4.3.1 对数的概念教案

§4.3.1 对数的概念教学设计教学设计§4.3.1 对数的概念一、教学内容分析本节课是是中职数学基础模块上册必修第四章第三节的第一课时，也就是对数函数的入门。

对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。

而对数函数又是本章的重要内容，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。

通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。

同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。

通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，通过指导，教会学生独立思考、探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。

为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。

在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。

让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标1 知识技能：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系。

2 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数概念与性质3 情感、态度与价值观：通过概念的探究，激发学习的积极性；学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳、解决问题能力；通过对数的性质的学习，培养学生的严谨的思维品质。

五、教学重点、难点重点：对数式与指数式的相互转化及对数的性质，难点：对数的概念，推导对数性质.六、教学法与教具：教学法：问题解决法、讨论法、类比分析与发现.教具：采用多媒体辅助教学.七、教学过程（第一课时）【教学过程】八课后反思及其设计说明新课程强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学，新教材的生动形象給教师提供了创造的空间. 如何根据学生实际、创造性地使用教材，使新教材在培养学生的数学素养的作用上发挥得更好？如何去开发课程资源，让数学教学适度地生活化、情境化而又不失浓厚的数学味？这些都应该是教师在进行教学设计时必须思考和不断加以改进的问题.对数是数学的一个重要内容, 对数概念较为抽象，是学生学习的一大难点．创设实际情境，从实际情境中发现问题，让学生感受到实际的需要，一方面可以使学生认识到引进新概念的必要性，另一方面，也为抽象概括提供感性材料．先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。

《4.3.1 对数的概念》教学设计教材内容：对数是在学生学习了指数之后，对于指数的另外一种形式的拓展。

对数的学习可以使学生对于指数、指数幂有更加深刻的理解，也为后续学习对数函数奠定了学习基础。

同时，对数函数是函数的一个重要的分支，对数函数的学习体现了高中数学教学中由一般到特殊的数学教学思想。

教学目标：1．能说出对数的概念，知道什么是对数的底数，什么是对数的真数；2．能记住对数恒等式，并能应用对数恒等式进行有关的计算；3．能记住对数的性质；4．能解决对数式与指数式的互化问题。

教学重点与难点：1、教学重点：对数的概念以及对数式与指数式的互化；2、教学难点：对数概念的理解以及对数中的计算问题；对数与指数的关系。

教学过程设计：一、概念引入1.问题1：上指数函数时曾遇到这样一个问题：我们求得碳14含量y与死亡年数x之间满足这样的关系：(1)死亡五年后，生物体内碳14含量为原来的多少？算式？(2)死亡多少年后，生物体内碳14含量为原来的13确定？这实际就是在研究a x=N（其中a＞0且a≠1）中，已知a，N，如何求x.比如2x＝2 ⇒ x=1，2x＝4 ⇒ x=2……只不过(2)中的x并非整数，无法立马看出，需要进行计算。

已知底数和幂的值，求指数，就是本节要学习的对数。

【设计意图】在学生熟悉的问题情境中提出两个问题，引发学生思考，体会这些问题之间的关联是指数式a x=N中已知两个量求第三个量．举例说明并板书，根号为后面学生运用类比思想探究对数符号作铺垫。

二、概念明确2. 问题2：要算一个数，首先需要把它表示出来。

如何表示指数x？【引进一个新的符号。

以n次方根为例，a3=5，为表示出底数a，数学家们引入根号，而底数a由指数3与幂5共同决定，因此3、5写在一定位置。

如何表示这里的指数x？数学家引入对数符号log表示指数x，如2x＝3，指数x表示为x=log23，读作“以2为底3的对数”，其中2为底数，写在下方，3叫做真数。

4.3 对 数4.3.1 对数的概念课前自主学习知识点1 对数的概念及特殊对数(1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .(2)常用对数与自然对数通常我们将以 的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为 .在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为 .(3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N ⇔ .[微体验]1．完成下面的指数式与对数式的互化．25＝32⇔________；27－13 ＝13⇔________；log 5125＝3⇔________；log 3181＝－4⇔________. 2．在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围为________．知识点2 对数的基本性质(1)负数和零 对数．(2)log a 1＝ (a >0，且a ≠1)．(3)log a a ＝ (a >0，且a ≠1)．[微思考]为什么零和负数没有对数？课堂互动探究探究一对数的概念例1求下列各式中x的取值范围．(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．变式探究在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即log(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围如何？[方法总结]要使对数log a N有意义，必须满足下面两个条件(1)底数大于0且不等于1；(2)真数大于0.因此求对数中参数的取值范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组，解出即可．探究二指数式与对数式的互化例2将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4；(2)log1327＝－3；(3)log3x＝6；(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.[方法总结]指数式与对数式互化的解题思路(1)指数式化为对数式．将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式．将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1把下列各等式转化为相应的对数式或指数式．(1)53＝125；(2)log128＝－3；(3)log3127＝－3.探究三对数性质的应用例3求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log(2-1)13＋22＝x.[方法总结]对于对数的基本性质，要把握好以下三点(1)在对数式中要特别注意N＞0，即零和负数没有对数．(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1，所以log a1＝0，即1的对数等于0.(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以log a a＝1，即底数的对数为1.关于“底数”和“1”的对数的运算，可利用对数的基本性质将其化成常数，这有利于化简和计算．跟踪训练2(1)利用对数的定义或性质求下列各式的值：(5－26)；④log1041；⑤ln e.①log327；②lg 1 000；③log(3-2)(2)已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0.求x＋y的值．随堂本课小结1．对数log a N可看作一符号，它和“＋”“－”“×”“÷”等符号一样，表示一种运算，即已知底数为a (a＞0，且a≠1)幂为N，求幂指数x的运算，它也表示为求关于x的方程a x＝N (a＞0，且a≠1)的解的过程．2．log a N＝b与a b＝N (a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量．3．指数运算和对数运算是互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a b＝N⇔b＝log a N(a＞0，a≠1，N＞0)进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．4．并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有a x＝N⇔x＝log a N.【参考答案】课前自主学习知识点1 对数的概念及特殊对数(1)a 为底N底数 真数 (2)10为底lg N ln N (3)x ＝log a N[微体验]1．log 232＝5 log 2713＝－13 53＝125 3－4＝1812．(1，＋∞)【解析】由m －1＞0，解得m ＞1.知识点2 对数的基本性质(1)没有(2)0 (3)1 [微思考]提示：由对数的定义：a x ＝N (a >0，且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时，不存在N ≤0的情况．课堂互动探究探究一 对数的概念例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，且x ≠1. (2)∵底数x 2＋1≠1，∴x ≠0.又∵－3x ＋8>0，∴x <83.∴x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <83，且x ≠0. 变式探究 解 ∵底数－3x ＋8>0，且－3x ＋8≠1，∴x <83，且x ≠73. 又∵x 2＋1>0，恒成立，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <83，且x ≠73. 探究二 指数式与对数式的互化例2 解 (1)∵log 216＝4，∴24＝16.(2)∵log 1327＝－3，∴⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)∵log 3 x ＝6，∴(3)6＝x .(4)∵43＝64，∴log 464＝3.(5)∵3－2＝19，∴log 319＝－2. (6)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.跟踪训练1 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127. 探究三 对数性质的应用例3 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1.∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3.∴x ＝103＝1 000.(3)∵13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， ∴x ＝log (2-1) 13＋22＝log (2-1) (2－1)＝1. 跟踪训练2 解 (1)①∵27＝33，∴log 327＝3. ②∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3.③∵5－26＝(3)2＋(2)2－2×2×3＝(3－2)2， ∴log (3-2) (5－26)＝2. ④log 1041＝0.⑤ln e ＝1.(2)∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1. ∴log 4x ＝3.∴x ＝43＝64.同理可得y ＝24＝16.∴x ＋y ＝64＋16＝80.。

4.3对数4.3.1对数的概念【学习目标】1.能说明对数的含义,解释对数的真数、底数的意义及其取值范围,明确对数与指数的关系,并能根据对数的定义进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的概念与表示.3.掌握对数的性质以及对数恒等式.◆知识点一对数的概念1.定义:一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作的对数,记作,其中a叫作对数的,N叫作.2.以10为底的对数叫作,并把log10N记为.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为,并且把log e N记为.3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,a x=N⇔.【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)log a N(a>0,且a≠1)是log a与N的乘积.( )(2)(2)4=16可化为log(2)16=4. ( )(3)对数式log32与log23的意义一样.( )(4)对数运算的实质是求幂指数.( )2.在对数概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢?◆知识点二对数的性质与对数恒等式1.对数的性质:如果a>0,且a≠1,那么(1)log a a=,语言表述为;(2)log a1=,语言表述为;(3)没有对数.2.对数恒等式为(a>0且a≠1,b>0).【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对任意a∈R,均有log a a=1.( )(2)对任意a>0,均有log a1=0.( )(3)对任意b∈R,均有2log2b=b.( )2.你能推出对数恒等式a log a N=N(a>0且a≠1,N>0)吗?◆探究点一对数的概念例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是( )A .零和负数没有对数B .任何一个指数式都可化为对数式C .以10为底的对数叫作常用对数D .以e 为底的对数叫作自然对数 (2)使对数log 2(x 10)有意义的x 的取值范围是 .(3)在对数式log (x 2)(4x )中,实数x 的取值范围是 .变式 求下列各式中实数x 的取值范围.(1)log (2x 1)(3x+2);(2)lo g (x 2+1)(3x+8).[素养小结]对数有意义的两个条件:①底数大于0且不等于1;②真数必须大于0.◆ 探究点二 指数式与对数式的互化例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式.(1)52=125;(2)8x =30;(3)3x =1;(4)lo g 139=2; (5)x=log 610;(6)x=ln 13;(7)3=lg x. 变式 (1)已知log x 16=2,则x 等于( ) A .4 B .±4C .256D .2 (2)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是 ( )A .100=1与lg 1=0B .27-13=13与log 2713=13C .log 39=2与912=3D .log 55=1与51=5(3)[2023·海南海口中学高一月考] 已知a>0且a ≠1,若log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m+n = .[素养小结]对数式与指数式的关系:由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表:式子名称 意义 a x N 指数式a x =N(a>0,且a ≠1) 底数 指数 幂 a 的x 次幂等于N对数式log a N=x(a>0,且a ≠1) 底数 对数 真数 以a 为底N 的对数等于x ◆ 探究点三 求对数值例3 求下列各式的值.(1)log 232;(2)lg 1000;(3)log 4132;(4)lo g (√2-1)(32√2). 变式 已知a>0,且a ≠1,若a 32=278,则a= ,lo g 32a= . [素养小结] 求对数log a N (a>0,且a ≠1)的值的步骤:(1)设log a N=m ;(2)将log a N=m 写成指数式a m =N ;(3)将N 写成以a 为底的指数幂a b ,则m=b ,即log a N=b.◆ 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值 例4 (1)求下列各式的值:①log 330= ;②log 77= ;③lg(lg 10)= ;④lg(ln e)= ;⑤ln(lg 10)= ;⑥ln(ln e)= ;⑦0.7log 0.78= ;⑧2-log 23+e 2ln 4= .(2)求下列各式中x 的值.①ln(log 2x )=0;②log 2(lg x )=1;③log x 81=4;④5log 5(5x -1)=39;⑤2log 23·log 35=x.变式 (1)已知log 2[log 3(log 4x )]=log 3[log 4(log 2y )]=0,则x+y= .(2)有以下四个结论:①log 2(log 216)=2;②log 3(log 22)=0;③若1=log 5M ,则M=5;④若e=ln x ,则x=e 2.其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都填上)[素养小结]运用对数恒等式时的注意事项:(1)对于对数恒等式a log a N=N(a>0,且a≠1,N>0)要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为对数的真数.(2)对于指数中含有对数的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.。

（2）底数a的范围是________________. 2．常用对数与自然对数3.对数与指数的关系：当NxNaaaxa log1,0=⇔=≠>时，4．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．探究2：为什么零和负数没有对数？[提示]由对数的定义：Na x=(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．教师活动：引导学生探究对数的概念，对数与指数之间的关系及互化，讲解常用对数与自然对数。

3.组织学生分组讨论对数的性质；4.强调logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．学生活动：探究对数的概念，对数与指数之间的关系及互化。

分组讨论，独立思考对数的性质。

探究对数式里面为什么说10≠>aa且，为什么零和负数没有对数？等问题活动意图说明：通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；环节三：例题讲解例1 将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：(1)62554= ; (2)64126-=； (3)73.531=⎪⎭⎫⎝⎛m(4)4625log21=； (5)lg0.01=-2； (6)ln 10＝2.303[规律方法] 指数式与对数式互化的方法将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式；例2 求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23； (2)logx 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.[解] (1)x＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x6＝8，所以x＝(x6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。

第四章 指数函数与对数函数4.3对数4.3.1 对数的概念教学设计一、教学目标1.理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数2.掌握对数式和指数式的互化.3.通过指数与对数的互化培养学生的逆向思维.二、教学重难点教学重点对数的概念及其性质.教学难点对数式和指数式的互化.三、教学过程（一）探索新知探究一：对数的概念一般地，如果(>0,1)x a N a a =≠且，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作log a x N =,其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.如果24416,2=log 16=则，读作：2是以4为底16的对数.举例并说出“谁是以谁为底谁的对数”. 例：12414=2=log 22，则，读作：12是以4为底2的对数. 探究二：对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制：>0,1a a ≠且.（2）log x a a N N x =⇔=.指数式⇔对数式幂底数a ←→对数底数指数x ←→对数幂N ←→真数对数式：log a N 可以看作一记号，表示底为a (>0,1)a a ≠且,幂为N 的指数式的指数，也表示方程(>0,1)x a N a a =≠且的解，它也可以看作一种运算，即已知底为a (>0,1)a a ≠且, 幂为N,求幂指数的运算.对数运算是指数运算的逆运算. 探究三：对数的性质对于对数函数来说，有两类对数形式要特别注意，（1）以10为底的对数叫作常用对数，并把10log lg N N 记为；（2）以无理数e 2.71828≈为底的对数叫作自然对数，并把log ln e N N 记为.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.（三）课堂练习1.已知幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则3log (3)f 的值为( )答案：C2.已知2a m =，14b n ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a b +=( )A.22log m nB.2logC.2logD.22log mn 答案：B解析：本题考查指数与对数的转换及对数运算的性质.212222241log log log log log log log 2a b m n m n m +=+=-=+=. 3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.0e 1=与ln10=B.3log 92=与1293=C.13182-=与811log 23=-D.7log 71=与177=答案：B 解析：3log 92=化为指数式为239=，故选B.4.设0.120.21a =,0.210.12b =,0.21log 0.12c =,则( )A.a b c >>B.c b a >>C.b a c >>D.c a b >>答案：D解析：由0.210.120.1200.120.120.210.21=1<<<，0.210.21log 0.12log 0.211>=，可得c a b >>，故选D. 四、小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.对数的性质；4.自然对数和常用对数的概念.五、板书设计4.3.1 对数的概念1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.对数的性质；4.自然对数和常用对数的概念.。

4.3.1对数的概念教学设计(新人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第一节第一课时)一、教学目标1. 初步理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；2. 了解指数与对数的内在联系，在概念指导下完成对数计算；3. 通过转化与划归思想方法的运用，培养数学运算和逻辑推理的核心素养.二、教学重难点1. 对数的概念、指数式与对数式的互化.2. 由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生接受，因此，对数符号的认识会形成教学中的难点.三、教学过程计算下列式子，看谁又对又快16×256=8192÷512=323=√4096=【设计意图】先让学生动手计算，培养学生的数学运算的核心素养。

引导学生发现较大整数的计算较为麻烦，激发学生学习积极性.阅读探究用我们现有的知识体系可以解决上述问题吗？【设计意图】引导发现学生通过表格，可以简化整数计算.进而提出新问题，即已知底数和幂值，求指数的问题.培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养.思考：2x=1，2x=2，2x=3，2x=4，对于解决类似2x=3，x=?，为将x表示出来，引出对数的概念.1.对数的概念一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =，其中a 叫做底数，．．．．．N 叫做真数.2．常用对数与自然对数课堂小练例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1) 53＝125 (2)2－5＝132 (3) (12)m ＝6.78(4)log 128=−3 (5) lg 0.1=−1; (6)ln 10＝2.303 【设计意图】通过具体的例子，让学生熟悉指数式与对数式的转化.例2 求下列各式中的x 值：(1)log 3x =−4 (2) log x 8=2 (3) lg 100=x (4)−log 28=x【设计意图】通过典例问题的分析，巩固本节所学知识，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化. 深化对对数概念的理解. 增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.例3 求下列各式的值：log 327= log 2(−2)= log 80=log 200200= log 0.50.5= log 1212= log 781= log 0.61= log 151= 小组合作探究，你发现了什么规律呢？【设计意图】同学们分小组进行合作探究，通过对数运算，进一步理解对数的概念,发现规律，进而得出对数的基本性质,发展学生数学运算和逻辑推理核心素养.3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？[提示] 由对数的定义：a x ＝N (a >0且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时， 不存在N ≤0的情况．交流分享学生分享本堂课收获，教师加以补充和升华.已知底数和幂值，求指数。

4.3.1 对数的概念课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.知识导学知识点一对数的概念(1)对数的概念：如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)两种特殊的对数①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg N；②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数log e N简记为ln N(其中e＝2.71828…)．知识点二对数与指数的关系(1)对数的基本性质①零和负数没有对数，即真数N>0；②1的对数为0，即log a1＝0(a>0，且a≠1)；③底数的对数等于1，即log a a＝1(a>0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②log a a N＝N(a>0，且a≠1)．新知拓展在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1.评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以log (－2)16＝4.( ) (2)对数式log 32与log 23的意义一样．( )(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．( ) (4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x ＝2019，则x ＝________. (2)lg 10＝________；ln e ＝________. (3)将log 3a ＝2化为指数式为________． 【答案】 (1)log 52019 (2)1 1 (3)32＝a核心素养提成题型一对数的概念例1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 (2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4【解析】 (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x ＋1>0即可，即x <12，所以x的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12，故选C. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.【答案】 (1)C (2)C 金版点睛对数有意义的条件对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1中x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)若log (2x －1)(x ＋2)有意义，求x 的取值范围． (1)【答案】C【解析】(1)要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故选C.(2)解：若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，且x ≠1. 题型二指数式与对数式的互化例2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；⎝⎛⎭⎫12m ＝n ； (2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1216＝－4；ln a ＝b ；lg 1000＝3.解：(1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 12n ＝m .(2)53＝125；⎝⎛⎭⎫12－4＝16；e b ＝a ；103＝1000. 金版点睛由指数式a b ＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：跟踪训练2 (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. (1)【答案】103【解析】因为a ＝log 23，所以2a ＝3，则2a ＋2－a ＝3＋3－1＝103.(2)解：①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3. 题型三对数性质的应用 例3 (1)给出下列各式： ①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)； (2)求下列各式中x 的值： ①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1) (2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.(1)【答案】①②【解析】∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e ＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝25 12 ＝5，④错误．故填①②.(2)解：①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log (2－1) (2－1)＝x ，∴(2－1)x ＝2－1， ∴x ＝1.④∵x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. 金版点睛对数性质在计算中的应用(1)对数的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 跟踪训练3 (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值； (2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． 解：(1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0， 所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0， 解得x ＝4或x ＝3.(2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.同理求得y ＝16.所以x ＋y ＝80. 题型四对数恒等式的应用 例4 求下列各式的值：(1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25. 解：(1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 金版点睛运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 跟踪训练4 求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫19log 34的值． 解：原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34 ＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716.随堂水平达标1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b【答案】 B【解析】 由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 【答案】 B【解析】 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B. 3．若log 3181＝x ，则x ＝________.【答案】 －4【解析】 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4.4．式子2log 25＋log 32 1的值为________．【答案】 5【解析】 由对数性质知，2log 25＝5，log 32 1＝0，故原式＝5.5．求下列各式中x 的值： (1)若log 31＋2x3＝1，求x 的值；(2)若log 2019(x 2－1)＝0，求x 的值． 解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3，∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2019(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝±2.。

4.3.1 对数的概念一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②掌握对数式与指数式的互化.2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义 .3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .（3）在学习过程中培养学生探究的意识.二．重点与难点：（1）重点：推导对数的定义及理解与应用（2）难点：对数式与指数式的互化三．学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现四．教学过程：（一）．提出问题思考： （1）=32 ， （2）若83=x ，则x= ，（3）若82=x ，则x= ，（4）若92=x ，那么x= 。

像上面（3）（4）的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.（二）、对数的概念一般地，若(0,1)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：==3,823则log 28，读作3是以2为底，8的对数. 24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底，2的对数. 92=x ，则x=log 29，读作x 是以2为底，9的对数.注意：对数式的书写格式（三）、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1（2）log x a a N N x =⇔=指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数指 数←x →对数幂 ←N →真数互化规则：底数不变，左右交换提问：（1）、你们还能找到哪些对数的例子？（2）任何一个指数式都可以化成对数式吗？说明：①对数式log a N 可看作一种记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数式表示方程x a N =（a ＞0，且a ≠1）的解.②也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数x 的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.③log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数。

《第四章 指数函数与对数函数》 《4.3.1对数的概念》教案【教材分析】对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.【教学目标与核心素养】 课程目标1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化； 数学学科素养1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质. 【教学重难点】重点：对数式与指数式的互化以及对数性质； 难点：推导对数性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】 一、情景导入已知中国的人口数y 和年头x 满足关系中，若知年头数则能算出相应的人口总数。

反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿......”，该如何解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本122-123页，思考并完成以下问题 1.对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？ 2.什么是常用对数和自然对数？13 1.01xy =⨯3.如何进行对数式和指数式的互化？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．[点睛] log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .3．对数与指数的关系若a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：a log a N ＝N ；log a a x ＝x (a ＞0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数． 四、典例分析、举一反三 题型一对数式与指数式的互化 例1将下列指数式与对数式互化:(1)lo g 1327=-3; (2)43=64;(3)e -1=1e ; (4)10-3=0.001.【答案】(1)(13)-3=27. (2)log 464=3.(3)ln 1e =-1. (4)lg0.001=-3. 解题技巧：（对数式与指数式的互化）1.(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N 三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需log ba Nb a N ==与将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.跟踪训练一1. 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16;(4)log 6414=-13; (5)log x y=z (x>0,且x ≠1,y>0).【答案】(1)log 214=-2. (2)log 10100=2,即lg100=2.(3)log e 16=a ,即ln16=a. (4) 64-13=14.(5)x z=y(x>0,且x≠1,y>0).题型二利用对数式与指数式的关系求值 例2求下列各式中x 的值: (1)4x=5·3x; (2)log 7(x+2)=2; (3)lne 2=x; (4)log x 27=32;(5)lg0.01=x.【答案】（1）x=lo g 435（2）x=47（3）x=2（4）x=9（5）x=-2【解析】(1)∵4x=5·3x,∴4x3x =5,∴(43)x=5,∴x=lo g 435.(2)∵,∴x+2=49,∴x=47. (3)∵,∴,∴x=2.(4)∵,∴x 32=27,∴x=2723=32=9. (5)∵lg0.01=x,∴,∴x=-2. 解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）指数式ax=N 与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N 之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.跟踪训练二1.求下列各式中的x 值:7log (2)2x +=2ln e x =2x e e =3log 272x =2100.0110x -==(1)log 2x=12;(2)log 216=x ;(3)log x 27=3. 【答案】（1）x=√2（2）x=4（3）x=3 【解析】(1)∵log 2x=12,∴x=212,∴x=√2. (2)∵log 216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4. (3)∵log x 27=3,∴x 3=27,即x 3=33,,∴x=3. 题型三利用对数的基本性质与对数恒等式求值 例3求下列各式中x 的值:（1）; (2);(3)3log 3√x =9. 【答案】（1）x=2（2）x=100（3）x=81【解析】(1)∵,∴,∴x=2. (2)∵,∴lgx=2,∴x=100. (3)由3log 3√x =9得√x =9,解得x=81.解题技巧：（利用对数的基本性质与对数恒等式求值） 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)log a 1=0(a>0,a≠1);(3)log a a=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.跟踪训练三1. 求下列各式中x 的值:(1)ln(lg x )=1;(2)log 2(log 5x )=0;(3)32+log 35=x. 【答案】（1）（2）x=5（3）x=45 【解析】(1)∵ln(lgx)=1,∴lgx=e,∴； (2)∵log 2(log 5x )=0,∴,∴x=5. (3)x=32×3log 35=9×5=45. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧2ln(log )0x =2log (lg )1x =2ln(log )0x =2log 1x =2log (lg )1x =log a N a 10e x =10e x =5log 1x =六、板书设计七、作业课本126页习题4.3中1题2题 【教学反思】本节主要学习了一类新的数：对数。

对数的概念说课稿本节课是新人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第一节第一课时的内容。

一、教材分析教材所处的地位和作用对数的概念及其运算是对数函数的学习基础.在数学发展历史上，先有对数，然后才有指数幂。

随着数学公理化体系的逐步建立，一般安排先学习指数幂，再学习对数，在指数幂概念及运算的基础上，引入对数的概念及其运算，这符合学生的认知规律，也比较自然。

教科书是从对数是指数幂中指数的一种等价表示形式的角度来引入对数的。

引言通过一个问题引导学生思考:已知底数和幂值如何求指数?教学目标1. 初步理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；2. 了解指数与对数的内在联系，在概念指导下完成对数计算；3. 通过转化与划归思想方法的运用，培养数学运算和逻辑推理的核心素养。

教学重难点1. 对数的概念、指数式与对数式的互化2. 由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生接受，因此，对数符号的认识会形成教学中的难点。

二、教学过程引导学生在学习过程中发现问题，提出问题，探究问题，解决问题，然后继续发现新问题。

学生动手从4个运算式子中，发现较大整数的计算较为麻烦，自然会想到寻找简化运算的方法。

接着引导学生阅读探究，尝试利用表格寻找解决方法。

通过这一过程，引入已知底数和幂值，求指数的问题？由于前面并没有学过求解此类问题的方法，为了解决这一问题，带领学生体会探索问题的过程。

观察问题的本质，已知底数和幂值，求指数的方程问题。

接着与原有知识进行联系。

得到方程一定有为唯一解。

为了求解这一方程，从简单的地方着手，先解决当N为1，2，3，4这样简单的问题。

发现原有知识不足以解决这一问题，需要学习新的知识。

因此引入对数的概念。

但是对数较为抽象，不易理解。

所以在引入这一概念的过程中先让学生形成对数的大概认识，就是与之相对应的数，简称为对数。

在实际的过程中发现了这一认识的矛盾，为解决矛盾，对概念进行完善，最终形成对准确概念的认识。

4.3.1对数的概念教学设计高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册引言：对数概念是高中数学中非常难理解的概念，本文从方程的角度，沿着数的发展需要解读对数概念，旨在帮助学生更好的理解和接受对数概念。

一、教学目标：1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．二、教学重难点：难点：对数的概念的理解重点：对数的概念的理解，对数式与指数式互化。

三、教学过程问题1我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若()12x＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？设计思路：问题设疑，引导学生思考方程的解如何表示？问题 2 为了解决这个问题，我们一起回顾同学们学习数的历程：自然数—分数—有理数—无理数—实数以=2为例，。

=2 ，=2 根据需要我们创建了无理数，引进了根式。

类比学习，我们引进一类数来表示该方程2x ＝3的解，这类数叫做对数记为：x ＝log 23（一）、对数定义：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．设计思路：指对互换之后，相应字母位置的变化注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a 、指数或对数x 、幂或真数N 的范围不变，只是位置和名称发生了变换．(2)log a N 的读法：以a 为底N 的对数．两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N .(2)以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N .例1.在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4) 答案 B解析 由对数的概念可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －3>0，x －3≠1，解得3<x <4或x >4.总结： 关于对数式的范围利用式子log a b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a >0，a ≠1，求字母的范围． （二）指对互换 例2 将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)13log 27=3-；(3)ln 10＝2.303； (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)10－3＝0.001.设计思路：使学生熟练掌握指对互化的流程与技巧。