2018-2019数学新学案同步必修二人教B版(鲁京辽)讲义：第一章 立体几何初步滚动训练一 Word版含答案
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滚动训练一(1.2.1～1.2.2)一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．不能确定考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 B解析设α∩β＝l，a∥α，a∥β，则过直线a作与平面α，β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行考点空间直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系的判定答案 C解析由图可知直线c至少与a，b中的一条直线相交．3．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 方法一 由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．方法二 如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．正方形 D ．空间四边形考点 平行公理题点 判断、证明线线平行 答案 C解析 由题意得EH ∥BD 且EH ＝12BD ，FG ∥BD 且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG 且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，又EF ＝12AC ，AC ＝BD ，∴EF ＝EH ，∴四边形EFGH 为菱形．又∵AC 与BD 所成角的大小为90°，∴EF⊥EH，即四边形EFGH为正方形．5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析A中，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；B中，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C中，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D中，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.6．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 B解析若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.7．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．8．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在P A上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为()A ．1 B.32 C ．3D ．2考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 答案 C解析 设AO 交BE 于点G ，连接FG . ∵O ，E 分别是BD ，AD 的中点， ∴AG AO ＝23，AG AC ＝13. ∵PC ∥平面BEF ，平面P AC ∩平面BEF ＝GF ，PC ⊂平面P AC ， ∴GF ∥PC ， ∴AF AP ＝AG AC ＝13， 则AP ＝3AF ， ∴λ＝3. 二、填空题9．已知l ，m ，n 是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中所有真命题的序号为________． 考点 线、面关系的综合问题 题点 线、面关系的其他综合问题 答案 ③解析 ①中α可能与β相交；②中直线l 与m 可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m ∥n .10．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝______.考点 空间中直线与平面之间的位置关系 题点 空间中直线与平面之间的位置关系的应用 答案 8解析 直线CE 在下底面内，且与上底面平行，与其他四个平面相交，直线EF 与左、右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m ＝4，n ＝4，故m ＋n ＝8.11．已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案245或24 解析 如图①所示，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . ∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴P A AC ＝PB BD， 即69＝8－BD BD ， ∴BD ＝245.如图②所示，同理可证AB ∥CD ，∴P A PC ＝PB PD， 即63＝BD －88， ∴BD ＝24.综上所述，BD 的长为245或24.12．在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，若存在实数λ，使得CQ ＝λCC 1时，平面D 1BQ ∥平面P AO ，则λ＝________. 答案 12解析 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .理由如下：当Q 为CC 1的中点时，∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A . ∵P ，O 为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ， D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO . 三、解答题13．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积． 考点 平面与平面平行的判定 题点 平面与平面平行的证明(1)证明 由题意知，BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1，又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ，又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．∵四边形ABCD 为正方形，且AB ＝2，∴AC ＝2， ∴AO ＝12AC ＝1，又AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111ABD A B D V 三棱柱－＝S △ABD ·A 1O ＝1.四、探究与拓展14．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB ＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论错误的是()A．对于任意的点Q，都有AP∥QRB．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案 C解析∵AB∥CD，AA1∥DD1，AB∩AA1＝A，CD∩DD1＝D，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1.又∵平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面CDD1C1＝QR，∴AP∥QR.故A正确；∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行．由AP∥QR可知，AP≠QR，即四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确；延长CD至M，使得DM＝CD，则四边形ABCM是矩形，∴BC∥AM.当R，Q，M三点共线时，AM⊂平面APQR，∴BC∥平面APQR，故D正确；易得C不正确．15．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D?考点平行的综合应用题点平行中的探索性问题解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG，所以四边形MEFG是平行四边形．因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点．所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
