浙江省湖州中学

化学和数学的亲密接触——运用数学工具解决化学问题数例湖州中学化学组叶笑伟摘要：近年的化学高考试题中，加强了定量理性思维能力的考查，无论是分值还是难度都有所增加。

可见,将化学问题抽象成为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识），解决化学问题的能力是命题专家非常关注的。

因此，同学们在复习备考中要引起足够的重视。

本文笔者就排列组合、数列极限等数学知识在化学解题中的应用，和大家探讨如何将化学问题抽象成数学问题，在化学解题中用好数学工具。

关键词：化学解题；定量理性思维能力；排列组合；数列极限；函数我们知道化学科考试不仅是要测试考生对中学化学基础知识、基本技能的掌握情况，而且更是对所应具备的观察能力、实验能力、思维能力和自学能力的考查。

而在这诸多能力中，思维能力是核心，是人才结构中极为重要的组成部分。

“正是基于这种原因，作为选拔未来高级建设者的预备队伍的高考，从来都把考生思维能力的考查放在极为重要的地位上。

”（教育部考试中心，《高考化学能力考查与题型设计》）。

对于思维能力的考查，近年高考化学试题亮点在于关注学生推理能力和定量理性思维能力。

03年理综考试说明又明确提出“定量描述自然科学的现象和规律。

包括用数学知识处理物理问题、化学计算，以及用简单的图、表和数据描述生命活动的特征等方面”这一内容。

从化学科的角度看，“定量描述自然科学的现象和规律”就是要求把化学问题抽象为数学问题并利用数学工具、结合化学知识、通过计算和推理，解决化学问题。

搜集近几年考查定量理性思维能力的题目，笔者发现如排列组合、不等式、函数与曲线方程、极限、集合、立体几何等数学知识在化学解题中的应用尤为广泛。

一、善用排列组合思想，化繁为简排列在数学中的概念是这样的：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一点的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

组合在数学中的概念是这样的：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

换句话说，排列讲究顺序，而组合与顺序无关。

在化学解题中，如果你善于利用组合或排列组合综合的方法，常常会使比较复杂的题目，无论是从解题思路，还是计算过程，变得比较简单。

下面笔者就排列组合思想在解诸如有机物同分异构体的种数判断、由同位素原子构成分子种类的判断等题型中的具体应用逐一举例介绍。

【例1】卤代烷CF3CHClBr是一种全身麻醉药，则与该卤代烷互为同分异构体的有机物还有（）A、3种B、4种C、5种D、6种答案：A解析：该题目在分析时，首先要清楚根据“碳四价”规律，该类卤代烷中每个碳原子除了与另一个碳原子形成碳碳单键外，还要与三个卤素原子或氢原子形成三个单键。

我们可以抓住三个氟原子，把该类卤代烷同分异构体分成两类，其中一类是两个碳原子中的一个碳原子与三个氟原子相连，另一个分别与H 、Cl 、Br 形成三个不同的单键，这种情况只有一种结构，这就是题中所给的这种物质；另外一类则是两个碳原子中的一个碳原子与两个氟原子相连，另一个碳原子与一个氟原子相连，在该类同分异构体中前面一个碳原子除了形成碳碳单键、碳氟单键以外，还要与H 、Cl 、Br 中的一种原子形成一个单键，所以这种情况共有的结构有C 13＝3种。

【例2】有O 16、O 18、H 、D 、T 五种原子，可以构成双氧水分子，其种类有（ ）A 、12种B 、14种C 、18种D 、21种答案：D解析：我们知道，一个过氧化氢分子中共有4个原子，包括2个氧原子和2个氢原子。

2个氧原子可以是同种原子，也可以是不同种原子，2个氢原子也是如此，所以此题运用排列组合的思想可以这样考虑：构成双氧水的氧原子可以从2种不同的氧原子中任取1种有C 12种，也可以从2种不同的氧原子中取2种有C 22种，故从氧原子角度考虑有：C 12＋C 22＝3种。

同理从氢原子角度考虑有：C 13＋C 23＝6种。

所以构成双氧水分子的种类有：（C 12＋C 22）×（C 13＋C 23）＝18种。

值得注意的是，在这18种组合中，其中C 22×C 23＝3种，即由4种不同的原子构成的过氧化氢分子，还要考虑排列的问题，如由H 、D 、O 16、O 184种原子构成的过氧化氢分子，就有H ―O 16―O 18－D 和D ―O 16―O 18－H 2种排列方式。

所以，此题中双氧水分子的种类共有（C 12＋C 22）×（C 13＋C 23）＋3＝21种。

此题看似简单，但一般的同学往往只考虑组合，而错选C 。

实际很多这样的化学题目，一般都既要考虑组合问题，还要考虑排列问题，如下面的例3。

【例3】某油脂样品跟氢氧化钠共热后共生成了5种有机物，则原样品最多可能含有的三羧酸甘油酯的种数为（ ）A 、5种B 、18种C 、75种D 、40种答案：D解析：由题意该油脂样品跟氢氧化钠共热后共生成了5种有机物，根据皂化反应原理，这5种有机物中其中1种必为甘油，则与甘油反应形成该油脂样品的羧酸种类共有4种。

根据酯化反应原理，运用排列组合的方法，这4种不同的羧酸与甘油可得到的三羧酸甘油酯的种数，可以有两种方法进行计算。

【方法一】根据生成1个三羧酸甘油酯分子需3分子羧酸，而3分子羧酸可以是同种羧酸分子，也可以是2种甚至3种不同的羧酸分子，所以可以分成下列3种情况：①3分子羧酸为同种羧酸，运用组合的思想从4种不同的羧酸分子中取1种，这样的组合有C14＝4种；②3分子羧酸中包括2种不同的羧酸分子，从4种不同的羧酸分子中取2种，这样的组合有C24＝6种。

假设其中一种为RCOOH，另一种为R′COOH，则又有2分子RCOOH、1分子R′COOH与1分子甘油形成甘油酯和1分子RCOOH、2分子R′COOH与1分子甘油形成酯两种情况。

而再拿2分子RCOOH、1分子R′COOH与1分子甘油形成酯情况为例，形成的甘油酯又有与这样两种排列方式，所以由两分子不同的羧酸与甘油形成的三羧酸甘油酯有C24×C12×A12＝24种③3分子羧酸中包括3种不同的羧酸分子，从4种不同的羧酸分子中取3种，这样的组合有C34＝4种。

又根据排列的思想，3种不同的羧酸分子与甘油形成酯时有3种不同的排列方式则C34×A13＝12种所以原样品最多可能含有的三羧酸甘油酯的种数为：C14＋C24×C12×A12＋C34×A13＝40种。

【方法二】根据甘油分子（）中有2种不等效的羟基（－OH），即1号碳、3号碳上的羟基和2号碳上的羟基，其中可与2号碳上羟基形成酯基的羧酸有C14＝4种，而与1号碳、3号碳上的羟基形成酯基的2分子羧酸可以为2种不同的羧酸，则有C24＝6种，也可以为同一种羧酸，则有C14＝4种，所以原样品最多可能含有的三羧酸甘油酯的种数为：C14×（C24＋C14）＝40种。

该例题为2006年浙江省高中学生化学竞赛试题(B组)选择题中最后一题，难度较大，但如果我们熟练运用排列组合的思想去考虑的话，思路就比较清晰，计算过程也变得相当简二、巧用数列极限方法，事半功倍【例5】有一系列α－氨基酸按如下特点排列：CH 2(NH 2)－COOH ，CH 3－CH(NH 2)－COOH ，CH 3－CH 2－CH(NH 2)－COOH …… 该系列化合物中含碳元素的质量分数最大值为（ ）A 、78.2%B 、46.6%C 、85.7%D 、无法确定 答案：C解析：此题要求计算该类化合物中碳元素的质量分数，像这样的题目一般需要先把它们的分子式写出来。

它们的分子式依次为C 2H 5NO 2、C 3H 7NO 2、C 4H 9NO 2……，由该类化合物的前3种的分子式，不难看出，它们的碳原子数从2开始，逐一递增，即碳原子数呈等差数列，公差为“1”，而氢原子数依次为“5、7、9……”，也为等差数列，公差为“2”。

由此，我们可以根据等差数列的知识，得出该类氨基酸化合物的通式：C n+1H 2n+3NO 2（n 为正整数）,得出该通式后，则碳的质量分数ω(C)＝4632)1(12)1(12+++++n n n ＝61141212++n n 。

由该通式可知，当n 趋向于无穷大时，ω(C)可取到最大值，因此可用数学上求极限的方法得出ω(C)的最大值。

即lim ∞→n 61141212++n n ＝1412＝85.7%。

三、也用函数与曲线方程，化抽象为形象【例4】下表所列数据是在某高温下金属镁和镍分别在氧气中进行氧化反应时，在金属表面生成氧化薄膜的实验记录：注：a 和b 均为与温度有关的常数。

（1）金属高温氧化腐蚀速率可用金属氧化膜的生长速率来表示，其理由是。

（2）根据表中所给数据分析，镁与镍相比，金属 具有更良好的耐高温氧化腐蚀性，其理由是 。

答案：见解析。

解析：（1）金属因在高温下被氧化而遭到破坏是常见的一种腐蚀现象。

不同的金属因其所形成的氧化膜致密程度不同，它们的耐腐蚀性亦不同。

化学反应的快慢既可由反应物的消耗速率表示，也可由生成物的生成速率来表示。

显然，金属的腐蚀速率可用其氧化膜的生长速率（2）要比较镁与镍的耐高温氧化腐蚀性，实质是要比较镁与镍表面生成氧化薄膜的速率。

根据表中所给数据，我们可得出MgO 膜厚Y 与时间t 的关系为：Y ＝0.05 t ；NiO 膜厚Y ′与时间t 的关系为：Y ′＝21bt 。

根据这两个方程，我们可知MgO 膜厚Y 与时间t 的关系呈直线型，NiO 膜厚Y ′与时间t 的关系呈抛物线型（开口向右）。

根据数学知识，欲比较Y 与Y ′随t 的增长速率，需对Y 与Y ′进行求导。

Y 的导数为0.05，是一个恒定不变的值，即Y 随t 的增长速率不变。

而Y ′的导数为t a2，随着t 的增大，Y ′的导数逐渐减小，当t 趋向于无穷大时，Y ′的导数逐渐趋向于零，即Y ′随t 的增长速率是逐渐减小的，当时间足够长以后，Y ′几乎不再增长，故而镍的耐高温氧化腐蚀性要比镁的好。

本题除了考查学生镁等金属单质的化学性质、化学反应速率等化学知识外，更注重考查学生获取、分析和处理图表信息的能力及应用数学工具，特别是一次函数、曲线方程、求导等知识，解决化学问题的能力，可体现学生的综合素质。

把化学问题抽象为数学问题并利用数学工具、结合化学知识进行计算和推理，不仅能帮助学生思路清晰、计算简捷地解决化学问题，也是对学生运用数学工具解决其它学科乃至其它领域问题的意识的培养，更是对学生思维的逻辑性、敏捷性、发散性和创造性的考查。

这一要求对发展学生的思维能力、分析问题水平和综合运用能力，对培养综合型、创新型的人才，都具有十分重要的意义。