数列基础之两大基本数列

数列知识点归纳总结详细数列是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将对数列的基本概念、常见类型以及解题方法等进行详细的归纳总结。

通过本文的学习，读者可以全面了解数列的相关知识，为日后的学习和应用打下坚实的基础。

一、数列的概念数列是按照一定规律排列的数的集合。

其中，每个数都称为数列的项，每个项的位置称为项数。

通常用字母a1，a2，a3，…，an 等表示数列的项，其中an表示第n个项。

数列可以分为有限数列和无限数列。

有限数列是指项数有限的数列，而无限数列是指项数无限的数列。

二、数列的表示方式1. 显式表示法：数列的每一项都直接用公式表示。

常见的显式公式有等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 和等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)。

2. 递推关系式表示法：数列的每一项通过前一项来表示。

常见的递推关系式有等差数列的递推关系式an=an-1 +d 和等比数列的递推关系式an=an-1*r。

三、常见数列类型1. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。

常用的求和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

2. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。

常用的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。

3. 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和。

斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项之和，即a1=a2=1，an=an-1+an-2（n>=3）。

4. 平方数列：数列中的每一项都是该项的平方。

例如1，4，9，16，…5. 等差平方数列：数列中的相邻两项之差为平方数。

例如3，8，15，24，…四、数列的求和1. 等差数列的求和公式为Sn=n/2(a1+an)。

2. 等比数列的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)。

3. 其他特殊数列的求和需要根据数列的特点进行推导计算。

五、数列的性质和运算1. 数列的项可以进行加减乘除等运算，同类型数列可以互相进行运算。

高中数学专题-数列一、基础知识1.等差数列的定义与性质定义：1n n a a d+-=（d 为常数)，()11n a a n d=+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad+-==+性质：{}n a 是等差数列(1)若m n p q+=+，则m n p q a a a a +=+；(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；(3)若三个成等差数列，可设为a d a a d-+，，(4)若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=(5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数)nS 的最值可求二次函数2n S an bn=+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ndS S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.(7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-na S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠)，11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！)性质：{}n a 是等比数列(1)若m n p q+=+，则m n p qa a a a =··(2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq .注意：由nS 求na 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二、等差数列和等比数列对比等差数列等比数列定义a n－a n－1＝常数(n≥2)a na n－1＝常数(n≥2)通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n≥1)⇔{a n}为等差数列(3)通项公式法：a n＝pn＋q(pq为常数)⇔{a n}为等差数列(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}为等差数列(5){a n}为等比数列，a n>0⇔{log a a n}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝a n·a n＋2(n≥1)(a n≠0)⇔{a n}为等比数列(3)通项公式法：a n＝c·q n(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}为等比数列(4){a n}为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q特别：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(2)a n＝a m＋(n－m)d(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，即2(S2m－S m)＝S m+(S3m－S2m)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.(2)a n＝a m q n－m(3)若等比数列前n项和为S n则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．前n 项和S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－12d(1)q≠1，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na1三、考点方法归纳考点一求数列的通项公式1.由a n与S n的关系求通项公式：由S n与a n的递推关系求a n的常用思路有：①利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n与前n项和S n的关系是a n S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合S n－S n－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合S n－S n－1，则用分段函数的形式表示。

数列的基本知识点一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列的基础知识数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)． 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立． 数列的分类等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(5)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 运用方程的思想求解等比数列的基本量(1)若已知n ，a n ，S n ，先验证q ＝1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程(组)⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1q n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解． (2)若已知数列{a n }中的两项a n 和a m ，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，计算时两式相除可先求出q ，然后代入其中一式求得a 1，进一步求得S n .另外，还可以利用公式a n ＝a m ·q n－m 直接求得q ，可减少运算量．公式法与分组转化法(1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.。

数列的基本概念和求和公式数列是数学中一个非常基础的概念，涉及到数学中的序列和求和等知识。

本文将介绍数列的基本概念、常见数列的求和公式以及一些数列应用的例子。

一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一列数，数列中的每个数称为数列的项。

我们通常用一般项公式来表示数列的规律，一般项公式为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)表示与n相关的函数表达式。

例如，等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

常见的数列类型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。

下面将分别介绍这些数列及其求和公式。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。

也就是说，等差数列中每一项与前一项的差等于一个常数d，这个常数称为公差。

等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中a1为首项，an为第n项。

应用举例：例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和Sn。

解：根据求和公式Sn = (a1 + an)n/2，代入a1 = 3，an = 3 + (10 - 1)2 = 20。

则Sn = (3 + 20)10/2 = 115。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。

也就是说，等比数列中每一项与前一项的比等于一个常数q，这个常数称为公比。

等比数列的一般项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

求等比数列的前n项和的公式为Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中a1为首项，q为公比。

应用举例：例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和Sn。

解：根据求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，代入a1 = 2，q = 3，n = 5。

则Sn = (2 * (3^5 - 1)) / (3 - 1) = 242。

数列的概念基础数列是按照一定的规律排列的一组数。

每个数称为数列的项，项之间的关系由数列的通项公式或递推公式决定。

数列是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，如代数、几何、物理、经济等。

数列可以分为等差数列和等比数列两大类。

等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差保持不变，这个差值称为公差，用d表示。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，n表示项数。

例如，1，3，5，7，9是一个公差为2的等差数列，其通项公式为an = 1 + (n-1)2。

等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比保持不变，这个比值称为公比，用q 表示，且q不等于0。

等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，n表示项数。

例如，1，2，4，8，16是一个公比为2的等差数列，其通项公式为an = 1 * 2^(n-1)。

数列的概念不仅局限于等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如等差-等比数列、斐波那契数列等。

等差-等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比为固定值，且差也是固定值。

斐波那契数列是指数列中的每一项是前两项之和，即第n项等于第n-1项与第n-2项之和。

数列的概念还可以推广到无穷数列。

无穷数列是指项数无限的数列。

对于无穷数列，通常使用极限的概念来描述其性质。

例如，等差数列的极限为无穷大或无穷小，而等比数列的极限只有在公比的绝对值小于1时才存在。

在现实生活中，数列的应用非常广泛。

在数学中，数列常常用于数学证明、解题和推导过程中。

在物理学中，数列常常用于描述物体的运动和变化规律，如自由落体运动、振动运动等。

在经济学中，数列常常用于描述经济指标的变化趋势，如GDP的增长、失业率的变化等。

总之，数列是按照一定规律排列的一组数，具有重要的数学和实际应用价值。

通过研究数列的规律和性质，不仅可以提高数学思维和解题能力，还可以应用于各个领域，为科学研究和实际生活提供有效的工具和方法。

基础数列知识点归纳总结在学习数列的过程中，我们需要掌握数列的基本概念、常见的数列类型、数列的性质以及求解数列的方法等知识。

下面我们来归纳总结一下数列的基础知识点。

一、数列的基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。

数列中的每一个数称为数列的项，用an表示第n项。

数列的项数可能是有限个，也可能是无限个。

1. 有限数列：数列的项数是有限个的，可以用一个有限个项的列表表示出来。

例如：1, 3, 5, 7, 92. 无限数列：数列的项数是无限个的，无法用有限个项的列表表示出来。

例如：1, 2, 3, 4, ...二、常见的数列类型数列根据其递推规律的不同，可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。

1. 等差数列如果一个数列中任意相邻两项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

例如：1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为2的等差数列。

2. 等比数列如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

例如：2, 6, 18, 54, 162 是一个公比为3的等比数列。

3. 其他特殊数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，例如：斐波那契数列、调和数列、几何级数等。

三、数列的性质1. 数列的有界性数列中的项是否有界，与数列的性质密切相关。

有界数列指的是数列中的项都在一定的范围内，可以是上界和下界。

2. 数列的求和公式对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算数列的前n项和。

等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。

3. 数列的极限性质对于无限数列，我们可以关注它的极限性质。

当n趋向于无穷大时，数列的极限值将是一个重要的性质，它可以帮助我们理解数列的最终发展趋势。

1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。

教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。

作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。

等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。

与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。

最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。

三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。

通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。

教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

数列的基本概念与性质数学中，数列是一系列按照特定规律排列的数字或数字符号的集合。

它常常被用来描述某种规律或模式，研究其性质和表达式。

本文将介绍数列的基本概念、常见的数列类型及其性质。

一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的集合。

一般来说，数列可以用以下形式表示：{a₁，a₂，a₃，...，an}或a₁，a₂，a₃，...，an其中，a₁，a₂，a₃，...，an表示数列的项，n表示数列的项数。

在数列中，第一个数a₁称为首项，而最后一个数an称为末项。

数列的第n项可表示为an，而数列的公式通常表示为an = f(n)，其中f(n)是一个与项数n相关的函数。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中每一项与前一项之差都相等。

具体而言，如果一个数列满足an+1 - an = d，其中d为常数，那么这个数列就是等差数列。

在等差数列中，公差d表示相邻两项之间的差值。

首项a₁、末项an和项数n之间存在以下关系：an = a₁ + (n - 1)d等差数列的性质有：1. 求和公式：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。

2. 通项公式：等差数列的第n项可表示为an = a₁ + (n - 1)d。

3. 对于任意正整数m和n（m < n），am与an之间的项数是n - m。

三、等比数列等比数列是一种常见的数列类型，其中每一项与前一项之比都相等。

具体而言，如果一个数列满足an+1 / an = q，其中q为常数，那么这个数列就是等比数列。

在等比数列中，公比q表示相邻两项之间的比值。

首项a₁、末项an和项数n之间存在以下关系：an = a₁ * q^(n - 1)等比数列的性质有：1. 求和公式：当0 < q < 1时，等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)；当q > 1时，等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。

数列与级数的基本概念与性质知识点总结数列和级数是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

本文将对数列与级数的基本概念和性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识点。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的实数所组成的序列。

通常用 {a_n} 或 {a_1, a_2, a_3, ...} 表示。

2. 公式推导法：通过数列的前几项可以发现规律，进而得到数列的通项公式，从而可以计算数列中任意一项的值。

3. 递推关系式：通过数列中前一项与后一项之间的关系可以得到递推关系式，从而可以计算数列中任意一项的值。

二、数列的性质1. 数列的有界性：一个数列可以是有界的，即存在上界和下界，也可以是无界的。

2. 数列的单调性：一个数列可以是递增的、递减的或者保持不变。

3. 数列的极限：当数列的项数趋向无穷大时，如果数列的值趋向于某个常数，那么这个常数就是数列的极限。

三、级数的基本概念1. 级数的定义：级数是由一个数列的项之和组成的数列。

通常用S_n 表示，表示前 n 项的和。

2. 部分和数列：级数的部分和组成一个新的数列，通过计算前 n 项的和来求得部分和数列的通项公式。

四、级数的收敛性与发散性1. 收敛级数：当级数的项数趋向无穷大时，如果部分和数列的极限存在，那么称该级数为收敛级数。

2. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列必然有界，而且任意两项之间的绝对值之和都可以无限地接近零。

3. 发散级数：当级数的项数趋向无穷大时，如果部分和数列的极限不存在或为无穷大，那么称该级数为发散级数。

五、常见数列和级数1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。

2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列。

3. 调和级数：调和级数是指级数中每一项的倒数构成的数列。

六、数列与级数的应用1. 数学模型：数列和级数广泛应用于数学模型中，用于描述和解决各种实际问题，如经济学模型、物理学模型等。

数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。

数列的基本性质等差数列1.等差数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 （2）122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列(3) n a =kn+b (k, b 为常数)（即为关于n 的一次函数） ⇔{}n a 为等差数列 2.常用性质(1) 若数列{}n a ,{}n b 为等差数列,则数列{}n a k +,{}n k a ,{}n n a b ±,{}n ka b +(k, b 为非零常数)均为等差数列.(2) 对任何m,n ∈*N ,在等差数列{}n a 中,有()n m a a n m d =+-,特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式.因此,此公式比等差数列的通项公式更具有一般性.另外可得公差d=11n a a n --,或d=n m a an m --(3) 若m+n=p+q (m, n, p, q ∈*N ),则n m a a +=p q a a +.特别的,当n+m=2k 时,得n m a a +=2k a(4) {}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即1211n n i n i a a a a a a -+-+=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅⋅⋅。

(5) 在等差数列{}n a 中,每隔k(k ∈*N )项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列) (6) 如果{}n a 是等差数列,公差为d ，那么n a ，1n a -，⋅⋅⋅⋅⋅⋅2a ，1a 也是等差数列，其公差为d -.(7) 若数列{}n a 为等差数列,则记12n n S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122n n n n n S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223n n n n n S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，仍成等差数列，且公差为2n d 3.等差数列前n 项和公式n S 比较（1）公式1()2n n n a a S +=，适用范围：用于已知等差数列首项和末项 （2）公式d n n na S n 2)1(1-+=，适用范围：用于已知等差数列首项和公差 n S 常用的基本性质：（1）在等差数列{}n a 中,当项数为2n (n ∈*N )时,1,n n S aS S nd S a +-==奇偶奇偶, 当项数为2n -1(n ∈*N )时,,1n S nS S a S n -==-奇偶奇偶 (2).若等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数),则1212n nn n a S T b ++=.或1212--=n n n n T S b a(3)在等差数列{}n a 中.n S =a,m S b =,则()n m n mS a b n m++=--,特别地, 当n mS S =时,0n m S +=, 当n S =m,m S =n 时()n m S n m +=-+ (4) 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,则数列{}nS n也为等差数列. (5) 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ; ①若1a >0,公差d<0,则当n a >0且10n a +<,则n S 最大,当n a >0,10n a += 且20n a +<,则n S =1n S +最大. ②若1a <0,公差d>0,则当n a <0且10n a +>,则n S 最小,当n a <0,10n a += 且20n a +>,则n S =1n S +最小 等比数列1.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有1(0)n n n a qa a +=≠（q 为常数）⇔{}n a 为等比数列 （2）1n na q a +=(q ≠0)（n ∈*N ）⇔{}n a 为等比数列 (3) 211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 2.常用性质(1).若数列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列1{}n a ,{}n k a ,2{}n a ,21{}n a -,{}n n a b {}n na b (k 为非零常数) 均为等比数列.(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.(3) 若m+n=p+q (m, n, p, q ∈*N ),则n m a a =p q a a .特别的,当n+m=2k 时,得n m a a =2k a (4) {}n a 是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即1211n n i n i a a a a a a -+-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ 。

《数列》知识点、题型、解法全方位解析 内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉数列的基础知识与一般性结论：(一)数列的概念：项，项数。

一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。

(二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，）1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式，2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项，3.前n 项和公式：①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表示，如2)(1n n a a n S +=）注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。

数列常见的基本公式数列是数学中一个重要的概念，它描述了一系列按照特定规律排列的数字或者其他数学对象。

数列常见的基本公式包括等差数列、等比数列、调和数列等。

一、等差数列：等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都是一个常数d，这个常数称为公差。

等差数列一般用an表示，其中a1是首项，d是公差。

等差数列的定义公式为：an = a1 + (n - 1)d。

等差数列的特点：1. 任意两个相邻项之差都是一个常数，即an+1 - an = d。

2.等差数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 + d。

3.等差数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。

4.等差数列的前n项和也可以用递推公式表示为Sn=(n/2)(2a1+(n-1)d)。

二、等比数列：等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比都是一个常数q，这个常数称为公比。

等比数列一般用an表示，其中a1是首项，q是公比。

等比数列的定义公式为：an = a1 * q^(n - 1)。

等比数列的特点：1. 任意两个相邻项之比都是一个常数，即an+1 / an = q。

2.等比数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 * q。

3.等比数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q不等于14.当公比q等于1时，等比数列变为等差数列。

三、调和数列：调和数列是指数列中的任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数h，这个常数称为调和差。

调和数列一般用an表示，其中a1是首项，h是调和差。

调和数列的定义公式为：an = 1 / (a1 + (n - 1)h)。

调和数列的特点：1. 任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数，即1 / an+1 - 1 /an = h。

2. 调和数列的通项公式可以用递推公式表示为an = 1 / (1 / an-1 + h)。

除了这些常见的基本公式外，还有其他一些特殊的数列，如等差矩阵数列、Fibonacci数列、Arithmetico-geometric数列等。

基本数列知识点总结一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

形式上，一个数列可以表示为{a1, a2, a3, ...}或者{an}。

其中，an表示数列中的第n个数，而n是整数。

数列中的每个数都有一个位置，这个位置由下标n来确定。

因此，数列是一个有序的集合。

数列中的每个数都有一个对应的位置，因此数列可以看做是从1开始的整数集合到实数集合的一个函数映射。

数列分为有限数列和无限数列两种。

有限数列是只包含有限个数的数列，无限数列是包含无限个数的数列。

二、数列的常见类型1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒为一个常数的数列。

这个常数称为公差，通常用d 表示。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

其中，a1表示数列的第一项，n表示数列中的第n个数。

2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒为一个常数的数列。

这个常数称为公比，通常用r 表示。

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

其中，a1表示数列的第一项，n表示数列中的第n个数。

3.斐波那契数列斐波那契数列是一种非常特殊的数列，它的规律是前两项之和等于后一项。

即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2。

其中，a1和a2分别表示数列的前两个数。

4.调和数列调和数列是指数列中的相邻两项的倒数构成的数列。

调和数列的通项公式为an = 1/n。

调和数列是一个无限数列。

5.幂数列幂数列是指数列中的每一项是以同一正整数为底的乘方运算所构成的数列。

幂数列的通项公式为an = c^n。

其中，c为正整数。

三、数列的性质1.数列的有界性如果一个数列中的所有项都不超过一个常数M，则称该数列是有上界的。

如果一个数列中的所有项都不小于一个常数m，则称该数列是有下界的。

若一个数列同时有上界和下界，则称该数列是有界的。

而如果一个数列既没有上界也没有下界，则称该数列是无界的。

公考行测数字推理六大基本数列及其真题解析点击：3330 来源：本站原创发布：2007-12-3对数量关系的理解与基本的运算能力，体现了一个人抽象思维的发展水平，是人类认识世界的基本能力之一。

所以，几乎所有的智力问题研究专家都把它作为一个人潜在能力测试的标准之一。

数量关系的理解能力有多种表现形式，因而对其测量的方法也是多种多样的。

在行政职业能力测验中主要从数字推理和数学运算两个角度来测查应试者的数量关系理解能力和反应速度。

在近些年公务员考试中，出现形式主要体现在等差数列、等比数列、和数列、积数列、平方数列、立方数列这六大数列形式中，本文下面将主要对上述六大数字推理的基本形式，根据具体的例题一一为大家详细解析。

第一：等差数列等比数列分为基本等差数列，二级等差数列，二级等差数列及其变式。

1．基本等差数列例题：12，17，22，，27，32，（）解析：后一项与前一项的差为5，括号内应填27。

2．二级等差数列：后一项减前一项所得的新的数列是一个等差数列。

例题：-2，1，7，16，（），43A．25 B．28 C．31 D．353．二级等差数列及其变式：后一项减前一项所得的新的数列是一个基本数列，这个数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列有关。

例题：15．11 22 33 45 ( ) 71A．53 B．55 C．57 D．59『解析』二级等差数列变式。

后一项减前一项得到11，11，12，12，14，所以答案为45＋12=57。

第二：等比数列分为基本等比数列，二级等比数列，二级等比数列及其变式。

1．基本等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列。

例题：3，9，（），81，243解析：此题较为简单，括号内应填27。

2．二级等比数列：后一项与前一项的比所得的新的数列是一个等比数列。

例题：1，2，8，（），1024解析：后一项与前一项的比得到2，4，8，16，所以括号内应填64。

3．二级等比数列及其变式二级等比数列变式概要：后一项与前一项所得的比形成的新的数列可能是自然数列、平方数列、立方数列。

数列的概念及通项公式数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

它是数学中重要的基础概念之一，被广泛应用于各个领域。

数列的通项公式是指能够确定数列中第n项的公式。

通常使用字母an表示数列的第n项，使用n表示项数。

数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。

一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。

这个固定的差值称为公差，通常用d表示。

例如，1，4，7，10，13就是一个等差数列，公差为3等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d其中a1为数列的首项，d为公差。

通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。

等差数列的一些基本性质包括：1. 任意项和：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1+an)/2 * n，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。

2. 项与项之和：等差数列中的每一项与它的对称项之和等于首项与末项之和。

即an + an-1 = a1 + an。

3. 对称性：等差数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。

二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。

这个固定的比值称为公比，通常用q表示。

例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)其中a1为数列的首项，q为公比。

通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。

等比数列的一些基本性质包括：1.任意项和：等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 项与项之比：等比数列中的两个相邻项之比等于公比。

即an /an-1 = q。

3. 对称性：等比数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。

三、其他类型的数列除了等差数列和等比数列之外，还存在其他类型的数列。

1.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。