信号与系统习题6-1
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第六章 连续系统的时域分析1 系统的分类（1）线性和非线性先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算若()()()()11221122H C f t C f t C H f t C H f t +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则系统[]H ∙是线性系统,否则是非线性系统。
（2）时变系统与时不变系统在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。
时不变性：先时移，再经系统＝先经系统，再时移若 ()()H f t y t ττ-=-⎡⎤⎣⎦，则系统是非时变系统，否则是时变系统。
(3) 因果和非因果系统若0,0)(t t t e <=，则相应的0,0)(t t t r <= 输出不超前输入变化0,0)(<=t t h()()[]t f C t f C H 2211+()[]()[]t f H C t f H C 2211+()[]τ-t f2 对线性时不变系统，响应)()()(t r t r t r zs zi +=，其中)(t r zi 为零输入响应，)(t r zs 为零状态响应。
(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应, )()()(t r t r t r zs zi +=。
零输入响应)(t r zi ：Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式1()i na tzi i i r t C e==∑或 1111()i Kna ta ti zi i ii i K r t C te C e-==+=+∑∑；Step3 初始条件代入确定系统i C ； 零状态响应)(t r zs ：方法1：时域分析法)(t r zs =)(*)(t h t e 方法2：变换域分析法Step1:根据电路图，求()H s Step2: ()()()zs R s H s E s = Step3: []1()()zs zs r t LR s -=3 冲激响应h(t) 的计算 （1）已知电路图，求h(t)Step1:明确系统输入（激励），系统输出（响应）Step2:电气元件L 和C ，变成变换域11L jwL Ls C jWC CS→→或或Step3: 系统函数()()()R H E ωωω=或 ()()()R s H s E s = Step4: [][]11()()()F (w)h t LH s h t H --==或（2）已知e(t)和零状态响应()zs r t ，求h(t) （3）已知微分方程，求h(t)在微分方程中，当n m <时，)(t h =)(1t u e K ni ti i ∑=α当n m =时，)(t h =)()(11t Kt u e K n ni tii δα+=+∑式中i α为系统中特征根，i K 为待定系数。
将)(t h 表达式和)(t δ代入微分方程两端，令两端对应项系数相等可得系数i K 。
（4）已知各分支子系统h i (t),根据系统连接方式确定总系统h(t)4 有关线性时不变系统的深入理解(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性和时不变特性。
(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。
5 系统响应的分类及其相互关系系统的全响应可分解为零输入响应和零状态响应，而零状态响应又可分为自然响应分量和受迫响应分量，它们与经典法中的齐次解和特解之间有如下关系：零输入响应--------- 自然响应齐次解系统全响应 自然响应 经典法完全解零状态响应------受迫响应 二 例题5-1 已知系统具有初始值)(0t r ，其响应)(t r 与激励)(t e 有如下关系，试判断它是线性系统还是非线性系统，是时变系统和非时变系统。
（1） )()()(0t be t ar t r += 线性、非时变系统 （2） )(3t )()(302t e t r t r += 非线性、时变系统 （3） )(t 5sin )()(0t e t t r t r += 线性、时变系统 （4） dtt de t e t r t r )()()()(0+= 非线性、非时变系统 {}(0),(0),()zi C r rCr t --()()zs Ce t Cr t 00)()()zs Ce t t Cr t t --（5） ⎰+=td e t r t r 00)(2)(3)(ττ 线性、非时变系统（6） )1()1()(t e t e t r ---= 线性、时变、非因果（输出与未来的输入有关） 5-2 如图1所示系统是由几个“子系统”组合而成,各子系统的冲激响应分别为),1(-δ=t h D ),3()(--=t u t u h G 试求系统总的冲激响应)(t h图1解：解法一: 整个系统由(1),(2),(3)三个子系统并联再与G h 串联令 )()(t t e δ=,则 )()(t h t r =)(t δ通过子系统(1)后,输出仍为)(t δ子系统(2)输出为)1()1(*)()(*)(-=-=t t t t h t D δδδδ 子系统(3)输出为)2()1(*)1()(*)(*)(-=--=t t t t h t h t D D δδδδ 加法器输出为)2()1()(-+-+t t t δδδ冲激响应为[][][])5()2()4()1()3()()]3()([*)]2()1()([)(*)]2()1()([)(---+---+--=---+-+=-+-+=t u t u t u t u t u t u t u t u t t t t h t t t t h G δδδδδδ 解法二:[][][][])5()2()4()1()3()()]3()([*)]2()1()([)(*)]2()1()([)(*)(*)()(1)(---+---+--=---+-+=-+-+=++=t u t u t u t u t u t u t u t u t t t t h t t t t h t h t h t h t h G G D D D δδδδδδ5-3某一阶线性时不变系统,在相同的初始状态下,当输入为)(t f 时系统全响应,)()2cos 2()(1t u t e t r t +=-,当输入为2)(t f 时系统全响应,)()2cos 2()(2t u t e t r t +=-试求在初始状态增大3倍的情况下,输入为4)1(-t f 时，系统的全响应r(t) 解：全响应)()()(t r t r t r zs zi +=，其中)(t r zi 为零输入响应，)(t r zs 为零状态响应输入为)(t f 时, )()2cos 2()()()(11t u t e t r t r t r t zs zi +=+=- 输入为)(2t f 时, )()2cos 2()(2)()(12t u t e t r t r t r t zs zi +=+=- 解得 )(3)(t u e t r t zi -=)()2cos ()(1t u t e t r t zs +-=-在初始状态增大3倍, 输入为4)1(-t f 时, 系统的全响应)1(4)(3)(1-+=t r t r t r zs zi =)1()22cos (4)(91-++-++--t u t e t u e t t5-4已知系统微分方程为)()()(6)(5)(22t e dtt e d t r dt t dr dt t r d +=++，e(t)=3u(t)，1)0(',1)0(==--r r ,试求：(1)冲激响应;(2)零输入响应; (3)零状态响应;解：方法一(建议采用该方法，简单方便):（1）)()(')(6)('5)("`t t t h t h t h δδ+=++ 1)(6)(5)(2+=++s s H s SH s H S )(s H =2132+-+s s )()2()(32t u e et h t t--+-=（2）0)(6)('5)("=++t r t r t r0)(6)0(5)(5)0()0()(2=+-+--s R r s SR rSr s R S )(s R =3324+-+s s )()34()(23t u e e t r t t zi ---=（3）)()()(6)('5)("t e t et r t r t r +=++ )()()(6)(5)(2s E s SE s R s SR s R S +=++)(s R =s 21+233221+-+s s)()22321()(32t u e e t r tt zs ---+=方法二：（1）求零输入响应)(t r zi 微分方程的特征方程为0652=++αα，特征根3,221-=-=αα解形式为t t zi e c e c t r 3221)(--+=将初始条件)0('),0(--r r 分别带入)(t r zi 表达式可得方程组 ⎩⎨⎧=---==+=132)0('1)0(2121c c r c c r zizi 解得3,421-==c ct t zi e e t r 3234)(---= （2） )()()(3221t u e k e k t h t t --+=对)(t h 进行1次和2次导数 )()32()()()(322121't u e k e k t k k t h t t ----++=δ )()32()()94()(')()("21322121t k k t u e k e k t k k t h t t δδ--++++=-- 将)(t h 表达式及其导数和)(t δ代入微分方程两端，原方程化为)()23()(')()(6)('5)("2121t k k t k k t h t h t h δδ+++=++=)()('t t δδ+令两端对应项系数相等。
⎩⎨⎧=+=+12312121k k k k 解得2,121=-=k k所以)()2()(32t u e et h t t--+-=(3) 求零状态响应)(t r zsττττττττd t u u e e d t e h t h t e t r zs )(3)()2()()()()()(23--=-=*=⎰⎰∞∞---∞∞-=)(3)2(023t u d e e t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰--τττ=)(2232132t u e e t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--。
