第2讲 分治策略

0 7
left
1 14
2 17
3 21
4 27
5 31
6 38
7 42
8 46
9 53
10 75
right
7
middle
二分搜索算法的基本思想是将n个元素分成个数大致相 同的两半，取a[n/2]与x作比较。
如果x＝a[n/2]，则找到x，算法终止。 如果x＜a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部分继续搜索x。 如果x＞a[n/2]，则我们只要在数组a的右半部分继续搜索x。
12
3.2.5 棋盘覆盖问题
在一个 2k×2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不 同，称该方格为特殊方格，且称该棋盘为特殊棋盘（Defective Chessboard）。
特殊方格在棋盘中出现的位置有 4k种情形，就有4k种不同的棋盘。
图中的特殊棋盘是当 k＝2时16个特殊棋盘中一个。在棋盘覆盖问题 中，要求用图所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊 方格以外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重叠覆盖。在任何一 个个 2k×2k的棋盘覆盖中，用到的L型骨牌个数为 （4k-1)/3。
2
分治策略
分治策略是对于一个规模为n的问题，若该问题可以 容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则 将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相 独立且与原问题形式相同。 递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得 到原问题的解。
3
3.2.1 分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
15
棋盘覆盖问题的分治算法
16
3.2.6 选择问题
对于给定的n个元素的数组a[0：n—1]，要求从中找出第 k小的元素。 输入
输入有多组测试例。 对每一个测试例有2行，第一行是整数n和k（1≤k＜n≤1000）， 第二行是n个整数。
输出
第k小的元素。
输入样例 52 39416 73 4 59 7 23 61 55 46 输出样例 3 23
9
3.2.4循环赛日程表
1 2 1 3 4 4 3 5 6 6 5 7 8 8 7
1
2 3 4 5
2
1 4 3 6
3
4 1 2 7
4
3 2 1 8
5
6 7 8 1
6
7 8 5 4
7
8 5 6 3
8
5 6 7 2
第1天， 1与2比， 2与1比
1
天数 ①
2
3
4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 5 6 7 8
do…while语句： 当条件为true时继续 循环的处理过程
≥
输入样例 52 39416
left
输出样例 3
right
3 9 4 1 6
pivot i
j right
left
3 9 4 1 6
pivot i j
21
3.2.7输油管道问题
某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道 要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输 油管道沿最短路经（或南或北）与主管道相连。 如果给定n口油井的位置，即它们的x坐标（东西向）和y 坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置，即使各 油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？ 给定n口油井的位置，编程计算各油井到主管道之间的输 油管道最小长度总和。
1
递归与分治策略
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规 模n有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的 计算时间也越少。 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割 成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 如果原问题可分割成k个子问题（1＜k≤n），且这些子问 题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么 这种分治法就是可行的。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使 用递归技术提供了方便。
输入样例 52 39416 输出样例 3 1 3 9 4 6
此算法在最坏情况时间复杂度为 O(n2) ， 此时nleft总是为0，左子集为空，即第 k小元素总是位于right子集中。 平均时间复杂度为 O(n )。
20
算法3.9 采用分治策略 找出第K小元素的算法
i=1 j=3 31496 i=2 j=1 j=1 left=0 3
4
3.2.1 分治法的基本步骤
根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才 较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？这些问题 很难予以肯定的回答。 在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。 如分成大小相等的k个子问题，许多问题可以取k＝2。 这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡 （Balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模 不等的做法要好。
记一趟快速排序后，分解出左子集中元素个数为 nleft,则选 择问题可能是以下几种情况之一： ① nleft ＝k﹣1，则分界数据就是选择问题的答案。 ② nleft ＞k﹣1，则选择问题的答案继续在左子集中找， 问题规模变小了。 ③ nleft ＜k﹣1，则选择问题的答案继续在右子集中找， 问题变为选择第k-nleft-1 小的数，问题的规模变小了。
算法3.6 二分搜索算法 //数组a[]中有n个元素，已经按升序排序，待查找的元素x template<class Type> int BinarySearch(Type a[],const Type& x,int n) { int left=0; //左边界 int right=n-1; //右边界 while(left<=right) { int middle=(left+right)/2; //中点 if (x==a[middle]) return middle; if (x>a[middle]) left=middle+1; else right=middle-1; } return -1; //未找到x }
22
3.2.7输油管道问题
输入
第1行是一个整数n，表示油井的数量（1≤n≤10 000）。 接下来n行是油井的位置，每行两个整数x和y （﹣10 000≤x，y≤10 000）。
8
3.2.4循环赛日程表
问题描述：设有n＝2k个运动员要进行网球循环赛。 现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：
1. 每个选手必须与其他n－1个选手各赛一次； 2. 每个选手一天只能参赛一次； 3. 循环赛在n－1天内结束。 请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n－1列的一个表。 在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手， 其中1≤i≤n，1≤j≤n－1。
1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题 形式相同的子问题； 2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地 解各个子问题； 3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
算法3.5 分治策略的算法设计模式 Divide_and_Conquer（P） { if (|P|＜＝n0 ) return adhoc(P)； divide P into smaller substances P1，P2，…，Pk； for (i＝1; i＜＝k; k＋＋) yi＝Divide-and-Conquer（Pi） //递归解决Pi Return merge（y1，y2，…，yk） //合并子问题 }
4
3 6 5 8 7
1
2 7 8 5 6
2
1 8 7 6 5
7
8 1 2 3 4
8
7 2 1 4 3
5
6 3 4 1 2
6
5 4 3 2 1
2 3 4
6
7 8
5
8 7
8
5 6
7
6 5
2
3 4
1
2 3
4
1 2
3
4 1
1 2
2 1
教材中的表格有误
1个选手
4个选手
8个选手
每个选手必须与其他n－1个选手各赛一次； 每个选手一天只能参赛一次； 循环赛在n－1天内结束。
14
采用分治算法解决棋盘覆盖问题的数据结构
令size=2k ，表示棋盘的规格。 1. 棋盘：使用二维数组表示：
int board[1025][1025]; 为了方便递归调用，将数组board设为全局变量。board[0][0]是棋 盘的左上角方格。
2. 子棋盘：由棋盘左上角的坐标tr，tc和棋盘大小s表示。 3. 特殊方格：在二维数组中的坐标位置是（dr，dc）。 4. L型骨牌：用到的L型骨牌个数为（4k-1)/3 ，将所有L型骨牌从 1开始连续编号，用一个全局变量表示： static int tile=1;
5
3.2.2 分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有 最优子结构性质； 3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不 包含公共的子子问题。
13
3.2.5 棋盘覆盖问题
用分治策略，可以设计解棋盘覆盖问题的一个简捷算法。 分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘大小相 同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格，从而将原问题 分解为规模较小的棋盘覆盖问题。
当k>0时，将2k×2k的棋盘划分为4个2k-1×2k-1子棋盘。 原棋盘只有一个特殊方格，则其余3个子棋盘中没有特殊方格。 用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处。从而将原问题转化 为4个较小规模的棋盘覆盖问题，以便采用递归方法求解。 递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。