八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题

一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。

步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。

它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。

2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。

韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在题目中，XXX定理是很常用的。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac 2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。

初二数学方程的解法知识点总结(附例题)本文将总结初二数学方程的解法知识点，并提供一些例题以加深理解。

一元一次方程一元一次方程是指只有一个变量的一次方程，其一般形式为：ax + b = 0。

解法：1. 移项法：将方程式的常数项移到等号的另一侧。

2. 消元法：将方程式中的未知数项消去，使其成为一个常数。

3. 变形法：对方程进行变形，使未知数项系数为1。

例题：1. 解方程2x - 3 = 7。

解：移项得2x = 10，再变形得x = 5。

2. 解方程3(x + 2) = 15。

解：去括号得3x + 6 = 15，再移项得3x = 9，最后变形得x = 3。

一元二次方程一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，其一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。

解法：1. 因式分解法：将方程式进行因式分解，使左侧变为两个因数相乘的形式。

2. 完全平方公式法：利用完全平方公式，将方程式转化为平方的形式。

3. 配方法：将方程式配成平方的形式，通过适当的变形进行求解。

例题：1. 解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

解：因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。

2. 解方程2x^2 + x - 6 = 0。

解：配方法得2(x + 3)(x - 1) = 0，解得x = -3或x = 1。

一元三次方程一元三次方程是指只有一个变量的三次方程，其一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

解法：1. 整数解法：通过猜测和验证法，找出可能的整数解，并继续解剩下的二次方程。

2. 因式分解法：将方程式进行因式分解，使左侧变为两个因数相乘的形式。

3. 实数根判定法：利用实数根的定理，找出可能的实数根，继续解剩下的二次方程。

例题：1. 解方程x^3 + x^2 - 6x = 0。

解：因式分解得x(x - 2)(x + 3) = 0，解得x = 0或x = 2或x = -3。

2. 解方程x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = 0。

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C ；【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程； 故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1. 【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0． ∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0． ∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（ •荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ．a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去． ∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%． 举一反三：【变式】（ 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米． 根据题意可得，x （50﹣2x ）=300， 解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 故x 1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20． 答:BC 的长为20m ．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元? 【答案与解析】设每床每晚提高x 个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张， 根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x 2-5x+6＝0． 解得，x 1＝2，x 2＝3． ∴ 当x ＝2时，2x ＝4； 当x ＝3时，2x ＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x 个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张， 则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定 2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8 3．（ •濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2% B ． 5% C ． 10% D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4 5．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ． 10．（ 秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=-，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________．15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（ •十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣ba解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×， 整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5， ∵20﹣2x ＞0，∴x＜10， ∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ． 11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-. 12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解. 14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根， ∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211*********(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34. 【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%； 【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵ ①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。

2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。

4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。

2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。

4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。

5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。

3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。

2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。

知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。

解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。

选择哪种方法要根据具体情况而定。

直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。

配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。

一元二次方程一元二次方程的一般式ax 2+bx+c=0且（a ≠0）一元二次方程常见的解法有开平方法，因式分解法，配方法，公式法等 把方程整理成一般式之后，如果不含有一次项用开平方法 5x 2=125如果不含常数项直接用提公因式法3x 2+4x=0如果可以用十字相乘法就直接用X 2+5x+4=0配方法和公式法是万能的，根据具体情况判断用哪一个。

配方法：把方程先化成一般式ax 2+bx+c=0且（a ≠0），然后变形为ax 2+bx=-c ，左右两边同时除以a ，化成x 2+a b x=ac -。

左边化成 （x+a 2b ）2=a c -+22a4b （右边加上22a 4b 使方程左右两边相等）。

左边括号里加的是一次项系数的一半。

公式法：x=−b±√b 2−4ac 2a1、用合适的方法解下列方程．（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x+2=3x 2（3）（x -2）（3x -5）=0 （4）4x 2-3x+1=0(5)2 x 2＋x －6＝0； (6) 0422=+-x x ；一元二次方程的判别式。

一元二次方程的判别式∆=b 2-4ac ，当∆>0时，方程有两个不相等的实数根，当∆=0时，方程有两个相等的实数根，当∆<0时，方程没有实数根。

例题：1.关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：（1）当b 2－4ac ＞0时， ；（2）当b 2－4ac ＝0时， ；（3）当b 2－4ac ＜0时，2.不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。

3.若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

．。

一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。

１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。

答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。

故m≠－3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。

一元二次方程知识梳理及精选习题知识梳理：（6，14）1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为_____的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为_____．3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的_____，也叫做一元二次方程的____4若x 2＝a(a ≥0)，则x 就叫做a 的平方根，记为x ＝___ _(a ≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 5．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__ ___．6．如果方程能化为x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式，那么x ＝_____或mx ＋n ＝_____． 7通过配成 来解一元二次方程的方法叫做配方法．8．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__ ___，使左边配成一个完全平方式，写成__ ___的形式；(3)若p__ __0，则可直接开平方求出方程的解；若p__ __0，则方程无解9,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当____时，x ＝－b±b 2－4ac 2a，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__ ___．10．式子__ ___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__ ___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__ ___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__ __．11当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__ ___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__ ___法．12．解一元二次方程，首先看能否用__ ___；再看能否用__ __；否则就用__ __；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__ ___．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_____，x 1x 2＝____．13．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝____．14．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ _ __；(2)二次方程，即__ ___；(3)有根，即__ __．精选习题1，已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋3m ＝0，当m ___时，它是一元二次方程；当m_____时，它是一元一次方程2，若方程(m －2)x 2＋mx ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是3，．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54,已知m 是方程x 2－2 013x ＋1＝0的一个根，试求代数式m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1的值5已知等腰三角形的两边长分别是(x －3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是( )A ．2或4B ．8C ．10D ．8或106，若关干x 的一元二达方程(a+21)x 2-(4a 2-1)x+1=0的一次项系教为0.则a 的值为 7，已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=． （1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项8,已知实数m.n 满足(2m 2十n 2 +1)(2m 2十n 2一1)=80，试求2m 2+n 2的值9若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞－1B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠010,若方程4x 2- (m - 2)x+ 1=0的左边是一个完全平方式， 则m 等于11,.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2- 6x+ 8= 0的一一个根， 则这个三角形的周长是12.已知点(5-k 2，2k+ 3)在第四象限，且在其角平分线上，则k=_13.若关于x 的方程kx 2-x -43= 0有实数根，则实数k 的取值范围是14,.若一元二次方程x 2- 2x- m=0无实数根，则一次函数y= (m+ 1)x+m- 1的图象不经过() A 第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限15,当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根16.已知等腰三角形的一边长为3，它的其他两边长恰好是关于x 的一元二次方程x 2- 8x+ m= 0的两个实数根，求m 的值.17.已知关于x 的一-元二次方程(m - 1)x 2+ (m - 2)x - 1= 0(m 为实数).(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围;(2)若m 是整数，且方程有两个不相等的整数根，求m 的值.18，已知实数x 满足(x 2－x)2－4(x 2－x)－12＝0，则代数式x 2－x ＋1的值为___19，三角形的每条边的长都是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长是___________ 20方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或221关于x 的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（ ） A ．1 B.12 C.13 D.2522，关于x 的方程只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ） A ．a =0 B.a =2 C.a =1 D.a =0或a =223，利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．24，若a ，b ，c 是△ABC 的三边长且满足a 2－6a ＋b 2－8b ＋c －5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状25已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值26关于x 的方程04)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围. (2) 是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由27已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．28,设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．29，用适当的方法解方程：(1)2(x－1)2＝12.5；(2)x2＋2x－168＝0；(3)2x2＝2x；(4)4x2－3x－2＝0.(5)4(x－1)2＝2；(6)x2－6x＋4＝0；(7)x2－4＝3x－6；(8)(x＋5)2＋x2＝25.（9）配方法解一元二次方程：2x2+1=3x. (10) 解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.(11)解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0. (12)解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.。

《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。

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一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数(1)明确只有当二次项系数0≠a 时,整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。

(2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法：当0>n 时，n x ±=;当0=n 时，021==x x ;当0<n 时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。

精品文档金老师复习(2)一元二次方程(一) 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式 ax 2 bx ^0 (a>0)；2•正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数(1) 明确只有当二次项系数 a = 0时，整式方程ax 2 • bx ■ c = 0才是一元二次方程。

(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).3•—元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解(二) 、一元二次方程的解法1 •明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二 次方程转化为一元一次方程求解；2 •根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 •值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如x 2二n 或(ax - b)2二n(a =0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一 次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x 2二n 的方程的解法：当 n • 0时，x 二..n ；当n = 0时，捲=x 2 = 0 ;当n ：：： 0时，方程无实数根。

(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x • m)2 = n 的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤： ① 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；② “系数化1 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1;③ 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 (x • m)2 = n 的形式；④ 求解：若n 一 0时，方程的解为 x 二-m 一 •. n ，若n ：：： 0时，方程无实数解。

2 当b -4ac 0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；2 b当b -4ac =0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 治=X 2 2a 当b 2 -4ac ：：：0时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a,b,c 的值；③代入b 2 - 4ac 中计算其值，判断方程是 否有实数根；④若b 2 -4ac -0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

一元二次方程的应用（7种题型）【知识梳理】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为10010x y z++．2、增长率问题基本公式：()21a x b+=，a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．如果是降低率，则为()21a x b−=．3、利润问题：总利润=单件利润⨯总件数；总利润=总售价−总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．4、几何面积问题：x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．5、双循环问题送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x−张，总共有x个人所以列式为()1930x x−=；6、单循环问题握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x−=．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．7、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】题型一：数字问题例1.有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【答案】24．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是2−x ，由题意可得：()()x x x x 23210−=+−，整理可得：0201732=+−x x ，解：41=x ，352=x （不是整数，舍去）∴这个两位数为24．【总结】本题主要考查一元二次方程在数字问题中的运用．【变式1】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．【答案】36．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是3−x ．根据题意可得：()()32310−=+−x x x x ， 整理得：0301722=+−x x ，()()0652=−−x x ， 解得：61=x ，252=x （不是整数，舍去）．答：这个两位数为36．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式2】已知两个连续奇数的积是323，求这两个数．【答案】17，19或1719−−，．【解析】解：设这两个连续奇数为2x x +，，则(2)323x x +=， 整理得：223230x x +−=， 解得：121719x x ==−，， 所以12+219+217x x ==−，．答：这两个数是17，19或1719−−，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是35或53．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是x −8．根据题意可得：()[]()[]1855810810=−++−x x x x ，整理得：01357292=+−x x ．分解得：()()05279=−−x x ，解得：31=x ，52=x ．答：原来的两位数是35或53． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．题型二：增长率问题例2．受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（ ）A ．()20012500+=xB ．()50012200−=xC ．()22001500+=xD ．()25001200−=x 【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可． 【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程()22001500+=x 故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．【变式1】某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x ，则根据题意可得方程为（ ）A ．280(1)340x +=B ．8080(1)80(12)340x x ++++=C ．380(1)340x +=D ．28080(1)80(1)340x x ++++= 【答案】D【分析】由一月份口罩产值以及月平均增长率分别求出二月份、三月份的口罩产值，再根据第一季度总产值达340万元列方程即可．【详解】二月份口罩产值：80(1)x +万元，三月份口罩产值：280(1)x +万元，∴28080(1)80(1)340x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解增长率的概念并灵活运用是解题关键．【变式2】某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【答案】20％【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x ，则根据题意可得：()()6.12911011002=+−x ％， 解：2.0=x （负值舍去）．答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．【变式3】某工厂1月份产品数是50万件，要求第1季度总产品数达到183.705万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【答案】设该工厂每月的平均增长率是x ，则根据题意可得：()()705.183********=++++x x ． 【解析】注意第一季度为1、2、3月份产品数之和．【变式4】某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x ，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x ，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x 的值．【答案】增长率x 的值为50%【分析】根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．【详解】解：由题意可得40×15（1＋x ）2=600×6（1＋x ）×25%整理，得（x ＋1）（x －0.5）=0解得：1=0.5x =50%，21x =−（不符合实际，舍去）答：增长率x 的值为50%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．题型三：利润问题例3．某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P (件)与每件的销售价X (元)满足关系：1002P X =−，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【解析】由题意列方程得：()()200210030=−−X X ，整理可得：01600802=+−X X ，解得：40=X20801002100=−=−=X P答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产X 只熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与X 的关系式分别为=500+30R X ，1702P X =−． （１） 当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（２） 若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？【答案】（1）当日产量为25时每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【解析】设利润为W 元，则()()50014023050021702−+−=+−−=x x x x x W ．当每日获得的利润为1750元时，则1750=W ．则175050014022=−+−x x ，解得：251=x ，452=x ．∵每日最高产量为40只， ∴45=x 舍去． ∴当日产量为25时每日获得的利润为1750元．（2）当每日获得的利润为1950元时，则1950=W ，则195050014022=−+−x x ，解得：3521==x x ． ∴当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式2】某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()8000105004050=−−+x x ，整理可得：0300402=+−x x ， 解得：101=x ，302=x ．当101=x 时，50010400x −=； 当302=x 时，50010200x −=．因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．【变式3】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】5元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()60002050010=−+x x ，整理可得：050152=+−x x ， 解得：101=x ，52=x ，要使顾客得到实惠，需涨价少，则5=x ．∴每千克应涨价5元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式4】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】20元．【解析】设每件童装应降价x 元，则根据题意可得：()()120022040=+−x x ，整理可得：0200302=+−x x ， 解得：101=x ，202=x ．要减少库存，则要使()x 220+的值比较大，则20=x ．∴每件童装应降价20元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式5】工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【答案】（1）该商品的每件标价为200元，进价为155元；（2）每件工艺品降价15元出售；（3）当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元【分析】（1）设标价为x，则进价为x-45，根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”列方程求解即可；（2）设工艺品降价m元，根据“总利润=单件利润×件数”列出方程即可求出结论；（3）设工艺品定价为a元，可根据总利润=单件利润×件数、配方法及平方的非负性即可求出结论．【详解】解：（1）设标价为x，则进价为x-45，8[0.85x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，整理得360-1.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，则每件进价为：200-45=155（元）答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设工艺品降价m元，则(45-m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消费者得到实惠∴m=15答：每件工艺品降价15元出售．（3）设工艺品定价为a元，总利润为：(a－155)[ 100+4（200－a）]=-4a2＋1520a －139500=-4(a-190)2+4900，∵(a-190)2≥0∴-4(a-190)2≤0∴-4(a-190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用配方法和平方的非负性求最值．题型四：几何面积问题：例4．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长.（1）长方形的面积是1152平方米（2）长方形的面积是1800平方米（3）长方形的面积是2000平方米【答案】（1）长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）长方形的长为60米，宽为30米.（3）此时的长方形不存在.【分析】本题可根据题意分别用x 表示垂直于墙的一边的长或平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程求解即可．【详解】设垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边为（120-2x ）米．（1）根据题意得x （120-2x ）=1152．2605760x x −+=()()12480x x −−=解得1212,48x x ==当12x =时，120212021296x −=−⨯=；当48x =时，120212024824x −=−⨯=；答：长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）x （120-2x ）=1800212021800x x −=2212018000x x −+=2609000x x −+=()2300x −=，解得30x =当30x =时，120212023060x −=−⨯=答：长方形的长为60米，宽为30米.（3）x （120-2x ）=2000212022000x x −=2212020000x x −+=26010000x x −+=∵()26041000360040004000=−−⨯=−=−△＜∴方程无实数根.故此时的长方形不存在.【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏，不要把平行于墙的一边算成是12（120-2x ）．【变式1】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？【答案】宽为10米，长为15米．【解析】设鸡场的宽为x ，则长为x x 2352233−=−+．根据题意可得：()150235=−x x ，整理可得：()()010152=−−x x ， 解得：2151=x ，102=x ． 当215=x 时，1820215235235>=⨯−=−x ，舍去．∴宽为10米，长为15米． 【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析．【变式2】如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形ABCD 的面积为216平方米，求,AB BC 边各为多少米？【答案】AB 边为12米，BC 边为18米【分析】设AB 的长为x 米，根据题意列出一元二次方程，求解并找到符合题意的解即可．【详解】设AB 的长为x 米，根据题意得()5133216x x +−=， 解得126,12x x ==，当6x =时，513363625BC =+−⨯=>，不符合题意，故舍去；当12x =时，5133121825BC =+−⨯=<，符合题意，∴12,18AB BC ==，∴AB 边为12米，BC 边为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并找到合适的解是关键．【变式3】如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？【答案】长和宽分别为14米和10米.【分析】首先设这个仓库的长为x 米， 则宽表示为1(322)2x +−，再根据面积为 140 平方米的仓库可得1(322)1402x x +−=，再解一元二次方程即可 ．【详解】解： 设这个仓库的长为x 米， 由题意得：1(322)1402x x +−=，解得：120x =，214x =， 这堵墙的长为 18 米，20x ∴=不合题意舍去，14x ∴=， 宽为：1(32214)102⨯+−=（米)．答： 这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米 ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用， 关键是正确理解题意， 正确表示出长方形的长和宽 ．【变式4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为2594m ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．【答案】人行通道的宽度为1米．【分析】设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30-3x)m ，宽为(24-2x)m ，根据矩形绿地的面积为594m2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，经检验后得出x=21不符合题意，此题得解．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为()303x m −，宽为()242x m −， 由已知得：()()303x 242x 594−⋅−=， 解得：1x 1=，2x 21=，当x 21=时，303x 33−=−，242x 18−=−，不符合题意舍去，即x 1=．答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．【变式5】如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽【答案】花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x .【详解】解：设花边的宽为x 米，列方程为(26)(23)40x x ++=，解之得12111,2x x ==−（舍去）答：花边的宽为1米. 考点：实际问题与一元二次方程题型五：双循环问题例5．圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出930张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人．【解析】设昂立共有师生x 人，由题意可得：()9301=−x x整理得：09302=−−x x ，解得：311=x ，302−=x （负值舍去）．答：昂立共有师生31人．【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2．【变式1】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？【答案】14．【解析】设这个小组共有x 名同学，由题意可得：()1821=−x x整理得：01822=−−x x ，解得：141=x ，132−=x （负值舍去）．答：这个小组共有14名同学．【总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除2．【变式2】某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x 人．x （x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）．故答案为: 12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．题型六：单循环问题例6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？【答案】10．【解析】设共有x 个队参加比赛，由题意可得：()4521=−x x整理得：0902=−−x x ，解得：101=x ，92−=x （负值舍去）．答：共有10个队参加比赛．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每两队之间都进行一场比赛，因此不用除2．【变式1】一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x 人，则可列出方程___________________ ．【答案】()11202x x −=【分析】先根据题意可得每个人都要与()1x −个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．【详解】由题意，可列方程为()11202x x −=，故答案为：()11202x x −=．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．【变式2】某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【答案】3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛， 根据题意得：(1)62x x −=，整理得：260x x −−=，即(3)(2)0x x −+=，解得：3x =或2x =−（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”．【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【答案】21．【解析】设参加第一轮比赛的共有x 名选手由题意可得：()10521=−x x ，整理得：02102=−−x x ，解得：115x =，214x =−（负值舍去）．答：参加第一轮比赛的共有21名选手．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除2．题型七：利率问题例7．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％；∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【变式1】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，1.038=）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x，由题意可列方程：()44.107795110002=+x％，则()07744.19512=+x％，解：038.1951±=+x％（负值舍去），04.0=x．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x％9511000+，而不是()x+11000．【变式2】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x，则可列方程为：()[]()53090150011000=+−+xx％．【解析】注意年利率的变化．【变式3】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x，则可列方程为()[]()1308143511500=+−+xx，化简可得：0818555002=−+xx，分解可得：()()0910095=−+xx，解：591−=x（负值舍去），09.02=x．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（）A．B．C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，依题意，得x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．2．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升（）A．10或96B．10C．96D．26【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60×升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60×，解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），∴第一次倒出了酒精10升．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（）A．16.2（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x）2＝16.2C．20（1﹣x）2＝20﹣16.2D．20（1﹣2x）＝16.2【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0【分析】根据矩形的面积＝长×宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程．【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）＝5400，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．5．（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100B．300+300（1+x）2＝2100C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．二．填空题（共12小题）7．（2023春•奉贤区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为．【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3．故答案为：30（1﹣x）2＝24.3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为．【分析】根据各边之间的关系，可得出长方形的长为（33+2﹣2x）米，根据围成的养鸡场的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为x米，∴垂直于墙的长方形的长为（33+2﹣2x）米，依题意得：x（33+2﹣2x）＝150．故答案为：x（33+2﹣2x）＝150．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春•浦东新区期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比。

八年级第二讲：一元二次方程一：知识框架二、知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如ba x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。

求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22≥--±-=二）)0a (0c bx ax 2≠=++。

a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。

这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为ab -7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。

8、若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个实数根， 即① a b x x 21-=+ acx x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。

）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

②一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。

可以用求根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212212221x x 2x x x x -+=+②()()()()[]2122121222121213231x x 3x x x xx x x x x x x x -++=+-+=+③()2121221221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅④()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++⑤212121x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑥()()22121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1⋅-+=⋅+=+⑦()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-三）例题1如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。