2016年深圳市高三年级一模数学(理科)试题

深圳中学2013-2014学年度高三年级第一次阶段性测试理科数学木试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考牛务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考牛号、试室 号、座位号填写在答题尺上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡 相应位置上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题H 选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试 卷上.3. 非选择题必须川黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案，不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4 .作答选做题吋，请先用2B 铅笙填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、 错涂、多涂的，答案无效.5.考牛必须保持答题卡的整洁.笫I 卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给岀的四个选项中, 只有一项符合要求.1. “兀>1” 是"ln|x|> 0” 的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2. 已知i 是虚数单位，复数z = (x 2-l) + (x + l)i 是纯虚数，则实数兀的值为A. ± 1C. 1D. 23. 若集合P = {y|y>0},=则集合Q 不可能是A. 0B. y = X 2,XG R |C. {yy = 2',xwR 4. sin2013° GD. |y|j = log 2x,x>0}A. B.f V2 1)5.2 2丿 若函数 f(x) = x 2R ,常数awR,D. f_l 42} mF则A.存在a,使/(x)是奇函数B.存在d,使.f(x)是偶函数C. e R, /(%)在(0,+oo)上是增函数D. V^z e R, /(x)在(一oo,0)上是减函数. TT6.动点P 在函数= sin 2x 的图象上移动，动点Q(x, y)满足P0 = (_,O),则动点0的8轨迹方程为/ 、A. y = sin 2x + —I 8丿.(71^C ・ y = sin 2x + — B . D/ 、 c 兀v = sin 2x ——I 8丿・(c717.执行如图所示的程序框图，输出的£值是A. 8B. 7C. 6D. 5设函数/⑴-(2)5(兀-3)x — 4A.在第一彖限内 ,则/(对的图象B. 在第四象限内C. 与兀轴正半轴有公共点D. 一部分在第四彖限内，其余部分在第一彖限内13.已知函数/(兀)满足:①对任意"(0, + oo),恒<f(2x) = 2f(x)；②当xw(l,2］时,笫TT 卷(非选择题共110分)二、填空题:本人题共6小题,每小题5分，共30分.9. 右图中阴影部分区域的面积S = _________ . 10. 若命题“ V XG R, X 2+2X + /7?>0 ”的否定为真命题,则实数加的取值范围是 __________ •11.如右图，在四边形ABCD 中，DC = -AB f E 为BC 的 3中点，K AE = x- AB + y- AD ,贝^i3x-2y = _________ .12.在E1ABC 中，cos A = — . AC = 3 AB,贝0 cos B =3f(x) = 2-x.则/©)= ___________ ；方程f(x) = -的最小正数解为 _________ .选做题(请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分).14.(几何证明选讲选做题)如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延 长线上过D 作圆O 的切线，切点为C.若CD = *,BD = \, 则圆O 的面积为 .n=3, k=O15.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xO）；中，曲线/的参数方程为彳~ Q为卜=3 + /.参数）；以原点。

2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．34．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．25．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．1706．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．558．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．49．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f （1）的值为．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】将z=化为：4﹣3i，从而求出所在的象限．【解答】解：因为z==4﹣3i，所以z在复平面内对应的点为（4，﹣3），在第四象限．故选：D．3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，根据向量垂直得出（+）•（2﹣）=0，解方程得出λ．【解答】解： =||||cos120°=﹣1．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=0，即2+（2λ﹣1）﹣=0．∴8+1﹣2λ﹣λ=0，解得λ=3．故选：D．4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（0，2）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2．故选：C．5．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．170【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a3，a6成等比数列，得：，即a1=4．∴．故选：C．6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的φ=﹣，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），可得2sin（+φ）=1，即 sin（+φ）=，再根据+φ∈（﹣，），可得φ+=，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的一条对称轴方程为x=，故选：D．7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．55【考点】二项式定理的应用．【分析】（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r即可得出．【解答】解：（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r=3或4．∴（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项=+2=15﹣2×20=﹣25．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率．【解答】解：∵4名同学参加3项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，∴基本事件总数n=34=81，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m==36，∴每项活动至少有一名同学参加的概率p==．故选：A．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f（1）的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件可以得到﹣f（x）+g（x）=3﹣x，该式联立f（x）+g（x）=3x便可解出f （x），从而可求出f（1）的值．【解答】解：f（x）+g（x）=3x①；∴f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）；∴﹣f（x）+g（x）=3﹣x②；①②联立得，；∴．故答案为：．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．【解答】解：F（，0），∴直线AB的方程为：y=x﹣．联立方程组，消元得：x2﹣3px+=0，设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0==，y0=x0﹣=p．∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴=﹣1，即=﹣1．解得p=．故答案为：．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是{a1|a1≥} ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】对a1分类讨论，利用已知及其等比数列的通项公式性质即可得出．【解答】解：①当时，a2=4．由于，因此a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴42=9a1，解得a1=．而a4=42=16，不满足{a n}为等比数列，舍去．②当a1≥22时，a2=2a1，∴a2≥8．当8≤a2＜9时，a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴=9a1，解得a1=，舍去．当a2≥9时，a3=2a2．可得{a n}为等比数列，公比为2．此时a1．综上可得：a1的取值范围是{a1|a1≥}．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得cosB=．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，可得sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）．在△ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．在△ABC中，由正弦定理可得： =，∴BC===35．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．【解答】解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为：P=•+••=，所以在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为；（2）由题意知，P（23≤X＜27）=0.74，P（27≤X＜31）=0.25，P（31≤X≤35）=0.01；用X1、X2、X3分别表示采取方案一、二、三的损失，，X2的分布列如下；23因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点O，连接AC，CO，PO，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由面面垂直的性质定理，可得直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求得O，A，P，B，C，D，，，的坐标，设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，即有CO⊥AB，OC=，由PA⊥PB，可得OP=AB=1，而PC=2，由OP2+OC2=12+（）2=22=PC2，可得CO⊥OP，而AB，OP为相交二直线，可得CO⊥平面PAB，又OC⊂平面ABCD，即有平面PAB⊥平面ABCD；（2）由PA=PB，可得PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），D（，2，0），可得=（，0，﹣1），=（0，1，1），=（0，2，0），设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），由可得，取z1=，可得=（1，﹣，），由，可得，取x2=，可得=（，0，3），由题意可得二面角A﹣PC﹣D为锐角二面角，记为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率可得a2=2b2，得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b2，则椭圆方程可求；（2）由直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，得到坐标原点到直线l的距离为，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积，当直线l的斜率不存在时，直接求解，当直线l的斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，由原点到直线的距离列式，把m用含有k的代数式表示，然后再由弦长公式求得弦长，换元后利用判别式法求得弦长的最大值，求出斜率存在时△ABO面积的最大值，最后比较得答案．【解答】解：（1）由，得，即，∴a2=2b2，则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0．联立，消去y得，，由，解得：b2=1．∴椭圆方程为：；（2）∵直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，∴原点O到直线l的距离为．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±，代入椭圆，得y=，不妨设A（），B（），则；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，由，得4m2=3k2+3．联立，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．，∴|AB|===．设k2=t，令y=，则（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，当y=时，可得t=，符合题意；当y时，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y且y．综上，y．∴当斜率存在时，．综①②可知，△ABO面积的最大值为．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求a的值．【解答】解：（1）∵函数y=（x+1）e x，∴f′（x）=e x+（x+1）e x=（x+2）e x，由f′（x）＞0得（x+2）e x＞0，即x+2＞0，得x＞﹣2，即函数的单调增区间为（﹣2，+∞）．由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．（2）g′（x）=e x（x﹣1）2+（e x﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），当x＜﹣1时，f（x）=（x+1）e x≤0，①当0＜a＜e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f （1）﹣2a=2e﹣2a＞0，则∃唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极大值，当x=1时，函数g（x）取得极小值．②当a=e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此时函数g（x）无极值．③当a＞e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，则∃唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极小值，当x=1时，函数g（x）取得极大值．综上当a∈（0，e）∪（e，+∞）时，g（x）有两个极值点，当a=e时，g（x）无极值点．（3）由（2）知当0＜a＜e时，∵g（1）=0≠，故g（x0）=（e﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①（x0﹣1）2=2[]2，由f（x0）=0得a=，代入①得（e﹣）整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e﹣=0，设h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2e x，﹣1＜x＜1，∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）e x，∴当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，1）上单调递减，∵h（0）=0，∴x0=0，a==∈（0，e）符号题意，当a＞e时，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，∴不存在符号题意的a，综上当a=时，g（x）存在极值等于a2．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D 四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别用x，y表示t，消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；（2）联立方程组解出A，B坐标，代入两点间的距离公式得出|OA|，|OB|，再进行化简计算．【解答】解：（I）由得，∴直线l的普通方程为﹣=0，即sinαx﹣cosαy=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0．∵ρ=，∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x，∴ρ=p+x，两边平方得ρ2=x2+2px+p2，∴x2+y2=x2+2px+p2，即y2﹣2px﹣p2=0．（II）联立方程组，解得或．21 ∴|OA|2=（）2+（）2=，|OB|2=（）2+（）2=，∴|OA|=，|OB|=．∴+=+=（+）=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|（a ∈R ）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为5，求a 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最小值，再根据f （x ）的最小值为5，求得a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8，即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8， 若x ＜﹣1，则有﹣x ﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x ＞3，则有x+1+x ﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x 的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f （x ）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．。

绝密★启用前2016届“六校联盟”高考模拟理 科 数 学 试 题 (A 卷)命题学校：深圳实验本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =；若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=． 一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（ ） A ． 1- B ．1 C ．2- D ．2 2.下列命题中，是真命题的是（ ）A ．00,0xx R e ∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈> C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1ab=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件3．(东莞中学第6题)在等比数列{}n a 中，首项11a =，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为（ ）A.921-B.362C.1021-D.4524．在平面直角坐标系中,不等式组22x y x ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．B ．8C ．D ．45．定义行列式运算：,32414321a a a a a a a a -=将函数cos () sin xf x x=的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．32π B ．3π C ． 8π D ．π656.已知边长为错误！未找到引用源。

深圳市宝安区2016届高三第一学期调研考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数中，不满足．．．：(2)2()f x f x =的是 A ．()||f x x = B ．()||f x x x =-C ．()1f x x =+D ．()f x x =-2．复数Z =32ii-++的共轭复数是 ( ) A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --3．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =A ． (1,2)B ． [1,2)C ． (1,2]D ． [1,2]4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结 果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．85．已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =--,则向量BC =( )A ．(-7,-4)B ．(1,2)C ．(-1,4)D ．(1,4)6．双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．5B ．24C ．3D ．5 7．已知函数()233x f x x +=，数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *+⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.数列{}n a 的通项公式；A ．2133n a n =+ B ．2133n a n =- C ．1133n a n =+ D ．2134n a n =+ 8．下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充要条件是A ．a b =-B ．//a b 且方向相同C ．2a b =D ．//a b 且||||a b =10．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 11．设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数12．已知四边形ABCD 是椭圆2214x y +=的内接菱形，则四边形ABCD 的内切圆方程是( ) A ．2215x y +=B ．222(1)5x y -+=C ．2245x y +=D ．2235x y += 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =14．函数x x f6log 21)(-=的定义域为 15．4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________16．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是三、解答题:本大题共6小题(其中22、23、24题任选一题)，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是a b c ，，，且,,A B C 成等差数列，（1）若1,a b ==求sin C ；（2）若a b c ，，成等差数列，试判断ABC ∆的形状.18．（本小题满分12分）某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于[70,80)分数段的人数X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，6,10,8AB AD BD ===,E 是线段AD 的中点．如图所示，沿直线BD 将BCD ∆翻折成BC D '∆，使得平面BC D '⊥平面ABD .（1）求证：C D '⊥平面ABD ；（2）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ． （1）若点C 的纵坐标为2，求MN ；（2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．21．（本小题满分12分）设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”．已知432113()1262f x x mx x =--． （Ⅰ）若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，试确定实数m 的值；（Ⅱ）若当实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凸函数”，求b a -的最大值．22．（本题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，AC 与圆O 相切于点A ，BC 交圆O 于点E（1）若D 为AC 的中点，证明DE 是圆O 的切线； （2）若OA =,求ACB ∠的大小。

【关键字】数学广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题&参照答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A．B．C．D．2.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（）A．-3 B．-2 C．2 D．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4.设，则大小关系正确的是（）A．B． C. D．5. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（）A．B． C. D．6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B． C. 2 D．7.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B． C. D．8. 函数的图象大致是（）A．B．C. D．9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为（）A．B． C. D．10. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A．335 B．336 C. 337 D．33811. 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（）A．B． C. D．12. 若在上存在最小值，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量，若，则．14. 已知是锐角，且．15.直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是．16.若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，．（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．21.已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OA OB +为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-．（1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 15. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==； 当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦，整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列，∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈；（2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -=，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，① ∴12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，②由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-， ∴()121n n T n =-+.18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=，在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆，∴ED EB =，∴BD EG ⊥，∵AC EG G =，∴BD ⊥平面ACFE ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥， 在平行四边形ACFE 中，易知0060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =， ∵12332BDE S ∆==， ∴三棱锥F BDE -的体积为13333=.解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴1132322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -.19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-，当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩， ∴0.0015,0.0020a b ==；（3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==，当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又222c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=； （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =，②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+，将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=， 可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k--==+=+++， 由QM AB ⊥可知00125y k x =--， 化简得23520k k ++=，解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-， 此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=.21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数；②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-， 易知当x e >时，()0h x '>，()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数， 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而此时()1110,0a a a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ，∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点. ∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->，当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-， 当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<， 综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

绝密★启用前2016届“六校联盟”高考模拟理科数学试题（A卷)命题学校：深圳实验本试卷共6页,21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回．参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =；若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=．一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数,则a 的值等于( ）A ． 1-B ．1 C ．2- D ．2 2.下列命题中，是真命题的是（ ) A ．00,0x xR e ∃∈≤ B ．2,2xx R x ∀∈>C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1a b=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件 3．（东莞中学第6题）在等比数列{}na 中，首项11a=，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}na 的前n 项之积为nT ，则10T 的值为( ) A 。

2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[0,1) 2．复数(3＋2i)i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 3．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2<0” B ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0” C ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0” D ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0”4．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( ) A ．f (x )＝－x |x | B ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝ln x x5．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．76．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A.12B.45C ．2D ．9 8．某几何体的三视图如图M1­1，则它的体积为( )图M1­1A ．72πB ．48π C．30π D ．24π9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象是( ) A ．关于直线x ＝π8对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．211．在同一个平面直角坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0，且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A BC D12．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，f (x )＝cos x .若关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )A.54πB.32πC.94π D．3π 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．14．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 15．如图M1­2，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，AP ＝3，则AP →·AC →＝________.图M1­216．阅读如图M1­3所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．图M1­3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图M1­4，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D ­AE ­C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ­ACD 的体积．图M1­420．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么X 围取值时，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值？(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)．21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦AB 的中点为M .(1)若|AB |＝4 55，某某数k 的值；(2)如图M1­5，顶点为O ，对称轴为y 轴的抛物线E 过线段BF 的中点T ，且与椭圆C 在第一象限的交点为S ，抛物线E 在点S 处的切线m 被圆O 截得的弦PQ 的中点为N ，问：是否存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．图M1­5 图M1­6请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答量请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10)选修4­1：几何证明选讲如图M1­6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .23．(本小题满分10)选修4­4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．24．(本小题满分10)选修4­5：不等式选讲 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)1.D 解析：由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝(－1,1)，得M ∩N ＝[0,1)．2．B 解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i＝－2＋3i.故选B.3．C 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．故选C.4．A5．A 解析：∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5.又∵a 1a 2a 3＝105，∴a 1a 3＝21.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2.∴a n＝9－2n .由a n ≥0，得n ≤4.故选A.6．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.7．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4a ，∴22＋2a ＝4a .∴a ＝2. 8．C 解析：几何体是由半球与圆锥叠加而成，它的体积为V ＝12×43π×33＋13×π×32×52－32＝30π.9．A 解析：依题意，得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A.10．A 解析：如图D129，将点(5,3)代入z ＝y －2x ，得最小值为－7.图D12911．D 解析：正弦函数y ＝sin ax 的最小正周期为T ＝2πa.对于A ，T >2π，故a <1，而y ＝a x的图象是增函数，故A 错误； 对于B ，T <2π，故a >1，而函数y ＝a x是减函数，故B 错误； 对于C ，T ＝2π，故a ＝1，∴y ＝a x＝1，故C 错误； 对于D ，T >2π，故a <1，∴y ＝a x是减函数．故选D.12．A 解析：作函数y ＝f (x )的草图(如图D130)，对称轴为x ＝3π4，当直线y ＝a 与函数有两个交点(即方程有两个根)时，x 1＋x 2＝2×3π4＝3π2；当直线y ＝a 与函数有三个交点(即方程有三个根)时，x 1＋x 2＋x 3＝2×3π4＋3π4＝9π4；当直线y ＝a 与函数有四个交点(即方程有四个根)时，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×3π4＝3π.故选A.图D13013.12 解析：从10件产品中任取4件，共有C 410种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有C 13C 37种，因此所求概率为C 13C 37C 410＝12.14．10 解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x5－k y k，则T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，故答案为10.15．18 解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC →＝2(AB →＋BO →)，AP →·AC →＝AP →·2(AB →＋BO →)＝2AP →·AB →＋2AP →·BO →＝2AP →·AB →＝2AP →·(AP →＋PB →)＝2|AP →|2＝18.16．－4 解析：由题意，得第一次循环：S ＝0＋(－2)3＝－8，n ＝2； 第二次循环：S ＝－8＋(－2)2＝－4，n ＝1，结束循环，输出S 的值为－4. 17．解：(1)∵cos C ＝34，∴sin C ＝74.∵asin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0.∴b ＝2.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2×74＝74.18．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知，P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为：数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.19．(1)证明：如图D131，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图D131，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.图D131设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0.可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知，|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12.解得m ＝32(m ＝－32，舍去)． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ­ACD 的高为12.故三棱锥E ­ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.20．解：f ′(x )＝ax－a (x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递增； 令f ′(x )<0时，解得x >1，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减． (2)∵函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， ∴f ′(2)＝a2－a ＝1.∴a ＝－2，f ′(x )＝－2x＋2.∴g (x )＝x 3＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2－2x ＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，g ′(x )＝3x 2＋(4＋m )x －2.∵对任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值，且g ′(0)＝－2，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题知，对任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.解得－373<m <－9.(3)证明：令a ＝－1，f (x )＝－ln x ＋x －3，∴f (1)＝－2. 由(1)知，f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0. ∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立． ∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1.∴0<ln n n <n －1n .∴ln22×ln33×ln44×…×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)．21．解：(1)圆O 的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. ∵OM ⊥AB ，|AB |＝4 55，∴|OM |＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝4 55. ∴2k 2＋1＝4 55.∴k 2＝14.图D132又k ＝k FB >0，∴k ＝12. (2)如图D132，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，B (0,2)，T 为BF 中点， ∴T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1. 设抛物线E 的方程为y ＝tx 2(t >0)，∵抛物线E 过点T ，∴1＝t ·1k2，即t ＝k 2. ∴抛物线E 的方程为y ＝k 2x 2.∴y ′＝2k 2x .设S (x 0，y 0)，则k m ＝y ′0|x x ＝＝2k 2x 0.假设O ，M ，N 三点共线，∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l ∥m .又k l ＝k >0，∴k l ＝k m .∴k ＝2k 2x 0.∴x 0＝12k ，y 0＝k 2x 20＝k 2·14k 2＝14. ∵S 在椭圆C 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1. 结合b ＝2，c ＝2k ，a 2＝b 2＋c 2＝4＋4k2. 得14k 24＋4k2＋1164＝1.∴k 2＝－5963. ∴k 无实数解，矛盾．∴假设不成立．故不存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线．22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .又AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径．图D133(2)如图D133，连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为圆的直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB .23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为22 55.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为2 55. 24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。

2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a＝1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）已知M＝{y∈R|y＝x2}，N＝{x∈R|x2+y2＝2}，则M∩N＝（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P （ξ＜1）＝1，则μ的值为（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（m＞0）与双曲线C2：﹣＝1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10B．20C．10D．405．（5分）同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）＝f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．6．（5分）变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y 的最大值为2时，则a＝（）A．B．﹣1C．或﹣1D．07．（5分）某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种8．（5分）函数f（x）＝sin x•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝n+2D．a n＝（n+2）3n 10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7B．7C．7D．811．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e] 12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，若＝λ+，且⊥，则实数λ的值为．14．（5分）在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为．15．（5分）已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n （x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2＝．（用n表示）16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n＝4，5，…）则S2n＝．（n∈N+）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD＝﹣，sin∠CBA＝，求BC的长．18．（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40 单）的部分每单抽成4元，超出40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．（12分）如图甲，在平面四边形P ABC中，P A＝AC＝2，P A＝AC＝2，∠P ＝45°，∠B＝90°，∠PCB＝105°，现将四边形P ABC沿AC折起，使平面P AC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x＝﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ＝∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB＝11，EF＝6，FD＝4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO＝P A⋅PB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a＝1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：当a＝1时，复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i＝﹣i，是一个纯虚数．当复数z＝（a2﹣1）+（a﹣2）i＝﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1＝0 且a﹣2≠0，a ＝±1，故不能推出a＝1．故选：A．2．（5分）已知M＝{y∈R|y＝x2}，N＝{x∈R|x2+y2＝2}，则M∩N＝（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：由M中y＝x2≥0，得到M＝[0，+∞），由N中x2+y2＝2，得到﹣≤x≤，即N＝[﹣，]，则M∩N＝[0，]，故选：D．3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P （ξ＜1）＝1，则μ的值为（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），正态曲线关于x＝μ对称，∵P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，又P（ξ＞1）+P（ξ＜1）＝1，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞1）∴0和1关于对称轴对称，∴μ＝，故选：D．4．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（m＞0）与双曲线C2：﹣＝1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10B．20C．10D．40【解答】解：双曲线C1：﹣＝1（m＞0）的渐近线为y＝±，双曲线C2：﹣＝1的渐近线为y＝±2x，∵两个双曲线有相同的渐近线，∴＝2，即＝4，得m＝1，则双曲线C1：﹣x2＝1，则对应的焦点坐标为E（0，），F（0，﹣），双曲线C2：﹣＝1的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0），＝2×＝则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S＝2S△GHE20，故选：B．5．（5分）同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）＝f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由选项可知函数的解析式设为y＝sin（ωx+φ）或y＝cos（ωx+φ）；①对任意x∈R，f（x+π）＝f（x）恒成立；周期为π，ω＝2；排除A；②图象关于直线x＝对称；所以B不正确，D、C正确；③函数在上是增函数所以D正确；f（x）＝cos（2x+）是减函数，C不正确；故选：D．6．（5分）变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y 的最大值为2时，则a＝（）A．B．﹣1C．或﹣1D．0【解答】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域，则圆心C（a，a），设z＝2x+y则y＝﹣2x+z，当直线y＝﹣2x+z与圆相切时，截距最大，此时z最大，为2，此时2x+y＝2，由d＝，得|3a﹣2|＝5，则3a﹣2＝5或3a﹣2＝﹣5，得a＝或a＝﹣1此时C（a，a）在直线2x+y＝2的下方，即满足2a+a＜2，即a＜，此时a＝不满足条件．故a＝﹣1故选：B．7．（5分）某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【解答】解：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后分别从选择的年级中再选择一个学生，为，故有＝3×2×2＝12种．第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人（同第一类情况），这时共有＝3×2×2＝12种因此共有24种不同的乘车方式故选：B．8．（5分）函数f（x）＝sin x•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）＝sin（﹣x）•ln|﹣x|＝﹣sin x•ln|x|＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，故排除CD，当x∈（0，1）时，sin x＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，故排除B，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝n+2D．a n＝（n+2）3n【解答】解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n＝b1+（n﹣1）×1＝3+n﹣1＝n+2，所以，故选：B．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7B．7C．7D．8【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V＝V 正方体﹣﹣＝23﹣××12×2﹣××1×2×2＝7．故选：A．11．（5分）函数f（x）＝|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈[﹣1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[﹣，e]【解答】解：f（x）＝；∵x∈[0，1]；∴a≥﹣1时，f（x）＝，；∴a≤1时，f′（x）≥0；即﹣1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；即a的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos120°＝a2+b2+ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤＝，即的最大值为．故选：A．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，若＝λ+，且⊥，则实数λ的值为．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，∴•＝||•||cos120°＝2×＝﹣3，∵＝λ+，且⊥，∴•＝（λ+）•＝（λ+）•（）＝0，即﹣λ2+﹣•＝0，∴﹣3λ﹣4λ+9+3＝0，解得，故答案为：14．（5分）在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为5．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，∵＝＝81，∴v＝[（78﹣81）2+（80﹣81）2+（82﹣81）2+（84﹣81）2]＝＝5．故答案为：5．15．（5分）已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n （x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2＝C．（用n表示）【解答】解：∵x≠﹣1，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝＝，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，∴1﹣[1﹣（x+1）]n+1＝a0（1+x）+a1（1+x）2++…+，且n ≥2．∴﹣＝（1+x）3＝，∴a2＝．故答案为：C．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n＝4，5，…）则S2n＝8n2﹣3n．（n∈N+）【解答】解：由已知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3，得到a n﹣a n﹣1＝a n﹣2﹣a n﹣3，所以n为偶数时a n﹣a n﹣1＝a n﹣2﹣a n﹣3＝…＝a2﹣a1＝3，a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1＝+1＝4n﹣4，n为奇数时a n﹣a n﹣1＝a n﹣2﹣a n﹣3＝…＝a3﹣a2＝5，a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1＝+1＝4n﹣3，所以S2n＝＝8n2﹣3n故答案为：8n2﹣3n．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD＝﹣，sin∠CBA＝，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD＝＝＝．（Ⅱ）∵cos∠BAD＝﹣，∴sin∠BAD＝＝，∵cos∠CAD＝，∴sin∠CAD＝＝∴sin∠BAC＝sin（∠BAD﹣∠CAD）＝sin∠BAD cos∠CAD﹣cos∠BAD sin∠CAD ＝×+×＝，∴由正弦定理知＝，∴BC＝•sin∠BAC＝×＝318．（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40 单）的部分每单抽成4元，超出40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）＝＝．（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152，当a＝39时，X＝39×4＝156，当a＝40时，X＝40×4＝160，当a＝41时，X＝40×4+1×6＝166，当a＝42时，X＝40×4+2×6＝172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．（6分）故X的分布列为：（8分）∴E（X）＝＝162．（9分）（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1＝39.5．（10分）所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5＝149元．（11分）由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．（12分）19．（12分）如图甲，在平面四边形P ABC中，P A＝AC＝2，P A＝AC＝2，∠P ＝45°，∠B＝90°，∠PCB＝105°，现将四边形P ABC沿AC折起，使平面P AC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC…..…．（3分）又由图甲知BC⊥BA，P A∩BA＝A，∴BC⊥平面P AB，又AD⊂平面P AB，∴BC⊥AD．…..…．（6分）（Ⅱ）解：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系．则，，，，，若存在点E，设，（0≤λ≤1），则，…..…．（8分）设平面ADE的法向量为，则，即令z＝λ，则，故平面ABC的法向量＝（0，0，1），…..…（10分），，解得．∴存在点E，且点E为棱PC的中点．（12分）20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x＝﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x＝﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ＝∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．焦点为，∴b＝2…（1分）e＝＝，a2﹣b2＝c2，∴解得a2＝16，b2＝12∴椭圆C的标准方程．…（3分）（2）①直线x＝﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|＝6，…（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12＝0，由△＝m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，由韦达定理得x1+x2＝﹣m，，…（6分）由A，B两点位于直线x＝﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0解得﹣2＜m＜4，…（7分）∴S＝•|PQ|•|x1﹣x2|＝•|PQ|•＝3，∴当m＝0时，S最大值为．…（8分）②当∠APQ＝∠BPQ时直线P A，PB斜率之和为0．设P A斜率为k，则PB斜率为﹣k．当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，P A的直线方程为y﹣3＝k（x+2）…（9分）与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48＝0∴；同理∴…（10分）y1﹣y2＝k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]直线AB斜率为…（11分）当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．由f'（x）＝0，得x＝1﹣a＞﹣a．∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x＝1﹣a处取得最大值．由题意知f（1﹣a）＝﹣1+a＝0，解得a＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝ln（x+1）﹣x，当k≥0时，取x＝1得，f（1）＝ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）＝f（x）﹣kx2＝ln（x+1）﹣x﹣kx2．则．令g'（x）＝0，得x1＝0，．①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若，即时，对于，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减．于是，当取时，g（x0）＜g（0）＝0，即f（x0）≥不成立．故不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）＝f（x）+x＝ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0．即，得证．故原不等式恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB＝11，EF＝6，FD＝4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO＝P A⋅PB．【解答】（Ⅰ）解：由相交弦定理，得F A•FB＝FE•FD，（1分）即（11﹣FB）•FB＝6×4，（2分）解得BF＝3或BF＝8，（3分）因为AF＞BF，所以BF＝3．（4分）（Ⅱ）证明：连接OC，OE．因为弧AE等于弧AC，所以，（5分）所以∠POC＝∠PDF，（6分）又∠P＝∠P，所以△POC∽△PDF，（7分）所以，即PO•PF＝PC•PD，（8分）又因为P A•PB＝PC•PD，（9分）所以PF•PO＝P A•PB．（（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝可得：，【解答】解：解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R＝1．∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+＝＝+＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x ﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）＝3，∴m+n+p＝f（2）＝3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。

2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，则μ的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．4．已知双曲线C1：﹣=1（m＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10 B．20 C．10D．405．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．6．变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y的最大值为2时，则a=（）A．B．﹣1 C．或﹣1 D．07．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种8．函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．9．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7 B．7 C．7 D．811．函数f（x）=|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1] B．a∈[﹣1，0] C．a∈[0，1] D．a∈[﹣，e]12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为．15．已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2= ．（用n表示）16．已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n=4，5，…）则S2n= ．（n∈N+）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB 的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO=PA⋅PB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】复数的基本概念．【分析】当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．【解答】解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数．当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．【考点】交集及其运算．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出B中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，则μ的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量符合正态分布，得到正态曲线关于x=μ对称，根据P（ξ＜0）+P （ξ＜1）=1，和P（ξ＞1）+P（ξ＜1）=1，得到小于零的概率与大于1的概率相等，得到这两个数字关于对称轴对称，得到结果，【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），正态曲线关于x=μ对称，∵P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，又P（ξ＞1）+P（ξ＜1）=1，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞1）∴0和1关于对称轴对称，∴μ=，故选D4．已知双曲线C1：﹣=1（m＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（）A．10 B．20 C．10D．40【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出两个双曲线的渐近线方程，根据渐近线方程相等求出m的值，然后求出对应的焦点坐标进行求解就．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（m＞0）的渐近线为y=±，双曲线C2：﹣=1的渐近线为y=±2x，∵两个双曲线有相同的渐近线，∴=2，即=4，得m=1，则双曲线C1：﹣x2=1，则对应的焦点坐标为E（0，），F（0，﹣），双曲线C2：﹣=1的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0），则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S△GHE=2×=20，故选：B5．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线对称；③函数在上是增函数的函数可以是（）A．B．C．D．【考点】函数的周期性；函数单调性的性质．【分析】由题意设出函数的表达式，求出函数的周期，确定ω的值，利用对称性，结合在上是增函数确定选项即可．【解答】解：由选项可知函数的解析式设为y=sin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）；①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；周期为π，ω=2；排除A；②图象关于直线x=对称；所以B不正确，D、C正确；③函数在上是增函数所以D正确；f（x）=cos（2x+）是减函数，C不正确；故选：D．6．变量x，y满足不等式，其中a为常数，当2x+y的最大值为2时，则a=（）A．B．﹣1 C．或﹣1 D．0【考点】简单线性规划．【分析】化简不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域，则圆心C（a，a），设z=2x+y则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z与圆相切时，截距最大，此时z最大，为2，此时2x+y=2，由d=，得|3a﹣2|=5，则3a﹣2=5或3a﹣2=﹣5，得a=或a=﹣1此时C（a，a）在直线2x+y=2的下方，即满足2a+a＜2，即a＜，此时a=不满足条件．故a=﹣1故选：B7．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上；第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，再利用组合知识，即可得到结论．【解答】解：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后分别从选择的年级中再选择一个学生，为，故有=3×2×2=12种．第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人（同第一类情况），这时共有=3×2×2=12种因此共有24种不同的乘车方式故选B．8．函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和x∈（0，1）时，函数f（x）的图象的位置，利用排除法可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln|﹣x|=﹣sinx•ln|x|=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，故排除CD，当x∈（0，1）时，sinx＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，故排除B，故选：A9．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n【考点】数列递推式．【分析】由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．【解答】解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．7 B．7 C．7 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣=23﹣××12×2﹣××1×2×2=7．故选：A．11．函数f（x）=|e x+|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（）A．a∈[﹣1，1] B．a∈[﹣1，0] C．a∈[0，1] D．a∈[﹣，e]【考点】函数单调性的性质．【分析】为去绝对值，先将f（x）变成f（x）=，所以a≥﹣1时，可去掉绝对值，f（x）=，f′（x）=，所以﹣1≤a≤1时便有f′（x）≥0，即此时f （x）在[0，1]上单调递增，所以a的取值范围便是[﹣1，1]．【解答】解：f（x）=；∵x∈[0，1]；∴a≥﹣1时，f（x）=，；∴a≤1时，f′（x）≥0；即﹣1≤a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增；即a的取值范围是[﹣1，1]．故选A．12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，∴•=||•||cos120°=2×=﹣3，∵=λ+，且⊥，∴•=（λ+）•=（λ+）•（）=0，即﹣λ2+﹣•=0，∴﹣3λ﹣4λ+9+3=0，解得，故答案为：14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为 5 ．【考点】程序框图；茎叶图．【分析】算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，利用方差公式计算可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，∵==81，∴v= [（78﹣81）2+（80﹣81）2+（82﹣81）2+（84﹣81）2]= =5．故答案为：5．15．已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2= C．（用n表示）【考点】二项式定理的应用．【分析】x≠﹣1，利用等比数列的求和公式可得：1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n==，可得1﹣[1﹣（x+1）]n+1=a（1+x）+a1（1+x）2++…+，且n≥2．于是﹣=（1+x）3=，即可得出．【解答】解：∵x≠﹣1，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n==，1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）n x n=a+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a n（x+1）n，∴1﹣[1﹣（x+1）]n+1=a0（1+x）+a1（1+x）2++…+，且n≥2．∴﹣=（1+x）3=，∴a2=．故答案为：C．16．已知数列{a n}满足a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n=4，5，…）则S2n= 8n2﹣3n ．（n∈N+）【考点】数列的求和．【分析】由已知a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3，得到a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3，分别分n为奇数和偶数得到通项公式，进一步等差数列求和即可．【解答】解：由已知a1=1，a2=4，a3=9，a n=a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3，得到a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3，所以n为偶数时a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3=…=a2﹣a1=3，a n=a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1=+1=4n﹣4，n为奇数时a n﹣a n﹣1=a n﹣2﹣a n﹣3=…=a3﹣a2=5，a n=a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+…+a2﹣a1+a1=+1=4n﹣3，所以S2n==8n2﹣3n故答案为：8n2﹣3n．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=318．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出X的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×4=152，当a=39时，X=39×4=156，当a=40时，X=40×4=160，当a=41时，X=40×4+1×6=166，当a=42时，X=40×4+2×6=172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．故X的分布列为：X 152 156 160 166 172P∴E（X）==162．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB 的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面PAB即可证明BC⊥AD；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程解方程即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC…..…．又由图甲知BC⊥BA，PA∩BA=A，∴BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD．…..…．（Ⅱ）解：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系．则，，，，，若存在点E，设，（0≤λ≤1），则，…..…．设平面ADE的法向量为，则，即令z=λ，则，故平面ABC的法向量=（0，0，1），…..…，，解得．∴存在点E，且点E为棱PC的中点．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．②设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．分别设出PA的直线方程和PB的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB的斜率是为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．焦点为，∴b=2…e==，a2﹣b2=c2，∴解得a2=16，b2=12∴椭圆C的标准方程．…（2）①直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，…设A （x1，y1），B（ x2，y2），直线AB的方程为，与联立，得 x2+mx+m2﹣12=0，由△=m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣m，，…由A，B两点位于直线x=﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0解得﹣2＜m＜4，…∴S=•|PQ|•|x1﹣x2|=•|PQ|•=3，∴当m=0时，S最大值为．…②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）…与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0∴；同理∴…y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]直线AB斜率为…当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．…21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．【考点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过求导得到单调区间找到极值点代入即可，（Ⅱ）由k≥0时不合题意．当k＜0时令g'（x）=0通过讨论得出k的值，（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞﹣1，引进新函数找到其单调区间，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x=1﹣a处取得最大值．由题意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．则．令g'（x）=0，得x1=0，．①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若，即时，对于，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减．于是，当取时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．故不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）=0．即，得证．故原不等式恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧与弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；（Ⅱ）证明：PF⋅PO=PA⋅PB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OC，OE，由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，利用AF＞BF，求BF；（Ⅱ）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．【解答】（Ⅰ）解：由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，即（11﹣FB）•FB=6×4，解得BF=3或BF=8，因为AF＞BF，所以BF=3．（Ⅱ）证明：连接OC，OE．因为弧AE等于弧AC，所以，所以∠POC=∠PDF，又∠P=∠P，所以△POC∽△PDF，所以，即PO•PF=PC•PD，又因为PA•PB=PC•PD，所以PF•PO=PA•PB．（[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得即可得到曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D （，），可得，解得即可得到圆C2的极坐标方程．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，把A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入曲线C1即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R=1．∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+==+==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x ＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。