一．在什么条件下古诺均衡与伯特兰均衡结果相同？结论:当企业数目N趋于无穷大时, 古诺均衡与伯特兰均衡结果相同.(1)多企业古诺模型中的均衡算术推导：Y=y1+y2+…+ynP=a-b(y1+y2+…+yn)Π1（y1,y2,…,yn）=p*y1-c*y1=[a-b(y1+y2+…+yn)]*y1-c*y1 Π2（y1,y2,…,yn）=p*y2-c*y2=[a-b(y1+y2+…+yn)]*y2-c*y2 ……Πn（y1,y2,…,yn）=p*yn-c*yn=[a-b(y1+y2+…+yn)]*yn-c*yn 对每一个π求偏导使其等于0并联立(得到一个n阶矩阵)解出均衡时ｙ=（ａ－ｃ）／［（ｎ＋１）ｂ］Y=n*y=n*（ａ－ｃ）／［（ｎ＋１）ｂ］P=(a+n*c)/(n+1)（2）多企业伯特兰模型的价格决定（博弈）机制与双企业是一样的最终有：y=(a-c)/n*bY=n*y=(a-c)/bp=cso,当n趋于无穷时，古诺模型伯特兰模型综上所述：当企业数目N 趋于无穷大的时候，古诺均衡与伯特兰均衡的结果相同，即市场价格等于每个企业都相同的边际成本c ，市场总供给量为完全竞争产出（a-c ）/ b ，每个企业的产量接近于零。
至此寡头市场已经转变为完全竞争市场，各个企业利润为零，消费者福利最大化。
二． 企业1、2生产一种同质商品。
p 为价格；y1、y2分别为其产量；c1、c2分别为其单位成本。
且: Y=y1+y2; p=a-Y;0<c1<c2<a 。
求：（1）古诺均衡与均衡价格；lim lim(1)NN N a cyN b→∞→∞-==+()lim lim(1)NN N N a c a cY N b b→∞→∞--==+lim lim1NN N a NcP cN →∞→∞+==+（2）伯特兰均衡与均衡价格；（3）分别求出当企业1和企业2当领导者时的斯塔克尔伯格均衡，并解释差异。
解：（1）得出（由于这些推导无法编辑都是图片格式的，推导过程中的文字叙述自己加上去，这里只列出纲要，因为我们的目的不是背题）（2）对于不同成本的伯特兰模型其均衡也是唯一的，就好像企业1,2展开价格战，最终停止在企业2无力承担的略低于其边际成本c2的价格P=c2-ɛ上（其中ɛ为正的无穷小）此时，企业2的产量y2=0,企业1获得全部市场y1=Y=a-c2+ɛ（3）用逆向归纳法分析：从第二步开始，对企业2来说，对于企业1的任一产量y1 ，由市场需求曲线减去这个产量，得出其所面临的剩余需求曲线，然后根据边际成本和边际收益相等原则，决定其利润最大化的产量，从而得到企业2的反应函数(与古诺模型类似)；再考虑企业1，由于他知道企业2的反应函数，即在每个产量y1上，都知道企业2选择的产量y2 ，那么企业1就可以得到在每个产量水平上的市场价格，即把(y1,y2) 代入线性需求曲线p=a-Y，把这些（P，y1）点描述在一张图上，得到企业1的剩余需求曲线，由此可得到企业1的边际收益曲线，求出企业1的均衡产量。
决定y1 后企业2根据最优反应函数曲线得到最优产量做差对差值进行分析且①>②说明成本优势企业由跟随者获得市场力转变为领导者时产量的增加大于成本劣势企业由跟随者转变为领导者时产量的增加。
前面说过①>②三.在某个需求函数y=37.5-p/4的同质产品市场上，有两个生产者，边际成本都为40.a.用古诺模型决定产出和价格。
b.计算此时效率损失与垄断情况下效率损失的百分比。
a．解：y=37.5-p/4 => p=150-4y∴a=150b=4c=40古诺模型公式推导：P=a-bY Y=y1+y2 P=a-b(y1+y2)π1=Py1-cy1 π1=【a-b(y1+y2)-c】y1 对y1进行求导，一阶导等于零即by1+a-b(y1+y2)-c=0∴y1=(a-c)/2b-y2/2同理y2=(a-c)/2b-y1/2y1=y2∴y1=y2=(a-c)/(3b) P=(a+2c)/3代入公式得：y1=y2=(a-c)/(3b)=(150-40)/(3*4)=55/6Y=y1+y2= 2(a-c)/(3b)=55/3P=(a+2c)/3=(150+2*40)/3=230/3b．古诺模型效率损失：S△CAN垄断效率损失：S△CMB图中各点坐标：PM: (0，(a+c)/2) PN :(0，(a+2c)/3)yM: ((a-c)/2b，0) yN: (2(a-c)/3b，0)C :((a-c)/b，c)S△CAN=1/2*((a-c)/b-2(a-c)/3b)*((a+2c)/3-c)=(a-c)^2/18bS△CBM=1/2*((a-c)/b-(a-c)/2b)*((a+c)/2-c)=(a-c)^2/8b∴效率损失百分比= S△CAN/S△CMB*100% =4/9*100%=44.44%四.如果边际成本增加10%,则在古诺模型、伯特兰模型与斯塔克尔伯格模型中价格和产出将作何变动？答：①古诺模型：P=(a+2c)/3 y=2(a-c)/3b当C*=1.1C∴P*=(a+2.2c)/3 y*=2(a-1.1c)/3b△p=p*-p=c/15△y=y*-y=-c/15b②伯特兰模型：P=c y=(a-c)/b当C*=1.1C∴P*=1.1c y*= (a-1.1c)/b△p=p*-p=c/10△y=y*-y=-c/10b③斯塔克尔伯格模型：P=(a+3c)/4 y=3(a-c)/4b当C*=1.1C∴P*=(a+3.3c)/4 y*=3(a-1.1c)/4b△p=p*-p=3c/40△y=y*-y=-3c/40b如果边际成本增加10%，那么在古诺模型中价格上升c/15,产出减少c/15b；在伯特兰模型中价格上升c/10，产出减少c/10b；在斯塔克尔伯格模型中价格上升3c/40，产出减少3c/40b。
可以看出，边际成本的变化对伯特兰模型中的价格和产出影响较大。
五.举出几个现实生活中成功的卡特尔组织，并详细介绍其中任意一个卡特尔组织成功的原因及其发展进程？卡特尔（cartel）：是由一系列生产类似产品的独立企业所构成的组织，集体行动的生产者，目的是提高该类产品价格和控制其产量。
卡特尔是垄断组织形式之一。
生产或销售某一同类商品的企业，为垄断市场，获取高额利润，通过在商品价格、产量和销售等方面订立协定而形成的同盟。
参加这一同盟的成员在生产、商业和法律上仍然保持独立性。
现实生活中成功的卡特尔组织：1、石油输出国组织OPEC（欧佩克）：是产油国政府间的一个国际协定，它在十多年间成功地将世界石油价格提高到远远高于本来会有的水平。
2、国际铝矾土联合会：在70年代中期，将铝矾土价格提高到4倍。
3、水银欧洲：将水银价格保持在接近于垄断水平。
例：OPEC石油输出国组织：OPEC全名Organization of Petroleum Exporting Countries，目前共有12个成员国，石油总储量约占世界石油储量的77.2%，原油产量约占世界原油产量的39%。
成立时间：1960年9月14日成立，1962年11月6日欧佩克在联合国秘书处备案，成为正式的国际组织。
成立目的：在于协调各国石油政策，商定原油产量和价格，采取共同行动反对西方国家对产油国的剥削和掠夺，保护本国资源，维护自身利益。
宗旨：协调和统一成员国的石油政策，维护各自的和共同的利益。
成员国：沙特阿拉伯、伊拉克、伊朗、科威特、阿拉伯联合酋长国、卡塔尔、利比亚、尼日利亚、阿尔及利亚、安哥拉、厄瓜多尔和委内瑞拉。
共12个。
组织结构：欧佩克大会、欧佩克理事会、欧佩克秘书处从欧佩克的发展进程中寻找它成功的原因。
发展进程：第一阶段（60 年代）为欧佩克发展的初创时期，主要目标是稳定油价、提高石油生产受益率，初步显示出亚非拉产油国联合斗争的强大威力，制止了国际原油标价下跌趋势，证明欧佩克的确是一个可以与西方国际石油卡特尔抗衡、斗争的有效组织机构。
从1968 年起制定了统一的全新斗争纲领和策略，将斗争的重点转移到掌握定价权上。
第二阶段（70 年代~80 年代初）为欧佩克联合进攻的黄金时期。
欧佩克开始由联合防御转为联合进攻，70年代初，欧佩克以减产和谈判结合的策略，向国际大石油公司展开积极进攻，并在提高油价的斗争和收回资源主权的参股、国有化运动两条战线相互推进。
在取得积极成果的基础上，利用中东十月战争、伊朗伊斯兰革命、两伊战争等连续大幅度提高原油价格随着发展所面临的挑战：随着整个世界经济全球化的不断深化、科学技术的日新月异以及国际政治经济的重大演变，已过“不惑之年”的欧佩克在承继以往辉煌、挫折与问题的同时，也面临着一系列深刻而复杂的挑战。
如非欧佩克产油国挤占国际原油市场份额，替代能源发展加快，节能技术迅速提高，主要石油消费国建立国际能源机构和石油战略储备，由此国际石油市场出现供过于求以及对欧佩克原油需求明显降低的状况，国际油价长期低迷，欧佩克石油收入锐减，许多成员国陷于经济困境。
首先，如何妥善处理市场份额与油价的关系，无疑是跨入新世纪的欧佩克在市场战略方面面临的首要挑战。
其次，近年来国际油价面临高位震荡的挑战。
进入新世纪以来，国际油价如脱缰野马一路猛进。
但高油价的居高不下对欧佩克也是一把“双刃剑”。
其三，高油价刺激替代能源的开发。
最后，新世纪欧佩克还有来自欧佩克内部和外部力量的重大挑战。
第三阶段（80 年代初~90 年代末）为欧佩克联合防御的困难时期。
1982年欧佩克实施“限产保价”的市场战略，导致成员国争夺配额并以低于欧佩克规定的价格售油，油价狂泄，欧佩克的国际原油市场份额由70年代约70%缩小到143.6%。
因此，从1986年至90年代，欧佩克改为实施“低价扩额”的积极防御战略，从而扭转了欧佩克市场份额急剧下滑势头。
这不仅使欧佩克内部成员国进一步感悟到协调一致、遵守配额的重要性和迫切性，也使大部分非欧佩克产油国开始认识到与欧佩克合作的必要性。
第四阶段（2000至今）第一，鉴于新形势下“低价扩额”的市场战略难以维持，欧佩克就已进行调整，主要是在其市场战略上明显加强欧佩克的外部合作。
第二，欧佩克认识到油价过高运行的长期危害，将努力提高剩余产能，与非欧佩克产油国协调，适当提高市场供应量，并积极参与稳定产油国政治局势的各种努力，在维护合理的石油市场价格和世界经济稳定的基础上，捍卫自己的长远利益。
第三，面临来自内部和外部力量的重大挑战，欧佩克近年采取了一系列策略调整。
在内部，推进和加强欧佩克成员国间有关重大事务的磋商与协调；在外部，也正视非欧佩克产油国力量不断发展的现实，积极考虑扩大阵营。
卡特尔的建立要在某个市场上形成卡特尔，至少需要以下三个条件：第一，卡特尔必须具有提高行业价格的能力。
