高数学基础训练35答案一、1.A 2.B 3.A二、4.arctan 924.542三、6.2143 7.(1)arccos515 (2)3246a 8.(1)45° (2)3126a。

高考能力测试步步高数学基础训练45基础训练45 数列的极限及四则运算●训练指要数列极限的定义与运算法则，若|a |＜1,则∞→n lim a n =0. 一、选择题1.已知等比数列｛a n ｝的前三项分别为a ,31,21++a a ,其中a ∈R ,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于A.9B.6C.29 D.3 2.在数列｛a n ｝中，有∞→n lim ［(2n -1)a n ］=1，∞→n lim a n 存在，则∞→n lim (na n )的值为 A.0 B.21 C.1 D.-13.已知｛a n ｝是等比数列，如果a 1+a 2=12,a 2+a 3=-6,S n =a 1+a 2+…+a n ，那么∞→n lim S n 的值等于A.8B.16C.32D.48二、填空题4.设无穷等比数列｛a n ｝的a 1=2,S =3,则公比q =_________.5.已知∞→n lim (2n -342+-kn n )=1,则k 的值为_________. 三、解答题6.求下列数列的极限： (1))21(lim 323232nn n n n +++∞→ ; (2)302050)3()1(1lim --+∞→n n n n 7.求下列数列的极限. (1))1(lim n n n n -+∞→; (2)nn n n n b a b a -+++∞→11lim (|a |≠|b |). 8.正数数列｛a n ｝中，a 1=2,lg a n =lg a n -1+lg t (t 为常数，且t ＞0).(1)求｛a n ｝的通项公式；(2)求11lim n -+∞→nn a a .高考能力测试步步高数学基础训练45答案一、1.A 2.B 3.B二、4.31 5.4 三、6.(1)31 (2)1 7.(1)原式=.211111lim 11lim =++=++∞→∞→n n n n n n (2)若｜a ｜＞｜b ｜.则原式=a ab a b b a nnn =-+∞→)(1)(lim ;若｜a ｜＜｜b ｜,则原式=－b . 8.(1)a n =2·t n －1,(2)⎪⎩⎪⎨⎧>=<<-=-+∞→)1(1)1(3)10(111lim t t t a a n n n .。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4数列求和 文求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1nn ＋1，则S 5＝________. 答案 56解析 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________.答案 －200解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为________． 答案 75解析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________.答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cosn π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π ＝1 008.题型一 分组转化法求和 例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.引申探究例1(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n＋(－1)n·n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2.当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2， n 为偶数，2n ＋1－n 2－52， n 为奇数.思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，求其前n 项和S n . 解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3， 当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.题型二 错位相减法求和例2 (2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.思维升华 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34.解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，① 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.② ①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)， 即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n，③ 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④④－③，得T n＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n)＋(2n＋1)2n＋1＝－6＋8－2·2n＋1＋(2n＋1)·2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2.题型三裂项相消法求和命题点1 形如a n＝1n n＋k型例3 设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜13.(1)解由题意知，S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*.令n＝1，有S21－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，可得S21＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又a n为正数，所以a1＝2.(2)解由S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得，(S n＋3)(S n－n2－n)＝0，则S n＝n2＋n或S n＝－3，又数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n2＋n，S n－1＝(n－1)2＋(n－1)．所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.又a1＝2＝2×1，所以a n＝2n.(3)证明当n＝1时，1a1a1＋1＝12×3＝16＜13成立；当n≥2时，1a n a n＋1＝12n2n＋1＜12n－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n＋1＜16＋16＝13.所以对一切正整数n ， 有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1＜13.命题点2 形如a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋1＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.四审结构定方案典例 (14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .(1)S n ＝－12n 2＋nk ――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大――→根据S n 结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n ――→根据S n求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n＝n 2n －1――→根据数列结构特征确定求和方法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――→错位相减法求和计算可得T n 规范解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[4分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立， 综上，a n ＝92－n .[7分](2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[9分] ②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.[12分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[14分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要通过题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数； (3)可以通过n ＝1,2时的特殊情况对结论进行验证．[方法与技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和． [失误与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n ＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于____________．答案 n 2＋1－12n解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为________． 答案 110解析 通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.3．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________. 答案 －100解析 若n 为偶数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，所以a n 是首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a n 是首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且对任意正整数k ，l ，都有a k ＋l ＝a k ＋a l ，则S 8的值是________． 答案 72解析 因为a 1＝2，且对任意正整数k ，l ，都有a k ＋l ＝a k ＋a l ，令k ＝n ，l ＝1，得a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1＝a n ＋2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，从而有a n ＝2n ，所以S n ＝n (n＋1)，故S 8＝72.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2， 当n 为奇数时，－n 2， 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.答案 100解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.6．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 答案 60解析 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________． 答案 －13解析 由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，易得该数列是周期为6的数列，且a n ＋2＋a n －1＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2 013，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 013，a 2＝1 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－13，a 4＝－1 013，依次可得a 5＝－1 000，a 6＝13，由此可知a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋a n ＋4＋a n ＋5＋a n ＋6＝0， ∴S 2 015＝S 5＝－13.8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 015＋1的值等于________． 答案 1解析 由a n ＋1＝a 2n ＋a n ，得1a n ＋1＝1a na n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 015＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2 015－1a 2 016＝2－1a 2 016.又a n ＋1＝a 2n ＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝a 2n >0，所以{a n }是正项递增的数列．又因为a 3＝2116>1，所以a 2 016>1，即0<1a 2 016<1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1a 2 016＝1.9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )． 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n)＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， 得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)， 得b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋22， T n ＝116⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝⎛⎭⎪⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －12－1n ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1n 2－1n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n ＋12－1n ＋22<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122 ＝564(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝____________. 答案4nn ＋1解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4nn ＋1. 12．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014＝________. 答案 2 010解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008， －2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.13．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．答案 16解析 设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0； 当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0， 所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.14．在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________． 答案100101解析 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列， ∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a nn 2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101. 15．(2015·山东)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3. 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25， 所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. 经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1＝41－4n1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋3n －14n ＋19.。