高中数学 涉及函数的实际应用问题研究(教师版)

高中数学教案应用函数解决实际问题高中数学教案：应用函数解决实际问题引言：数学是一门抽象而深奥的学科，然而，它在解决现实生活中的实际问题中扮演着重要的角色。

高中数学教育的目标之一就是培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本教案将介绍如何通过应用函数的方法来解决实际问题，帮助学生深入理解数学在现实生活中的应用。

一、案例一：汽车行驶里程与燃油消耗的函数关系在汽车行驶过程中，燃油的消耗与行驶里程之间存在着一定的函数关系。

我们通过一个示例来进行分析。

假设一辆汽车的燃油消耗与行驶里程之间满足线性关系，即燃油消耗量与行驶里程成正比。

设汽车行驶里程为x公里，燃油消耗量为y 升。

已知当行驶里程为0时，燃油消耗量为10升；当行驶里程为100公里时，燃油消耗量为30升。

现在我们需要建立这两者之间的函数关系。

1. 首先，我们可以通过观察两个数据点得到直线的斜率k。

斜率表示单位行驶里程对应的燃油消耗量的增量。

设两个数据点为A(0,10)和B(100,30)，则斜率k=(30-10)/(100-0)=20/100=0.2。

2. 接下来，我们可以通过求解线性函数的截距b来确定具体的函数关系。

由直线的点斜式可知，直线的方程为y=kx+b。

代入已知点A(0,10)，可得10=0+10b，解得b=1。

所以，线性函数的表达式为y=0.2x+1。

通过这个函数表达式，我们可以预测在行驶特定的里程时所需要的燃油消耗量。

二、案例二：商业利润的函数模型商业活动中，利润通常与销售额之间存在着一定的函数关系。

我们以一家零售商店为例进行分析。

假设该商店的利润与销售额之间满足二次函数关系，即利润与销售额的平方成正比。

设销售额为x万元，利润为y万元。

已知当销售额为1万元时，利润为4万元；当销售额为2万元时，利润为16万元。

现在我们需要建立这两者之间的函数关系。

1. 通过观察两个数据点，我们可以得到二次函数的相关参数。

设两个数据点为A(1,4)和B(2,16)。

高中生函数研究性课题研究报告高中生函数研究性课题研究报告摘要：本研究旨在探究函数的基本概念、性质以及在实际生活中的应用。

通过对函数定义、图像、性质等方面的深入研究，我们得出了一些结论。

通过此研究，我们提高了对函数的理解，增强了数学思维能力，培养了实践应用数学知识的能力。

一、引言函数作为数学的一门基础理论，其在实际生活中的应用非常广泛。

在我们学习过程中，我们常常接触到各种函数，如一元一次函数、二次函数、正弦函数等。

通过学习函数，我们能够更好地了解数学，提高数学思维，同时也对实际问题的分析与解决有着重要的作用。

二、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一个用来将一个集合的每一个元素（叫函数的自变量或自变量值）对应到另一个集合的一个元素的规则。

2. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是函数所有可能的结果的集合。

3. 函数图像：函数的图像是指函数在坐标系中的表示，横坐标为自变量取值，纵坐标为函数对应的因变量值。

三、函数图像的性质1. 奇偶性：函数若满足f(x) = f(-x)（对所有x∈定义域），则称这个函数为偶函数；若满足f(x) = -f(-x)（对所有x∈定义域），则称这个函数为奇函数。

2. 单调性：函数若满足对于任意的x1 < x2，有f(x1) <f(x2)（递增）或者f(x1) > f(x2)（递减），则称这个函数为单调函数。

3. 极值点：函数在定义域内某一点f(x0)处的函数值为f(x0)，若存在ε > 0，使得当x≠x0时，有f(x) < f(x0)（或f(x) > f(x0)），则称f(x0)是函数的一个极值点。

四、函数在实际生活中的应用1. 函数在物理学中的应用：物体的运动、速度、加速度等问题中运用了函数的概念与相关计算。

2. 函数在经济学中的应用：经济学中的供求关系、价格变化等也需要使用函数的概念与相关计算。

五、结论和启示通过本次研究，我们对函数的定义、图像、性质以及在实际生活中的应用有了更深入的理解。

第一课时 三角函数的应用（一）任务一、整体感知问题 1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．任务二、新知探究1．问题研究1——简谐运动问题 2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象？弹簧振子的运动（如图1）．答案：振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s 与时间t 之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F 与时间t 之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象．例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：mm ）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．图12．建模解模问题3 例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？答案：搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型．活动：教师或者学生画出散点图．问题4观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y 随时间t 的变化规律？答案：根据散点图（如图2），分析得出可以用y =A sin(ωt +φ)这个函数模型进行刻画． 问题5 由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？答案： 依据数据表和散点图，可得A =20，T =60s ，求得ω=3π10，然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y =20sin(3π10t +φ)，解得φ=－2π+2k π，k ∈Z ，所以函数的解析式为y =20sin(3π10t －2π)，t ∈[0，+∞)． 教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y =A sin(ωx +φ)，x ∈[0，+∞)表示，其中A >0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：图2表1A 就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 简谐运动的周期是2π=T ω，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 简谐运动的频率是π21ω==T f ，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx +φ称为相位；x =0时的相位φ称为初相.问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？答案：振幅A ＝20mm ，周期T ＝53s ，频率f ＝35次，相位为3π10t －2π，初相为－2π． 3．问题研究2——交变电流例2 如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．（1）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（2）当601,6007,1501,6001,0=t 时，求电流i ．4．建模解模问题7 观察图象，交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型？其中每个参数的物理意义是什么？答案：由交变电流的产生原理可知，电流i 随时间t 的变化规律可以用i =A sin(ωt +φ)，t ∈[0，+∞)来刻画.其中A 为振幅，ωπ2为周期，ωt +φ为相位，φ为初相．问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？答案：由图可知，A =5，T =501s ，初始状态的电流为4.33A ． 解：由图3（2）可知，电流最大为5A ，因此A =5；电流变化的周期T =501s ，即ωπ2=501s ，解得ω=100π；再由初始状态（t =0）的电流约为4.33A ，可得sin φ=0.866，因此φ约为3π．所图3（1） 图3（2）以电流i 随时间t 变化的函数解析式是 π5sin(100π)[0,)3i t t =+∈+∞，． 当0=t 时，235=i ； 当6001=t 时，5=i ； 当1501=t 时，0=i ； 当6007=t 时，5-=i ； 当601=t 时，0=i ． 练习1 如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是).∞,0[∈),3cos(3++=t t l g s π （1）当l =25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad ）；（2）已知g =9.8m/s 2，要使沙漏摆动的周期是1s ，线的长度应当是多少（精确到0.1cm ）?解：（1）∵)3cos(3π+=t l g s ，∴可得s 的最大值为3． 设偏角为θ，可得最大偏角满足sin θ=253．利用计算器计算可得θ=0.1203rad ． 答：当l =25时，沙漏的最大偏角为0.1203rad ．（2）沙漏摆动的周期为1π2==lgT ，解得2)π2(g l =，故cm 8.2)π2(8.92≈=l ． 图4答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8cm．任务三、归纳小结问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．。

高中数学教案：函数与导数在实际问题中的应用函数与导数在实际问题中的应用一、引言在高中数学教学中，函数与导数是一个重要的概念和技巧。

函数作为数学中最基本的概念之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。

导数则是函数的重要属性，它可以描述函数在某一点处的变化率。

本文将探讨函数与导数在实际问题中的应用，包括优化问题、动态模型以及与相关概念的联系。

二、优化问题1. 线性规划问题线性规划是一个常见且重要的优化问题。

通过使用函数与导数的知识，可以求解线性规划问题中的最优解。

例如，在生产企业中，我们需要确定如何分配有限资源以获得最大利润。

这个问题可以转化为一个线性规划模型，并通过求解相关方程组来获得最优解。

2. 最小二乘法最小二乘法是回归分析中常用的方法之一。

它可以通过使用函数与导数来拟合数据点和曲线之间的关系。

例如，在市场调研中，我们常常需要找到最佳拟合曲线来预测销售趋势或者评估产品价格对销量的影响。

通过最小二乘法，我们可以找到最佳拟合曲线，并且通过导数求解相关方程来获得最优解。

三、动态模型1. 物理问题中的应用函数和导数在物理学中有着广泛的应用。

例如，在机械运动中，通过描述位移、速度和加速度之间的关系，我们可以建立物体运动的数学模型。

函数和导数可以帮助我们计算物体在任意时刻的位置、速度以及加速度等重要参数，从而更好地理解物体在空间中的运动规律。

2. 经济问题中的应用函数与导数也能够帮助我们分析经济问题。

例如，在经济学中，利润函数是一个非常重要的概念。

通过对利润函数求导，我们可以计算出产量与利润之间的关系，并找到最大化利润时的生产量。

这对企业决策和资源配置具有重要意义。

四、与相关概念的联系1. 点斜式方程与导数点斜式方程是直线方程中常见形式之一。

它由直线上一点和其斜率确定。

通过使用导数，我们可以进一步研究点斜式方程与直线之间的关系。

例如，在空气动力学领域，通过导数可以计算出飞机的升力与速度之间的关系，从而优化设计飞机的性能。

高中数学中的多项式函数与实际问题的联系研究数学是一门抽象的学科，但它却与现实世界密切相关。

在高中数学中，多项式函数是一个重要的内容，它不仅有着广泛的应用，还能帮助我们解决实际问题。

本文将探讨高中数学中的多项式函数与实际问题的联系，并举例说明其应用。

多项式函数是由常数项、一次项、二次项等多个项组成的函数。

它的一般形式为：$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，$n$为非负整数。

多项式函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在经济学、物理学、工程学等领域。

首先，我们来看一个经济学中的实际问题。

假设某个公司的销售额随时间的变化可以用一个二次函数来描述。

我们可以通过分析销售额与时间的关系，利用多项式函数来预测未来的销售情况。

通过对已有数据进行拟合，我们可以得到一个二次函数的模型，从而预测未来的销售额。

这个模型不仅可以帮助公司制定合理的销售目标，还可以帮助公司进行资源的合理配置，提高销售效益。

其次，多项式函数在物理学中也有着广泛的应用。

例如，当我们研究物体的运动时，可以利用多项式函数来描述物体的位置、速度和加速度与时间的关系。

通过对物体运动的观测和实验数据的分析，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测物体在未来的位置和速度。

这个模型不仅可以帮助我们理解物体的运动规律，还可以应用于工程设计和天体物理等领域。

此外，多项式函数还在工程学中有着重要的应用。

例如，在电路设计中，我们可以利用多项式函数来描述电流、电压和电阻之间的关系。

通过对电路的分析和实验数据的拟合，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测电路中的电流和电压。

这个模型不仅可以帮助我们优化电路设计，还可以应用于电力系统的规划和优化。

在实际问题中，多项式函数还可以用于解决一些优化问题。

例如，在工程设计中，我们经常需要在给定的条件下，寻找最大值或最小值。

高中数学问题解决教学研究——以函数教学为例摘要：在高中数学教学实践中，函数是非常重要的内容。

整体优化高中数学的教学质量，不断提升高中数学的教学成效，科学提升学生的自主学习能力，教师应该着重提升学生的高中数学问题解决能力，不断优化学生的高中数学学习水平。

函数作为高中数学中的核心内容，直接关系着学生整个数学学习的质量与成效。

关键词：高中数学；问题解决教学；函数教学在高中数学的教学过程中，数学问题是非常重要的元素，也是学生进行数学学习的关键所在。

在高中数学问题教学实践中，教师有必要充分结合新课标的要求，全面突出学生的主体性地位，积极引导学生成为数学学习的主人。

同时，教师还应该结合学生的认知特点，巧妙科学的开展数学问题教学，以此来不断提升学生的数学学习成效。

特别是在函数教学过程中，作为高中数学的重中之重，学生只有在明确基础概念的基础上，积极优化自身的问题解决能力，掌握问题解决的方法和技巧，才能更有成效的开展函数学习，也才能更好的提升数学学习成效。

1数学问题解决的含义问题解决一般是指形成一个新的答案，超过过去所学规则的简单应用而产生的一个解决方案。

在新课改全面实施的今天，学生作为数学学习的主体，理应具备数学问题解决的能力和素养，只有这样，才能更好的投身于数学学习实践中，也才能更好的提升自身的数学学习成效。

在实践过程中，数学问题解决包括三个方面的内容。

第一，数学问题解决实际上是学生进行数学学习的关键，也学生必备的技能。

学生通过解决数学问题来获得数学学习的方法和技能，明确数学学习的重要性，提升自身的数学应用能力。

从这点来看，数学问题解决是学生的核心技能之一。

第二，数学问题解决实际上是一种教学工具。

教师引导学生来进行数学问题的解决，既能够帮助学生灵活运用所学知识，同时也能够迁移新的知识，继而整体完善学生的知识架构，更好的服务于学生的数学学习。

第三，数学问题解决还是一种艺术。

学生作为数学学习的主体，在数学问题的解决过程中，实际上是数学思维的一次升华，是数学思维的一次创造，极有可能迸发新的思维或者新的认知，继而达到灵活运用的目的。

函数思想在高中数学解题中的应用研究摘要：函数思想是数学思想中的重要内容，是指用函数概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略，在高中数学解题的过程中发挥着非常重要的作用。

高中数学教师将函数思想应用于解题练习中，会进一步提升高中生的解题能力。

为此，本文对函数思想在高中数学解题中的应用进行了研究，以供参考。

关键词：函数思想；高中数学；解题；应用前言：数学是高考中十分重要的考试科目，分值所占比例也比较大。

但高中数学知识复杂程度、抽象度等都较高，高中生学习起来会面临较大的阻力，所以一些高中生对于数学课程有畏难心理，同时也直接影响了他们的数学成绩。

教师通过将函数思想应用到数学题解答中，可以有效帮助高中生加深对数学知识的理解，并不断提升高中生的解题能力。

一、应用函数思想解答实际优化问题数学与生活有密切联系，数学知识可以良好解决许多生活问题。

但一些数学知识解答生活中的问题，需要高中生经过较为复杂的一个过程。

而一些数学知识解答生活中同样的实际问题，就可以十分简单。

比如，函数思想就可以将复杂的解题过程，进行高效优化。

并且，还会让实际生活问题加简单、系统，令高中生更快理解。

在实际生活中，存在许多量与量之间关系的问题。

如，路程方面的问题，需要考虑速度、路程、时间三个量之间的关系；生产方面的问题，需要考虑总数、价格、时间三者的关系。

其中价格方面的问题，又包括采购价格和售价，这些因素也都可以对应应用函数中的变量。

在数学试卷中，涉及实际优化问题的数学题也占有相当重的比重，教师指导高中生应用函数思想去解答，会更利于高中生提高解答问题的准确率。

在《函数的应用（一）》一课的讲解中，就涉及许多实际优化问题。

教师在提出问题后，就可以引入实际问题，来指导高中生应用函数思想来解答。

如：“距离甲船只正北方向200海里的位置，有船只乙，以每个小时40海里的速度，沿北偏西70度角的方向行驶，甲船只以每个小时20海里的速度向正北方向行驶。

人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。

我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。

注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。

例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。

利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。

为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。

例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。

2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。

由此概括得到函数零点存在的判定方法。

如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。

高中数学教学设计函数的应用实际问题解决与像分析高中数学教学设计：函数的应用实际问题解决与像分析在高中数学教学中，函数的应用是一个重要的教学内容。

通过函数的应用，学生能够将抽象的数学概念与实际生活中的问题相联系，应用数学的知识解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

本文将介绍函数的应用在实际问题解决与像分析上的教学设计。

一、应用实际问题解决的教学设计1. 引入问题背景在教学设计的开篇，可以通过引入一个实际问题背景来激发学生的兴趣，引导学生思考如何使用函数来解决实际问题。

例如，可以以一个关于物体自由下落的问题为例，如下：假设有一个物体从高空自由下落，在给定的高度和重力加速度条件下，我们如何利用函数来计算物体的下落时间、速度和位移？2. 建立模型在解决问题之前，需要通过分析问题和建立适当的模型来描述实际问题。

在这个例子中，我们可以建立自由下落物体的运动模型。

假设物体从高度H开始下落，重力加速度为g，则物体下落的时间t、速度v和位移s可以分别表示为：t = (2H/g)^0.5v = gts = (1/2)gt^2这样，我们就得到了与实际问题相联系的函数关系，学生可以通过这些函数来计算物体下落的各种参数。

3. 实际问题解决接下来，可以设计一些具体的实际问题，让学生运用所学的函数知识解决这些问题。

例如，给定一个高度和重力加速度，让学生计算物体的下落时间、速度和位移；或者给定物体的下落时间和位移，让学生计算物体的初始高度和重力加速度等。

在解决实际问题的过程中，可以引导学生分析问题、选择适当的公式、运用函数的性质和技巧进行计算。

同时，可以通过讨论和交流，引导学生深入理解函数的应用和解决问题的思路。

二、像分析的教学设计像分析是函数的重要概念之一，它能帮助学生更好地理解函数的性质和图像。

下面是一个针对函数像分析的教学设计。

1. 引入像分析的概念在教学设计的开头，可以通过图像的呈现来引入像分析的概念。