§8.4 空间向量及其应用、空间角.pptx

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，

向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。

例1 (202X上海嘉定一中测试,15) 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面ADD1A1内一点,且满足 △ADP为正三角形.点M为平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点 M在正方形ABCD内的轨迹为 ( )
A
B
C
D
解析 设正方体的棱长为1. 如图所示,点P在线段AD上的射影Q为AD的中点,在平面ABCD内分别以 AD,DC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,
1
3 14
2
=
70 .
14
考法三 求解立体几何中的探索性问题 1)涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再 给出证明,所求点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据类似知识 找点,求解时注意三点共线条件的应用. 2)借助空间直角坐标系,把几何对象上动点的坐标用参数(变量)表示出 来,将几何对象坐标化,这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或 方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解,则通过参数的值反过来确 定几何对象的位置;若方程或方程组没有满足题设要求的解,则表示满足 题设要求的几何对象不存在.
答案 A
例2 在棱长为2的正四面体ABCD中,点P为△ABC所在平面内一动点,且满
足|
PA
|+|
PB
|=
4
3 ,则PD的最大值为
(
)
3
A.3 B. 2 10 C. 39 D.2
3
3
解析发
如图所示,在平面ABC内,|PA
|+|PB
|= 4
3 >2,所以点P在平面ABC内的
3
轨迹为椭圆,取AB的中点O,连接CO,以直线AB为x轴,直线OC为y轴建立平

第八章 立体几何 ８ １
对应学生用书起始页码 Ｐ１４５
一、求异面直线所成角的方法
１．求异面直线所成的角常采用“ 平移法”，平移的方法一般 有三种：将图中已有的平行线平移；利用特殊点（ 线段的端点或 中点） 作平行线平移；补形平移． 计算异面直 线 所 成 的 角 通 常 放 在三角形中进行．
考点二 空间向量及其应用
高频考点
１．空间向量的有关定理
（ １） 共线向量定理：共线向量定理可以分解为两个命题（ ａ，ｂ
（ ｂ≠０） 为空间内任意两个向量） ：①ａ∥ｂ⇒存在唯一实数 λ，使
得 ａ ＝ λｂ；②若存在实数 λ，使 ａ ＝ λｂ，则 ａ∥ｂ，其中命题②是空间
向量共线的判定定理．
（２） 四点共面的充要条件：①空间一点 Ｐ 位于平面 ＡＢＣ 内
ＤＣ ＝ ＡＢ ＝
１７ ， ＳＣ
＝
４， ＳＤ
＝
５， 则
ｃｏｓ ∠ＳＣＤ
＝
ＳＣ２ ＋ＤＣ２ －ＳＤ２ ２ＳＣ·ＤＣ
＝
１７ １７ ．
解法三：如图，以 Ａ 为原点，以 ＡＢ，ＡＳ 所在直线分别为 ｙ 轴， ｚ 轴，以垂直于 ｙ 轴，ｚ 轴的直线为 ｘ 轴，建立空间直角坐标系，则
由∠ＳＡＢ ＝ ∠ＳＡＣ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，ＡＣ ＝ ２，ＢＣ ＝ １３ ，ＳＢ ＝ ２９ ，得
（３） ｜ ａ ｜ ＝
ａ２ ＝
ａ２１
＋ａ
２ ２
＋ａ２３
；
（
４）
ｃｏｓ〈
ａ，ｂ〉
＝
｜
ａ·ｂ ａ｜ ｜ｂ
｜
＝
ａ１ｂ１ ＋ａ２ｂ２ ＋ａ３ｂ３
．
ａ２１
＋ａ２２
＋ａ
２ ３

方法三：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的 棱长为1，则 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
所以 A1B 0，1，1，A1D 1，0，1，A1B1 0，1，0.
设平面A1B1CD的一个法向量为n=(x，y，z)，A1B与平面 A1B1CD 所成的角为θ，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则：
在△A1OB中，A1B
2，BO
2 2
，A1OB
90，
所以
sinBA1O
所BO以∠1B，A1O=30°，即A1B与平面
A1B 2
A1B1CD所成的角是30° .
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长
为1，则由题意可知
A1
1，0，1，B
2.利用平面法向量求线面角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量 AB.
(3)求平面的法向量n.
(4)计算：设线面角为θ，则 (5)由 ［0，求］θ，.
2
sin | n AB | . | n || AB |
655 444 2 6 5
30 . 10
22
∴BD1与AF1所成角的余弦值为 30 .
10
方法二：如图所示,以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CB=CA=CC1=1，
则
A
1,
0,
0
,
B0,1,
0,
D1 (
1 2
,
1 2
,1),
1 F1( 2
, 0,1), 则AF1
A1(1，0，2)，E(0，0，1)，G(0，2，1)，F(1，1，0).

类型 1 求两条异面直线所成的角(自主研析)
[典例 1]如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 已知 PA⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABC 成 60°的角，底面 ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝12AD.
(1)求证：平面 PCD⊥平面 PAC；
(2)设 E 是棱 PD 上一点，且 PE＝13PD，求异面直线 AE 与 PB 所成的角的余弦值．
依题意，得 B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)， A(0，0，1)，M0，12，12，
则B→C＝(1，1，0)，B→M＝0，12，12，A→D＝(0，1，－ 1)．
设平面 MBC 的法向量 n＝(x0，y0，z0)，
n·B→C＝0， x0＋y0＝0， 则n·B→M＝0，即12y0＋12z0＝0， 取 z0＝1，得平面 MBC 的一个法向量 n＝(1，－1， 1)． 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ， 则 sin θ＝|cos〈n，A→D〉|＝||nn|·|AA→→DD||＝ 36，
所以AE·PB＝－2. →→
所以 cos〈A→E，P→B〉＝|A→AEE|··P|P→BB|＝43－×22＝－34. 所以异面直线 AE 与 PB 所成的角的余弦值为－34.
归纳升华 向量法求异面直线夹角的注意事项
(1)范围：两异面直线夹角范围为0，π2 ，时刻注意两 异面直线夹角的范围是解题的关键．
BD，AB⊂平面 ABD，AB⊥BD， 所以 AB⊥平面 BCD. 又 CD⊂平面 BCD， 所以 AB⊥CD.
(2)解：过点 B 在平面 BCD 内作 BE⊥BD，如图． 由(1)知 AB⊥平面 BCD，BE⊂平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以 AB⊥BE，AB⊥BD. 以 B 为坐标原点，分别以B→E， B→D，B→A的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系．

,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y

1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A

2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B

O

结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |

A

B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n


B
n2

在 Rt△EAH 中，AE＝ 3， 所以当 AH 最短时，∠EHA 最大， 即当 AH⊥PD 时，∠EHA 最大．
此时
tan∠EHA＝AAHE＝AH3 ＝
6， 2
因此 AH＝ 2.又 AD＝2，
课堂互动讲练
所以∠ADH＝45°. 所以PA＝2. 由(1)知AE，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示的空 间直角坐标系，又E、F分别为BC、 PC的中点， 所以 A(0,0,0)，B( 3，－1,0)，
课堂互动讲练
∴m＝12
2m2＋1.解得
m＝
2， 2
所以D→H＝( 22， 22，1)．
(1)cos〈D→H，C→C′〉＝|DD→→HH|·|CC→ CC→′′|
＝ 22×0＋ 222××10＋1×1＝ 22，
课堂互动讲练
所以〈D→H，C→ C′〉＝45°.
即 DP 与 CC′所成的角为 45°.
点E为BC的中点，所以AE⊥BC.
课堂互动讲练
又BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面 ABCD，所以PA⊥AE. 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD 且PA∩AD＝A， 所以AE⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD.
课堂互动讲练
(2)设AB＝2，H为PD上任意一点． 由(1)知AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
|n·m| a、b所成的角θ的余弦值为 |n||m|.
基础知识梳理
2．直线和平面所成的角 (1)平面的斜线与它在平面上的 射影 所成 的角叫做这条斜线与平面所成的角． (2)直线与平面所成角的向量公式 直线a的方向向量和平面α的法向量分别为 m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与 平面α所成的角等于 m与n的夹角的余角 ；若m 与n的夹角大于90°时，直线a与平面α所成的 角等于m与n的夹角的补角的余角 ，所以直线a 的方向向量和平面α所成的角的正弦值为 |n·m|

【答案】 (1)略 2 ( )
2 4
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例 2 如图所示，在四棱锥 P－A B C D 形，PA⊥平面 A B C D
中 ， 底 面
A B C D
是矩
，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD 于点 M.
1 ( ) 求证：AM⊥PD； 2 ( ) 求直线 CD 与平面 A C M 所成的角的余弦值．
在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的 中 点 ， 且 与平面 P A C
答案 解析
SO＝OD， 则 直 线
所成的角是________．
30° 如 图 所 示 ， 以 O为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O－xyz.
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设 OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则 A(a ,0 ) , a ,0 ) , a a ，P(0， － 2，2)． → ＝(2a 则CA ,0 ) , 设 平 面 P A C
， 所 以
PA⊥CD.
又 AD⊥CD， 所 以
CD⊥平 面 P A D .从 而 CD⊥PD.
因 为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2， 所 以 三 角 形 P C D 的 面 积 为 1 2×2×2 3＝2 3.
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2 ( ) 方 法 一 ： 如 右 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， ，C2 ( ,
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[0，π]
．
α—l—β 的 两 个 面 内 与 棱