2014年广东省高考理科数学考试大纲

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014广东,文1)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N=().A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}答案:B解析:由题意知M∩N={2,3},故选B.2.(2014广东,文2)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=().A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由题意知z=253-4i =25(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3+4i,故选D.3.(2014广东,文3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=().A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案:B解析:由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.4.(2014广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤8,0≤x≤4,0≤y≤3,则z=2x+y的最大值等于().A.7B.8C.10D.11答案:C解析:画出x,y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示,作直线l:y=-2x,平移直线l,经过可行域上的点A(4,2)时,z取最大值,即z max=2×4+2=10,故选C.5.(2014广东,文5)下列函数为奇函数的是().A.2x-12xB.x3sin xC.2cos x+1D.x2+2x答案:A解析:对于A选项,函数的定义域为R.令f(x)=2x-12x ,f(-x)=2-x-12-x=12x-2x=-f(x),故A正确;对于B选项,函数的定义域为R,令g(x)=x3sin x,g(-x)=(-x)3sin(-x)=x3sin x=g(x),该函数为偶函数;对于C选项,函数定义域为R,令h(x)=2cos x+1,h(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=h(x),h(x)为偶函数;对于D选项,令m(x)=x2+2x,由m(1)=3,m(-1)=32,m(1)≠m(-1),m(1)≠-m(-1),知该函数为非奇非偶函数,故选A.6.(2014广东,文6)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为().A.50B.40C.25D.20答案:C解析:由题意知分段间隔为100040=25,故选C.7.(2014广东,文7)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的().A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件答案:A解析:由正弦定理asinA =bsinB=2R(R为三角形外接圆半径)得,a=2R sin A,b=2R sin B,故a≤b⇔2R sin A≤2R sin B⇔sinA≤sin B,故选A.8.(2014广东,文8)若实数k满足0<k<5,则曲线x 216−y25-k=1与曲线x216-k−y25=1的().A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案:D解析:∵0<k<5,∴5-k>0,16-k>0,∴对于双曲线x 216−y25-k=1,实轴长为8,虚轴长为2√5-k,焦距为2√16+5-k=2√21-k;对于双曲线x216-k−y25=1,实轴长为2√16-k,虚轴长为2√5,焦距为2√16-k+5=2√21-k,因此两双曲线的焦距相等,故选D.9.(2014广东,文9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是().A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案:D解析:如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1∥l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1⊥l4,故B错误,则C也错误,故选D.10.(2014广东,文10)对任意复数ω1,ω2,定义ω1 ω2=ω1ω2,其中ω2是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:①(z1+z2) z3=(z1 z3)+(z2 z3);②z1 (z2+z3)=(z1 z2)+(z1 z3);③(z1 z2) z3=z1 (z2 z3);④z1 z2=z2 z1.则真命题的个数是().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:由定义知(z1+z2) z3=(z1+z2)·z3=z1z3+z2z3=(z1 z3)+(z2 z3),故①正确;对于②,z1 (z2+z3)=z1·z2+z3=z1(z2+ z3)=z1z2+z1z3=z1 z2+z1 z3,故②正确;对于③,左边=(z1·z2) z3=z1z2z3,右边=z1 (z2z3)=z z z=z1z2z3,左边≠右边,故③错误;对于④,取z1=1+i,z2=2+i,左边=z1z2=(1+i)(2-i)=3+i;右边=z2z1=(2+i)(1-i)=3-i,左边≠右边,故④错误,故选B.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.(2014广东,文11)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案:5x+y+2=0解析:∵y'=-5e x,∴所求曲线的切线斜率k=y'|x=0=-5e0=-5,∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.12.(2014广东,文12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.答案:25解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=410=25.13.(2014广东,文13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.答案:5解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4=a32=4.∵a n>0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(2014广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.答案:(1,2)解析:曲线C1的普通方程为y=2x2,曲线C2的普通方程为x=1,联立{x=1,y=2x2,解得{x=1,y=2.因此交点的直角坐标为(1,2).15.(2014广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则△CDF的周长△AEF的周长=.答案:3解析:∵EB=2AE,∴AB=3AE.又∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴△CDF∽△AEF,∴△CDF的周长△AEF的周长=CDAE=ABAE=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014广东,文16)已知函数f(x)=A sin(x+π3),x∈R,且f(5π12)=3√22.(1)求A的值;(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π2),求f(π6-θ).解:(1)∵f(x)=A sin(x+π3),且f(5π12)=3√22,∴f(5π12)=A sin(5π12+π3)=A sin3π4=A·√22=3√22,∴A=3.(2)∵f(x)=3sin(x+π3),且f(θ)-f(-θ)=√3,∴f(θ)-f(-θ)=3sin(θ+π3)-3sin(-θ+π3)=3[(sinθcosπ3+cosθsinπ3)-(sinπ3cosθ-cos π3sinθ)]=3·2sinθcosπ3=3sinθ=√3,∴sinθ=√33,且θ∈(0,π2),∴cosθ=√1-sin2θ=√63.∴f(π6-θ)=3sin(π6-θ+π3)=3sin(π2-θ)=3cosθ=√6.17.(本小题满分13分)(2014广东,文17)某车间:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;(3)求这20名工人年龄的方差.解:(1)由图可知,众数为30.极差为:40-19=21.(2)(3)根据表格可得:x=19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+4020=30,∴s2=120[(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2+(41-30)2]=13.65.18.(本小题满分13分)(2014广东,文18)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠;折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.图1图2(1)证明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,且PD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥面ABCD,交线为CD.又∵四边形ABCD为矩形,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD, ∴MD⊥平面PCD.又由于CF⊂平面PCD,∴MD⊥CF.∵MF⊥CF,且MD∩MF=M,∴CF⊥平面MDF.(2)解:∵MD⊥平面PCD,∴V M-CDE=13·S△CDE·MD.∵CF⊥平面MDF,DF⊂平面MDF,∴CF⊥DF.∵在Rt△PCD中,CD=1,PC=2,∴∠PCD=60°,且CD=1,∴CF=12,故PF=2-12=32.∴MF=32.又∵CF⊥MF,故利用勾股定理得:CM=√102,∴在Rt△MDC中,CM=√102,CD=1,得DM=√62.又∵F点位于CP的四等分点,且PD=√3, ∴E为PD的四等分点,故DE=√34,∴S△CDE=12CD·DE=12×1×√34=√38,∴V M-CDE=13S△CDE·DM=√216.19.(本小题满分14分)(2014广东,文19)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且S n满足S n2-(n2+n-3)·S n-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+…+1a n(a n+1)<13.(1)解:由S n2-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*,令n=1,得S12-(-1)S1-6=0,即a12+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.由于数列{a n}为正数数列,所以a1=2.(2)解:由S n2-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*,因式分解得(S n+3)(S n-n2-n)=0.由数列{a n}为正数数列可得S n-n2-n=0,即S n=n2+n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,由a1=2可得,∀n∈N*,a n=2n.(3)证明:由(2)可知1a n(a n+1)=12n(2n+1),∀n∈N*,1a n(a n+1)=12n(2n+1)<1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1).当n=1时,显然有1a1(a1+1)=16<13;当n≥2时,1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+…+1a n(a n+1)<1 2·(2+1)+12(13-15+15-17+…+12n-1-1 2n+1)=13−12·12n+1<13,所以,对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+…+1a n(a n+1)<13.20.(本小题满分14分)(2014广东,文20)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0),离心率为√53.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P (x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 解:(1)由c=√5,e=c a =√53得:a=3,b=2.椭圆方程为:x 29+y 24=1. (2)设两个切点分别为A ,B.①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A ,B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P 点坐标为(±3,±2). ②当两条切线斜率均存在时,设椭圆切线斜率为k ,过点P 的椭圆的切线方程为y-y 0=k (x-x 0),联立{y -y 0=k (x -x 0),x 29+y 24=1,得(9k 2+4)x 2+(18ky 0-18k 2x 0)x+9k 2x 02-18kx 0y 0+9y 02-36=0,Δ=0⇒9k 2+4=(kx 0-y 0)2⇒(x 02-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-4=0, 设PA ,PB 斜率分别为k 1,k 2,则k 1·k 2=y 02-4x 02-9,又PA ,PB 互相垂直,∴k 1·k 2=y 02-4x 02-9=-1, 化简得x 02+y 02=13(x 0≠±3). 又∵P (±3,±2)在x 02+y 02=13上, ∴点P 在圆x 2+y 2=13上.∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.21.(本小题满分14分)(2014广东,文21)已知函数f (x )=13x 3+x 2+ax+1(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x 0∈(0,12)∪(12,1),使得f (x 0)=f (12). 解:(1)由f (x )=13x 3+x 2+ax+1,求导得f'(x )=x 2+2x+a.令f'(x )=0,即x 2+2x+a=0,Δ=4-4a.①当Δ≤0,即a ≥1时,f'(x )≥0恒成立,f (x )在R 上单调递增;②当Δ>0,即a<1时,方程x 2+2x+a=0的两根分别为: x 1=-1+√1-a ,x 2=-1-√1-a ,当x ∈(-∞,-1-√1-a )时,f'(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(-1-√1-a ,-1+√1-a )时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(-1+√1-a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. (2)当a<0时,由(1),令x 1=-1+√1-a =1,解得a=-3. ①当a<-3时,1<-1+√1-a ,由(1)的讨论可知f (x )在(0,1)上单调递减,此时不存在x 0∈(0,12)∪(12,1),使得f (x 0)=f (12).②当-3<a<0时,1>-1+√1-a ,f (x )在(0,-1+√1-a )上递减, 在(-1+√1-a ,1)上递增, f (1)-f (12)=12a+2524,依题意,若f (x )存在x 0∈(0,12)∪(12,1), 使得f (x 0)=f (12),只需f (1)-f (12)=12a+2524>0, 解得a>-2512,于是有-2512<a<0即为所求.。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C ．4D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 BCD ．12【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨??．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1AE =．∵1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m xy z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c os ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,0n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

抽样29余万份得分情况
得分 人数 得分 人数 0分 125494 8分 317 1分 138408 9分 191 2分 14890 10分 43 3分 6524 11分 12 4分 7059 12分 10 5分 2068 13分 8 6分 577 14分 17 7分 238
缺乏换元思想，解一元二次方程或一元二次不等式时错误，计算能 力薄弱，基本功不扎实 思维灵活性不够，讨论函数单调性只想到求导没有想到基本的定义 法，由于所给函数的复杂性，缺乏解题思路
数学严谨性不够，不少人在设出切线方程 之前或之后没有充分论证切 线斜率不存在或等于0的情形 由于答案可以猜测或记背，考生罗列出一堆条件后在一片混沌的运算 过程中得到清晰准确的答案： x02 y02 13
你考我计算能力， 我考你评卷水平， 说不定还混满分！
学生的答卷情况
2014年理科第21题
对数基本概念、等比数列性质不清
书写不规范，式子变形出错
学生的答卷情况
2014年理科第17题
近8成的考生不能准确画出频率分布直方图 3 4 C25 不能正确理解抽样的概念，出现式子 C25
学生的答卷情况
2014年理科第19题 计算题里面还 会有证明？ 抽样26余万份得分情况
得分 0分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分
掌握
10, 18(2), 19(2-3), 20(2), 21(1-2)
50
33.3%
2014年数学知识目标结构（理科卷）
水平
了解 理解
题号 1,2,3,4,5,6,7,9,10,16(1),17(1)
11,12,13,14,15,16(2),17 (2-3), 18(1),19(1),20(1),

【提示】利用圆的切线及其交点坐标求得夹角正切值
【考点】两直线的夹角与到角问题
16.【答案】
【解析】 ，令 ，则原函数为
∵ 时分 减函数，则 在 上是减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为 ∴ ，解得： ，
所以a的取值范围是
【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围
【考点】三角函数，单调函数
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
21.【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1）设 ，代入由 中得 ，所以 ， ，由题设得 ，解得 （舍去）或
所以C的方程为
（2）依题意知直线 与坐标轴不垂直，故可设直线 的方程为 ， 代入 中得 ，
设 ， ，则 ， ，故AB的中点为 ，
，有直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 .设 ， ，
3.【答案】C
【解析】 ，故有 故选C
【提示】给出三个三角函数比较大小
【考点】三角函数的单调性
4.【答案】B
【解析】因为 ，所以 即 因为 即 又因为 所以 ，即 因为 ，所以 ，
【提示】给出约束条件求向量
【考点】向量的基本运算.
5.【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有 种不同选法，从5名女医生种选出1名有 种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有 种不同选法
【解析】约束条件的可行域如图 所示当目标函数过点A（1，1）时， 取最大值
【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值
【考点】简单线性规划
15.【答案】
【解析】已知圆的圆心 ，半径 ，则 与 的距离为 ．