2011年高考文科数学试题及答案

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24 题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M {0,1,2,3,4} ，N {1,3,5} ，P M N ，则P 的子集共有A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个【答案】 B【解析】P M N ={ 1,3} ，故P 的子集有22 4个．2．复数5i 1 2iA．2 i B．1 2i C． 2 i D． 1 2i 【答案】 C【解析】5i 5i(1 2i)1 2i (1 2i)(1 2i)2 i ．3．下列函数中，既是偶函数又在(0, ) 单调递增的函数是A． 3y x B．y | x | 1 C． 2 1y x D．y 2|x| 【答案】 B【解析】 3y x 为奇函数， 2 1y x 在(0, ) 上为减函数，|x|y 2 在(0, ) 上为减函数，故选B．4．椭圆2 2x y16 81的离心率为A．13B．12C．33D．22【答案】 D第1页—共12页【解析】由2 2x y16 81可知2 16a ，2 8b ，∴2 2 2 8c a b ，∴2e22ca12，∴2e ．25．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A．120 B．720 C．1440 D．5040【答案】 B【解析】由程序框图可得，输出的p 1 2 3 4 5 6 720 ，选 B6．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．34【答案】 A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加 1 组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9 个．记事件 A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件 A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共 3 个．因此3 1 P(A) ．9 37．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上，则cos 2=A．45B．35C．35D．45【答案】 B第2页—共12页【解析】由题知tan 2 ，cos22 2 2cos sin 1 tan 32 2 2cos sin 1 tan 5，选B．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为正视图D B CA 俯视图【答案】 D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D．9．已知直线l 过抛物线 C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A, B 两点，| AB |=12，P 为C 的准线上一点，则ABP 的面积为_____．A．18 B．24 C．36 D．48【答案】 C【解析】设抛物线方程为 2 2py px ( , 0)2 ，将px 代入22 2y px可得2 2y p ，| AB |=12，即2p=12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP面积为12 6 12 36．x10．在下列区间中，函数 f ( x) e 4x 3的零点所在的区间为_____．A ．1( ,0)4B．1(0, )4C．1 1( , )4 2D．1 3( , )2 4【答案】 C【解析】因为1 11 14 4f ( ) e 4 3 e 2 0 ，4 41 11 12 2f ( ) e 4 3 e 1 0 ，所2 2x以f (x) e 4x 3的零点所在的区间为1 1 ( , )．4 2第3页—共12页11．设函数 f (x) sin(2 x ) cos(2 x) ，则4 4A．y f (x) 在(0, )2 单调递增，其图象关于直线x对称4B．y f (x) 在(0, )2 单调递增，其图象关于直线x对称2C．y f (x) 在(0, )2 单调递减，其图象关于直线x对称4D．y f (x) 在(0, )2 单调递减，其图象关于直线x对称2【答案】 D【解析】因为( ) sin(2 ) cos(2 ) x = 2 cos2x，f x x x = 2 sin(2 )4 4 2所以y 2 cos2x，在(0, )2 单调递减，对称轴为2x k ，即kx ( k Z)．212．已知函数y f ( x) 的周期为2，当x [ 1, 1] 时 2f ( x) x ，那么函数y f (x) 的图象与函数y |lg x |的图象的交点共有_____．A．10 个B．9 个C．8 个D．1 个【答案】 A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10 个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b与向量k a b垂直，则k = ．【答案】 1【解析】∵a b与k a b垂直，∴( a b) ·( k a b) =0，第4页—共12页化简得(k1)(a b1)0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a b10，得k10，即k1．14．若变量x，y满足约束条件32x y96x y9，则z x2y的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线z x2y过2x y3x y9的交点(4，-5)时，z min6．15．ABC中，B120,AC7,AB5，则ABC的面积为_________．【答案】1534【解析】根据AB ACsin C sin B 得ABsin C sin BAC53537214，53112cosC1()，1414所以sin A sin[(B C)]sin B cosC sin C cos B3111533321421414．因此S ABC=1133153 AB AC sin A75．2214416．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．【答案】13【解析】设球心为O，半径为1r，圆锥底面圆圆心为1O，半径为2r，2第5页—共12页则有316422r r，即123r r，所以212r221O O r r，12122设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h、h2，则1rh11h r21r12r1213．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）1已知等比数列{a}中，1a，公比n31 q．3(Ⅰ)S n为{a n}的前n项和，证明：1an S；n2(Ⅱ)设b n log3a1log3a2log3a n，求数列{b n}的通项公式．1111n【解析】（Ⅰ）因为.a()nn333Sn 13(111n313)11n32, 1a n所以,Sn2（Ⅱ）b n log3a1log3a2log3a n (12n)n(n1)2n(n1)所以{b n}的通项公式为.b n218．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．第6页—共12页(Ⅰ)证明：PA BD；(Ⅱ)若PD AD1，求棱锥D PBC的高．【解析】（Ⅰ）因为DAB60,AB2AD，由余弦定理得BD3AD从而222BD AD AB，故BD AD又PD底面ABCD，可得BD PD所以BD平面PAD.故PA BD（Ⅱ）如图，作DE PB，垂足为E．已知PD底面ABCD，则PD BC．由（Ⅰ）知BD AD，又BC//AD，所以BC BD．故BC平面PBD，BC DE．则DE平面PBC．由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，3根据BE·PB=PD·BD，得DE=，23即棱锥D—PBC的高为.219．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表第7页—共12页[90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 指标值分组频数8 20 42 22 8B 配方的频数分布表[90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 指标值分组频数 4 12 42 32 10 (Ⅰ)分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用 B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,t 94y 2,94 t 102，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率，并求用 B 4,t 102配方生产的上述100 件产品平均一件的利润．22 8【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为0.3，所以用 A100 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3 ．32 10由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用 B 配方100生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0．96．所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率估计值为0．96．1[4 ( 2) 54 2 42 4] 2.68 (元)．用B 配方生产的产品平均一件的利润为10020．（本小题满分12 分）2 6 1在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x x 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线x y a 0交于A,B 两点，且OA OB ，求a的值．2 x【解析】（Ⅰ）曲线y x 6 1与y 轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为（3 2 2,0), (3 2 2 ,0).2 t 2 t2 解得t =1.2C的圆心为（3，t ），则有3( 1) (2 2) ,故可设—共12页第8页2t2则圆C的半径为3(1) 3.2y 2 所以圆C的方程为(x3)(1)9.（Ⅱ）设A(x1,y)，B(x2,y2)，其坐标满足方程组：1x y a0,(x3)2y(21)0.4消去y，得到方程2a x a a22x(28)210.2 由已知可得，判别式5616a4a0.2 (82a)5616a4a 因此，,x从而1,242a02a1x x4a,x x①12122由于OA OB，可得x1x y y0,212又y1x1a,y2x2a,所以22x1x a(x x)a0.②212由①，②得a1，满足0,故a 1. 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)a ln x bx1x，曲线y f(x)在点(1,f(1处)的切线方程为x2y30．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)证明：当x0，且x1时，f(x)l nxx1．【解析】（Ⅰ）f'(x)x1(ln)x bx22(x1)x第9页—共12页1 2，且过点(1,1)，故ff(1)1,1'(1),2由于直线x2y30的斜率为即b1,a1b22,解得a1，b1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)ln x1x1x，所以f(x)lnxx111x2x(2ln x2x1)考虑函数h(x)2ln x2x1x(x0)，则h(x)2x22x(2x2x1)(x1)2x2所以当x1时，h(x)0,而h(1)0,故1当x(0,1)时，(x2h(x)0;h)0,可得1x1当x(1,)时，h(x0,可得2h(x)0;)1xln x ln x从而当.x0,且x1,f(x)0,即f(x)x1x1请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140x x mn的两个根．第10页—共12页CEBAD(Ⅰ)证明：C,B,D,E四点共圆；(Ⅱ)若A90，且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE，根据题意在ADE和ACB中，AD AB mn AE AC，即A D AEAC AB．又DAE CAB，从而ADE∽ACB．因此ADE ACB．所以C，B，D，E四点共圆．CG MEA D B(Ⅱ)m4，n6时，方程2140x x mn的两根为x12，x212．故AD2，AB12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结D H．因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于A90，故GH//AB，HF//AC，从而HF AG5，1DF1225．2故C，B，D，E四点所在圆的半径为52．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1xy2cos22sin(为参数），M为C上1的动点，P点满足O P2OM，点P的轨迹为曲线C．2 (Ⅰ)求C2的方程；—共12页第11页(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1 的异于极点3 的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为B，求| AB | .2x y【解析】(Ⅰ)设P x, y ，则由条件知M , ，由于M 点在2 2 C 上，所以1x2y22cos22sin，即x y 4cos4 4sin．从而C 的参数方程为2 xy4cos4 4sin( 为参数)．(Ⅱ)曲线C1 的极坐标方程为4sin ，曲线C2 的极坐标方程为8sin ．射线与C1 的交点 A 的极径为 1 4sin， 3 3射线与C2 的交点 B 的极径为 2 8sin，3 3所以A B1 2 2 3 ．24．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲设函数 f (x) | x a | 3x，其中a 0．(Ⅰ)当a 1时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集．(Ⅱ)若不等式 f (x) 0的解集为｛x| x 1}，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当 a 1时， f x 3x 2 可化为x 1 2由此可得x 3 或x 1，故不等式 f x 3x 2 的解集为x x 3 或x 1 ．(Ⅱ)由 f x 0 得x a 3x 0，此不等式化为不等式组x ax a 3x 0 或x a即a x 3x 0x aax4或x ax．a2由于a 0 ，所以不等式组的解集为ax x ．2a由题设可得 12，故a 2 ．WORD文档第12页—共12页专业资料。

2011年高考数学（全国大纲版）文科真题及答案参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题16 DBBCAD 712 CCBACD二、填空题13．0 14．15．16．6三、解答题17．解：设的公比为q，由题设得3分解得6分当当10分18．解：由正弦定理得3分由余弦定理得故6分8分故12分19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

3分6分9分12分20．解法一：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则又SD=1，故，所以为直角。

3分由，得平面SDE，所以。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以平面SAB。

6分由平面SDE知，平面平面SED。

作垂足为F，则SF 平面ABCD，作，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则，又，故平面SFG，平面SBC 平面SFG。

9分作，H为垂足，则平面SBC。

，即F到平面SBC的距离为由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有设AB与平面SBC所成的角为，则12分解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。

设D，则A、B。

又设，，由得故x=1。

2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==，∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，||AB =12，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ，将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP ∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴(+a b )·(k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4，-5)时，min 6z =-．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=， 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =，所以1122r O O ==， 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．(Ⅰ)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2，根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D —PBC 的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(Ⅰ)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0．96．所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=(元)．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A (11,y x )，B (22,y x )，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 )1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．EB(Ⅰ)证明：,,,C B D E 四点共圆；(Ⅱ)若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠． 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH ． 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=． 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． (Ⅰ)求2C 的方程；ADB C GEM(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .【解析】(Ⅰ)设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩． 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-． (Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩．由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩．由题设可得12a-=-，故2a =．。