河北省石家庄市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
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石家庄市第一中学
2017—2018学年度第一学期期中考试高一年级数学试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.如果，那么 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据集合中的不等式可知是集合的元素即，则，故选D．
考点：元素与集合的关系.
2.在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝－2x B. C. y＝|x| D. y＝－x2
【答案】D
【解析】
A,B,C在区间(－∞，0)上为减函数，
D. y＝－x2在区间(－∞，0)上为增函数，在区间(0，+∞)上为减函数.
故选D.
3.设，则使幂函数的定义域为且为奇函数的所有的值为( )
A. ，， B. ， C. ，3 D. ，
【答案】C
【解析】
α=−1时，y=x−1定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)；
α=1时，y=x定义域为R且为奇函数；
α=时，定义域为[0.+∞)；
α=3时，y=x3定义域为R且为奇函数。
故本题正确答案为C.
4.某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A. 12 h B. 4 h C. 3 h D. 2 h
【答案】C
【解析】
由题可知，细菌需要分裂n=log24096=12次，故总时间为t=12⋅15min=3h。
故本题正确答案为C。
5.函数在[2,3]上的最小值为( )
A. 2 B. C. D. －
【答案】B
【解析】
函数在[2,3]上单调递减，当时函数有最小值.
故选B.
6.已知函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由图像，知：在R上单调递减，则；令，则，所以，即；故选D.
考点：指数函数的图像与性质.
7.已知函数 满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围为
A. (0,1) B. C. D.
【答案】D
【解析】
由条件知，分段函数 在R上单调递减，则
所以有 ，所以有，故选D
点睛：本题主要考察的是分段函数单调满足的条件，通常只要满足三个条件：第一段单调，第二段单调，分段点平稳过渡。
8.函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，
函数y=f(x+2)为偶函数，有关于对称，
函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，∴函数y=f(x)在(2,4)上为减函数；
则函数y=f(x)的图象如图所示，
由图知：，所以。
故选：B.
9.函数的零点所在区间为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：因为的零点所在区间为可以根据端点值的函数值异号，来判定选项为C.也可以用图像法来求解交点的大概位置，再估算。
10.定义域为的函数满足以下条件:
①；
② ；
③.
则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由条件①可得函数f(x)为(0,+∞)上的增函数，
由②可得函数为奇函数，
再由③可得函数的图象过点(−3,0)、(3,0)，
故由不等式x⋅f(x)<0可得：
当x>0时,f(x)<0；
当x<0时,f(x)>0.
结合函数f(x)的简图可得不等式的解集为，
故选：D.
11.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A. (0,1] B. (0,1) C. (－∞，1) D. (－∞，1]
【答案】D
【解析】
由题意可知：
当m=0时，由f(x)=0知，−3x+1=0，∴，符合题意；
当m>0时，由f(0)=1可知：，解得0
当m<0时，由f(0)=1可知，函数图象恒与轴正半轴有一个交点
综上可知，m的取值范围是：(−∞,1].
故选D.
点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的有解问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
12.设集合，，函数若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵0⩽<,∴f()=+∈[,1]⊆B，
∴f[f()]=2(1−f())=2[1−(+)]=2(−).
∵f[f()]∈A,∴0⩽2(−)<,∴<⩽.
又∵0⩽<,∴<<.
故选D.
点睛：（1）分段函数求值的关键是将自变量代入所对应的解析式；
（2）复合函数求值的关键是，将内层函数看作整体，求解值域再代入外层函数，用到的是整体换元的思想，即将内层函数看作一个变量，代入外层函数的解析式.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共20分.
13.不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
不等式得：，解得.
所以不等式的解集是.
14.已知，若，则的解析式是_______．
【答案】
【解析】
，若
则,所以.
点睛：求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
15.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，
_______.
【答案】
【解析】
设x<0，则−x>0，
∵当x>0时，f(x)=−x+1，∴f(−x)=x+1
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(x)=−f(−x)=−(x+1)=−x−1，
16.定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2)[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为_______．
【答案】7
【解析】
f(x)=[x]⋅{x}=[x]⋅(x−[x])=[x]x−[x]2,g(x)=x−1，
f(x)
当x∈[0,1)时,[x]=0，上式可化为x>1，
∴x∈∅；
当x∈[1,2)时,[x]=1，上式可化为0>0，
∴x∈∅；
当x∈[2,3)时,[x]=2,[x]−1>0,上式可化为x<[x]+1=3，
∴当x∈[0,3)时,不等式f(x)
同理可得,当x∈[3,4)时,不等式f(x)
∵不等式f(x)
∴k−2=5，
∴k=7.
故答案为：7.
三、解答题：此部分包括六道题，共70分.
17.计算：
（1）；
（2）
【答案】(1)100;(2) .
【解析】
试题分析：（1）根据指数幂的运算性质计算即可，
（2）根据对数的运算性质计算即可
试题解析：
(1）原式=
==108+2-7-3=100 .
（2）原式==.
18.已知集合，，若，求实数的值.
【答案】.
【解析】
【详解】试题分析：先通过解二次方程化简集合A，对集合B分类讨论，利用已知条件B⊆A求出a的所有取值，然后利用子集的定义写出其所有子集．
试题解析：
由于
当时，有
当时，有，又
点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.
19.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看做一次函数的关系（图象如下图所示）．
（1）根据图象，求一次函数的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成 本总价）为元,
① 求关于的函数表达式；
② 求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
【答案】(1) y＝－x＋1000(500≤x≤800)
(2) 销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件
【解析】
解：（1）由图像可知，，解得，，
所以． ……4分
（2）①由（1）,
，． ……6分
②由①可知，，其图像开口向下，对称轴为，
所以当时，． ……9分
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．…10分
