第八章 RLC电路与常微分方程的

第八章 RLC电路与常微分方程 的解法
8.1 RC电路与常微分方程的欧拉解法
RC电路:
2
K
1
R
C
先把开关K接通“1” 端,电容C充满电后再把开 关K接通“2”端,则这时电容C放电过程满足方 程: dQ Q
R dt + C =0
即电容C上的电量是时间t的函数,满足以上微分 方程.
如果设: τ=RC, 则有: dQ
>> rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);
6 5
4
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
>> rlc(1,0,[1,5,1,5],50,0.1);
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2. 向后的欧拉方法
dQ dt = I , t ≥ t0 , I (t0 ) = I 0 , Q(t0 ) = Q0 dI = 1 (V − IR − Q ) dt L a C
方法分两步: 预估: Q 0 = Q + ∆tI n +1 n n
0 Qn ∆t I n +1 = I n + (Va − I n R − ) L C
(一步)校正:
0 ( I n +1 + I n ) Qn +1 = Qn + ∆t 2 0 0 ( I n +1 + I n ) (Qn +1 + Qn ) ∆t I = I + (V − ) R− n +1 n a L 2 2C
− τt
方程的解析解:
Q(t ) = Q0 e
微分方程化为一般形式: 微分方程化为一般形式
dQ = f (Q, t ) dt Q(t0 ) = Q0 , t ≥ t0
等间隔离散化: t0 , t1 , t2 ,...... 把时间 t 等间隔离散化 t2 = t0 + 2∆t , ...... 其中: 其中 t1 = t0 + ∆t , 欧拉(Euler) 差分公式: 欧拉(Euler) 差分公式:
function [Q,I,tt]=rlc(Q0,I0,con,T,dt) % RLC电路欧拉解法 Q(1)=Q0;I(1)=I0; R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4); tt=0:dt:T; for n=1:length(tt)-1 Q(n+1)=Q(n)+dt*I(n); I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; end plot(tt,Q,'r',tt,I,'b');
欧拉法: 把二阶微分方程化成一阶微分方程组:
dQ dt = I , t ≥ t0 , I (t0 ) = I 0 , Q(t0 ) = Q0 dI = 1 (V − IR − Q ) dt L a C
其中t是自变量,Q和I随着t的改变而改变.
Qn +1 = Qn + ∆tI n Qn ∆t I n +1 = I n + (Va − I n R − ) L C I 0 = I (t0 ), Q0 = Q(t0 ), t ≥ t0
或(k+1步)校正:
k k +1 ( I n +1 + I n ) Qn +1 = Qn + ∆t 2 k k ( I n +1 + I n ) (Qn +1 + Qn ) ∆t k +1 R− ) I n +1 = I n + (Va − L 2 2C + + Qn +1 = Qnk+11 , I n +1 = I nk+11
Q(tn ) − Q(tn +1 ) dQ ′(tn ) ≈ =Q dt t =tn tn − tn +1
由方程得:
Q(tn ) − Q (tn +1 ) = f (Q(tn ), tn ) tn − tn +1
Q(tn +1 ) = Q(tn ) + f (Q(tn ), tn )∆t 即: Q(tn +1 ) = Qn +1 Q(tn ) = Qn 记: 则得到解微分方程的欧拉法递推公式:
>> rc3(1,6,1,10)
1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5
0
1
2
3
4
5
6
一般微分方程:
向后的欧拉法:
dQ = f (Q, t ) dt Q(t0 ) = Q0 , t ≥ t0
0 Qn +1 = Qn + ∆tf (Qn , tn ) 0 Qn +1 = Qn + ∆tf (Qn +1 , tn +1 ) Q = Q(t ), t ≥ t 0 0 0
(一步)校正:
或者(k+1步)校正:
k+ k Qn +11 = Qn + ∆tI n +1 k Qn +1 ∆t k +1 k I n +1 = I n + (Va − I n +1 R − ) L C + + Qn +1 = Qnk+11 , I n +1 = I nk+11
3
4
5
6
欧拉法也可解释为Q(t)在tn处的泰勒展开 在 处的泰勒展开: 欧拉法也可解释为
1 Q(tn + ∆t ) = Q (tn ) + Q′(tn )∆t + Q′′(tn )∆t 2 +⋯ 2
取线性部分: 取线性部分
Q(tn +1 ) ≈ Q(tn ) + Q′(tn )∆t
欧拉方法的截断误差: 欧拉方法的截断误差 局部：O (∆t )
Qn +1 = Qn + f (Qn , tn )∆t Q0 = Q (t0 ), t0 = t0 .
对于RC电路: RC :
Qn Qn +1 = Qn − ∆t τ Q0 = Q (0), t0 = 0.
令
Q0 = 1,τ = RC = 10, ∆t = 1
得到:
Qn Qn +1 = Qn − 10 Q0 = 1, t0 = 0.
t=0时刻电容所带电量为Q0
Q
τ dt Q(0) = Q0 , t ≥ 0
=−
考虑数值微分问题: 已知: x1 , x2 , x3 ,... f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ),... 求f(x) 在xn 点的导数. f(x) x . 可以: f ′( x ) ≈ f ( xn ) − f ( xn +1 )
2
整体：O (∆t )
例: 写出解如下一阶常微分方程的欧拉公式:
2x dy = y− y dx y (0) = 1, x ≥ 0, ∆x = 0.1,
得:
2 xn yn +1 = yn + 0.1 yn − yn y = 1, x = 0. 0 0
function [Q,I,tt]=rlc1(Q0,I0,con,T,dt) % RLC电路向后欧拉解法 Q(1)=Q0;I(1)=I0; R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4); tt=0:dt:T; for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n); I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; Q(n+1)=Q(n)+dt*I1; I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I1-Q1/C)/L; end plot(tt,Q,'r--',tt,I,'b--');
Q(tn +1 ) − Q(tn ) ∆Q dQ ≈ = ∆t dt t =tn ∆t t =tn
由方程得: 由方程得
Q(tn ) − Q(tn +1 ) = f (Q (tn ), tn ) ∆t
即: 记:
Q(tn +1 ) = Q(tn ) + f (Q(tn ), tn )∆t
Q(tn +1 ) = Qn +1 Q(tn ) = Qn
>> rlc1(1,0,[1,1,1,5],15,0.1); >> hold on >> rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
3. 改进的欧拉法
dQ dt = I , t ≥ t0 , I (t0 ) = I 0 , Q(t0 ) = Q0 dI = 1 (V − IR − Q ) dt L a C
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
RC电路:
Q dQ =− τ dt Q(0) = Q0 , t ≥ 0
向后的欧拉法: Qn 0 Qn +1 = Qn − ∆t 预估: τ
Qn +1 = Qn − ∆t 校正: : τ 改进的欧拉法: Qn 0 Qn +1 = Qn − ∆t 预估: