知识点26 等腰三角形与等边三角形2019

等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形与等边三角形的性质与判定课首沟通上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。

知识导图等腰三角形的槪念等腰三角形等髏三角也的性质制判定V等腰三角形的“三线合一”等边三角形的性质和判定含30度的直角三角形课首小测1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）A.9B.7C.12D.9 或12 2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（）A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角相等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.顶角相等的两个等腰三角形全等3、（2014白云区期末）在/△ABC中，/ A=42°/ B=96°，则它是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4、如图，MBC中，AB=AD=DC/ BAD=40，则 / C=.5、（2014天河区期末）如图，在AABC中，/B=30°, ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3则CE的长为。

知识梳理一、等腰三角形1.定义的叫做等腰三角形•相等的两条边叫做，另一条边叫做。

两腰所夹的角叫做，腰与底边的夹角叫做。

2•性质性质1等腰三角形的两个底角。

（简写成“”, 性质2:等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3:等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。

3•判定（1）有两条边的三角形是等腰三角形。

（2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“）”二、等边三角形1.定义都相等的三角形是等边三角形.2•性质性质1:等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于；性质2:等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3•判定（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是600的是等边三角形。

、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.导学一：等腰三角形的性质知识点讲解1：等边对等角例题1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°,则它的顶角是____________ 度.2、（2014 四川南充）如图，在△ABC中, AB= AC,且D 为BC上一点，CD= AC, AB= BD,则/ B的度数为（）AB D CA. 30° B . 36°C. 40° D . 45°3、如图，在等腰三角形ABC中, AB=AC BD=CEBE=CF(1)求证：AEBD^A PCE(2)若/ A=40°,求/ DEF的度数我爱展示1、（2012甘肃白银中考）如图，在/△ABC 中， AC=BC , AABC 的外角/ACE=10C °，贝V/ A= _____________ 度.上—\—£2、（2013白云区华附新世界期中）等腰三角形 一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的 度数为（）・B. 120C.60。

等腰三角形和等边三角形的性质等腰三角形和等边三角形是基础的几何形状，它们有着特殊的性质和特点。

在本文中，我们将一起探讨等腰三角形和等边三角形的性质，并分析它们在几何学中的重要性。

一、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

以下是等腰三角形的主要性质：1. 两底角相等：等腰三角形的底边是两边相等的边，因此，其对应的底角相等。

即∠A = ∠C，其中A、C为等腰三角形的两个底角。

2. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角恰好平分了底角。

也就是说，等腰三角形的顶角∠B恰好等于底角∠A和∠C的一半。

3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是连接顶点与底边垂直的线段。

在等腰三角形ABC中，高线BD垂直于底边AC，并且BD是AC的中线（即BD=DC）。

4. 等腰三角形的中线：等腰三角形中线是分别连接底边中点与顶点的线段。

在等腰三角形ABC中，中线BE与底边AC相等（即BE=EC）。

二、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。

以下是等边三角形的主要性质：1. 三个内角相等：等边三角形的三个内角都相等，即∠A = ∠B =∠C = 60°。

2. 三条高线重合：等边三角形的三条高线分别由顶点向底边上的三个顶点所引。

这三条高线相交于同一个点，也就是等边三角形的垂心。

3. 等边三角形的中线：等边三角形的中线是分别连接底边中点与顶点的线段，也就是等边三角形的高线。

由于等边三角形的三边相等，中线也为等边三角形三边的中线。

三、等腰三角形和等边三角形的重要性等腰三角形和等边三角形在几何学中具有重要的应用和特点。

以下是它们的一些重要性：1. 判定等腰三角形：利用等腰三角形的性质，我们可以通过两条边的长度相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。

2. 判定等边三角形：等边三角形的三条边相等，因此，我们可以通过三条边的长度相等来判定一个三角形是否为等边三角形。

3. 等腰三角形的应用：等腰三角形的性质常常应用在各类数学问题中，如三角函数、三角恒等式、三角面积等计算中。

等腰三角形与等边三角形的特征与相关计算问题的解决一、等腰三角形的特征1.等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。

2.等腰三角形的性质：a.底角相等：等腰三角形的两个底角相等。

b.高线、中线、角平分线重合：等腰三角形的底边上的高线、中线、角平分线三条线段相交于一点，并且这一点是三角形的垂心、中点和角平分线的交点。

c.底边上的中线垂直平分底边：等腰三角形的底边上的中线垂直于底边，并且平分底边。

d.顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三条线段互相重合。

二、等边三角形的特征1.等边三角形的定义：等边三角形是指三边都相等的三角形。

2.等边三角形的性质：a.三个角都相等：等边三角形的三个角都相等，每个角都是60度。

b.三条高线、中线、角平分线重合：等边三角形的每条高线、中线、角平分线三条线段都相交于一点，并且这一点是三角形的垂心、中点和角平分线的交点。

c.每条中线垂直平分对应边：等边三角形的每条中线垂直于对应边，并且平分对应边。

d.每条高线、中线、角平分线互相重合：等边三角形的每条高线、中线、角平分线三条线段互相重合。

三、等腰三角形与等边三角形的计算问题解决1.计算等腰三角形的面积：a.已知底边和高：等腰三角形的面积 = (底边 × 高) / 2。

b.已知底边和底角：等腰三角形的面积 = (底边 × 高) / 2，其中高可以通过底角和顶角的关系求得。

2.计算等边三角形的面积：a.已知边长：等边三角形的面积 = (边长 × 高) / 2，其中高可以通过正三角形的性质求得。

b.已知边长和角度：等边三角形的面积 = (边长 × 高) / 2，其中高可以通过边长和角度的关系求得。

四、等腰三角形与等边三角形的判定1.判定一个三角形是否为等腰三角形：a.如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。

b.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

一、选择题1. （2019宁夏，5，3分） 如图，在△ABC 中，AC BC =，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD AE =．连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若40C ∠=︒，则GAD ∠的度数为（ ）． A ．40︒ B ．45︒ C ．55︒ D ．70︒【答案】C【解析】因为AC BC =，所以(180)270BAC C ∠=︒-∠÷=︒，因为(180)270BAC C ∠=︒-∠÷=︒，所以(180)255ADC BAD ∠=︒-∠÷=︒，因为//GH DE ，所以55GAD ADC ∠=∠=︒，故本题正确选项为C ．【知识点】平行线的性质、等腰三角形的性质． 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （2019贵州省毕节市，题号17，分值5分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．【答案】34°．【解析】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°.【知识点】等腰三角形的性质．2.（2019贵州黔西南州，13，3分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．【答案】34°【解析】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°故答案为：34°．【知识点】等腰三角形的性质3. (2019黑龙江绥化,17题,5分)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝______度.第17题图【答案】16【解析】∵BD＝AD,设∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°.【知识点】三角形内角和,外角,等边对等角4.（2019黑龙江哈尔滨，20，8分）如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD、CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为_______________．【答案】【解析】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC∴BC【知识点】等边三角形的性质和判定; 勾股定理5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.（2019黑龙江哈尔滨，22，7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；(1)在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC,点B在小正方形顶点上；(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD,点D在小正方形的顶点上,且△ACD的面积为8。

基础一般学生知识点一、等腰三角形1、等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 3、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形与等边三角形
等腰三角形和等边三角形是几何学中常见的两种三角形类型。

它们在边长和角度方面有一些特点和区别。

等腰三角形
等腰三角形是指两边长度相等或两边的夹角相等的三角形。

等腰三角形的特点如下：
1. 两条边的长度相等。

2. 两个底角（与较长边相对的两个角）相等。

3. 顶角（与两条边相交的角）为一个锐角或直角。

等腰三角形的性质使得它在很多几何问题中都有广泛的应用。

例如，在计算三角形的面积时，等腰三角形的性质可以简化计算过程。

等边三角形
等边三角形是指三条边长度均相等的三角形。

等边三角形的特点如下：
1. 三条边的长度均相等。

2. 三个内角均为60度。

等边三角形也是一种特殊的等腰三角形，因为它的两个底角均是60度，所以也满足等腰三角形的定义。

等边三角形在几何学中有很多重要的性质和应用。

它的对称性使得等边三角形在建筑和工程领域中常被使用，例如构建稳定的结构。

总结：
等腰三角形是两边相等或两个底角相等的三角形，可以有一个锐角或直角的顶角。

等边三角形是三边均相等的三角形，具有三个60度的内角。

以上是等腰三角形和等边三角形的基本介绍和特点。

等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结等腰三角形和等边三角形是我们在初中数学学习中经常遇到的两种特殊三角形。

它们具有一些独特的性质，这些性质对于我们理解三角形的性质和解题都有很大的帮助。

下面将对等腰三角形和等边三角形的性质进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和应用这些知识点。

一、等腰三角形的性质1. 定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

2. 底角和顶角：等腰三角形的两个底角（底边两侧的角）是相等的，称为底角；顶角是等腰三角形的顶点所对的角，也是两个底角。

3. 对称性质：等腰三角形具有对称性，即等腰三角形可以通过一条对称轴分成两个对称部分。

4. 高度：等腰三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直，并且把底边分为两个相等的线段。

5. 角平分线：等腰三角形的顶角所在的角平分线同时也是底边的中线和高线。

6. 等腰定理：等腰三角形的两个底角相等。

7. 等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高度和底边的长度来计算，公式为：面积 = 底边长度 ×高度 ÷ 2。

8. 等腰三角形的判定：当我们知道一个三角形的两边相等时，可以判断它是否为等腰三角形。

二、等边三角形的性质1. 定义：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

2. 角度：等边三角形的三个角都是60度。

3. 高度：等边三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直。

4. 三角形内角和：等边三角形的三个角的和为180度，因为每个角都是60度，所以三角形的三个角相加为180度。

5. 等边定理：如果一个三角形的三边相等，则它是等边三角形。

6. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过边长来计算，公式为：面积 = 边长的平方× √3 ÷ 4。

7. 等边三角形的判定：当我们知道一个三角形的三边相等时，可以判断它是否为等边三角形。

三、等腰三角形与等边三角形的关系1. 等腰三角形也可以是等边三角形：当等腰三角形的两个底角为60度时，它就是等边三角形。

第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求21P COBAPCO BADABC abccD。

等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形和等腰三角形是最基本的三角形之一，它们之间存在一定的关系。

它们都有与众不同的特点，也有一些共同点，同时，它们也在几何学中起着相当重要的作用。

一、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形，也可以看做是等腰三角形的一种特殊情况，其中每个角度都为 60 度。

它们是六边形的内角之和，因此可以作为六边形的六个相等边之一。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形，即两边相等的三角形。

它们具有一个有趣的特征，即它们的两边所对的角度相等。

这是因为等腰三角形的两个底角一定相等。

三、等边三角形和等腰三角形的关系1.双底角等于对顶角对于等边三角形 ABC，它的三个角度都相等，每个角度都是 60 度。

而在等腰三角形 DEF 中，它的两个底角（也就是顶点处的角度）相等，每个角度为 x 度。

如果我们能够再从等边三角形中找到最长的一边 BC，那么就可以轻松地看出两个三角形之间的关系。

事实上，根据三角形底角定理，底角的大小等于两个不等于底角的角之和的一半。

如果我们应用这个定理，可以发现x = (180 - 60) / 2 = 60等于等边三角形中的每个角度。

这个公式对于所有的等边三角形和等腰三角形都是成立的。

2.共同的内角和为 180 度由于等边三角形有三个相等的内角，为60 度，而等腰三角形只有两个相等的内角，这允许它们与其他三角形组成一组总和为 180 度的三角形。

如果我们发现其中一个三角形是等边三角形，那么我们可以立即得出，在该组中另一个三角形一定是等腰三角形。

显然，它的两个底角必须相等，每个角的大小都是 (180 - 60) / 2 = 60 度。

3. 互为特例由于等腰三角形可以被认为是等边三角形的一种特殊情况，因为它们共享许多相同的特征。

它们都有对称性和对称轴，外角和内角之和相等，以及三个顶点都在同一圆周上。

总的来说，等边三角形和等腰三角形是几何学中最基本和最常见的三角形之一，了解它们之间的关系、特征和应用场景，有助于我们更好地理解三角形和其他复杂的几何模型。

等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。

1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。

1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。

1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。

1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。

二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。

2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。

2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。

2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。

2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。

2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。

2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。

2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。

2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。

总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。

通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。

习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。

解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。

如果两边相等，则为等腰三角形。

2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。

解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。

因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。

面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。

等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形是几何学中重要的概念，它们在形状和性质上有一定的相似之处，同时也有一些显著的不同之处。

本文将深入探讨等腰三角形与等边三角形的特点，并对它们的应用进行简要介绍。

一、等腰三角形的定义与性质等腰三角形指的是具有两条边相等的三角形。

具体而言，当一个三角形的两条边长度相等时，这个三角形就是等腰三角形。

等腰三角形的顶角称为顶角，而两条相等的边称为腰。

等腰三角形的性质如下：1. 两条腰的边长相等；2. 两条腰的夹角等于顶角；3. 等腰三角形的底角（非顶角）相等；4. 等腰三角形的高线（从顶角到底边的垂直线段）是边长相等的腰的中线、角平分线和高线。

二、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。

换言之，当一个三角形的所有边长相等时，这个三角形就是等边三角形。

等边三角形的性质如下：1. 三条边的边长相等；2. 所有角均为60度；3. 等边三角形的高线、中线、角平分线重合。

三、等腰三角形与等边三角形的区别与联系等腰三角形与等边三角形在性质上存在一定的相似性，但也有一些明显的区别。

首先，等腰三角形和等边三角形的定义不同。

等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，而等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。

其次，等腰三角形和等边三角形的性质也有所不同。

如前所述，等腰三角形的特点是两条腰边相等，而等边三角形的特点是所有边的边长相等。

然而，等腰三角形和等边三角形也存在联系。

事实上，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为等边三角形的两条腰边和底边都相等。

此外，等边三角形的顶角也等于底角，即等边三角形的所有角均为60度，与等腰三角形的底角性质吻合。

四、等腰三角形与等边三角形的应用等腰三角形和等边三角形在几何学中有各自的应用。

等腰三角形常用于解题中的条件定理证明，其性质可用于证明一些关于三角形的问题，如角平分线定理、垂直平分线定理等。

等边三角形常用于构造几何图形，如正六边形、正十二边形等。

等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形是初中数学中的两个重要概念。

它们具有不同的性质和特点，而且在几何中有着广泛的应用。

本文将从定义、性质、特点和应用等方面进行探讨。

一、等腰三角形的定义与性质：等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

具体而言，对于一个三角形来说，如果它的两个边的边长相等，那么它就是一个等腰三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得到等腰三角形的一个重要性质：等腰三角形的两个底角相等。

这是因为基于等腰三角形的两个边相等，利用三角形内角和定理可以得到这一结论。

这个性质在解决一些几何问题时很有用。

二、等边三角形的定义与性质：等边三角形是指三条边的边长都相等的三角形。

换句话说，对于一个三角形来说，如果它的三个边的边长都相等，那么它就是一个等边三角形。

等边三角形除了所有边长相等外，还具有其他重要性质。

首先，等边三角形的每个内角都是60度。

这是因为利用三角形内角和定理，我们可以得到三个内角之和等于180度，再考虑到三个内角相等，所以每个内角都是60度。

另外，等边三角形的高、中线和角平分线也有特殊性质。

等边三角形的高是边长的根号3除以2，中线和角平分线重合且等于边长的三分之根号3。

三、等腰三角形与等边三角形的区别与联系：等腰三角形和等边三角形在定义和性质上有所区别，但也存在联系。

具体来说，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形是指两边相等，而等边三角形则是三边都相等。

可以说等腰三角形是等边三角形的一种特殊情况，即等边三角形必然也是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。

因此，等边三角形的性质比等腰三角形更加特殊和严格。

四、等腰三角形与等边三角形的应用：等腰三角形和等边三角形在几何中具有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，等边三角形常用于绘制等边墙体或正六边形的底面。

在工程中，等腰三角形可以用于制作圆形锥体的模板，通过适当的折叠和连接，可以得到圆锥形的外形。

此外，在解决一些几何问题时，利用等腰三角形和等边三角形的性质可以简化问题的求解过程。

等边三角形与等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。

它们具有独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用都具有重要意义。

本文将从定义、性质、示例等方面探讨等边三角形与等腰三角形的关系和区别。

一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。

根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边相等：在等边三角形中，三条边的长度相等，即AB = BC = CA。

2. 三个内角相等：由于等边三角形的三边相等，按照三角形内角和定理可知，等边三角形的三个内角相等，均为60度。

3. 三个外角相等：等边三角形的三个外角相等，均为120度。

4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为对称轴，可以得到完全相同的图形。

二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形。

我们可以从以下角度了解等腰三角形的定义和性质：1. 两边相等：在等腰三角形中，两个边的长度相等，即AB = AC。

2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边所对的角）相等，可表示为∠B = ∠C。

3. 对称轴：等腰三角形中线对称轴是指通过顶点和底边的中点构成的直线。

等腰三角形具有一条中线对称轴。

4. 高度：等腰三角形的高边是底边的中线，高度刚好将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

三、等边三角形和等腰三角形的关系与区别1. 关系：等边三角形是等腰三角形中的一种特殊情况，即所有等边三角形也是等腰三角形，但不是所有等腰三角形都是等边三角形。

2. 区别：等边三角形的三边边长均相等，而等腰三角形只有两边边长相等；等边三角形的三个内角均相等为60度，而等腰三角形两个底角相等；等边三角形具有三个外角均相等为120度，而等腰三角形没有特定的外角性质。

四、示例1. 等边三角形示例：图1展示了一个等边三角形ABC，其中AB = BC = CA。

[图片]2. 等腰三角形示例：图2展示了一个等腰三角形DEF，其中DE = DF，且∠D = ∠E。

等腰三角形与等边三角形的性质等腰三角形与等边三角形是初中数学中常见的几何形状，它们在性质上有着一些相似和不同之处。

等腰三角形指的是具有两条边相等的三角形，而等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

本文将详细介绍等腰三角形与等边三角形的性质。

一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两条底边相等，所以由三角形内角和定理可知，剩余两个角的和也相等，即底角相等。

换言之，等腰三角形的两个底角是相等的。

2. 等腰三角形的两边角相等：等腰三角形的两个底角相等，根据等腰三角形两边夹角相等的性质，可知等腰三角形的两个底边所夹的角也相等。

3. 等腰三角形的高线性质：等腰三角形的高线分别是底边的中线、角平分线和垂直平分线，这是等腰三角形的重要性质之一。

高线上的点分别是底边的中点、角平分线的交点和底边上的垂直平分线的交点。

二、等边三角形的性质1. 等边三角形的内角都是60度：等边三角形的三条边长度相等，根据三角形内角和定理可知，三个角的和为180度，将三个角都设为x 度，所以3x=180°，解得x=60°。

因此，等边三角形的内角都是60度。

2. 等边三角形的高线、中线、角平分线重合：等边三角形的高线、中线、角平分线都是重合的，这是等边三角形的重要性质之一。

它们的重合点是三角形的内心，即三角形内切圆的圆心。

3. 等边三角形的外接圆：等边三角形的外接圆是过三个顶点的圆，在等边三角形中，外接圆的半径等于三角形边长的一半。

三、等腰三角形与等边三角形的比较1. 边长关系：等腰三角形的两个边长相等，而等边三角形的三个边长都相等。

2. 角度关系：等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的三个角都是60度，也可以说等边三角形的三个角都相等。

3. 重合性质：等腰三角形的高线、中线和角平分线都不重合，而等边三角形的高线、中线和角平分线都重合。

4. 外接圆：等腰三角形没有特定的外接圆，而等边三角形具有特殊的外接圆。

等腰三角形与等边三角形在几何学中，三角形是最基本的几何图形之一。

根据边长和角度的关系，三角形可以分为不同类型，本文将重点讨论等腰三角形和等边三角形。

一、等腰三角形等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

它有以下几个重要特点：1. 两边相等等腰三角形的两条边长度相等，记作AB = AC。

这使得等腰三角形具有一条对称轴，即从顶点到底边的中点绘制的线段为对称轴。

2. 两角相等等腰三角形的两个底角（即顶点两侧的角）大小相等，记作∠B =∠C。

这是由于等边三角形两边相等所决定的。

3. 一角为直角如果等腰三角形的两个底角都等于直角，则等腰三角形会退化为等腰直角三角形。

否则，通过绘制对称轴可以发现，另外两个角的大小也相等。

等腰三角形具有一些重要的应用，例如在建筑设计中，等腰三角形常用于梯形梯级的设计，以保证每个梯级的跨度相等，提供更好的舒适度和安全性。

二、等边三角形等边三角形是指具有三个边相等的三角形。

它具有以下特点：1. 三边相等等边三角形的三条边长度相等，记作AB = BC = AC。

这使得等边三角形具有绝对的对称性，任何一条边都可以作为三角形的底边。

2. 三角度相等等边三角形的三个内角大小均为60度，记作∠A = ∠B = ∠C = 60°。

通过绘制等边三角形的高，可以得到底角的大小。

3. 具有最大的对称性由于等边三角形的所有边和角都相等，因此它具有最大的对称性。

在几何图形中，等边三角形的对称性常常用于设计对称的花纹和图案。

等边三角形也具有广泛的应用，例如在建筑设计中，等边三角形常被用作建筑物的外立面设计，以创造出简洁、稳定和美观的效果。

总结：等腰三角形和等边三角形是两种常见的三角形类型。

等腰三角形具有两边相等的特点，而等边三角形具有三边相等的特点。

它们在几何学和实际应用中都有着重要的地位。

通过研究和了解不同类型的三角形，我们可以更好地理解几何学知识，并在实践中运用它们。

等腰三角形和等边三角形的研究不仅帮助我们更好地理解几何学原理，还有助于培养我们的空间思维能力和解决问题的能力。

等腰三角形和等边三角形一、等腰三角形的定义和性质1.1 等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。

1.2 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两腰相等。

(2)等腰三角形的底角相等。

(3)等腰三角形的底边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。

(4)等腰三角形的底角小于或等于顶角。

二、等边三角形的定义和性质2.1 等边三角形的定义：等边三角形是指三边都相等的三角形。

2.2 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边相等。

(2)等边三角形的三角相等，都是60度。

(3)等边三角形的各边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。

(4)等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)，其中a为边长。

3.1 等腰三角形的判定：(1)如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。

(2)如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

3.2 等边三角形的判定：(1)如果一个三角形三边都相等，那么这个三角形是等边三角形。

(2)如果一个三角形的三角都相等，都是60度，那么这个三角形是等边三角形。

四、等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用4.1 等腰三角形的应用：(1)建筑物的设计中，等腰三角形的结构稳定性较好，常用于设计桥梁、塔架等。

(2)几何画板或者绘图工具中，等腰三角形可以用来制作对称图案。

4.2 等边三角形的应用：(1)装饰品设计中，等边三角形的对称性美观，常用于设计各种图案。

(2)几何学中，等边三角形是研究三角形性质的基本模型。

五、等腰三角形和等边三角形的相关定理5.1 等腰三角形的定理：(1)角平分线定理：等腰三角形的角平分线、中线和底边垂直平分线是同一条线。

(2)面积定理：等腰三角形的面积等于底边乘以高线除以2。

5.2 等边三角形的定理：(1)面积定理：等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)。

(2)内切圆定理：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3除以6。

六、等腰三角形和等边三角形的相关问题6.1 等腰三角形的问题：(1)已知等腰三角形的一边长和一角大小，求其它两边的长度和角度大小。

第13章 轴对称 第六讲 等腰三角形与等边三角形 【知识要点一】1. 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）（2）等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）（3）应用格式：（1）∵ ΔABC 中，AB ＝AC ，CAD BAD ∠=∠∴ AD ⊥______，BD= （2）∵ ΔABC 中，AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴ CAD BAD ∠=∠，AD ⊥______．（ ） （3）∵ ΔABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴ CAD BAD ∠=∠， BD ＝______．（ ）3. 等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形， 所在的直线就是它的对称轴。

题型一：等腰三角形的两个底角相等【例1】. 如图，在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AC ，求ABC ∆各内角的度数.1．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____． 2. 已知一个等腰三角形的顶角为030，则它的一个底角等于 3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____．4. 已知等腰三角形两个内角的度数之比为1:4，求这个等腰三角形顶角的度数。

5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．6．△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AC 上一点，且AD ＝BD ＝BC ，则∠A 等于 （ ）A ．45°B ．36°C ．90°D ．135° 7. 如图，在ABC ∆中，AB=AD=DC ，026=∠BAD ，求B ∠和C ∠的度数。