2019学年高一数学第一次月考试题(含解析)

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- 1 - 2019学年高一数学第一次月考试题（含解析）

一、选择题（共12小题，每题5分）

1. 设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（ ）

A. B. C. D. ⊈A

【答案】B

【解析】试题分析： A中元素为大于负一的有理数，故选B．

考点：集合间的关系

2. 已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（ ）

A. 5 B. 2 C. 6 D. 8

【答案】A

【解析】因为 ,所以选A.

3. 用集合表示图中阴影部分是（ ）

A. （∁UA）∩B B. （∁UA）∩（∁UB）

C. A∩（∁UB） D. A∪（∁UB）

【答案】C

............

4. 下列函数是偶函数的是（ ）

A. y=x B. y=2x2﹣3 C. D. y=x2，x∈[0，1]

【答案】B

【解析】y=x为奇函数, y=2x2﹣3是偶函数,为奇函数, y=x2，x∈[0，1]既不是奇函数也不是偶函数,所以选B.

5. 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）

A. f（x）=x﹣1，g（x）=

B. f（x）=x，g（x）= 精 品

- 2 - C. f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈Z

D. f（x）=|x+1|，g（x）=

【答案】D

【解析】f（x）=x﹣1与g（x）=定义域不同, f（x）=x与g（x）=定义域不同, f（x）=x+1，x∈R与g（x）=x+1，x∈Z定义域不同, g（x）=,所以f（x）=|x+1|与g（x）=为同一函数，选D.

6. 已知集合A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（ ）

A. {0，1，2，3，4} B. {0，1，2} C. {0，2，4} D. {1，2}

【答案】A

【解析】因为 ，所以B={0，1，2，3，4}，选A.

7. 已知函数f（x）= ，则f（f（﹣3））=（ ）

A. 0 B. π C. π2 D. 9

【答案】B

【解析】 ，选B.

点睛：分段函数求值的解题思路；求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

8. 全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁RM）∩N=（ ）

A. {x|x＜﹣2} B. {x|﹣2＜x＜1}

C. {x|x＜1} D. {x|﹣2≤x＜1}

【答案】A

【解析】 （∁RM）∩N={x|x＜﹣2}，选A.

9. 函数f（x）=x2+2ax+a2﹣2a在区间（﹣∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）

A. （﹣∞，3] B. [﹣3，+∞） C. （﹣∞，-3] D. [3，+∞）

【答案】C

【解析】由题意得 ，选C.

10. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）

A. （﹣1，1） B. （，1） C. （﹣1，0） D. （﹣1，﹣）

【答案】D 精 品

- 3 - 【解析】由题意得 ，选D.

点睛：对于抽象函数定义域的求解

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

11. 已知函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（2a﹣1）＜f（1﹣a），则实数a的取值范围是（ ）

A. B. （0，2） C. D. （0，+∞）

【答案】C

【解析】解：函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，

则有： ，

故选C．

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

12. 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式 ＜0的解集为（ ）

A. （﹣1，0）∪（1，+∞） B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣1，0）∪（0，1）

【答案】D

【解析】略

二．填空题（共4小题，每题5分）

13. 已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=_____．

【答案】{3，4}．

【解析】A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5}={3，4}．

14. 幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（﹣3）的值是_____．

【答案】9．

【解析】由题意得

15. 函数f（x）=的单调递减区间为_____．

【答案】（﹣∞，﹣3]． 精 品

- 4 - 【解析】由题意得 ，即单调递减区间为（﹣∞，﹣3]．

点睛：1．复合函数单调性的规则

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．

2．函数单调性的性质

(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；

(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；

(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．

16. 已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是_____．

①f（0）=0； ②f（3）=3f（1）； ③f（）=f（1）； ④f（﹣x）f（x）＜0．

【答案】①②③

【解析】解：令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；

令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；

令x=y=得f（1）=2f（），所以f（）=f（1），所以③恒成立；

令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x），所以f（﹣x）f（x）=﹣[f（x）]2≤0，所以④不恒成立．

故答案为：①②③

三．解答题（共6小题）

17. 已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．

【答案】

【解析】因为M=N，所以根据集合元素的互异性，可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求.

由M＝N及集合元素的互异性得：或

解上面的方程组得，或或 精 品

- 5 - 再根据集合中元素的互异性得，或

18. 已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B={x|x＜a}．

（Ⅰ）当a=3时，求A∩B；

（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．

【答案】（1）{x|2＜x＜3}（2）a＞5

【解析】试题分析：（1）先解集合A,再结合数轴求交集得A∩B；（2）根据数轴确定满足A⊆B时实数a的取值范围．

试题解析：解：（Ⅰ）∵1＜x﹣1≤4，∴2＜x≤5

故A={x|2＜x≤5}

当a=3时，B={x|x＜3}

∴A∩B={x|2＜x＜3}

（Ⅱ）∵A⊆B，∴a＞5

19. 已知f（x）= ，g（x）=x2+2．

（1）求f（2），g（2），f[g（2）]；

（2）求f[g（x）]的解析式．

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）将自变量2代入f（x），g（x）解析式即得f（2），g（2），将g（2）作为自变量代入f（x）即得f[g（2）]；（2）将g（x）作为自变量代入f（x）即得f[g（x）]

试题解析：解：（1）f（2）= ，g（2）=22+2=6，

把g（2）=22+2=6代入f（x）= ，得f[g（2）]=f（6）= ；

（2）f[g（x）]=

20. 已知函数 ，

（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；

（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明； (Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．

试题解析：(Ⅰ) 设，且,则 精 品

- 6 - ∴ ∴，∴

∴

∴，即

∴在上是增函数.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数

∴当时，

∴当时，

综上所述，在上的最大值为，最小值为.

21. 设f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值的解析式，并作出此解析式的图象．

【答案】见解析

【解析】试题分析：根据对称轴 x=2与定义区间[t，t+1]位置关系，讨论确定最小值取法，再利用分段函数形式写最小值的解析式，最后按三段依次作出函数图像

试题解析：解：f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为﹣8，过点（0，﹣4），

结合二次函数的图象可知：

当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t+1处取最小值f（t+1）=t2﹣2t﹣7，

当，即1≤t≤2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值﹣8，

当t＞2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t2﹣4t﹣4，

即最小值为g（t），由以上分析可得， ，作图象如下；