福建省宁德市2017-2018学年高三理数第一次质量试卷及解析

2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=，设1()ln(1)x h x x e =++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点，111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解法一：（Ⅰ）21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n nn n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113n n +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（Ⅰ）连结DF，BF．在矩形ABCD中，6 AD CD==,30AC CAB∴=∠=, 060DAC∠=．………………………………1分在ADF∆中，∵AF=2222cos9DF DA AF DA AF DAC∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA+=+=，DF AC∴⊥，即D F AC'⊥．………………………………3分又在ABF∆中，2222cos21BF AB AF AB AF CAB=+-⋅⋅∠=，………………………………4分∴在DFB'∆中，222223D F FB D B''+=+=,BF DF'∴⊥,………………………………5分又AC FB F=,∴DF'⊥平面ABC．∴D F BC'⊥．………………………………6分（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE AC⊥于O，并延长交AB于E. 沿着对角线AC翻折后，由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD'两两垂直，以O为原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),O E(0,0,3),D B',………………………………7分EO⊥平面AD F',(1,0,0)OE∴=为平面AD F'的一个法向量．………………………………8分设平面BD F'的法向量为(,,),x y z=n(0,,0)F t，(3,23,3),(3,BD BF t'∴=--=--,由0,0,BDBF⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得3303(0x zx t y⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y=则x t z t=-=, ()t t∴=-n．………………………………10分||cos,4||||OEOEπ⋅∴=nn=t∴=．∴当CF=A DF B'--的大小是4π．…………………12分A COED'FACDF19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=． 在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC==,………………………………9分所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为21150()(50)1)22f V V V VV=++=++≥((0,30]V∈),………………………………10分当且仅当1502VV=，即10V=时，min()f V=（元）………………………………11分所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需元．………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）当0k=时，直线//l x轴，又四边形12MNF F恰在以1MF为直径，面积为2516π的圆上，∴四边形12MNF F为矩形，且152MF=．………………………………………………………1分∴点M的坐标为2(,)bca．………………………………………………………2分又2ba=，∴ba=．………………………………………………………3分设2,a k b==，则c k=．在12Rt MF F∆中，232MF k=，122F F k=，∴15522MF k==，∴1k=．∴2,a b==………………………………………………………5分∴椭圆C的方程为22143x y+=．………………………………………………………6分（Ⅱ）将3:2l y kx=+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx++-=，设11(,)M x y，22(,)N x y，得1221234kx xk+=-+，122334x xk=-+．故1200PM PN x x⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分 又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即解得k =∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分当0a <时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分12a ∴=-．………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =-+,1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分 ()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分 23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-，…………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-…………2分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥， 故x ∈∅； …………3分当2x≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分 当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min+214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．…………10分。

2018年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．2 14．2 15．20π 16．8附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0． 12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=， 设1()ln(1)x h x x e=++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点， 111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++ ，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥ ，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解法一：（Ⅰ） 1n a = ， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分 2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分 11111332(21)3313n n +-=+⨯--⋅-，………………………………10分 化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A AB -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩ 1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n n b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分 12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113n n +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（Ⅰ）连结DF ，BF ．在矩形ABCD中，6AD CD ==,030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．………………………………1分C D F在ADF ∆中，∵AF 2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．………………………………3分又在ABF ∆中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，………………………………4分 ∴在DFB'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF '∴⊥,………………………………5分 又AC FB F = ,∴DF'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．………………………………6分 （Ⅱ）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后， 由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD '两两垂直，以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),O E (0,0,3),D B ',………………………………7分EO ⊥ 平面AD F ',(1,0,0)OE ∴= 为平面AD F '的一个法向量． ………………………………8分设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n(0,,0)F t ， (3,(3,BD BF t '∴=--=-- ,由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y =则x t z t =-= , ()t t ∴=-n ．………………………………10分||cos ,4||||OE OE π⋅∴= n n =t ∴= ∴当CF =A DF B '--的大小是4π． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DEA C O E D 'F=10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=，所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠，整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+， 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=, 所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=………………………………7分 所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455=-=．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠,所以3BC ==,………………………………9分 所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()50)1)22f V V V V V=++=++≥((0,30]V ∈),………………………………10分 当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =………………………………11分 所以若小张由岛C 直接乘小艇去B市，其费用至少需 ………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）当0k =时，直线//l x 轴，又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2(,)b c a．………………………………………………………2分又2b a =，∴b a =………………………………………………………3分设2,a k b =，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =， ∴15522MF k ==， ∴1k =．∴2,a b =………………………………………………………5分∴椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………6分 （Ⅱ）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)k x ++设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，12x x 故1200PM PN x x ⋅=-- 221223+3(1)=34k k x x k =++．又12MN x =-=∴223+33347k k =+ 即=解得k = ∴直线l 的方程为32y x =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x '=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分当0a <时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分 12a ∴=-．………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x '∴=+-． 12x x+≥ ，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x < ，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-, 1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-= , ∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增, 要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分 11x < ，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）,11()222G x x x x '∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =--- 32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分 22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分 ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分 代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t -=，………………………………8分故12t t +=，1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+．………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-， …………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-…………2分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤或x 故x ∈∅； …………3分当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．…………10分。

宁德市2017—2018学年度第一学期期末高三质量检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|23}A x x x =-≤，{|21}x B x =>，则A B ⋂（ ）A ．[0,3]B ．(0,3]C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-2.已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则22z i +=（ ）A．2 C．103.若1tan()43πα-=-，则cos 2α=（ ） A ．35 B ．35- C ．45- D ．45 4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 值为（ ）A ．10B ．lg 99 C. 2 D ．lg1015.设x ，y 满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y =-的最小值大于5-，则m 的取值范围为（ ）A ．111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.(3,2)- D ．(,2)-∞ 6.福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开.组委会预备在会议期间将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参考接待工作.若要求A ，B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（ ）A ．15种B ．18种 C. 20种 D ．22种7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．342π+B ．542π+C. 522π+ D ．312π+ 8.已知0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >> C.c b a >> D ．c a b >>9.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p -，则该抛物线的方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x = C. 28y x = D ．216y x =10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归.问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家.三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”若当地风俗正月初二都要回娘家，且回娘家当天均返回夫家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）A ．58B ．59 C.60 D ．6111.函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0)a b R ω∈>，满足2()()3f x f x π-+=--，且对任意x R ∈，都有()()6f x f π≤-，则以下结论正确的是（ ）A ．max ()f x a =B ．()()f x f x -= C.a = D ．3ω=12.设函数1()1ln(1)x x f x ae e x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1ln 2)e -∞+B ．(ln 2,)e -+∞ C. (,ln 2)e -∞-D ．(1ln 2,)e ++∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60，2a =，227a b +=，则b = ．14.若双曲线C 的右焦点F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率e = ．15.若正三棱台'''ABC A B C -1，则该正三棱台的外接球的表面积为 ．16.设函数2()21f x x x =--，若1a b >≥，()()f a f b =，则对任意的实数c ，22()()a c b c -++的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点.现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角'D AC B --，使得'D B =.（1）求证：当AF 时，'D F BC ⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角'A D F B --的大小为4π.19.如图，岛A 、C 相距海里.上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西40且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市.上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西70且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市.（1）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（2）现测得4cos 5BAC ∠=-，sin 5ACB ∠=已知速度为V 海里/小时((0,30])V ∈的小艇每小时的总费用为21(50)2V V ++元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .过(0,)2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ，N .当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上. （1）求椭圆C 的方程； （2）若37PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程. 21.已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈有最大值12-，2()2()g x x x f x =-+，且'()g x 是()g x 的导数.（1）求a 的值；（2）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121'()2g x x +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且OP ，OM 成等比数列.（1）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知(0,3)A ，B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于D ，E 两点，试求AD AE -的值.23.选修4-5：不等式选讲已知2()()f x x a a R =+∈，()12g x x x =++-.（1）若4a =-，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围.2018年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1-5：BCBDC 6-10：DACBC 11、12：AD二、填空题13．2 14．2 15．20π 16．8三、解答题17.解法一：（1） 21n a S =，24(1)n n S a ∴=+． 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a >12n n a a -∴-=．∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2， 12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——① 2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅ 2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得113n nn T +=-． 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n n b n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅，22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩ 1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n n b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅， 12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅113nn +=-. 18.解: （1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD中，6AD CD ==,030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=． 在ADF ∆中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=， ∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．又在ABF ∆中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，∴在DFB'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF'∴⊥, 又AC FB F =,∴DF'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，由（1）可知，,,OE OC OD '两两垂直，ACD F以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则 (0,0,0),(1,0,0),OE (0,0,3),D B ',EO ⊥平面AD F ',(1,0,0)OE ∴=为平面AD F '的一个法向量． 设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n(0,,0)F t，(3,23,3),(3,BD BF t '∴=--=--, 由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y =则x t z t =-=，()t t ∴=-n ． ||cos ,4||||OE OE π⋅∴=nn=t ∴=． ∴当CF =A DF B '--的大小是4π．19.解：（1）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=． 在CDE ∆中，由余弦定理得，DE=10=,所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． 因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， ACO E D 'F所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）．所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A所用的时间至少为2t == 由于2116t t >+， 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（2）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=, 所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=． 所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==． 由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠,所以3BC ==, 所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥(0,30]V ∈), 当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =， 所以若小张由岛C 直接乘小艇去B市，其费用至少需20.解：（1）当0k =时，直线//l x 轴，又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．∴点M 的坐标为2(,)b c a ．又2b a =，∴b a =．设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =， ∴15522MF k ==， ∴1k =．∴2,a b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+．故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．又12MN x =-=，∴223+33347k k =+，即解得k =∴直线l 的方程为32y =+．21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x '=+．当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；当0a <时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,12a ∴=-．（2）由（1）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增．又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-． 11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, 设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数,()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>． 22.解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=， 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，∴sin 5ρθ=，化为直角坐标方程为5y =．（2）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π， ∴直线AB的参数方程为,3,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，故12t t +=1230t t =-<，∴12AD AE t t -=+=．23.解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++- ，当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤--1x ≥-故1x ≤-当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥， 故x ∈∅；当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥；所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤--}3x ≥．(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． 当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min31a x ≤-=-；当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min+214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60． 11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=， 设1()ln(1)x h x x e=++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点， 111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解法一：（1） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+． 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =． 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+， 22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（2）由（1）可知，1(21)3n n b n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（1）同解法一. （2）由（1）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113nn +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（1）连结DF ，BF ． C在矩形ABCD中，6 AD CD==,30AC CAB∴=∠=, 060DAC∠=．………………………………1分在ADF∆中，∵AF=2222cos9DF DA AF DA AF DAC∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA+=+=，DF AC∴⊥，即D F AC'⊥．………………………………3分又在ABF∆中，2222cos21BF AB AF AB AF CAB=+-⋅⋅∠=，………………………………4分∴在DFB'∆中，222223D F FB D B''+=+=,BF DF'∴⊥,………………………………5分又AC FB F=,∴DF'⊥平面ABC．∴D F BC'⊥．………………………………6分（2）解：在矩形ABCD中，过D作DE AC⊥于O，并延长交AB于E. 沿着对角线AC翻折后，由（1）可知，,,OE OC OD'两两垂直，以O为原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),O E(0,0,3),D B',………………………………7分EO⊥平面AD F',(1,0,0)OE∴=为平面AD F'的一个法向量．………………………………8分设平面BD F'的法向量为(,,),x y z=n(0,,0)F t，(3,23,3),(3,BD BF t'∴=--=--,由0,0,BDBF⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得3303(0x zx t y⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y=则x t z t=-= , ()t t∴=-n．………………………………10分||cos,4||||OEOEπ⋅∴=nn=A COED'Ft ∴=．∴当CF =A DFB '--的大小是4π． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（1）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分 因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（2）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC ==,………………………………9分所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥((0,30]V ∈),………………………………10分当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =（元）………………………………11分所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需元． ………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（1）当0k =时，直线//l x 轴， 又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2(,)b c a．………………………………………………………2分又2b a =，∴b a =．………………………………………………………3分设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =，∴15522MF k ==，∴1k =．∴2,a b ==分∴椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………6分（2）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分 又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即 解得k = ∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去； (2)分当0a <时，令()0f x '=，得x = 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分12a ∴=-．………………………………5分（2）由（1）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分（2）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分 ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++- ， (1)分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥， 故x ∈∅； …………3分当2x ≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分 当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．…………10分。

2018 届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学本试卷分第I 卷和第 II卷两部分．第I 卷 1 至 2 页，第 II卷3至5页，满分150．第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】 B【解析】集合，，则.故选 B.2.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】复数对应复平面上的点，所以.由得：.，所以.故选 C.3.若，则A. B. C. D.【答案】 B【解析】由，得，解得..................................故选 B.4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为A. B. C. D.【答案】 D【解析】执行程序：,,,,.，不成立，输出.故选 D.5.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】 B【解析】作出不等式组的可行域如图所示，由图可知.平移直线至点 A 处得的最小值，得, 即，代入 z 得.由题意知，解得.综上：.故选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 福建省第十六届运动会将于2018 年在宁德召开．组委会预备在会议期间将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有A. 15种B. 18种C. 20种D. 22种【答案】 D【解析】先从两个不同的地方选出一地分配两人，有种，有三人去A,B 外的另一地点，种；有二人去A,B 外的另一地点，种.综上：共有种，故选 D.7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A. B.C. D.【答案】 A【解析】如图所示三视图的还原图：左侧为三棱锥，右侧为半个圆锥.有：面 PBC,所以PB=PC=2,, 取 PC中点 D，则，所以.得表面积为.故选 A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．8.已知，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】.，且，即..所以.故选 C.9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B 两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】 B【解析】根据题意得：以为直径的圆过点，设的中点为C，则.由抛物线定义知：与准线垂直.设. 与抛物线联立得：.设，则，解得.所以.故选 B.10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有A. B. C. D.【答案】 C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20 ，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5 ，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60 ．故选 C.11.函数() ，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是A. B. C. D.【答案】 A【解析】可知，函数的对称中心为.对任意，都有，知对称轴是，可知，故 b=0,.所以.故选 A.12.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】 D【解析】令，得，设，条件转化为与的图象在上有交点，，得在上为增函数，，得.故选 D.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系.第 II卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13.已知向量，的夹角为，，，则__________ ．【答案】 2【解析】向量，的夹角为，，所以，解得.故答案为： 2.14.若双曲线的右焦点关于其中一条渐近线的对称点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率=________．【答案】 2【解析】设双曲线，左焦点为( -,0) ，F c渐近线方程为，设 F 关于的对称点为(m, -) ，由题意可得,( ?)且，可得 m= c,代入( ?)可得 b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率.故答案为： 2..15.若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．【答案】【解析】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心O则在线上，连接并延长交于 D，连接 C并延长交 AB于 D，1∵等边三角形的边长为cm,∴，∵等边三角形的边长为, ∴==，ABC cm C CD cm若点在线段由上，则，得，无解 .若点在线段由外，则，得，，解得.则该正三棱台的外接球的表面积为.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为 ______．【答案】 8【解析】依题意可知：，整理得，，方程表示如图一段弧AB，可表示弧上一点到直线的距离的平方，的最小值是8．三、解答题：本大题共 6 小题，满分70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知数列的前和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件得，由得，当时，，两式作差得，整理得，由等差数列公式求通项即可；（Ⅱ）由，利用错位相减即可得解.试题解析：（Ⅰ），．当时，，得．当时，，，，即，．数列是等差数列，且首项为，公差为2，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，——①，——②①–②得，化简得．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，解得，∴. 18.如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理求得，进而得，所以有，即，同理可在中，得，进而得平面，从而得证；（Ⅱ）易证得两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求得面和面的法向量，利用法向量求解即可.试题解析：解 : （Ⅰ）连结，．在矩形中，,,．在中，∵,，∵，，即．又在中，，∴在中，,,又,∴平面．∴．（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于.沿着对角线翻折后，由（Ⅰ）可知，两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则,平面,为平面的一个法向量．设平面的法向量为，,由得取则,．即,．当时，二面角的大小是．点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角. 建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19.如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时() 的小艇每小时的总费用为 () 元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？【答案】（Ⅰ）若小张 9 点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元 .【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得，再由正弦定理得，，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.试题解析：（Ⅰ）如图，根据题意得：，，，．在中，由余弦定理得，,所以客轮的航行速度（海里 / 小时）．因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，，整理得：，解得或（不合舍去）．所以客轮从处到岛所用的时间小时，小张到岛所用的时间至少为小时．由于，所以若小张9 点半出发，则无法乘上这班客轮 .（Ⅱ）在中，，,所以为锐角，，．所以.由正弦定理得，,所以,所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为() ，当且仅当，即时，（元） .所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．20.已知椭圆的左、右焦点分别为, ．过且斜率为的直线与椭圆相交于点, ．当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，直线轴，由圆的面积得半径，进而得，由得，设，则，进而得，利用椭圆定义即可求解；（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，进而由韦达定理代入求解即可 .试题解析：（Ⅰ）当时，直线轴，又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，∴四边形为矩形，且．∴点的坐标为．又，∴．设，则．在中，，，∴，∴．∴，∴椭圆的方程为．。

2018年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分），，(n x x ++-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量a (3,)m =，b (2,1)=-，//a b ，则实数m 的值为A ．32- B ． 32C ．2D ．62．若集合{|21}xA x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．244．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1--则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ．5的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．6．已知某市两次数学测试的成绩1ξ2正态分布11(90,86)N ξ和22(93,79)N ξ，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为A．．2 D8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ． 2日和5日B ． 5日和6日C ． 6日和11日D ． 2日和11日9．若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x A ．2- B ．1- C ．13- D 10．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是侧视图正视图A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．1233VV ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．复数1i iz +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________．12．设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20xax a ++=有两个不等实根的概率 为 ． 13．若关于x ，y的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ． 14．若在圆22:()4C xy a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．15的ABC ∆中，3A π∠=．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =，则当AD 取最小时，BD 的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，．（Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．17．(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18． (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥． （Ⅰ）求证：1AO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．19． (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21ll ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ． （Ⅰ）求曲线Γ的方程;（Ⅱ）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ，Bya１（ⅰ）求证:直线CD 过定点;（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于是否为定值?若是，求出该定值；不是，说20．(本小题满分14分)已知函数2()e()xf x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()(eg x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{}na 满足11a=，11(1)n n a a n +=+，求证：当2,n n ≥∈N 时11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭xyO（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1M -； （Ⅱ）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ； （Ⅱ）若正实数,a b 满足11ab+2212m a b +≥.2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B10．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．1313．1-或0 14．(3,1)(1,3)-- 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分． 解: （Ⅰ）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈． (1)分∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分 （Ⅱ）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分 ∴函数()f x 的值域为12[5-．……………………………………………13分17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分． 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则3(3,)4B ξ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ， 则ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．331(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 213339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， 3233327(20)14464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(60)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴19276020206030646464E ξ=-⨯-⨯+⨯+=．……………………………8分设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，则η所有可能的取值为60-，20-，20，60．∵2111(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭，24141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(60)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， ∴191216602020602450502550E η=-⨯-⨯+⨯+⨯=，……………………………12分∵1203012024+>+，∴支持票投给甲队．…………………………………………13分18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分． （Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O =…………………………………………2分∴22211AO AD AA +=∴1AO AD ⊥.…………………………………………3分 又1CD AO ⊥，且CD AD D =，∴1AO ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以OO xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A 设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP ∵1(0,1AA =，(1,1,0)AP m =+，Ba１a且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩n n 取1z =，得1n=1),m +． (8)分又1AO ⊥平面ABCD ,且1AO ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD =∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos,=n n ，……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）． ∴当BP的长为2时，二面角1D A A P--的值为6π．………………………13分19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分． 解法一: （Ⅰ）由题意可知，HF HP=，∴点H到点(0,1)F 的距离与到直线1:1l y =-的距离相等，……………………………2分∴点H 的轨迹是以点(0,1)F 为焦点， 直线1:1l y =-为准线的抛物线，………………3分 ∴点H 的轨迹方程为24xy =． (4)分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设0(,1)P x -，切点(,),(,)CC D D C xy D x y ．由214y x =，得12y x '=．∴直线01:1()2CPC y xx x +=-，…………………………………………5分又PC 过点C ，214CC y x =， ∴2001111()222CC C C C y x x x x x x +=-=-， ∴1122C C C y y x x +=-，即01102C C x x y -+=．…………………………………………6分同理01102D D xx y -+=，∴直线CD的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分 （ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线CD 的方程为1102x y -+=.设:1(1)l y k x +=-， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．……………………………………9分设(,),(,)AA B B A xy B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1QA B xx x ---同号，∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭ ()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQ PQ PAPB+为定值，定值为2．…………………………………………13分 解法二: （Ⅰ）设(,)H x y ，由题意可知， HF HP=，1y =+， (2)分∴化简得24xy =，∴点H 的轨迹方程为24x y =． (4)分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点(,),(,)CC D D C x y D x y ，直线CD 的方程为y kx t =+．联立y kx t =+与24xy =得2440x kx t --=，由根与系数的关系，得4,4C D C D x x k x x t +=⋅=-．…………………………………………5分由214y x =，得12y x '=．∴直线1:()2CC C PC y yx x x -=-，又214C C y x =，所以211:24CC PC y xx x =-． 同理211:24D D PD y xx x =-．…………………………………………6分联立两直线方程，解得1y t =-=-，∴1t =，即直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得11()22CD xx k =+=，∴12k =，∴直线CD 的方程为1102x y -+=．以下同解法一．20．本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分． 解: （Ⅰ）22()e ()e (2)e (2)xx x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分 （Ⅱ）2()e(2)xf x x x -=+．由()()g x f x ≥，得23()e(2)exx x t x x ----≥+，[0,1]x ∈．当0x =时，该不等式成立; (4)分当(0,1]x ∈，不等式3e(2)exx t x --++≥+对(0,1]x ∈恒成立，即max3e(2)e xt x x -⎡⎤≥++-⎢⎥⎣⎦． (5)分设3()e(2)exh x x x -=++-，(0,1]x ∈， ()e (2)e 1e (1)1x x x h x x x ---'=-+++=-++，()e (1)e e 0x x xh x x x ---''⎡⎤=--++=⋅>⎣⎦， ∴()h x '在(0,1]单调递增， ∴()(0)0h x h ''>=， ∴()h x 在(0,1]单调递增， …………………………………………………………7分 ∴max33()(1)11e eh x h ==+-=，∴1.t ≥………………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）∵11(1)n n a a n+=+， ∴11n nan a n++=，又11a =， ∴2n ≥时，321121231121n nn a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-，对1n =也成立， ∴nan =． (10)分∵当[0,1]x ∈时，2()e(2)0xf x x -'=-->，∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．又∵1()i f nn⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n，宽为1n的小矩形的面积，∴11()()i n i nif f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n n nn n n nn --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰．…… 12分又由（Ⅱ），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++，∴1132100011313()()(1)32e 62ef x dxg x dx x x ≤=-++=+⎰⎰，∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦， ∴11213()()()62e n a a af f f n n nn -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2130M ⎛⎫=⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-， ∴1103213M-⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分（Ⅱ）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''，则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分 （2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为x y +=2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分（Ⅱ）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分圆心C到直线x y +=的距离为2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=， ∴321r =-=．………………………………………7分(3)本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x =-+-≥-+-=， (2)分当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2，……………………3分2m ∴=． (4)分（Ⅱ）22222121()[1](13a b a ++≥⨯+=，222123()2a b ∴+⨯≥， ∴22122a b +≥.…………………………………………7分。

2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．23- 14．8 15．9800 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解:（1）由题设132n n S a +=-， 当2n ≥时，132n n S a -=-，两式相减得13n n n a a a +=-，即14n n a a += . …………………2分又1a =2，1232a a =-，可得28a =， ∴214a a =. ………………………………3分∴数列{}n a 构成首项为2，公比为4的等比数列，∴121242n n n a --=⨯=. ………………………………5分 （没有验证214a a =扣一分）（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分 ∴2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n c n n n n n n n n=<==--⋅-⋅-⋅- ， ………9分∴1231111112()()()12231n c c c c n n ++++≤+-+-++-- …………10分13n=- ………………………………11分3<. ………………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∵2n ≥时，211n n -≥+， ∴22112()(21)(1)1n c n n n n n n =≤=--⋅+⋅+ ， ………9分∴123111122()()23+1n c c c c n n ⎡⎤++++≤+-++-⎢⎥⎣⎦…………10分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭………………………………11分3<. ………………………………12分解法三：（1）同解法一；（2）∵212log 221n n b n -==-，………………………………6分442(1)(21)2(21)n n n c b b n n n n===+-⋅-⋅（*n ∈N ）， ………………7分∴2n ≥时，22112()(21)(1)1n c n n n n n n=≤=--⋅-⋅- ， ………8分∴1231234511112()()561n c c c c c c c c c n n ⎡⎤++++≤+++++-++-⎢⎥-⎣⎦…………10分 1212112231514455n ⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…………………………11分619223630n<+-<. ………………………………12分18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（1）当2040t <≤时，0.1215y t =+ ………………………………1分 当4060t <≤时，.y t t=⨯+-+. ………………………………2分 得：0.1215,2040,0.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩………………………………3分（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505P +==……4分错误！未找到引用源。

2017届高三年段联考试卷高三数学(理科)（考试时间 120分钟, 本卷满分150分 ） 命卷：游丽琼 审核：数学备课组第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x xx =-<，{}|10B x x =-≥，则A ∩（∁UB )= （）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x << 2．已知复数bi i ai +=-12，其中R b a ∈,，i 是虚数单位,则=+bi a （ ) A ．i 31-- B ．5 C ．10 D ．103。

已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为() A. 0c ∀>,方程2xx c -+=无解 B 。

c∀≤0，方程2xx c -+=有解C 。

c ∃>，方程2xx c -+=无解 D 。

c∃≤0,方程2xx c -+=有解4．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的部分图像如图所示，则ϕω,的值为A ．32,2π B ．3,2π- C 12,1π D 12,1π-5。

等比数列{}na 中，39a=,前3项和为3233Sx dx =⎰,则公比q 的值是（）A ．1B ．12-C ．1或12- D ． 1-或12-6。

阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数x 的取值范围是（ )A ．[0,2)B ．[2,7]C ．[2,4]D ． [0,7] 7．设(3,1),(,3)a b x ==-，且b a ⊥，则向量a b -与向量b 夹角为A.30B.60C. 120D.1508. 已知函数,,log xbcy a y x y x === A 。

2017-2018学年福建省宁德市高三（上）期末数学模拟试卷（理科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．23．若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．4．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98B．99C．100D．1015．已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．6．直线方程Ax+By=0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示条不同的直线（）A．19B．20C．21D．227．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．设a=0.43，b=log0.43，c=30.4，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c9．直线l与抛物线y2=4x相交与A，B两点，若OA⊥OB（O是坐标原点），则△AOB 面积的最小值为（）A．32B．24C．16D．810．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（）A．甲是军人，乙是工人，丙是农民B．甲是农民，乙是军人，丙是工人C．甲是农民，乙是工人，丙是军人D．甲是工人，乙是农民，丙是军人11．若函数f（x）=sinx﹣cosx，且函数f（x+θ）是偶函数，其中θ∈[0，π]，则θ=（）A．B．C．D．12．设x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知单位向量，的夹角为，设=2+λ，则当λ＜0时，λ+||的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．15．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=DC=4，AB=3，则三棱锥A﹣BCD 外接球的表面积为．16．已知函数f（x）对任意的x∈R，都有，函数f（x+1）是奇函数，当时，f（x）=2x，则方程在区间[﹣3，5]内的所有零点之和为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知正数等比数列{a n}的前n项和S n满足：．（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB=∠A1AD．（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB=A1A，∠BAD=60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1﹣BB1﹣D 的余弦值．19．（12分）在△ABC中，，求b，c．20．（12分）已知椭圆E的方程为（a＞b＞0 ）的离心率为，圆C的方程为，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C 的直径．（1）求直线AB的方程；（2）求椭圆E 的标准方程．21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当时，．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（﹣1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|﹣3．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若直线y=kx﹣2与函数f（x）的图象有公共点，求k的取值范围．2017-2018学年福建省宁德市高三（上）期末数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．比较基础．2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用两角和的余弦函数公式可求cosα=+sinα，结合同角三角函数基本关系式可求2sin2α+sinα﹣=0，进而解得sinα的值．【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，∴cosα+sinα=，可得：cosα=+sinα，又∵sin2α+cos2α=1，可得：sin2α+（+sinα）2=1，整理可得：2sin2α+sinα﹣=0，∴解得：sinα=，或﹣（舍去）．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．4．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98B．99C．100D．101【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的K，S的值，观察规律，可得当K=99，S=2，满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．【分析】画出不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，可知其过点（2，0），从而求出k的值；【解答】解：∵不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0），∵y=kx+1，与x轴的交点为（﹣，0），y=kx+1与y=﹣x+2的交点为（，），三角形的面积为：×（2+）×=，解得：k=1．故选：A．【点评】此题主要考查二元一次不等式与平面区域，解题的关键是画出草图，通过三角形的面积求解；此题是一道中档题；6．直线方程Ax+By=0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示条不同的直线（）A．19B．20C．21D．22【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，若A或B中有一个为零时，可以得到2条直线，②，从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，由排列数公式计算可得其情况数目，综合2种情况，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线方程Ax+By=0，A、B不能同时为0，分2种情况讨论：①若A或B中有一个为零时，当A或B等于0时，只能有1条直线，则此时可以有2条直线；②当AB≠0时，从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，有A52=5×4=20条，则共有20+2=22条，即所求的不同的直线共有22条，故选：D．【点评】本题考查排列、组合数的实际应用，涉及直线的方程，注意直线过原点，要正确分析直线方程中重复的情况．7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三棱锥的三视图得到三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，AC⊥BC，SA=2，由此能求出三棱锥的体积．【解答】解：由三棱锥的三视图得到三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，AC⊥BC，SA=2，∴三棱锥的体积：V===．故选：B．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．8．设a=0.43，b=log0.43，c=30.4，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【分析】利用数指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a∈（0，1），b＜0，c＞1．∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．直线l与抛物线y2=4x相交与A，B两点，若OA⊥OB（O是坐标原点），则△AOB 面积的最小值为（）A．32B．24C．16D．8【分析】由题意可设直线OA的方程，与抛物线方程联立求出A的坐标，同理求出B的坐标，再利用三角形的面积计算公式即可得出结论．【解答】解：由题意可设直线OA的方程为：y=kx．联立，解得A（，），OA⊥OB（O是坐标原点），设直线OA的方程为：y=﹣x．B（4k2，﹣4k），∴△AOB面积S=|OB||OA|=••===8（）≥16，当且仅当|k|=1时取等号．故选：C．【点评】本题综合考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（）A．甲是军人，乙是工人，丙是农民B．甲是农民，乙是军人，丙是工人C．甲是农民，乙是工人，丙是军人D．甲是工人，乙是农民，丙是军人【分析】推导出乙是工人，且乙的年龄比甲的年龄小，比农民的年龄大，得到甲不是农民，从而甲是军人，乙是工人，丙是农民．【解答】解：由乙的年龄比农民的年龄大，得乙不是农民；由丙的年龄和工人的年龄不同，得到丙不是工人；由工人的年龄比甲的年龄小，得到甲不是工人．从而得到乙是工人，由乙的年龄比甲的年龄小，比农民的年龄大，得到甲不是农民，从而甲是军人，乙是工人，丙是农民．故选：A．【点评】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．若函数f（x）=sinx﹣cosx，且函数f（x+θ）是偶函数，其中θ∈[0，π]，则θ=（）A．B．C．D．【分析】利用辅助角公式化简，利用函数f（x+θ）是偶函数，即可求解θ．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x）∵f（x+θ）是偶函数，即f（x+θ）=2sin（x+θ）∴θ=，（k∈Z）∵θ∈[0，π]，当k=0时，可得θ=．故选：C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．12．设x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【分析】确定函数为增函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案．【解答】解：∵y=2x在（0，+∞）上是增函数，y=log x在（0，+∞）上是减函数，可得x在（0，+∞）上是增函数，由0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，此时B成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞c＞a．综上可得，B成立．故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，注意运用零点存在定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知单位向量，的夹角为，设=2+λ，则当λ＜0时，λ+||的取值范围（﹣1，2）．【分析】根据题意求出||的解析式，再计算λ+||的取值范围．【解答】解：单位向量，的夹角为，=2+λ，∴=4+4λ•+λ2=4+4λ×1×1×cos+λ2=λ2+2λ+4，∴||=；∴λ+||=λ+，设y=λ+，λ＜0；则（y﹣λ）2=λ2+2λ+4，∴y2﹣2λy=2λ+4，即=2λ；又λ＜0，∴＜0，解得y＜﹣2或﹣1＜y＜2；又=＞|λ+1|，∴λ+＞λ+|λ+1|＞λ﹣（λ+1）=﹣1；∴λ+||的取值范围是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了平面向量的数量积与不等式的应用问题，是难题．14．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x 的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=DC=4，AB=3，则三棱锥A﹣BCD 外接球的表面积为41π．【分析】由题意，三棱锥A﹣BCD扩充为长方体，其对角线长为=，可得三棱锥外接球的半径为，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：由题意，三棱锥A﹣BCD扩充为长方体，其对角线长为=，∴三棱锥外接球的半径为：，∴三棱锥外接球的表面积为4π•=41π．故答案为：41π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积，三棱锥A﹣BCD扩充为长方体，求出三棱锥外接球的半径是关键．16．已知函数f（x）对任意的x∈R，都有，函数f（x+1）是奇函数，当时，f（x）=2x，则方程在区间[﹣3，5]内的所有零点之和为4．【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得函数f（x）的图象关于点（1，0））对称，则f（2﹣x）=﹣f（x），进而可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即函数f（x）的周期为2，且图象关于直线对称，据此作出函数的简图，可得函数f（x）在区间[﹣3，5]内有8个零点，分析可得答案．【解答】解：根据题意，因为函数f（x+1）是奇函数，所以函数f（x+1）的图象关于点（0，0）对称，把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位可得函数f（x）的图象，即函数f（x）的图象关于点（1，0））对称，则f（2﹣x）=﹣f（x），又因为，所以f（1﹣x）=f（x），从而f（2﹣x）=﹣f（1﹣x），再用x替换1﹣x可得f（x+1）=﹣f（x），所以f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即函数f（x）的周期为2，且图象关于直线对称，如图所示，函数f（x）在区间[﹣3，5]内有8个零点，所有零点之和为．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数的对称性与奇偶性的性质，关键是分析作出函数的简图．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知正数等比数列{a n}的前n项和S n满足：．（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的递推关系式，求出数列的公比，然后求解数列的首项；（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）∵，可知，，两式相减得：，∴，而q＞0，则．又由，可知：，∴，∴a1=1．（2）由（1）知．∵，∴，．两式相减得=．∴．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB=∠A1AD．（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB=A1A，∠BAD=60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，连接A1B，A1D，A1O．证明AO⊥BD，A1O⊥BD，推出BD⊥平面A1ACC1，得到BD⊥AA1．BD⊥BB1．然后证明四边形BB1D1D为矩形．（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出相关点的坐标，求出平面A1BB1的法向量，平面BB1D的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A1﹣BB1﹣D 的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接A1B，A1D，A1O．∵∠A1AB=∠A1AD，AB=AD，∴A1B=A1D．又O为BD的中点，∴AO⊥BD，A1O⊥BD．∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥AA1．∵BB1∥AA1，∴BD⊥BB1．又四边形BB1D1D是平行四边形，则四边形BB1D1D为矩形．（2）解：过点A1作A1E⊥平面ABCD，垂足为E，由已知可得点E在AC上，∴∠A1AC=30°．设AB=A1A=1，则．在菱形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=60°，∴．∴点E与点O重合，则A1O⊥平面ABCD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则．∴．设平面A1BB1的法向量为，则，∴即取x=1，可得为平面A1BB1的一个法向量．同理可得平面BB1D的一个法向量为．∵．所以二面角A1﹣BB1﹣D的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力．19．（12分）在△ABC中，，求b，c．【分析】由A的度数求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使面积等于，把sinA的值代入可得bc的值，然后再求出cosA的值，由a的值及cosA的值，利用余弦定理表示出a2，配方变形后，把bc及cosA的值代入，开方可得b+c的值，联立bc的值与b+c的值，即可求出b和c的值．【解答】解：∵，sinA=sin120°=，∴bc=4①，（4分）又cosA=cos120°=﹣，且a=，根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：21=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即（b+c）2=25，开方得：b+c=5②，（8分）而c＞b，联立①②，求得b=1，c=4．（10分）【点评】此题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键，学生在求出b和c值时注意利用c＞b这个条件．20．（12分）已知椭圆E的方程为（a＞b＞0 ）的离心率为，圆C的方程为，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C 的直径．（1）求直线AB的方程；（2）求椭圆E 的标准方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率设出椭圆E的方程为，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．（2）y=﹣x+3，代入并整理得，3x2﹣12x+18﹣2b2=0，利用判别式以及韦达定理弦长公式，求解a，b得到椭圆方程．【解答】（1）解：由得，∴，即a2=2b2，∴椭圆E的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB恰好为圆C的直径，∴线段AB的中点恰好为圆心（2，1），于是有x1+x2=4，y1+y2=2，由于，，两式相减，并整理得，（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0有（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．（2）解：由（1）知y=﹣x+3，代入并整理得，3x2﹣12x+18﹣2b2=0，∵椭圆E与圆C相交于A，B两点，∴△=（﹣12）2﹣4×3×（18﹣2b2）＞0，解得b2＞3，于是x1+x2=4，，依题意，，而=，∴，解得b2=8，满足b2＞3，∴a2=2b2=16，∴所求椭圆E的标准方程．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，平方差法的应用，考查转化思以及计算能力．21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当时，．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=f（x）+，得到a＞﹣x恒成立，令t=∈（0，1），问题转化为a＞e t+恒成立，令φ（t）=e t+，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）根据函数的单调性求出ln（x+1）＞＞即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣1=，令f′（x）=0，解得：x=1﹣a，∴x∈（﹣a，1﹣a）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣a，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣a，1﹣a）递增，在（1﹣a，+∞）递减；（2）令g（x）=f（x）+=ln（x+a）+﹣x=ln（x+a）﹣＞0，故x+a＞，即a＞﹣x恒成立，令t=∈（0，1），则a＞e t+恒成立，令φ（t）=e t+，则φ′（t）=﹣，下面证明φ′（t）＜0，∵e﹣t＞﹣t+1，且t∈（0，1）时，（t﹣1）2﹣（﹣t+1）=t2﹣t＜0，∴e﹣t＞﹣t+1＞（t﹣1）2＞0，∴φ′（t）=e t﹣＜0，∴φ（t）递减，∴a≥φ（0）=1，即a的范围是[1，+∞）；（3）由（2）可知：a=1，x＞0时，ln（x+1）＞，当x∈（0，）时，令m（x）=x﹣sinx，则m′（x）=1﹣cosx＞0，∴m（x）递增，∴m（x）＞0，即x＞sinx＞0，又n（x）=在（0，+∞）递增，故＞，故．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，转化思想，是一道综合题．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为（﹣1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ2=6ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（其中t为参数）．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x，即（x﹣3）2+y2=9．（Ⅱ）直线l的参数方程为（其中t为参数）代入曲线C的直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9．得：（t﹣4）2+（）2=9，整理，得=0，=4＞0，t1t2=7，t1+t2=4，∴|PA|+|PB|=|t1+t2|=4．【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、检坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|﹣3．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若直线y=kx﹣2与函数f（x）的图象有公共点，求k的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的分段函数的性质，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）≤2，得或或，解得0≤x≤5，故不等式f（x）≤2的解集为[0，5]．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|﹣3=，作出函数f（x）的图象，如图所示，直线y=kx﹣2过定点C（0，﹣2），当此直线经过点B（4，0）时，；当此直线与直线AD平行时，k=﹣2．故由图可知，．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．。

宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{2,3,4,5}A =，{|3}B x x =>，则满足m A ∈且m B ∉的实数m 所组成的集合为 A ．{2}B ．{3}C ．{4,5}D ．{2,3}2．命题“若1x =-，则220xx --=”的逆否命题是A ．若1x ≠-，则220x x --≠ B ．若220x x --≠，则1x ≠- C ．若1x =-，则220xx --≠ D ．若220x x --≠，则1x =-3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：2χ28.12χ≈．根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9% 4．某公司将4配方法的总数为A ．6B ．12 Ｃ．5(,)x y 所对应的点都在函数A ．1y x =-的图象上B ．1y=的图象上C ．121xy -=-的图象上 D ．2log y x =的图象上6．若变量,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于A ．8B ．7C ．6D ．5 7．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．53πB ．43πC ．πD ．3π8．已知函数2())cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是俯视图侧视图正视图A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 9．已知O 为坐标原点，向量(1,0)OA =，(1,2)OB =-．若平面区域D 由所有满足OC OA OB λμ=+（22λ-≤≤，11μ-≤≤）的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ．1y x= B ．cos y x x =+C ．5ln 5x y x-=+ D ．ee 1xx y -=+-10．斜率为(0)k k ≠的两条直线分别切函数32()(1)1f x xt x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为21y x =-，则t k +的值为 A ．8 B ．7 C ．6 D ．5第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．已知复数i(1i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的模z =_______．12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n ＝________．13．如图，直线(0)y kx k =>与函数2y x =的图象交于点O ，P ，过P 作PA x ⊥轴于A ．在OAP ∆中任取一点，则该点落在阴 影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，且,,2ba c成等差数列．若其对角线长为，则b 的最大值为________．15．如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n nAB A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，2B ，L ，nB*()n ∈N在曲线1(0)y x x=>上，0A 与坐标原点O 重合，i A *()i ∈N 在x 轴正半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出n 条鱼称其重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频 率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的n ，x ，y 的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过100克的鱼中，随机抽取3条 作病理检测，记这3条鱼中，重量不超过90克的鱼的条 数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列{}na 满足：123a =，且11112()33n n n aa ++=+⨯．（Ⅰ）求证：数列{}3nn a ⋅是等差数列；（Ⅱ）求数列{}na 的前n 项和nS ．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当23EP ED =时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分13分）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处， 通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、图（1）图（2）A BE CDADCBEPQP•A BC D l4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元．（Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．20． (本小题满分14分) 已知函数2()2ln ()f x axx x a =+-∈R ．（Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x '在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011xx +>．21．(本小题满分14分)本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分） 已知二阶矩阵A 有特征值11λ=，22λ=，其对应的一个特征向量分别为111⎛⎫= ⎪⎝⎭e，210⎛⎫= ⎪⎝⎭e ． （Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求圆22:1C x y +=在矩阵A 所对应的线性变换作用下得到曲线C '的方程．（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为6π，过点(1,1)P 的直线l 与曲线C ：2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩(α是参数)相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系O xyz -中，坐标原点为O ，P 点坐标为(,,)x y z ．（Ⅰ）若点P 在x 轴上，且坐标满足253x -≤，求点P 到原点O 的距离的最小值；（Ⅱ）若点P 到坐标原点O 的距离为，求x y z ++的最大值．宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1. D2. B3. C4. A5. D6. C7. A8. B9.C 10. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.14. 211.90 13. 13三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，30.03n=， ………………………………………1分∴100n =． ………………………………………………2分 ∴1000.1010x =⨯=， …………………………………………3分 200.20100y ==． ……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分3731035(0)120C P Cξ===， 123731063(1)120C C P C ξ===，213731021(2)120C C P C ξ=== ， 333101(3)120C P C ξ===， (9)分（说明：以上4个式子，每个1分）故ξ的分布列为分所以ξ的数学期望63211()0123120120120E =+⨯+⨯+⨯ξ…………12分．910=. …………………………………13分 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分. 解法一：（Ⅰ）令3n n n b a =⋅， (1)分则11133n n n n n n b b a a +++-=⋅-⋅ (2)分11113(2())333n n n n n a a ++=+⨯-⋅ ......... (3)分3232n n n n a a =⋅+-⋅= ………………………………………4分∴数列{}nb 为公差为2的等差数列.即数列{}3nn a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}nb 为公差为2的等差数列， 1132b a=⋅=，∴1(1)22nb b n n =+-⋅= ……………………………………………6分 ∴23n nna =． …………………………………………………………7分 ∴2324623333nn nS =++++ ，……………① …………………8分 ∴23411246233333n n nS+=++++ ，...............② (9)分①-②得231222222333333nn n nS+=++++- ，……………………10分∴2111113333nn nnS-=++++-A DCBE PMQ11(13313n n n ⨯-=-- ……………………………………12分332233n n n=--⨯323223nn +=-⨯． ………………………………………13分解法二：（Ⅰ）∵11112()33n n n aa ++=+⨯， ∴11332n n n n a a ++⋅=⋅+，……………………………………3分 ∴11332n n n n a a ++⋅-⋅=， …………………………………4分 ∴数列{}3nn a ⋅是公差为2的等差数列. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列{}3nn a ⋅是公差为2的等差数列，∴133(1)22nn a a n n ⋅=+-⨯=，∴23nnna=．……………………7分以下同法一18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. 解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ．………1分取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且12MQ BC =，……2分 又//PE BC ，且12PE BC =，所以//PE MQ ，=PE MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，……………………3分 故//ME PQ ．……………………………………………4分 又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ． ………………………………5分 从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3=2PD ． (6)分（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE 所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥分以E 为原点，分别以,,EB ED EA为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P ，(3,3,0)C ． (8)分(3,1,0)PC = ，(0,2,3)PA =-． (9)分平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ， (10)分设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ ………………………………………11分 取3y =，得2(1,3,2)=-n ， ……………………………………………12分所以12cos,==n n即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为13分19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）依题意，在Rt ABC∆中，22220AB=，∴AB=． (1)分又∵在ABD∆中，224ABDππ-π∠==,ADBα∠=，由sinsin4AD AB=α，得10sinADα=………………………………2分由sinsin[()]4BD AB=ππ-+αα，得)4sinBDααπ+=，…………3分∴)420sinCDααπ+=-．…………………………………4分∴100252254S AD BD CD=⨯+⨯⨯+⨯⨯………………………5分))104410050[20]100sin sin sinαααααππ++=⨯+⨯+-⨯1000)42000sinααπ-+=+………………………6分其中α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭． …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）1000)42000sin S π-+=+αα2cos 1500500sin -=+⨯αα， …………………………8分令2cos ()sin f ααα-=，∴22sin sin cos (2cos )12cos ()sin sin f αααααααα⋅---'==，……………9分 由()0f α'=得：1cos 2α=，又∵3,44αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3απ=． …………………………………………………………10分当,43αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'<， 当3,34αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'>， …………………………………11分∴min12()()3f f α-π==． (12)分∴min1500S =+，∴当3απ=时，运输费用S 的最小值为(1500+元．……………13分20. 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解法一：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x xx x=+-，(0,)x ∈+∞，21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………1分由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………3分()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，得22210axx +-=，设2()221h x axx =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；…………………………5分当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增，且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；……………………6分 当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．……………7分综上，12a >-．…………………8分（说明：0∆=未讨论扣1分） （Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t=-=+--，…………………9分21221()22at t p t at t t+-'=+-=， 由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知， 方程22210att +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………11分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．…………………12分 取32e (0,1)at -+=∈，则326432326432(e)=e 2e 3ln e e 2e 332aa a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且10tx <<，即101xx <-<，得1(0,1)x ∈，且011xx +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011xx +>．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，由22210axx +-=，得2112a x x=-．………5分 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a mm m =-=--，………6分问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题．又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………7分 故直线y a=与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……8分（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分）21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭, 依题意，得111222,,A A λλ=⎧⎨=⎩ee e e …………………1分∴1,1,02,00.a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ………………………………2分解得2,1,0,1.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………3分∴2101A -⎛⎫=⎪⎝⎭.…………………4分（Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''',∴2,.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ …………………5分解得,2.x y x y y ''+⎧=⎪⎨⎪'=⎩…………………6分又∵221xy += ,∴2212x y y ''+⎛⎫'+= ⎪⎝⎭, ∴曲线C ′的方程为22254xxy y ++=.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分． （Ⅰ）依题意，得直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，，（t 为参数）………1分即111.2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t为参数）…①…………………………………………2分∵曲线C 的参数方程为2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩，∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得2211(1)42t ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴21)20tt +-=，………………5分∴21)80∆=+>，122t t =-， (6)分∴12||||||2PA PB t t⋅== (7)分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点P 在x 轴上，所以(,0,0)P x ， 又坐标满足253x -≤，所以3253x -≤-≤，………………2分 解得14x ≤≤，…………………………………………………3分 所以点P 到原点O 的距离的最小值为 1.. …………………4分（Ⅱ）由点P 到坐标原点O 的距离为， 故22212x y z ++=， (5)分 由柯西不等式，得2222222()(111)()xy z x y z ++++≥++，………6分 即2()36x y z ++≤， 所以x y z ++的最大值为6，当且仅当2x y z ===时取最大. …………7分。