高一物理秋季尖子班讲义第6讲整体法与临界问题目标

第6讲整体法与临界问题6.1 整体法知识点睛在第4讲受力分析方法的模块中，我们介绍过整体法和隔离法。

整体法和隔离法广泛应用在受力分析、平衡问题以及今后会学到的牛顿运动定律、动量能量等问题中，是基本的物理解题方法。

本讲我们重点解决整体法与隔离法在静力学问题中的应用。

这类问题的关键是解决如何选择合适的研究对象解题。

选择研究对象是解决物理问题的首要环节，在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法的不同会影响求解的繁简程度。

合理选择研究对象会使问题简化，反之，会使问题复杂化，甚至使问题无法解决。

隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。

隔离法就是将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究，这个研究对象可以是一个物体，也可以是物体的一个部分，广义的隔离法还包括将一个物理过程从其全过程中隔离出来。

整体法是将几个物体看作一个整体，或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物理过程作为一个整体过程来处理。

隔离法和整体法看上去相互对立，但两者在本质上是统一的，因为将几个物体看作一个整体之后，还是要将它们与周围的环境隔离开来的。

解题过程中，如果能够运用整体法，我们应该优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法。

不过对于大多数问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法。

例题精讲例题说明：例1、例2是综合运用整体法与隔离法的问题，锻炼学生合理的选择研究对象，并学会使用两种分析方法；例3、例4、例5是用整体法可以简化计算的问题，如果用隔离法则计算比较复杂；例41426、例7是涉及连接体的动态平衡问题；例8是一道易错题。

**************************************************************************************** 教师版说明：下面补充一道题可以作为例1的铺垫，灵活使用整体法与隔离法；不过此题只涉及同一条直线上力的平衡，目标班也可以不讲此题。

如图所示，在两块相同的竖直木板之间，有质量均为m 的四块完全相同的砖，用两个同样大小的水平力压木板，使四块砖均静止不动。

求： ⑴ 木板对第1块砖和第4块砖的摩擦力各多大。

⑵ 第2块砖和第3块砖之间的摩擦力。

⑶ 第3块砖和第4块砖之间的摩擦力。

【解析】⑴ 将4块砖看作整体作为研究对象，对整体进行受力分析，如图所示，竖直方向 由平衡条件可得24f mg =，得到木板对第1块砖和第4块砖的摩擦力均为2f mg =。

⑵ 第1块和第2块砖看作整体隔离后进行受力分析，如图所示，竖直方向，木板对第1块砖的摩擦力为2f mg =，由平衡条件可知此二力已经达到平衡，故第3块砖对第2块砖的摩擦力为零。

⑶ 将第4块砖单独从系统中隔离出来进行受力分析，竖直方向，由平衡条件可得3f mg f =+，得第3块砖对第4块砖的摩擦力为3f mg =，方向竖直向下。

【答案】 ⑴2mg 、2mg ⑵ 0 ⑶mg**************************************************************************************** 【例1】 如图所示，有四块相同的坚固石块垒成弧形的石拱，每块石块的质量均为m ，每块石块的两个面间所夹的圆心角均为30︒，第3、4石块固定在地面上。

假定石块间的摩擦力可以忽略不计，则第1与第3石块间的作用力大小为A ．mgB ．23mg C ．2mg D ．3mg【答案】 C【例2】 斜面倾角30θ=︒，物体A 的重力2N A G =，物体B 的重力3N B G =，各接触面均粗糙，两43物体无相对运动，一起匀速下滑，试求下图中甲、乙两种情况下，它们所受的弹力和摩擦力的大小。

【答案】 甲：53=N 2B F 面 2N AB F = 0AB f = 2.5N B f =面 乙：53=N 2B F 面 3N AB F = 1N AB f = 2.5N B f =面【例3】如图所示，质量分别为1m 、2m 的两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动（1m 在地面，2m 在空中），力F 与水平方向成θ角。

则1m 所受支持力N 和摩擦力f 正确的是A ．12sin N m g m g F θ=+-B ．12cos N m g m g F θ=+-C ．cos f F θ=D ．sin f F θ=【解析】 选整体为研究对象，在水平方向整体受摩擦力和F 在水平方向的分力，所以C 正确，D 错误；在竖直方向受支持力N 、重力和F 在其方向的分力，解得12sin N m g m g F θ=+-，所以A 正确，B 错误。

【答案】 A C【例4】 如图所示，用完全相同的轻弹簧A B C 、、将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A 与竖直方向的夹角为30︒，弹簧C 水平，则弹簧A C 、的伸长量之比为A ．3:4B ．4:3C ．1:2D ．2:1【答案】 D【例5】 如图所示，已知滑轮固定在平板上，滑轮和平板总重1000N ，人的质量600N ，轻绳质量不计；人拉住轻绳一端，轻绳另一端通过滑轮与天花板固定，若整个装置处于静止状态，求人对绳的拉力大小【答案】 1600N【例6】 如图所示，两相同轻质硬杆1OO 、2OO 可绕其两端垂直纸面的水平轴O 、1O 、2O 转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。

f 表示木44块与挡板间摩擦力的大小，N F 表示木块与挡板间正压力的大小。

若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且1O 、2O 始终等高，则A ．f 变小B ．f 不变C ．N F 变小D ．N F 变大【答案】 B D【例7】 有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡，如图。

现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是A ．N 不变，T 变大B ．N 不变，T 变小C ．N 变大，T 变大D ．N 变大，T 变小 【解析】 隔离法：设PQ 与OA 的夹角为α，对P 有：sin mg T N α+=对Q 有：sin T mg α=所以2N mg =，sin mgT α=故N 不变，T 变大。

整体法：选P Q 、整体为研究对象，在竖直方向上受到的合外力为零，直接可得2N mg =，再选P 或Q 中任一为研究对象，受力分析可求出sin mgT α=【答案】 B【例8】 “叠罗汉”是一种高难度的杂技。

由六人叠成的三层静态造型如图所示，假设每个人的质量均为m ，下面五人弯腰后背部呈水平状态，则最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为（重力加速度为g ）A ．34mg B ．mgC ．54mgD ．32mg【答案】 C6.2 临界与极值问题451．临界问题与极值问题临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象，或者一个物理过程转变为另一个物理过程的转折状态；也可以将其理解为“恰好出现”或者“恰好不出现”某种现象的状态。

平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题。

极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或者最小值问题。

（如果不受附加条件的限制，则为简单极值问题；如果受到附加条件限制，则为条件极值问题。

） 物体平衡时的临界和极值问题是对静力学知识（正交分解法、受力分析方法、平衡问题处理方法等）及数学知识的综合应用。

2．解决临界问题的思路方法解决临界问题的关键是找到临界条件，如“恰好出现”、“恰好不出现”、“刚好”、“至少”等。

其基本思维方法是假设推理法。

即先假设这样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

3．解决极值问题的思路方法解决物体平衡时的极值问题，首先要对物体进行受力分析，然后根据平衡条件进行分析，明确题目中的物理量在什么条件下取极值，或在出现极值时有何物理特征，然后根据这些条件或特征求解极值。

常用的方法包括解析法和图解法。

⑴ 解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值，例如二次函数极值、均值不等式极值、分式极值、三角函数极值以及几何极值等。

⑵ 图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。

这种方法比较简便，而且很直观。

例题说明：例9本质上属于动态平衡问题，涉及最小值的计算，用图解法比较简单；例10根据平衡条件由解析法求解最小值。

例11、例12是一类典型问题，要判断哪根绳先断，再求极值。

例13、例14要正确找到平衡的临界条件再求解。

挑战极限部分还有两道的题目，老师可以选用。

【例9】 如图所示，AC 和BC 两轻绳共同悬挂一质量为m 的物体，若保持AC 绳的方向不变，AC 与竖直向上方向的夹角为60︒，改变BC 绳的方向，求：⑴ 物体能达到平衡时，θ角的取值范围。

⑵ θ在0~90︒的范围内，BC 绳上拉力的最大值和最小值。

【解析】 ⑴ 改变BC 绳的方向时，AC 绳的拉力A T 方向不变，两绳拉力的合力F 与物体的重力平衡，重力大小和方向均保持不变，如图所示，经分析可知，θ最小为0︒，此时0A T =；且θ必须小于120︒，否则两绳的合力不可能竖直向上。

所以θ角的取值范围是0120θ︒<︒≤。

⑵ θ在0~90︒的范围内，由图知，当90θ=︒时，B T 最大，max tan 603B T mg mg =︒=。

当两绳垂直，即30θ=︒时，B T 最小，min 3sin 60B T mg mg =︒=。

例题精讲知识点睛46【答案】 0120θ︒<︒≤ 3mg32mg【例10】 木箱重为G ，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图所示，问角α为何值时拉力F 最小？这个最小值为多大？ 【解析】 对木箱进行受力分析如图所示，由物体做匀速直线运动的平衡条件有：N cos F F αμ= ① N sin F F G α+= ②①②联立得：cos sin F F G αμαμ+=，sin cos GF μμαα=+令tan μϕ=代入得：()tan sin tan sin cos cos G GF ϕϕϕααϕα==+-当arctan αϕμ==时，F 有最小值min 2sin 1F G G μϕμ==+。