高中数学人教A版选修2-1模块综合检测.docx
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桑水
模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是 ( )
A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0
B．存在x0∈R,2x40－x20＋1<0
C．存在x0∈R,2x40－x20＋1≥0
D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0
解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x0∈R,2x40－x20＋1≥0.
答案：C
2．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( )
A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1
C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1
解析：抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m2－n2.又m2－n2m＝12，所以可解得m＝4，n＝2
3，
故椭圆的方程为x216＋y212＝1.
答案：B
3．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 (
)
A.5 32 B.212 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 C.372 D.3 52
解析：由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)．
又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0.
∴2n＝5，n＝52.
∴|a|＝ 1＋4＋254＝3 52.
答案：D
4．a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0变成2x＋1＝0，这时方程根为x＝－12，所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”不能推出“a<0”；另一方面，当a<0时，Δ＝4－4a>0，∴方程一定有两个不相等的实数根，又两根之积为1a<0，∴方程的根一定是一正根一负根，所以“a<0”能推出“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”．
答案：B
5．设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且1PF·2PF＝0，则|1PF＋2PF|＝
( )
A.10 B．2 10
C.5 D．2 5
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∵1PF·2PF＝0，∴1PF⊥2PF，
∴m2＋n2＝4c2＝40.
∵|1PF＋2PF|2＝|1PF|2＋|2PF|2＋21PF·2PF＝40，
∴|1PF＋2PF|＝2 10.
答案：B
6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长为
( )
A.3
B．2
C.6 D．22 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 解析：由题意知AB·AD＝AB·1AA＝AD·1AA＝12，
∴21AC＝(AB＋AD＋1AA)2
＝2AB＋2AD＋21AA＋2AB·AD＋2AB·1AA＋2AD·1AA＝6，
∴|1AC|＝6.
答案：C
7．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e为 ( )
A.3 B.3或33
C．2 D．3
解析：如图，令x＝－c，
则c2a2－y2b2＝1，∴y＝±b2a，
∴|AF1|＝b2a.
因△ABF2为等边三角形，
∴∠AF2F1＝30°.
∴tan ∠AF2F1＝b2a2c＝33，
3b2a＝2c，即 3(e2－1)＝2e，
解得e＝ 3.
答案：A
8．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆x2m＋y2n＝1上的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝2π3时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是 ( )
A．41 B．15
C．9 D．1
解析：由S△F1PF2＝12|F1F2|·yP
＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大.
此时∠F1PF2＝2π3，
得a＝m＝2 3，b＝n＝3， —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 故m＋n＝15.
答案：B
9．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝3，SA＝2，
可以求得SO＝22，则B(32，32，0)，A(32，－32，0)，C(－32，32，0)，S(0,0，22)．
因为E为SA的中点，
∴E(34，－34，24)．
∴BE＝(－34，－334，24)，
SC＝(－32，32，－22)．
∵BE·SC＝－1，|BE|＝2，|SC|＝2，
所以cos〈BE，SC〉＝－12×2＝－12，
BE与SC所成角为60°.
答案：C
10．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为
( )
A．－52
B.52
C.12 D．－12
解析：法一：直线AB的斜率为
kAB＝y1－y2x1－x2＝y1－y212y21－12y22＝－1，
即y1＋y2＝－2，y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝6.
线段AB的中点为(x1＋x22，y1＋y22)＝(y21＋y224，－1) —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 ＝(32，－1).
代入y＝x＋b，得b＝－52.
法二：设直线AB的方程为y＝－x＋m，与y2＝2x联立，消去x得
y2＋2y－2m＝0.
y1＋y2＝－2，y1y2＝－2m.
由y1y2＝－1得m＝12.
设AB的中点为M(x0，y0)，
则y0＝y1＋y22＝－1，
x0＝m－y0＝32.
又M(32，－1)在y＝x＋b上，
∴b＝－52.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0为假命题，
∴∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－22≤a≤22.
答案：[－22，22]
12．在双曲线x2a2－y2b2＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．
解析：不妨设点P在右支上，则2|PF1|＝|PF2|＋|F1F2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c－2a，|PF2|＝2c－4a.又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴e2－6e＋5＝0.又e＞1，∴e＝5.
答案：5
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E.,F分别是BB1,CD的中点，则EF与平面CDD1C1所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则E(2,0,1)，F(1,2,0)，
∴EF→＝(－1,2，－1). —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 又平面CDD1C1的一个法向量为OD→＝(0,2,0)，cos〈EF→，OD→〉＝4 6×2＝63，故所求角的正弦值为63.
答案：63
14．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA→与x轴正向的夹角为60°，则|OA→|为________．
解析：如图，设A的横坐标为x＋p2(x＞0)，
则|AF→|＝2x.
由抛物线的定义得
2x＝x＋p2，x＝p2，
∴A的坐标为(3p2，3p)或(3p2，－3p)，
∴|OA→|＝212p.
答案：212p
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
对于命题p，依题意知
Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，
∴－2≤a≤10.
令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，
m＞0}，
∴PQ，
即 m＞0，1－m＜－2，1＋m≥10，或 m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10.
