新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11

故等式成立.
规律方法
用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法:
(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的
差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角
等)“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,
消除角与角之间的差异.
∴f(x)的单调递增区间为
π
π
π − 3 , π + 6
(k∈Z).
(2)∵f(x)=sin 2
π
π
∴2ω· +
3
6
=
π
+6
π
+kπ(k∈Z).
2
3 1
∴ω=2k+2.
又
1
0<ω<2,∴-3<k<1.
1
∴k=0.∴ω=2.
1
+2的图象的一条对称轴为直线
π
x=3,
变式训练5
(2022 天津河西高一期末)已知 α∈
(π<α<2π).
2+2cos

2

2

2

4cos2
2

2

2
(2cos2 +2sin cos )(sin -cos )
解原式=

2

2

2

2|cos |
2

2

2=

2

2

|cos |
2


cos cos
2 =- 2
.

|cos |

2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和弧度制（2）教案新人教A版必修第一册
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教学内容分析
本节课的主要教学内容是高中数学第五章三角函数5.1任意角和弧度制（2）。具体内容包括：
1.任意角的概念：了解任意角的定义及表示方法，掌握角度制与弧度制的转换。
（2）视频：播放与任意角和弧度制相关的教学视频，让学生从不同角度了解知识，提高学习效果。
（3）在线工具：利用在线计算器、绘图工具等，让学生实时检验自己的答案，提高运算求解能力。
（4）实物模型：准备一些实物模型，如钟表、车轮等，让学生在触摸和观察中加深对任意角的理解。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
5.数学运算：巩固学生的三角函数运算能力，使其能够熟练运用弧度制进行相关计算，提高学生的运算求解能力。
重点难点及解决办法
重点：1.任意角的概念及表示方法；2.弧度制的应用；3.角度制与弧度制的互化方法；4.任意角和弧度制在三角函数中的应用。
难点：1.任意角的定义及其与角度制的区别；2.弧度制在三角函数中的具体应用；3.角度制与弧度制互化的灵活运用。
2.直观想象：通过实例解析，培养学生的空间想象能力，使其能够将实际问题转化为数学问题，并运用三角函数知识进行解决。
3.数学建模：引导学生学会建立数学模型，运用任意角和弧度制相关知识分析生活中的三角函数问题，提高学生的数学应用能力。
4.数学抽象：通过学习任意角和弧度制的定义及应用，培养学生从具体问题中抽象出数学模型的能力，提高其数学素养。
2.学生已学习过三角函数的基本概念，本节课将进一步探讨任意角和弧度制在三角函数中的应用，巩固原有知识。

1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念。
2. 利用多媒体手段，直观展示任意角的形象，帮助学生理解。
3. 实例分析，让学生通过实际问题体会任意角的应用。
教学过程：
1. 导入：回顾角度的基本概念，引出任意角的概念。
2. 新课讲解：讲解任意角的定义，引导学生掌握用弧度制表示角的方法。
3. 课堂互动：进行角度转换练习，让学生巩固所学知识。
4. 应用拓展：通过实例分析，让学生了解任意角在实际问题中的应用。
5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调任意角的概念及表示方法。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学反思：
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生的学习兴趣和效果。同时，关注学生在学习过程中的问题，及时进行解答，确保学生能够熟练掌握任意角的概念及表示方法。
教学目标：
1. 理解任意角的概念，掌握用弧度制表示角的方法。
2. 了解任意角与标准角的关系，能进行简单的角度转换。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
教学重点：
1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角与标准角的关系。
教学难点：
1. 任意角的概念的理解。
2. 弧度制的应用。
教学方法：
2024-2025学年高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角教案 新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
教材分析
本节课为人教A版必修第一册第五章《三角函数》的5.1.1节“任意角”。本节内容主要介绍任意角的概念及其表示方法，是学习三角函数的基础。通过本节课的学习，学生应掌握任意角的定义，了解用弧度制表示角的方法，并理解任意角与标准角的关系。

【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。