巧添运算符号

第四讲巧填运算符号专题引导：运用我们所学过的四则计算的有关知识，对题目进行认真分析、思考，找出填写运算符号的方法，正确、合理进行填写，必要时还要进行大胆的尝试。

典型例题：例1：在下面4个3中间添上+、-、×、÷、( )，写出三个不同的算式，使得数都等于1。

3 3 3 3 = 1 3 3 3 3 = 13 3 3 3 = 1解析：我们可以这样思考，如果第一个“3”后面填上“-”，3-2=1，也就是后面三个3填上适当的运算符号等于2就可以了；如果第一个“3”后面填上“×”，那么3×3=9，9÷9=1，即后面两个3相乘得9就行了；如果第一个“3”后面填“÷”，那么3÷3=1，1-0=1，即后面两个3相减加就行了。

3 – ( 3 + 3 ) ÷3 = 1 3 ×3 ÷( 3 ×3 ) = 1 3 ÷3 + ( 3 – 3 ) = 1模仿训练：添上+、-、×、÷使等式成立。

1 1 1 = 12 2 2 = 21 1 1 = 12 2 2 = 21 1 1 = 12 2 2 = 21 1 1 = 12 2 2 = 2例2：在6、5、10、2，四个数之添上+、-、×、÷、( )，使它们的结果等于24(每个数只能用一次)解析：用这四个数列出的算式的结果等于24，可以以结果等于24的一些算式中去考虑，这样算式很多。

如2×12=24，6×4=24；30-6=24，120÷5=24等等。

但是我们可以使用的数是6、5、10、2和一些运算符号，这就需要我们分析、试验。

根据2×12=24，可以组成的算式有：2 ×( 10 ×6 ÷5) = 24 (10 ÷5 )×( 2 ×6 ) = 242 ×( 10 ÷5 ×6) = 24 (10 ÷5 )×( 6 ×2 ) = 24根据4×6=24，可以组成的算式有：10 ÷5 ×2 ×6 = 24 10 ×2 ÷5 ×6 = 24根据30-6=24，可以组成的算式有：10 ×( 5 – 2 ) ÷6 = 24根据120÷5=24，可以组成的算式有：10 ×2 ×6 ÷5 = 24例3：在下面各数中间添上+、-、×、÷、( )，使等式成立。

巧填运算符号___月 日 姓 名:___________【知识要点】1．我们通常所做的计算题，是给定运算数字、运算符号和括号，只需要去求出运算结果。

而巧填运算符号、括号和数字谜是运算的一种逆向问题。

无论哪一种，都是以四则运算的定义、法则、运算顺序、运算性质等为基础的。

2．逆推和凑数相结合是巧填运算符号的主要思考方法。

3. 认真审题，把握题目的特点，选择适当的方法是巧填运算符号、快速找准突破点的重要合格证。

【典型例题】例1. 在下列各式中填入符号＋，－，×，÷，（ ），[ ]，{}；使得等式成立：（1）1 2 3 ＝1；（2）1 2 3 4 ＝1；（3）1 2 3 4 5 ＝1；（4）1 2 3 4 5 6 7＝1；例2 在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立。

1□2□3□4□5□6□7□8□9=1例3 在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立。

12□34□5□6□7□8=1990例4 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立例5 在下面算式合适的地方填上（ ），使算式成立。

（1）（2）（3）（4）【课堂练习】1.按要求完成下面的题目。

（1）在4个5之间，添上“＋”、“－”，使下面的算式成立。

5 5 5 5=0（2）在4个3之间，添上“＋”、“－”，使下面的算式成立。

3 3 3 3=0（3）在6个8之间，添上“＋”、“－”，使下面的算式成立。

8 8 8 8 8 8=02. 你能在下面各数中添上适当的运算符号，使算式成立吗？4 1 2 5=103 1 2 5=108 8 8 8=08 8 8 8=18 8 8 8=23. 在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。

5 5 5 5 5=55 5 5 5 5=105 5 5 5 5=205 5 5 5 5=304. 在下面的数字之间只添上“+”号，使等式成立，位置相邻的两个数字可以组成一个数。

巧填算符巧填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

在填算符的问题中，所填的算符包括:＋”“－”“×”“÷”“＝”“＞”“＜”“（）”“[ ]”“｛｝” 巧填算符常用的方法有：1．凑数法：先选出一个与结果比较接近的数，然后再对剩下的数进行适当的增加或减少，使算式成立。

我们把这种方法称为凑数法。

2．逆推法：是从算式中的最后一个数开始，由后往前，逐步求解，我们把这种方法称为逆推法。

逆推法思路比较固定，但是分析起来头绪繁多，因此适合于数比较少、结果比较小的添运算符号问题。

注：添运算符号问题的解都比较多，并不唯一。

如果没有特殊的要求，只要添出一种答案就可以了。

例1在5＋3×9－4＋8÷2＝66这个算式中添上两个小括号，使算式成立。

例2在下面算式的适当地方，添上运算符号＋，－，×，÷和( )，使等式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＝1000例3在八个8之间的适当地方，添上＋，－，×，÷运算符号，使算式成立。

8 8 8 8 8 8 8 8 ＝1000例4(第二届迎春杯决赛)试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号：＋、－、×、÷，使运算结果等于1986。

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ＝1986例5在□中填上“＋”、“－”、“×”、“÷”、“( )”使算式成立。

⑴5□5□5□5□5＝1⑵5□5□5□5□5＝2⑶5□5□5□5□5＝3⑷5□5□5□5□5＝4同学们一定都玩过扑克牌，但你会用扑克牌玩一种叫“24点”的游戏吗？其实就是－种添运算符号的游戏。

游戏规则是拿出四张牌，根据四张牌上的点数，运用加、减、乘、除四种运算中的任意几种进行计算，每张牌的点数都必须用：并且只能用一次，使最后的结果等于24。

三年级数学提升班学生姓名：第九讲：巧填运算符号知识是从刻苦劳动中得来的，任何成就都是刻苦劳动的结晶。

——宋庆龄知识纵横根据题目给定的条件和要求，填运算符号或括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏，这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。

填运算符号问题，通常采用尝试探索法，主要尝试方法有两种：１.如果题目的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想那些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子。

２.如果题目中的数字比较多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。

通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。

例题求解【例１】在下面４个４之间填上＋、－、×、÷或括号，使等式成立４４４４＝８【例２】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。

１２３４５＝１０【例３】拿出都是８的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立，你能试一试吗？８８８８＝０８８８８＝１８８８８＝２８８８８＝３【例４】在下面算式合适的地方添上＋、－、×，使等式成立。

１２３４５６７８＝１【例５】在下面式子适当的地方添上＋、－号，使等式成立。

９８７６５４３２１＝２１【例６】在下面１２个５之间添上＋、－、×、÷，使下面等式成立。

５５５５５５５５５５５５＝１０００学力训练１.你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？（１）５５５５＝１０（２）９９９９＝１８２.在下面数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

（１）３３３３３＝９（２）４４４４４＝８３.在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

（１）２３５６＝６（２）２３５６＝６４.你能在下面各数中添上运算符号，使等式成立吗？４１２５＝１０５.巧填运算符号，使等式成立。

三年级数学提升班学生姓名：第九讲：巧填运算符号知识是从刻苦劳动中得来的，任何成就都是刻苦劳动的结晶。

——宋庆龄知识纵横根据题目给定的条件和要求，填运算符号或括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏，这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。

填运算符号问题，通常采用尝试探索法，主要尝试方法有两种：１.如果题目的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想那些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子。

２.如果题目中的数字比较多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。

通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。

例题求解【例１】在下面４个４之间填上＋、－、×、÷或括号，使等式成立４４４４＝８【例２】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。

１２３４５＝１０【例３】拿出都是８的四张牌，添上＋、－、×、÷或（），使等式成立，你能试一试吗？８８８８＝０８８８８＝１８８８８＝２８８８８＝３【例４】在下面算式合适的地方添上＋、－、×，使等式成立。

１２３４５６７８＝１【例５】在下面式子适当的地方添上＋、－号，使等式成立。

９８７６５４３２１＝２１【例６】在下面１２个５之间添上＋、－、×、÷，使下面等式成立。

５５５５５５５５５５５５＝１０００学力训练１.你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？（１）５５５５＝１０（２）９９９９＝１８２.在下面数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

（１）３３３３３＝９（２）４４４４４＝８３.在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

（１）２３５６＝６（２）２３５６＝６４.你能在下面各数中添上运算符号，使等式成立吗？４１２５＝１０５.巧填运算符号，使等式成立。

第10讲巧填运算符号姓名一、知识要点根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。

这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。

添运算符号问题，通常采用尝试探索法。

主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。

通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。

二、精讲精练【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。

1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 101 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。

从结果10想起，最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。

（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：1＋2＋3×4－5=10（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）从□÷5=10考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得数是50的算式。

练习1：1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 102．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。

第二讲巧填运算符号课程目标：熟练掌握四则运算规律。

灵活运用+、—、×、÷和（）等符号。

通过数学游戏，增加学习兴趣，提升思维能力。

知识精讲：例1、在○里填上合适的运算符号，使等式成立。

54○6=8○1 9○13○7=100 24○6＝2×248－6＝7○6 2＋2＝2○2 1○2○3＝1＋2＋212－6－2＝12○6○2 20÷10＋4＝20○10○4例2、填入合适的运算符号。

（1）4 4 4 4 = 04 4 4 4 = 14 4 4 4 = 24 4 4 4 = 3（2）5 5 5 5 = 15 5 5 5 = 25 5 5 5 = 35 5 5 5 = 4（3）1 2 3 4 5 = 11 2 3 4 5 = 0例3、在合适的地方加上括号，使等式成立。

64 + 24 ÷ 8 – 2 × 3 = 5 64 + 24 ÷ 8 – 2 × 3 = 7664 + 24 ÷ 8 – 2 × 3 = 67 64 + 24 ÷ 8 – 2 × 3 = 27例4、下面有两个有趣的等式，每个等式左右两边的数字相同，结果相同，但运算符号不同，你（1）2+8+3=2（）8（）3（2）2×4-1+2（）4（）1例5、在合适的地方，添加+、-、×、÷和（），使等式成立。

5 5 5 5 5 = 15 5 5 5 5 = 212 3 4 5 6 7 8 9 = 1例6、怎样计算，使等式成立？12 3 3 3 = 2412 5 5 5 = 2412 8 8 8 = 24例7、在下面算式填入合适的运算符号。

1 2 3 4 5 6 7 8 = 18 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1991例8、填上“+”使等式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99一、在合适的地方，添加+、-、×、÷和（），使等式成立。

巧填算符巧填算符的符号种类：＋－×÷（）〖〗｛｝解题方法：1.凑数法：根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,然后再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。

一般用于等号左边的数比较多,而等号右边的数比较大的题目.2.逆推法：从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。

一般用于数字不太多（如果太多,推的步骤也会太多）,且得数比较小的题目.3.综合法：凑数法和逆推法并用.补充知识：括号的作用是改变运算的顺序,颠覆“先乘除,后加减”,使括号中的部分先做,要改变这一顺序,往往把括号加在有加、减运算的部分.在下列算式的数字之间,添入加号和减号,使等式成立.1 23 4 5 6 78 9=1001.1.在两数之间添上合适的运算符号“+”、“-”、“×”、“÷”（）,使等式成立。

3 3 3 3=03 3 3 3=13 3 3 3=23 3 3 3=33 3 3 3=9注：此题答案默认为0,正确答案见解析！2.2.在下列算式的数字之间,添入加号和减号,使等式成立。

12 3 4 5 6 789＝100注：此题答案默认为0,正确答案见解析！3.3.下面有8个数,在每两个相邻的数字之间都加上“+”或“-”,使得算式成立。

1 2 3 4 56 7 8=24注：此题答案默认为0,正确答案见解析！将“+”、“-”、“×”、“÷”分别填在下面的○内,使等式成立。

（6○18○3）○（7○2）=121.1.把“+”、“-”、“×”、“÷”分别填在下面的○内,使等式成立。

（4○12○6）○（17○9）=48注：此题答案默认为0,正确答案见解析！2.2.把“+”、“-”、“×”、“÷”分别填在下面的○内,使等式成立。

（2○8○4）○（18○9）=36注：此题答案默认为0,正确答案见解析！3.3.把“+”、“-”、“×”、“÷”分别填在下面的○内,使等式成立。

巧填运算符号一．计算小能手6×6－32＝ 38－3×7＝ 59＋74－70＝100－2×1＝8×5＋45＝9×2－10＝51－19－0＝8×0＋49＝ 52－4×9＝二. 经典例题1、在下面□中填上“＋”或“一”，使等式成立。

134 □ 58□57 = 135134 □58 □ 57 = 133134 □58 □ 57 = 192、在下面□中填上“ + ”、“一”、“×”、“÷”使等式成立。

2 □2 □ 2□ 2 □ 2= 122 □ 2 □ 2□ 2 □ 2= 145 □4 □3□ 2 □ 1= 165 □4 □ 3□ 2 □ 1= 18三. 举一反三1、把“+”、“－”、“×”、“÷”分别填入下面等式的“○”中，使等式成立。

7○2○4＝10○2○ 52、在下面的式子中的地方添上括号使等式成立。

（1）36－12－10＝34（2）7×5－3＝143、在适当的地方添上括号使等式成立。

45－20－8＝338×6－4＝1615+36－4÷4＝2317－7+5＝5 3.20－5÷5+8＝1123×5－3+4＝504、在合适的地方添上“+”或“－”，使下面的等式成立。

54321＝1四.大显身手在合适的位置填上2个“ + ”，结果最大是多少？最小是多少？（位置相邻的几个数字可以组成一个数）2 3 4 5 6五.知识小总结数学符号在人们解决数学问题中经常用到，如“ + ”、“一”、“×”、“÷”、“=”、“>”、“<”把这些符号和数字组合到一起，就可以变成不同的算式。

这节课我们就来研宄这些数学符号，动脑筋、找规律，巧填算式。

五.课后作业1、在下面□中填上“ + ”、“一”、“×”、“÷”使等式成立。

60 □ 17 □ 20 = 6360□17 □20 = 5760 □20 □17 = 232、在下面□中填上“＋”或“一”，使等式成立。

巧填运算符号的技巧
运算符号在数学中起着至关重要的作用，它们用于表示数学运算的方式和结果。

在解决数学问题时，巧妙地运用运算符号可以更加高效地解决问题。

下面介绍一些巧填运算符号的技巧。

1. 利用括号：括号的作用是改变运算的顺序，可以用来改变优先级。

在填写运算符号时，可以先把括号填好，再填写括号外的运算符号。

这样可以避免优先级的错误，同时也更加清晰明了。

2. 利用等式：等式两边的值相等，因此可以在等式两边填写相同的运算符号。

这样可以减少填写的运算符号数量，提高填写的效率。

3. 利用数学规律：在填写运算符号时，可以根据数学规律来选择合适的运算符号。

例如，两个正数相乘得到的结果也是正数，因此可以用乘号表示；两个负数相乘得到的结果是正数，因此也可以用乘号表示。

4. 利用符号的可替换性：一些运算符号是可以相互替换的，例如加法和减法、乘法和除法。

因此，在填写运算符号时，可以根据需要进行替换，使运算更加简便。

巧填运算符号需要结合具体的数学问题来进行，需要不断地练习和掌
握才能达到熟练的水平。

同时也需要注意运算符号的优先级和规律，避免出现错误。

巧填运算符号巧填运算符号典例1 在下面的式子中，加上括号，使等式成立。

（1）7×9＋12÷3－2=47 （2）7×9＋12÷3－2=75 解析：在做此类题时，我们一般采用逆推法。

在（1）中，假设等式成立。

因为49－2=47，所以只须：7×9＋12÷3=49，由于49＝7×7，因此只须（9＋12）÷3=7，而21÷3=7，所以只须把9＋12用括号括起来就行了。

即7×【（9＋12）÷3】－2=47；在（2）中，假设等式成立，因为77－2=75，所以只须7×9＋12÷3=77，又因为7×11=77，所以只须9＋12÷3=11，经试算，不论怎样加括号都不能成立。

由此可见此路不通，得另想办法。

我们仍假设等式成立，因为7×9=63，而63＋12=75，因此只须12÷3－2=12，又因为12÷1=12，所以只须3－2用括号括起来就行了。

即7×9＋12÷（3－2）=75.解：（1）7×【（9＋12）÷3】－2=47 （2）7×9＋12÷（3－2）=75举一反三训练1一、给下面的算式加上括号，使等式成立。

1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=303二、在下面的算式中加上括号，使等式成立。

1、6＋36÷3－2×4－1=632、6＋36÷3－2×4－1=1493、6＋36÷3－2×4－1=454、6＋36÷3－2×4－1=475、6＋36÷3－2×4－1=56、6＋36÷3－2×4－1=14三、改变一个运算符号，使下面的等式成立。

第三讲巧填运算符号姓名一、知识要点根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。

这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。

添运算符号问题，通常采用尝试探索法。

主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。

通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。

二、精讲精练【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（），使等式成立。

1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 101 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。

从结果10想起，最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。

（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：1＋2＋3×4－5=10（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）从□÷5=10考虑，□=50，前面24个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得数是50的算式。

练习1：1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 102．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。