中考专题复习-圆的基本性质

圆中考知识点总结圆是中学数学中的一个重要知识点，在中考数学中起着重要的作用。

因此，掌握圆的相关知识对于中考数学是非常重要的。

本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结，帮助学生更好地复习和掌握圆的相关知识。

知识点总结一、基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个确定点一定距离的点的全体组成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、圆周。

3. 圆的性质：圆的直径是圆周的两倍，圆周上任意两点与圆心的距离相等。

二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C=2πr。

2. 圆的面积公式：S=πr²。

三、圆的相关定理1. 直径定理：直径所对应的两个锐角为直角。

2. 圆的切线定理：过圆外一点引圆的切线与过该点作圆的半径垂直。

3. 圆的切线与弦的性质：相交弦定理、弦切定理。

4. 圆的内切与外切定理：内切定理、外切定理。

四、圆的相关应用1. 圆的面积和周长的应用：计算圆的面积、周长和扇形面积等。

2. 圆的几何关系：切线与圆的位置关系、相交弦的性质等。

3. 圆的倒影与旋转：圆的旋转变换、圆的倒影变换。

五、解题技巧1. 熟练掌握圆的相关公式和定理，能够正确应用公式和定理解题。

2. 多做练习，培养解决问题的能力，提高解题技巧。

3. 注意细节，正确理解题目的意思和要求，避免因理解错误而导致错误答案。

六、经典例题1. 已知AB是∠O的平分线，且AC⊥BC，求证：AC=BC。

2. 已知AB与CD是两条相交的直径，P是与AB、CD相交的一点，求证：PA²+PB²=PC²+PD²。

3. 如图，ΔABC是等边三角形，M、N分别是BC、AB的中点，P为AM的垂足，若PA=2，则求BP的长。

4. 四通五达服装公司要在正方形草坪内竖立一些旗杆，使得每个旗杆都最多不见这块草坪中心的五分之一。

那么最多可以竖立几个旗杆？结语通过对圆的相关知识点进行总结，我们可以更好地掌握圆的相关概念、公式、定理和应用。

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆，圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； ①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径. ①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形，其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______； ①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点，若D AB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4．（1）求⊙O 的半径r 的长度； （2）求sin ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE •HF 的值．➢ 真题演练1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接BE ，DE ．若DE ＝3DO ，AB =4√5，则△ODE 的面积为（ ）A ．4B ．3√2C ．2√5D ．2√62．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 的长的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．83．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在点A ，B 的右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则sin C 的值为（ ）A ．√32B ．12C ．1D ．√224．如图，半径为5的⊙A 与y 轴交于点B （0，2）、C （0，10），则点A 的横坐标为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．65．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（ ）A ．8＜m ≤4√5B ．4√5＜m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜106．在⊙O 中内接四边形ABCD ，其中A ，C 为定点，AC ＝8，B 在⊙O 上运动，BD ⊥AC ，过O 作AD 的垂线，垂足为E ，若⊙O 的直径为10，则OE 的最大值接近于（ ）A ．52B ．5√23C ．4D ．57．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC ̂的中点，∠OBC ＝50°，则∠AOB 等于 °．8．如图，将半径为rcm 的⊙O 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，已知弦AB 的长为4√15cm ，则r ＝ cm ．9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为．10．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABÊ的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为．11.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．➢课后练习1．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为BĈ上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，CFAP−BP的值始终等于√32．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错2．如图，在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，AB ＝8，CD ＝8，垂足为E ．则tan ∠OEA 的值是（ ）A ．1B ．√63C ．√156D ．2√1593．如图，四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ，AB ＝BC ＝BE ，AB ⊥BE ，则AD 的长为（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．104．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝90°，AB =√2，BC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）A ．√3B ．√52C ．√102D ．√2+125．下列说法正确的是（ ）A ．同弧或等弧所对的圆心角相等B ．所对圆心角相等的弧是等弧C ．弧长相等的弧一定是等弧D ．平分弦的直径必垂直于弦6．如图，A ，B 为圆O 上的点，且D 为弧AB 的中点，∠ACB ＝120°，DE ⊥BC 于E ，若AC =√3DE ，则BE CE的值为（ ）A ．3B ．2C ．√33+1D ．√3+17．如图所示，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ，E 是⊙O 上一点，F 是AE 延长线上一点，EF ＝AE ．若AD ＝9，BC ＝6，设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ，则mn ＝（ ）A ．100B ．90C ．80D ．708．如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB̂的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）A ．25B ．25√3C ．25√34D ．25√329．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点D 是AĈ的中点，点P 是直径AB 上一点，若⊙O 的半径为2，则PC +PD 的最小值是 ．10．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．11．如图，在⊙O 中，点C 在弦AB 上，连接OB ，OC ．若OB ＝5，AC ＝1，BC ＝5，则线段OC 的长为 ．12．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最大值为．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为．14．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连接OA，且OA∥PC．（1）求证：AP＝AO．（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=12，求弦AB的长．15．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD，垂足为F．设已知BE＝5，AE=12OE，OF＝1，求CD的长．➢冲击A+在Rt①ABC中，①BAC=90°，(1)如图1，D、E分别在BC、BA的延长线上，①ADE=2①CAD，求证：DA=DE；(2)如图2，在(1)的条件下，点F在BD上，①AFB=①EFD，求证：①FAD=①FED(3)如图3，若AB=AC，过点C作CN||AB，连接AN，在AN上取一点G，使GA=AC，连接BG交AC于点H，连接CG，试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式，并给出证明；。

中考圆形知识点总结归纳圆形是中学数学中一个重要的几何概念，在中考中也是一个常见的考点。

本文将对中考中涉及到的圆形知识进行总结和归纳，帮助考生复习和掌握这一部分内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上任意一点到另一点的距离都相等的点的集合。

其中，距离相等的这个固定值称为圆的半径，用字母r表示。

圆心是圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。

二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离都等于圆的半径。

2. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，且圆心角所对的弧长等于圆的半径乘以圆心角的弧度值。

3. 相等弧所对的圆心角是相等的。

4. 圆的内切正多边形的中心与圆心重合。

三、弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点的角，它的两边是相交于圆上的两条弧。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数。

2. 弦：圆内部连接两点的线段称为弦。

弦分割出的两条弧叫做弦所对的弧。

3. 弧长：指圆上的一段弧所对应的圆周长度。

弧长等于圆心角的弧度值乘以圆的半径。

四、相交弦与切线的性质1. 相交弦定理：相交弦所对的弧相等，或者说两个相交弦所对应的圆心角相等。

2. 切线的性质：切线与半径的垂直分割线。

切线于半径的交点处所对应的圆心角为直角。

五、圆的面积和周长1. 圆的面积公式：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C为圆的周长。

六、圆的应用1. 圆的切线与圆的性质：切线与切点间的弦相等，切线切割出的小圆与大圆相似。

2. 弧长与扇形面积：扇形面积等于扇形所对的圆心角的弧长所占整个圆的比例乘以圆的面积。

总结：通过对中考圆形知识点的总结和归纳，我们可以看到，圆形在中考中的考点比较多，涉及到圆的基本概念、性质、弧、相交弦与切线的性质、面积和周长以及应用等方面的内容。

对于考生而言，要牢固掌握圆的基本概念和性质，熟练运用相关公式和定理，灵活应用于解题过程中。

只有通过不断的实践和练习，才能在考试中熟练运用所学的圆形知识，取得好的成绩。

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。

2019 初三数学中考总复习圆的基天性质专题复习练习︵ ︵ ︵1. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC ＝CD ＝DE ，∠COD ＝34°，则∠ AEO 的度数是 ( A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°2．如图，在 ⊙O 中，直径 CD ⊥弦 AB ，则以下结论中正确的选项是 ( B )1A ．AC ＝ABB ．∠C ＝2∠ BODC ．∠ C ＝ ∠BD ．∠ A ＝∠BOD3．如图， AB 是⊙O 的直径， BC 是⊙O 的弦．若 ∠ OBC ＝60°，则 ∠BAC 的 度数是(D)A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．如图，⊙ O 为△ABC 的外接圆，∠ A ＝72°，则 ∠BCO 的度数为 ( B )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°5．如图是以 △ABC 的边 AB 为直径的半圆 O ，点 C 恰幸亏半圆上，过点 C 作 CD ⊥ AB 交 AB 于点 D. 已知 ∠ACD ＝3，BC ＝4，则 AC 的长为 ( D ) cos 52016A ．1 B. 3 C ．3 D. 3 如图， 是⊙ 外一点， ， 分别交 ⊙ 于 ， 两点，已知 ︵ ︵P O PB O AB 和CD 所对6. PAC D 的圆心角分别为 90°和 20°，则 ∠P ＝( D )A ．45°B ．20°C ．25°D ．35°7．(2019 ·南宁 )如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，点 N 是弧 MB 的中点， P 是直径 AB 上的一动点．若 MN ＝1，则△PMN 周长的第1页/共4页最小值为(B)A ．4B． 5C．6D．7．如图，已知⊙O 是等腰△的外接圆，点D是︵上一点， BD 交 AC8Rt ABC AC4于点 E，若 BC＝4，AD ＝5，则 AE 的长是 ( C )A ．3B． 2C．1D．1.29. 如图，A，D 是⊙ O 上的两个点， BC 是直径．若∠ D＝32°，则∠ OAC ＝()A ．64°B．58°C．72°D．55°10．如图， AB 为⊙O 的弦，⊙ O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙ O 于点 C，且 CD＝1，则弦 AB 的长是 __6__．11．如图，边长为 1 的小正方形组成的网格中，半径为 1 的⊙O 在格点上，则1∠AED 的正切值为 __2__．12．如图，在⊙O 中，弦 AC＝2 3，点 B 是圆上一点，且∠ABC ＝45°，则⊙O 的半径 R 为__ 6__.13．(2019 ·东营 )如图，水平搁置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，此中水面的宽 AB 为 0.8 m，则排水管内水的深度为__0.8__m.14．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，若∠BOC＝60°，AB ＝8，︵点 E 是劣弧 AC 上一动点， OD⊥BE 于点 D，则 OD 的长的最大值为 __2 3__．15.如图，在△ ABC 中， AB ＝AC＝10，以 AB 为直径的⊙ O 与 BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连 OD 交 BE 于点 M，且 MD ＝2，则 BE 长为 __8__．16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB＝12，AD 是△ABC 的角均分线，过 A，C，D 三点的圆 O 与斜边 AB 交于点 E，连结 DE.(1)求证： AC＝AE；第2页/共4页(2)求 AD 的长．解：(1)∵∠ ACB ＝90°，且 ∠ACB 为圆 O 的圆周角，∴ AD 为圆 O 的直径，∴∠ A ED ＝90°，又 AD 是△ ABC 的∠BAC 的均分线，∴∠ CAD ＝∠EAD ，∴CD ＝ED ，CD ＝DE ，在 Rt △ACD 和 Rt △AED 中，∴Rt △ACD ≌Rt △AED(HL) ， AD ＝AD ，∴ A C ＝AE(2)∵△ ABC 为直角三角形，且AC ＝ 5，CB ＝ 12，∴依据勾股定理得 AB ＝52＋122＝13，由 (1)获得 ∠AED ＝90°，则有 ∠BED ＝90°，设 CD ＝DE ＝x ，则 DB ＝BC －CD ＝12－x ，EB ＝AB －AE ＝AB －AC ＝13－5＝ 8，在 Rt △BED中，依据勾股定理得 BD 2＝BE 2＋ED 2，即(12－x)2＝x 2＋82，解得 x ＝103，∴ CD＝103，又 AC ＝5，△ACD 为直角三角形，∴依据勾股定理得 AD ＝AC 2＋CD 25 13＝317．如图，等腰三角形 ABC 中， BA ＝BC ，以 AB 为直径作圆，交 BC 于点 E ，圆心为 O.在 EB 上截取 ED ＝EC ，连结 AD 并延伸，交 ⊙O 于点 F ，连结 OE ，EF.(1)试判断 △ACD 的形状，并说明原因；(2)求证： ∠ADE ＝∠OEF.解：(1)△ ACD 是等腰三角形， 连结 AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ AED ＝90°， ∴AE ⊥ CD ，∵ CE ＝ED ，∴ AC ＝AD ，∴△ ACD 是等腰三角形(2)∵∠ ADE ＝∠DEF ＋∠ F ，∠ OEF ＝∠OED ＋ ∠DEF ，而 ∠ OED ＝ ∠B ，∠ B＝∠ F ，∴∠ ADE ＝∠OEF18．如图，以 △ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其余两边AC ，BC 的交点分别第3页/共4页︵ ︵为 D ，E ，且 DE ＝BE.(1)试判断 △ABC 的形状，并说明原因；(2)已知半圆的半径为 5，BC ＝12，求 sin ∠ABD 的值．︵ ︵解：(1)△ABC 为等腰三角形．原因以下：连结 AE ，∵DE ＝BE ，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，即 AE 均分 ∠BAC ，∵ AB 为直径，∴∠ AEB ＝90°，∴ AE ⊥BC ，∴△ ABC 为等腰三角形1 1(2)∵△ ABC 为等腰三角形， AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝2BC ＝2×12＝6，在 Rt △ABE中，∵AB ＝10，BE ＝ 6，∴AE ＝ 102－62＝8，∵AB 为直径， ∴∠ ADB ＝90°，∴1 · ＝1 · ，∴ BD＝8×12＝48，在 Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝48，2AE BC2BD AC10551414 AD5 7 ∴AD ＝ AB2 －BD 2＝5 ，∴ sin ∠ABD ＝AB＝10＝25第4页/共4页。

微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长； （2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ； （3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（ ）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （ ）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。

中考数学二轮复习专题圆的基本性质一、单选题1．如图，AB是⊙O的弦，圆心O到弦AB的距离，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，，则弦AB的长为（）A．6B．9C．10D．122．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A．πB．πC．2πD．π3．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（）A．B．C．D．5．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.57．如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（）A．B．C．D．8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（）A．B．C．D．9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D10．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（）A．B．C．2 D．二、填空题11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB=90°，则∠ACB的大小为12．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为．13．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为.14．如图5，AB是半圆O 的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为cm.15．如图，AB是的直径，点C，D，E都在上，∠1=55°，则∠2=°16．在中，若，，则的面积的最大值为. 17．已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为．18．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点.（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；.（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径=（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为.三、作图题19．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm, CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）（2）求（1）中所作圆的半径四、解答题20．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB 的长．21．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．五、综合题22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．23．以的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：AB=AC；（2）若BE=1，，求⊙O的半径．24．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE= ，∠C=30°，求的长。

圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。

【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。

圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。

中考圆的知识点总结中考数学中，圆是一个重要的几何图形，涉及的知识点较多。

在考试中，对圆的相关知识的理解和掌握是非常关键的。

本文将对中考数学中与圆有关的知识点进行总结和归纳，帮助考生理清思路，更好地备战中考数学。

1. 圆的定义圆是平面上到一个定点的距离等于定值的所有点构成的图形。

其中，定点叫做圆心，距离叫做半径。

2. 圆的性质（1）圆上任意两点之间的线段，叫做弧。

（2）圆的直径是圆上任意两点连线沿圆内部的最大距离，它的长度是半径的2倍。

（3）圆的周长是圆周上的所有点连成的折线的长度。

（4）圆内任意两点与圆心连线的夹角是等腰三角形的夹角。

3. 圆的相关公式（1）圆的周长公式：C = 2πr（其中，C表示周长，r表示半径，π取3.14）。

（2）圆的面积公式：A = πr²（其中，A表示面积）。

4. 圆的位置关系（1）相离：两个圆没有交点，且圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。

（2）相切外切：两个圆有且仅有一个公共切点，且圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

（3）相交：两个圆有两个交点，且圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。

（4）包含内切：一个圆完全包含另一个圆，且两个圆心之间的距离小于等于两个圆的半径之差。

5. 判定正方形和矩形的方法如果一个四边形的四个角都是直角，并且四条边的长度相等，就可以判定为正方形。

若四边形的对边相等且相邻边两两相等，则可以判定为矩形。

6. 圆锥的相关知识（1）圆锥的配准：当给出圆锥的高及底面的半径时，可以通过连接圆锥的顶点、底面圆心以及连接顶点和底面圆周上的一点构成一个直角三角形，从而确定圆锥的顶部的位置。

（2）圆锥的表面积公式：S = πr² + πrl（其中，S表示表面积，r 表示底面半径，l表示斜高）。

（3）圆锥的体积公式：V = 1/3πr²h（其中，V表示体积，r表示底面半径，h表示高）。

7. 圆柱的相关知识（1）圆柱的表面积公式：S = 2πrh + 2πr²（其中，S表示表面积，r表示底面半径，h表示高）。

中考知识点圆的性质圆的性质在中考中是一个重要的数学知识点。

了解和掌握圆的性质对于解题和理解几何原理都有很大的帮助。

本文将介绍圆的定义，以及与它相关的性质和定理。

圆是一个平面上所有到一点的距离都相等的点的集合。

这个点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。

圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，圆外的所有点到圆心的距离都大于半径。

根据圆的定义，我们可以得出以下性质：性质一：圆的直径等于两倍的半径。

直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。

性质二：圆的任意两条半径相等。

性质三：圆的任意两点与圆心的距离相等。

性质四：圆的周长等于2π乘以半径。

周长是圆上的一段弧对应的线段长度。

性质五：圆的面积等于π乘以半径的平方。

面积是圆内部的所有点组成的区域的大小。

除了这些基本性质之外，我们还需要了解一些与圆相关的定理。

定理一：两个相交圆的交点到两个圆心的距离相等。

这个定理通常用于证明两个相交圆的性质。

定理二：一个直线和一个圆最多有两个交点。

这个定理常常被用于计算直线和圆的交点个数。

定理三：切线和半径垂直。

如果一条直线与圆切线相切，那么切线和半径的夹角是90度。

定理四：圆的内接四边形的对角线相等。

内接四边形是一个四边形，它的四个顶点都在圆上。

在中考中，我们需要根据这些性质和定理解决与圆相关的各种问题。

比如，求圆的面积、周长，确定圆心和半径，计算圆与直线的交点等等。

熟练掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解几何概念，提高解题的能力。

在学习中考数学过程中，我们可以通过练习题和习题课来巩固圆的性质和定理。

掌握了这些知识点后，我们可以更轻松地解答几何题目，提高数学成绩。

总之，圆的性质是中考数学中的一个重要知识点。

通过了解和掌握圆的定义、性质和定理，我们可以更好地理解几何问题，提高解题的能力。

希望本文能帮助大家更好地掌握圆的性质和应用。

中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。

圆具有旋转对称性，任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。

二、圆的性质1. 圆心距性质：任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的，两圆外离；任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的，两圆内含；任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的，两圆相交。

2. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

3. 圆的幂性质：如果两条弦与同一条直径垂直，那么这两条弦所对的直径段相等。

4. 圆锥曲线性质：以圆锥的底面直径为长轴，以圆锥的高为短轴的椭圆，叫做圆锥椭圆。

圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。

双曲线类似。

三、圆的应用1. 在建筑设计中，可以利用圆的旋转对称性，设计出美观大方的建筑外观。

如圆形广场、圆形剧场等。

2. 在机械制造中，许多零部件都是圆形或环形的设计，如轴承、齿轮等。

这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。

3. 在电子科技领域，许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计，如电容、电感等。

这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。

4. 在生物学和医学领域，许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计，如人体的大脑、心脏等。

对于这些结构和器官的研究和理解，有助于我们更好地认识生命的奥秘。

四、圆的解题技巧1. 圆的题目中，常常会出现一些隐含的条件，如切线的性质、圆的幂性质等。

我们需要认真分析题目中的条件，找出这些隐含的条件，并加以利用。

2. 对于一些复杂的题目，我们可以利用几何软件进行辅助分析，如使用CAD软件进行绘图分析，可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。

3. 在解题过程中，我们需要注重几何语言的准确性和规范性，避免出现混淆概念、计算错误等问题。

中考圆的常见题型总结中考圆的常见题型总结圆是中考数学中的一个重要概念，掌握圆的性质和相关题型能有效提高数学成绩。

下面将对中考圆的常见题型进行总结。

常见题型一：圆的基本性质题1. 求圆的面积和周长：圆的面积公式为：S = πr²圆的周长公式为：C = 2πr2. 求圆心角的度数：圆心角所对的弧与圆周所对的角相等，所以可以用圆心角的度数去表示弧的度数。

常见题型二：圆的位置关系题1. 判断关系：a. 外切圆和内切圆的位置关系：两个相切的圆，内切圆的圆心在外切圆的圆心的同一直线上。

b. 相交关系：两个相交的圆在两个交点的位置关系，可以根据边长和半径等关系进行求解。

c. 同圆关系：两个同圆的圆是重合的，即它们的半径相等。

d. 不交相离：两个完全不相交的圆，它们的位置关系为不交相离。

2. 判断位置：判断一个点在圆的内部、外部还是圆上，可以通过求这个点到圆心的距离是否等于圆的半径来判断。

常见题型三：弧和扇形的性质题1. 弧段公式：已知圆的半径和弧长，可以用弧长公式计算圆心角的度数。

2. 扇形面积公式：已知扇形中心角的度数和半径，可以用扇形面积公式计算扇形的面积：S = (θ/360°)πr²常见题型四：切线和切点的性质题1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的直线。

2. 切点的性质：切点与切线垂直，切点到圆心的距离等于半径。

常见题型五：菱形和正方形的圆内接问题1. 菱形的性质：菱形的四个角都是直角，因此可以通过对角线的性质判断是否为菱形。

2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的菱形，它的四条边相等且四个角都是直角。

常见题型六：圆锥、圆台和球的性质题1. 圆锥的性质：圆锥是一个底面是圆而侧面是圆锥曲线的立体。

求圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h求圆锥的侧面积公式为：S = πrl2. 圆台的性质：圆台是一个底面是圆而顶面平行于底面的立体。

求圆台的体积公式为：V = (1/3)π(R² + r² + Rr)h求圆台的侧面积公式为：S = π(R + r)l3. 球的性质：求球的体积公式为：V = (4/3)πr³求球的表面积公式为：S = 4πr²以上是中考圆的常见题型总结，通过对这些题目的分析和解答，可以有效提高对圆的理解和掌握，并且能够在中考数学中灵活运用。