特殊平行四边形中的常见辅助线

特殊平行四边形—梯形梯形中的辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题.1.平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形.例1.梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围.2.平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中.例2.在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF.3.平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中.例3.如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线，且AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积为________.即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形.例4.在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长.即通过作对角线，使梯形转化为三角形.例5.在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

1.作一条高:从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形.例6.在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形.2.作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形.例7.在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC.1.已知梯形一腰中点，作梯形的中位线.例8.在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD.2.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线.例9.在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）EF=1/2（BC-AD）例10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．3.在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的.例11.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 为CD 中点，连接AE 、BE ，试说明：BE 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ．梯形典型例题1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ∥CB ，若CD=4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（） A.22 B.26 C.38 D.302.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，BC ＝AC ，∠BAD ＝110°，则∠D ＝( )A.140°B.120°C.110°D.100°3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论不一定正确的是（ ）A.AC=BDB.OB=OCC.∠BCD=∠BDCD.∠ABD=∠ACD4.已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD=3，BC=7，则梯形的面积是( )A. 25B. 50D.45.四边形ABCD 是梯形，BD ＝AC 且BD ⊥AC ，若AB ＝2，CD ＝4，则S 梯形ABCD ＝_________.A B C DE6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（） A.17 B.18 C.19 D.207.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD，∠ DBC＝45° ,翻折梯形使点B重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8，求BE的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－4/3 x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB －BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0)．(1)点Q的坐标是( ， )（用含t的代数式表示）；(2)当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由；(3)当t为何值时，直线DE经过点O．9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC边上能否找到另外一点G′,使四边形DE G′F的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等？请简述你的理由.B AFCDE10.已知：在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的2/7；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ=90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．。

初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1、作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这就是用得最多的一种方法;2、作一腰上的高;3 、过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。

梯形1、垂直于平行边2、垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3、平行于两条斜边4、作两条垂直于下底的垂线5、延长两条斜边做成一个三角形菱形1、连接两对角2、做高平行四边形1、垂直于平行边2、作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3、做高——形内形外都要注意矩形1、对角线2、作垂线很简单。

无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD、、、、这类的就就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。

三角形图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。

也可将图对折瞧,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试瞧。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中,常作平行线。

作平行线时往往就是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点与一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试瞧。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

数学初三平行四边形中常做的辅助线一、平行四边形的对角线平行四边形有两条对角线，我们可以通过引入对角线来研究平行四边形的性质。

首先，我们可以证明平行四边形的对角线互相平分。

具体证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OA、OB、OC 和OD。

由于平行四边形的两对边分别平行且相等，所以可以得到AO=CO，BO=DO。

又由于AO=CO，BO=DO，所以AOBO和CODA都是菱形。

因为菱形的对角线互相平分，所以AC和BD互相平分。

利用对角线平分的性质，我们可以得到平行四边形中很多有用的结论。

例如，当平行四边形的两对角线相等时，它是一个矩形；当平行四边形的两对角线垂直且相等时，它是一个正方形。

二、平行四边形的中位线平行四边形的中位线是连接相邻两边中点的线段。

通过引入中位线，我们可以研究平行四边形的对应边的关系。

具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的中位线互相平行且相等；2. 平行四边形的中位线平分平行四边形的面积；3. 平行四边形的中位线长度等于对应边长度的平均值。

三、平行四边形的高线平行四边形的高线是从一个顶点到与对立边垂直相交的线段。

通过引入高线，我们可以研究平行四边形的高度和底边的关系。

具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的高线互相平行；2. 平行四边形的高线长度相等；3. 平行四边形的高线长度等于底边长度乘以对应高度的比值。

四、平行四边形的角平分线平行四边形的角平分线是从一个内角的顶点到对立边上的一点并且与对立边相交的线段。

通过引入角平分线，我们可以研究平行四边形的内角之间的关系。

具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的角平分线互相平行；2. 平行四边形的角平分线平分对立角，即对立内角的两个角平分线相交于对立边上的一点。

五、平行四边形的中心连线平行四边形的中心连线是连接两对对边中点的线段。

通过引入中心连线，我们可以研究平行四边形的对角线之间的关系。

中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。

无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。

平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。

例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。

二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。

（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。

因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。

因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。

例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。

例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。

初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律，三角形、圆、四边形全都有，102条规律做题不愁！颜老师说：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

3月24日初中数学圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

除了上边方便记忆的顺口溜之外，颜老师还为大家整理了不同几何图形的做法及规律，有相交线、平行线、三角形、四边形及圆几部分，共102条规律，可以说做题时遇到的都包括在这里哦~线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n（吃2）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出k n(n-1）条。

一、选择题1．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）A ．60AOB ∠=︒ B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 3．如图，长方形ABCD 是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD 的边长DC 为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．194．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为（ ）A ．(21):1+B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶25．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，若将正方形AEFG 绕点A 旋转，则在旋转过程中，点,C E 之间的最小距离为 （ ）A ．3B ．421-C ．321-D ．426．下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形；B ．有三个角是直角的四边形是矩形；C ．对角线相等的四边形是矩形；D ．对角线互相平分的四边形是矩形；7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等 8．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．249．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）A ．6B ．7C ．3D ．5 11．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=6，则BC 的长为（ ）．A ．3B ．32C ．23D ．32212．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝60°，M 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连接PA 和PM ，则PA ＋PM 的最小值是( )A ．3B ．3C ．3D ．6二、填空题13．2，1的长方形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片）．则四个等腰三角形的腰长均为_______．14．在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对角线交于原点O ，点A 的坐标为()23,2-，点B 的坐标为()1,3--，则点D 的坐标为______．15．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l 的正方形OABC ，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB l 为边作第三个正方形OB l B 2C 2，照此规律作下去，则点B 2020的纵坐标为_______．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．17．将边长为2的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45︒到FECG 的位置（如图），EF 与AD 相交于点H ，则HD 的长为___________．（结果保留根号）18．将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，D 、C 分别落在M 、N 的位置上，EM 与BF 交于点G ，若54EFG ∠=︒，则21∠-∠=___︒．19．如图所示，长方形ABCD 由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 构成．若长方形ABCD 的面积为6，则三角形ABE 的面积为 ______，正方形EFGH 的面积为______．20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．三、解答题21．如图1，长方形ABCD 中，8AB cm =，6BC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A B →C D →→运动，设点P 运动的时间为t （秒），ADP △的面积为()2y cm ，图2是y 关于t 的部分图象．（1）填写下列表格： t …2 5 10 14 20 … y… 6 _____ 24 ______ ______ … y （3）当ADP △的面积超过15时，求点P 运动的时间t 的取值范围．22．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边上，且∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ； （2）如图2，四边形ABCD 中，AD //BC ，∠D =90°，AD =DC =10，BC =6，点E 在CD 上，∠BAE =45°，在（1）的基础上求DE 长．23．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE 顺时针旋转ABF 的位置．（1）旋转中心是点 ，旋转角度是 度：（2）若连结EF ，则AEF 是 三角形，并证明你的结论．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是弧BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接CD ，若∠CDA ＝30°，AC ＝2，求CE 的长．25．如图，在ABC 中，90,3,4BAC AB AC ︒∠===，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，联结CE ．（1）求证：//AD CE ；（2）求CE 的长．26．如图，矩形ABCD 中，EF 垂直平分对角线BD ，垂足为O ，点E 和F 分别在边AD ，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴22+=.51213【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．B【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．【详解】∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =∴四边形ABCD 是平行四边形若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．3．B解析：B【分析】利用正方形的性质，用两种方法表示CD ，从而建立等式求解即可．【详解】设两个一样大的正方形边长为x ，则各正方形边长表示如图，由AD ＝BC 可列方程：x ＋2＋x ＋1＝2x －1＋x ，解得x ＝4，则DC ＝x ＋1＋x ＋x ＝13，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，构造等式求解是解题的关键． 4．A解析：A由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．【详解】 解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．5．B解析：B【分析】连接CE 、AC ，根据正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，可以求出AC 的长，又因为CE≥AC -AE ，所以当A 、E 、C 三点共线时取等号，即可求值；【详解】如图，连接CE 、AC ，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：222AC AB BC =+ ， ∴AC ==∵ CE≥AC -AE ，∴CE≥421-，∴CE的最小值为421-，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．【详解】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选B．【点睛】此题考查矩形的判定与性质，解题关键在于掌握矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．7．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．8．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．9．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形， ∴BE =， ∴AD AB AE ==+，故②错误； 由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆==， ∴OG =∴2BE EF AE ===， ∴2AB =，∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB⊥AF，∴∠FAB=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=1BC=4，2∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵，EF⊥AF，∴==3，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【详解】解：∵菱形AECF，AB=6，设BE=x，则AE=CE=6-x，∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE，即CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2，BC=，则利用勾股定理得：23故选：C．【点睛】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．12．C解析：C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=1AD=3，CM⊥AD，2∴22-3，CD DM∴3故选C．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．【分析】先根据勾股定理求出对角线的长然后根据矩形的性质即可求出四个等腰形的腰长【详解】解：∵长方形的长宽分别为1∴AC=∴AO=AC==OC=OB=OD 故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理以及矩形的【分析】先根据勾股定理求出对角线的长，然后根据矩形的性质即可求出四个等腰形的腰长．【详解】解：∵1，∴=∴AO=12AC=2=OC=OB=OD ．【点睛】 本题考查了勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 14．【分析】根据题意原点O 为菱形对称中心则点B 与点D 关于原点对称即可得到答案【详解】解：根据题意∵菱形的对角线交于原点∴原点O 为菱形对称中心∴点B 与点D 关于原点O 对称∵点的坐标为∴点D 的坐标为故答案为：解析：(．【分析】根据题意，原点O 为菱形ABCD 对称中心，则点B 与点D 关于原点对称，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵菱形ABCD 的对角线交于原点O ，∴原点O 为菱形ABCD 对称中心，∴点B 与点D 关于原点O 对称，∵点B 的坐标为(1,-，∴点D 的坐标为(．故答案为：(．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题． 15．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC边长为1，∴，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．16．【分析】如图连接PC由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8PC=4根据PM≤PC+CM可得PM≤6由此即可解决问题【详解】解：如图连接PC在Rt△ABC中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根解析：6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是 A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=1A′B′=4，2∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．17．【分析】先根据正方形的性质得到CD=2∠CDA=90°再利用旋转的性质得CF=2根据正方形的性质得∠CFE=45°则可判断△DFH为等腰直角三角形从而计算CF-CD即可【详解】解：∵四边形ABCD为解析：22【分析】先根据正方形的性质得到CD=2，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得2，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD=2，∠CDA=90°，∵边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴2，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=222．故答案为：22．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．18．36【分析】根据平行线的性质求得∠DEF 再根据折叠性质求得∠GED 然后利用平角性质和平行线的性质求得∠1和∠2进而可求得∠2﹣∠1的值【详解】∵在矩形中AD ∥BC ∴∠DEF=∠EFG=54º∠2=∠解析：36【分析】根据平行线的性质求得∠DEF ，再根据折叠性质求得∠GED ，然后利用平角性质和平行线的性质求得∠1和∠2，进而可求得∠2﹣∠1的值．【详解】∵在矩形中，AD ∥BC∴∠DEF=∠EFG=54º，∠2=∠GED由折叠性质，得：∠GEF=∠DEF=54º∴∠GED=2∠DEF=108º∴∠2=108º，∠1=180º-∠GED=180º-108º=72º∴∠2﹣∠1=108º﹣72º=36º故答案为：36．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，正确理解题意，熟练掌握平行线的性质和折叠性质，能够根据性质找到相等的角是解答的关键．19．【分析】设EH ＝x 由等腰直角三角形的性质得AB ＝AE ＝BEEH ＝HDGC ＝GDFB ＝CF ∠CGD ＝∠BFC ＝90°则HD ＝xGC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2xFB ＝CF ＝3xCD ＝CG ＝2xBC ＝FB ＝3 解析：12【分析】设EH ＝x ，由等腰直角三角形的性质得AB ＝AE ＝2BE ，EH ＝HD ，GC ＝GD ，FB ＝CF ．∠CGD ＝∠BFC ＝90°，则HD ＝x ，GC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2x ，FB ＝CF ＝3x ，CD CG ＝x ，BC FB ＝x ，由矩形ABCD 的面积得出方程，得出x 2＝12，x ＝2，进而得出答案．【详解】解：设EH ＝x ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ＝x ，∵△ABE 、△EHD 、△CGD 、△BCF 是等腰直角三角形，∴AB ＝AE ＝2BE ，EH ＝HD ，GC ＝GD ，FB ＝CF ．∠CGD ＝∠BFC ＝90°， ∴HD ＝x ， ∴GC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2x ，∴FB ＝CF ＝3x ，在等腰Rt △CGD 和等腰Rt △BCF 中，CD CG ＝x ，BC ＝x ， ∴x ＝6，则x 2＝12，解得：x ＝（负值舍去），∴x ＝2，∴EF ＝2，FB ＝2， ∴BE ＝FB ＋EF ＝，∴AB ＝2BE ＝2， ∴△ABE 的面积＝12AB×AE ＝12×2×2＝2； 正方形EFGH 的面积＝x 2＝12； 故答案为：2；12． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和勾股定理是解题的关键．20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC=4， 同理，HG ∥AC ，HG=12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5，∴EF=HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，∴EF ⊥BD ，∵EH ∥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键 ．三、解答题21．（1）15，24，6；（2）见详解；（3）517t <<．【分析】（1）根据点P 的位置，利用三角形面积公式写出y 与t 的函数关系，把表中t 的值代入求解即可；（2）根据（1）中所得y 与t 的函数关系，在自变量t 取值范围内画出图像即可； （3）把15y =代入到y 与t 的函数关系式， t 即可求出t 的取值范围．【详解】解：在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，8,6CD AB AD BC ∴====，（1）当点P 在AB 上，即 08t ≤≤ 时，AP t = ，12APD S AP AD=△， 1632y t t ∴=⨯=， ∴当5t =时，156152y =⨯⨯=， 当点P 在BC 上，即814t <≤时，12ADP S AD AB =△， 168242y ∴=⨯⨯=， ∴当14t =时，24y =，当点P 在CD 上，即1422t <≤时，22DP t =- ，12ADP S AD DP =△ ， ∴ 当20t =时，()1622663666062y t t =⨯⨯-=-=-=， 故答案为：15，24，6；（2）由（1）知：()()()308248143661422t t y t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩， 画出y 与t 的图像，如图2所示（3）把15y =代入3y t =，得5t =，把15y =代入663y t =- 得，15663t =- ，解得17t =，∴当ADP △的面积超过15时，点P 运动的时间t 的取值范围为：517t <<．【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图像，解答本题时注意分类讨论思想、数形结合思想、方程思想的运用．22．（1）见解析；（2）307【分析】（1）延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，根据题意易证△ADF ≌△ABG （SAS ），即可得到AG =AF ，∠GAB =∠FAD ．即可证明△GAE ≌△FAE （SAS ），即得到EF =BE +DF ．（2）作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，易证四边形AMCD 是正方形，即可得到AD =CD =MC =10，MB =4．再由（1）的结论得BE =MB +DE ，设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，结合勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x 即可．【详解】（1）如图，延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ．在△ADF 和△ABG 中，90AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ）．∴AG =AF ，∠GAB =∠FAD ，∵45EAF ∠=︒，∴45FAD BAE ∠+∠=︒,∴45GAB BAE ∠+∠=︒，即45GAE EAF ∠=∠=︒．在△GAE 和△FAE 中，45AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EG=EF ，即EF=BE+BG=BE+DF ．（2）如图，作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，由题意可知四边形AMCD 是正方形，∴AD =CD =MC =10，MB =4．由（1）知BE =MB +DE ．设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，222BC EC BE +=，即()222610=(4)x x +-+， 解得：307x =，即DE = 307【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．23．（1）A，90；（2）等腰直角，证明过程见解析．【分析】（1）根据旋转中心及旋转角的定义，即可得出结论；（2）利用旋转的性质与正方形的性质，并结合等腰直角三角形的判定方法，即可判断出△AEF的形状．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，∴旋转中心是点A，旋转角是∠BAD＝90°．故答案为A，90．（2）△AEF等腰直角三角形．证明：∵△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAD，∵四边形ABCD是正方形∴∠FAE＝∠BAD＝90°∴△AEF是等腰直角三角形故答案为：等腰直角．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换及正方形的性质．24．（1）见解析；（2）1．【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到CD BD，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；（2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解．【详解】（1）证明：如下图所示，连接OD，∵D是弧BC的中点，即CD BD=∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.；（2）解：如下图所示，连接OC，∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝OD由（1）可得，AC∥OD，∴四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，∠CDE=90°－60°＝30°，∵DE⊥AE, ∠CED＝90°∴CE=1．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边对等角、平行线的判定及其性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（1）见解析；（2）7 5【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD CD BD==，再由折叠的性质得BD ED =，ADE ADB ∠=∠，再由外角和定理得DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，则DEC ADE ∠=∠，即可证明结论；（2）利用勾股定理求出BC 的长，由（1）得1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-，在Rt ABF 和Rt BDF 中，利用勾股定理列式求出x 的值，再根据中位线定理得到2CE DF =即可．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，∴AD CD BD ==，∵折叠，∴BD ED =，ADE ADB ∠=∠，∵CD BD ED ==，∴DCE DEC ∠=∠，∵DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，∴22DEC ADE ∠=∠，即DEC ADE ∠=∠，∴//AD CE ；（2）∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴5BC =，由（1）知1522AD BC ==， 设DF x =，则52AF x =-， ∵折叠， ∴AD 是BE 的垂直平分线，在Rt ABF 和Rt BDF 中，222BF AB AF =-，222BF BD DF =-，∴2222AB AF BD DF -=-，即22525924x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得710x =， ∵D 、F 分别是BC 和BE 的中点， ∴725CE DF ==． 【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．26．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）AE ＝OF ，四边形BFDE 是菱形，BE=BF ，可证△ABF ≌△OBF, ∠ABF=∠OBF,∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形;(2)∵四边形EBFD是菱形,∴ED=EB又 AE＝OF，∠A=∠BOF∴△ABF≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴∠OBF=30°∴∠BDC=60°．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．。

初中数学常用辅助线一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。