全等三角形 苏科版数学八年级上册培优练习(含答案)

苏科版八年级上册1.3探索三角形全等的条件SSS培优训练1.3探索三角形全等的条件SSS一、选择题1．如图，已知，再添加一个条件仍不能判定≌的是A. B.C. D.2．如图，点F、C在线段BE上，且，，补充一个条件，不一定使≌成立的是A. B. C. D.3．如图，点A，E，F，D在同一直线上，，，，则图中全等三角形共有A.1对B.2对C.3对D.4对4．如图，已知，则不一定能使≌的条件是A. B.C.D.5．如图，尺规作图作的平分线的方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于点C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线由作法得≌从而得两角相等的根据是A.SASB.SSSC.AASD.ASA6．如图，点E 、F 、C 、B 在同一直线上，，，添加下列一个条件，不能判定≌的条件是A. B. C. D.二、填空题7．两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：；≌；；四边形ABCD的面积，其中，正确的结论有__________．8．阅读下面材料：下面是“作角的平分线”的尺规作图过程．已知：．求作：射线OC，使它平分．如图，作法如下：以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于E，交OB于D；分别以点D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C；作射线则射线OC就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是______．9．如图，已知，若使≌则可添加的一个条件是______．10．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动______秒时，与全等．11．如图，在和中，点B、F、C、E在同一条直线上，，，要使≌，则只需添加一个适当的条件是______只填一个即可12．如图，点A，B，C在同一条直线上，，请你只添加一个条件，使得≌你添加的条件是______要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可三、解答题13．已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，，，求证：．14．点F、B、E、C在同一直线上，并且，能否由上面的已知条件证明≌？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件添加到已知条件中，使≌，并给出证明．提供的三个条件是：；；．15．在数学活动课上，李老师让同学们试着用角尺平分如图所示有两组同学设计了如下方案．方案：将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度位于OA，OB上，且交点分别为M，N，即，过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．方案：在边OA，OB上分别截取，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M，N重合，即，过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．方案与方案是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．16．如图，已知，，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：．17．阅读材料，解答问题数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：如图1，我用相同的两块含角的直角三角板可以画角的平分线．画法如下：在的两边上分别取点M，N，使；把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点P．射线OP是的平分线．小旭说：我只用刻度尺就可以画角平分线．请你也参与探讨，解决以下问题：小惠的做法正确吗？说明理由；请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中的平分线，并简述画图的过程．苏科版数学八年级培优训练(教师卷）1.3探索三角形全等的条件SSS一、选择题1．如图，已知，再添加一个条件仍不能判定≌的是A.B.C.D.答案：D解析：【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．根据全等三角形的判定定理分别判定即可．【解答】解：A、根据HL可判定≌，故本选项不符合题意；B、根据SAS可判定≌，故本选项不符合题意；C、根据SSS可判定≌，故本选项不符合题意；D、根据SSA不能判定≌，故本选项符合题意；故选：D．2．如图，点F、C在线段BE上，且，，补充一个条件，不一定使≌成立的是A. B. C.答案：A解析：【分析】本题考查三角形全等的判定方法．解题关键是掌握全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．解题时，根据题中的已知条件，，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：在和中，，．A.当时，由已知条件，，可知SSA不能判定两个三角形全等，故此选项符合题意；B.当时，由已知条件，，可知SAS能判定两个三角形全等，故此选项不符合题意；C.当时，由已知条件，，可知AAS能判定两个三角形全等，故此选项不符合题意；D.当时，由已知条件，，可知ASA能判定两个三角形全等，故此选项不符合题意．故选A．3．如图，点A，E，F，D在同一直线上，，，，则图中全等三角形共有A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解析：【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，求出，，根据SAS推出≌，≌，求出，，推出，根据SAS推出≌即可．【解答】解：，，，，，在和中，，≌，在和中，，≌，，，，在和中，，≌，即全等三角形有3对．故选C．4．如图，已知，则不一定能使≌的条件是A.B.C.D.答案：A解析：解：A、，BC为公共边，若，则不一定能使≌，故本选项正确；B、，BC为公共边，若，则≌，故本选项错误；C、，BC为公共边，若，则≌，故本选项错误；D、，BC为公共边，若，则≌，故本选项错误；故选：A．利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，尺规作图作的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线由作法得≌从而得两角相等的根据是A.SASB.SSSC.AASD.ASA答案：B解析：解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即；以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，即；在和中，≌．故选：B．认真阅读作法，从角平分线的作法得出与的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．如图，点E、F、C、B在同一直线上，，，添加下列一个条件，不能判定≌的条件是A.B.C.D.答案：A解析：解：A、添加不能判定≌，故本选项符合题意；B、添加可用SAS进行判定，故本选项不符合题意；C、添加然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意；D、添加可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；故选：A．分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．二、填空题7．两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：；≌；；四边形ABCD的面积，其中，正确的结论有__________．答案：解析：【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明与全等和利用SAS证明与全等．先证明与全等，再证明与全等即可判断．【解答】解：在与中，，≌，故正确；，在与中，，≌，，，，故正确．四边形的面积，故正确．故答案为．8．阅读下面材料：下面是“作角的平分线”的尺规作图过程．已知：．求作：射线OC，使它平分．如图，作法如下：以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于E，交OB于D；分别以点D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C；作射线则射线OC就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是______．答案：SSS解析：解：连接EC，DC，由作图可得，，在和中，≌，，平分．故答案为：SSS．【分析】由作图可得，，根据三角形全等的判定方法“SSS”解答．本题考查了全等三角形的应用，以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．9．如图，已知，若使≌则可添加的一个条件是______．答案：解析：解：，理由是：在和中≌，故答案为：．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理就行．本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动______秒时，与全等．答案：0，2，6，8解析：【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．先分两种情况：当E在线段AB上时，当E在BN上，再分别分成两种情况，进行计算即可．【解答】解：当E在线段AB上，时，≌，，，，点E的运动时间为秒；当E在BN上，时，，，，点E的运动时间为秒；当E在线段AB上，时，≌，这时E在A点未动，因此时间为0秒；当E在BN上，时，≌，，点E的运动时间为秒，故答案为0，2，6，8．11．如图，在和中，点B、F、C、E在同一条直线上，，，要使≌，则只需添加一个适当的条件是______只填一个即可答案：解析：解：，理由是：，，，，，在和中，≌，故答案为：答案不唯一求出，，根据SAS推出两三角形全等即可．本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．12．如图，点A，B，C在同一条直线上，，请你只添加一个条件，使得≌你添加的条件是______要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可答案：答案不唯一解析：解：添加的条件是，理由是：，，，，在和中，，≌，故答案为：答案不唯一．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．三、解答题13．已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，，，求证：．答案：证明：，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，．解析：证明≌，由全等三角形的性质得出，根据SAS证明≌，则可得出．本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．14．点F、B、E、C在同一直线上，并且，能否由上面的已知条件证明≌？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件添加到已知条件中，使≌，并给出证明．提供的三个条件是：；；．答案：解：不能；选择条件：；，，即，在和中，≌．解析：此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由可得，再有条件不能证明≌；可以加上条件，利用SAS定理可以判定≌．15．在数学活动课上，李老师让同学们试着用角尺平分如图所示有两组同学设计了如下方案．方案：将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度位于OA，OB上，且交点分别为M，N，即，过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．方案：在边OA，OB上分别截取，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M，N重合，即，过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．方案与方案是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．答案：解：方案不可行；理由如下：只有，，不能判断≌，不能判定OP就是的平分线；方案可行；理由如下：在和中，，≌，．就是的平分线．解析：只有，，不能判断≌，得出方案不可行；由SSS证得≌，得出得出方案可行．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．16．如图，已知，，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：．答案：证明：在和中，，≌，，是BC的中点，，在和中，，≌，．解析：先利用AAS证明≌，再利用SSS证明≌即可．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握利用AAS和SSS证明三角形全等，此题难度不大．17．阅读材料，解答问题数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：如图1，我用相同的两块含角的直角三角板可以画角的平分线．画法如下：在的两边上分别取点M，N，使；把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点P．射线OP是的平分线．小旭说：我只用刻度尺就可以画角平分线．请你也参与探讨，解决以下问题：小惠的做法正确吗？说明理由；请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中的平分线，并简述画图的过程．答案：解：小惠的做法正确．理由如下：如图1，过O点作于C，于D．，由题意，，，．．在和中，，≌，，，于C，于D，点O在的平分线上，，，，即射线OP 是的平分线；如图2，射线RX 是的平分线，作图过程是：用刻度尺作，，连接TW ，UV 交于点X ，射线RX 即为所求的平分线．解析：过O 点作于C ，于D ，求出≌，根据全等三角形的性质得出，，根据角平分线性质求出根据三角形内角和定理求出即可；根据全等三角形的判定定理SSS ，用刻度尺作出即可．本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．。

苏科版八年级上册1.3探索三角形全等的条件SAS培优训练一、选择题1．如图，已知，要使≌，只需要添加一个条件是A. B. C. D.2．如图，已知，，，由这三个条件，就可得出≌，依据的判定方法是A.边边边B.边角边C.角边角D.角角边3．如图，AC、BD相交于点O，，若用“SAS”说明≌，则还需要加上条件A. B. C. D.4．如图，用“SAS”证明，若已知，，则还需A. B. C. D.5．如图，在和中，如果，，那么补充条件后能应用“SAS”说明≌的是A. B. C. D.6．在和中，下列条件：；；；；；其中，能用“SAS”证明≌的一组是A. B. C. D.二、填空题7．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且，若由SAS判定≌，则需要添加的一个条件是______．8．如图，已知，若以“SAS”为依据判定≌，还需添加的一个条件是．9．如图所示，已知，，若要用“SAS”去证≌，则需添加的条件是______．10．如图，在四边形ABCD中，由，得________________若，结合________________，则．11．如图，中，，点D，E在BC边上，若要以“SAS”为依据说明≌，还要添加的条件为．12．如图，已知，，要使，若以“SAS”为依据，则补充的条件是________．三、解答题13．如图，点D在BC上，，，下面三个条件：；；，请你从所给条件中选一个条件，使≌，并证明两三角形全等．14．如图，，，，，点P在线段AB上以的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间为t秒．_______用含t的代数式表示(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间秒时，与是否全等？并说明理由．(3)如图2，将“，”改为“”，其余条件不变；设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，请写出图中其余的全等三角形除外，并选择其中的一对加以证明．16．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使，连接请根据小明的方法思考：Ⅰ由已知和作图能得到≌，依据是______．A.SSSⅡ由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．【初步运用】如图，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且若，，求线段BF的长．17．探究问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：．方法感悟：延长CB至G，使，可证≌，，，又，，即，又，，≌，，故DE；方法迁移：如图2将沿斜边翻折得到，点E、F分别为DC、BC上的点，且试猜想DE、BF、EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．形成模型：如图3，在四边形ABCD中，，E、F分别为DC、BC上的点，，，可得．模型应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等。

202X 年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》自主学习培优提升训练（附答案）① 全等三角形的形状相同、大小相等② 全等三角形的对应边相等、对应角相等③ 面积相等的两个三角形全等④ 全等三角形的周长相等其中正确的说法为（ ）5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ 1. 如图为正方形网格，那么Zl + Z2+Z3=（B. 120°C. 115°D. 135°2. 己知图中的两个三角形全等，那么Na 的度数是（ ）C. 58°D. 50°3. 以下说法:A.①②③④B.①②③C.②③④D. ①②④ 4. 如图，如48。

竺dAOE ，如果 AB=5cm, BC=7cm,人C=6ce 那么。

E 的长是（） C. 1cm D.无法确定A. 72°B. 60° 5 cmA.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去6. 如图，△ ABE^^ACD, Z1 = Z2, ZB=ZC,不正确的等式是（7. 如图：假设左ABE^/XACF,且AB=5, AE=2,那么EC 的长为（8. 如图，ZVIOB 竺点8和点C 是对应顶点，ZO=ZD=90° ,记ZOAD=a, ZABO=6，当BC//OA 时，a 与B 之间的数量关系为（）B B. ZBAE=ZCAD C. BE=DC D.AD=DEC. 3D. 5 A. a=p B. a=2p C. a+p=90° D. a+2p=180°9.如图，功交AC 于点M,交FC 于点、D, AB 交FC 于点、N,ZE=ZF=90° , ZB=Z C, AE=AF,给出以下结论：其中正确的结论有（①Z1 = Z2；②BE=CF ；③芝ACNMABM ；④CD=DN ：⑤左AFN^/\AEM.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，。

苏科版八年级上册1.3探索三角形全等的条件AAS 培优训练一、选择题1．下列说法中：如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边相等．正确的是．A. 和B. 和C. 和D.2．如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知，，要直接利用“AAS”说明≌，可补充的条件是A. B.C. D.3．如图，请看以下两个推理过程：，，，≌；，，，≌．则以下判断正确的包括判定三角形全等的依据是A. 对错B. 错对C. 都对D. 都错4．下列说法：如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定全等；如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等； 要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．其中正确的是A.B.C.D.5．如图，已知，要说明≌若以“AAS ”为依据，则需添加一个条件是A. B. C.D.6．如图，DE 经过点A ，，，则下列依据，，，中，能判定≌的是A. 和B. 和C. 和D.和二、填空题7．阅读后填空：已知：如图，，，AC 、DB 相交于点O ．求证：．分析：要证，可证≌；要证≌，可先证≌得出这个结论证明；而用________可证≌填SAS 或AAS或．8．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且，只需补充一个条件：，则有．9．如图，已知，要说明，若以“SAS”为依据，则需添加的条件是_______；若以“AAS”为依据，则需添加的条件是_______；若以“ASA”为依据，则需添加的条件是_______．10．如图，在中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，添加一个条件，使得≌，根据AAS可添加的条件是________________，根据ASA可添加的条件是________________，根据SAS可添加的条件是____________不添加辅助线11．如图，已知，，要利用“AAS”判定≌，应添加的条件是：______．12．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知，，，要使≌，以“AAS”需要补充的一个条件是________________写出一个即可．三、解答题13．在中，，，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作于点E，过点F作于点M．如图1，若点E是CD的中点，求的大小．如图2，若点D是线段BF的中点，求证：．如图3，若点F是线段AB的中点，已知，请直接写出FM的大小．14．小敏思考解决如下问题：原题：如图1，四边形ABCD中，，，点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，，求证：．______；小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使，，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了请你证明此时结论；受以上的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．15．如图，，，，．求证：≌．证明：，______ ______又，______ ______，______ ______在和中，，≌．16．如图1在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点求证：≌．请补全小聪的思考过程：，______垂直定义直线MN经过点C且______在中____________同角的余角相等又已证已知≌小明通过小聪的思考过程发现，，从而得到AD、BE与DE之间的数量关系，请你猜想并直接写出小明的结论：______．当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD、BE与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论．17．如图，，，，，垂足分别为D，E．证明：；若，，求DE的长．18．如图，在ABC和DEF中，如果AB DE，BC EF，只要添加一个条件至少写两种，就可以证明ABC≌DEF；不需证明如果把中“AB DE，BC EF”改为“B E，AC DF”呢？请你添加一个条件，使得ABC≌DEF，请你先添加条件，再完成证明。

第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）参考答案与试题解析一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第　二　步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【答案】（1）二；（2）证明见解答过程．【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，在△BDE和△ACB中，，∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD 长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作图知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB．。

初二数学《全等三角形》提优卷一三角形全等证明中常见的辅助线一、连线构造全等1.如图，在R△ABC中，∠A = 90°，点D为斜边BC上一点，且BD = BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的平分线上.2.如图，AB = AE，∠C = ∠D，BC = ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，试说明理由.二、倍长中线构造全等3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证:AB + AC > 2AD.三、做取构造全算4.如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，连接CE并延长交AP于点D.求证:AD + BC = AB.四、作量战段构造全等5.（1）如图1，在△ABC中，AB = AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证:CD = BE.（2）如图2，在△ABC中，仍然有条件“AB= AC，点D，E分别在AB和AC上.若∠ADC+ ∠AEB= 180°，则CD与BE是否仍相等?若相等，请证明；若不相等，请举反例说明.6.如图，已知AD平分∠BAC，∠BAC + ∠BDC = 180°，若∠C是钝角；求证:BD = CD.二动态问题中全等三角形一、平移型6.如图①，点A，E，F，C在一条直线上，AE= CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB = CD.（1）求证:BD平分EF（即EG = FG）；（2）若将DE向右平移、将BF向左平移，得到图②所示图形，在其余条件不变的情况下，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由.二、旋转型7.如图①，在△AOB和△COD中，OA = OB，OC = OD，∠AOB = ∠COD = 50°.（1）求证:AC = BD，∠APB = 50°；（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA= OB，OC= OD，∠AOB= ∠COD= a，则AC与BD间的等量关系为 _________ ，∠APB的度数为 _________ .8.如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，BD交CE于点N，交AE于点O，求证:（1）∠AOB = 120°；（2）CM = CN.9.如图①，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.（1）在图①中，线段AC，BD的数量关系是 _________ ；直线AC，BD相交成的角的度数是 _________ .（2）将图①的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图②中画出旋转后的△OAB.（3）将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC，BD得到图③，这时（1）中的两个结论是否成立?作出判断并说明理由.若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗?作出判断，不必说明理由.三、动点问题10.如图①，AB = 4 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC = BD= 3 cm点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t（s）.（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1s时，△ACP与△BPQ是否全等?请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB″改为”∠CAB= ∠DBA= 60°，其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等?若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由.答案与解析1．【分析】可通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE从而得到结论．【解答】证明：连接BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°．在Rt△ABE和Rt△DBE中∵，∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．∴∠ABE＝∠DBE．∴点E在∠ABC的角平分线上．2．【分析】连接AC、AD．根据SAS易证△ABC≌△AED，得AC＝AD．根据等腰三角形三线合一性质可证结论．【解答】解：AF⊥CD理由如下：如图，连接AC、AD．在△ABC与△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC＝AD．∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD；3．【分析】根据三角形三边关系分别得出BD+AD＞AB、CD+AD＞AC，再根据中线的性质即可得出AD+BD＞（AB+AC）．【解答】证明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．∵AD是BC边上的中线，BD＝CD，∴AD+BD＞（AB+AC）．4．【分析】首先在AB上截取AF＝AD，由AE平分∠P AB，利用SAS即可证得△DAE≌△F AE，继而可证得∠EFB＝∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC＝BF，继而证得AD+BC＝AB．【解答】证明：在AB上截取AF＝AD，∵AE平分∠P AB，∴∠DAE＝∠F AE，在△DAE和△F AE中，∵，∴△DAE≌△F AE（SAS），∴∠AFE＝∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠EFB＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠EBC，在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC＝BF，∴AD+BC＝AF+BF＝AB．5．（1）【分析】根据垂直的定义可得∠BDC＝∠CEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再有公共边BC，利用AAS可得△BCD≌△CBE，据此可得BD＝CE．【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD和△CBE中，∠BDC＝∠CEB，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△BCD≌△CBE（AAS），∴BD＝CE．（2）【分析】分别作CF⊥AB，BG⊥AC，先证得△FBC≌△GCB，得出CF＝BG，进而证得△CFD≌△BGE即可证得CD＝BE．【解答】解：CD＝BE．证明如下：如图2，分别作CF⊥AB，BG⊥AC，∴∠CBF＝90°，∠BGC＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△FBC和△GCB中，，∴△FBC≌△GCB（AAS）．∴CF＝BG，∵∠ADC+∠AEB＝180°，又∵∠BEG+∠AEB＝180°，∴∠ADC＝∠BEG，在△CFD和△BGE中，，∴△CFD≌△BGE（AAS），6．【分析】（1）根据四边形的内角和为360°，∠BAC+∠BDC＝180°，可得∠B+∠C＝180°，求出∠C的度数，利用等腰三角形的性质，求出∠DAC＝∠ADC＝25°，根据AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠DAC＝50°，得到∠BDC＝130°，根据∠ADB＝∠BDC﹣∠ADC，即可解答；（2）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N，证明△DMB≌△DNC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝50°，∴∠C＝130°，∵∵AC＝CD，∠C＝130°，∴∠DAC＝∠ADC＝（180°﹣∠C）÷2＝25°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC＝50°，∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝130°，∴∠ADB＝∠BDC﹣∠ADC＝130°﹣25°＝105°．（2）如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∠DMB＝∠DNC＝90，∵∠ACD+∠B＝180，∠ACD+∠DCN＝180，∴∠B＝∠DCN，在△BDM与△CDN中，，∴△DMB≌△DNC（AAS），7．【分析】（1）△OAB绕点O顺时针旋转90°角应该在△COD的右边；（2）的结论容易得到，AC＝BD，AC与BD相交成90°的角；（3）结论仍然成立，利用等腰直角三角形的性质可以得到全等条件证明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性质可以证明结论仍然成立．【解答】解：（1）如图（a）【A，B字母位置互换扣（1分），无弧扣（1分），不连接AB扣（1分），扣完为止）】（2分）（2）AC＝BD；90（90°）（每空1分）（4分）（3）成立．如图（b）．∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COA+∠AOD＝∠AOD+∠DOB，即：∠COA＝∠DOB（或由旋转得∠COA＝∠DOB），（5分）∵CO＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB，（6分）∴AC＝BD，（7分）延长CA交OD于E，交BD于F，（下面的证法较多）∵△COA≌△DOB，∴∠ACO＝∠ODB，（8分）∵∠CEO＝∠DEF，∴∠COE＝∠EFD＝90°，∴AC⊥BD．（9分）旋转更大角时，结论仍然成立．（10分）8．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，则可得到∠ACE＝∠DCB，根据全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB，于是有∠CAM＝∠CDN，由于∠ACD＝DAC＝∠BCE＝∠CBE＝60°，可得∠DCE＝60°，则AD∥CE，DC∥BE，利用平行线的性质得到∠DAM＝∠AEC，∠NDC＝∠EBO，得出∠EBO＝∠CAM，根据三角形的外角的性质即可求得；（2）根据全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN，则CM＝CN；（3）根据等边三角形的判定方法即可得到△MCN为等边三角形，得出∠MNC＝∠ECB＝60°，根据内错角相等两直线平行得出MN∥AB．【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝DAC＝∠BCE＝∠CBE＝60°，∠ACB是一个平角，∴∠DCE＝60°，∴AD∥CE，DC∥BE，∵AD∥CE，∴∠DAM＝∠AEC，∵DC∥BE，∴∠NDC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠CAM∴∠AOB＝∠OEB+∠EBO＝∠AEC+∠CEB+∠EBO＝∠DAE+∠CEB+∠CAM＝∠DAC+∠CEB ＝60°+60°＝120°；（2）在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM＝CN；（3）∵CM＝CN，∠DCE＝60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠MNC＝60°，∴∠MNC＝∠ECB＝60°，∴MN∥AB．9．【分析】（1）根据∠AOB＝∠COD＝50°求出∠AOC＝∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，推出∠APB＝∠AOB即可．（2）根据∠AOB＝∠COD＝α求出∠AOC＝∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，推出∠APB＝∠AOB即可．【解答】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，∴∠APB＝∠AOB＝50°．（2）解：AC＝BD，∠APB＝α，理由是：∵∠AOB＝∠COD＝α，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，∴∠APB＝∠AOB＝α，故答案为：相等，α．10．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，，解得；综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．。

苏科版数学新八年级暑假预习培优训练1.2全等三角形一、选择题1．如图，点D，E在的边BC上，≌，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是A. B. C. D.2．如图，≌，DF和AC，FE和CB是对应边．若，，则等于A. B. C. D.3．如图，，若，，则AB 的长为A.6B.5C.4D.34．如图，≌，，则的度数为A. B. C. D.5．如图，≌，，，则对于结论：其中正确的是，，，，A. B. C. D.6．如图，已知≌，则下列结论：，.，．，．其中正确的是A. B. C. D.二、填空题7．如图，≌，且，，则______8．如图，中，，，，，点P、Q分别在边AC和射线AX上运动，若与全等，则AP的长是______．9．如图，≌，，，则______．10．如图，已知四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______时，能够使与全等．11．如图，已知≌，，且，，点A在DE上，则的度数为______．12．如图，中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，v的值为__________．三、解答题13．如图，已知≌，点D在AC上，BC与DE交于点P，若，．若，，求的度数；求与的周长和．14．如图，已知≌，点E在AB上，DE与AC相交于点F，当，时，线段AE的长为______；已知，，求的度数；求的度数．15．如图，在中，，，，点F从点B出发，沿线段BC以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以的速度运动至点、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC 交于点D，设点E的运动时间为秒．分别写出当和时线段BF的长度用含t的代数式表示．在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值．当t为何值时，≌？16．已知：≌连结BE，交AC于F，点H是CE上的点，且，连结DH交BE于求证：．17．如图，已知在中，，厘米，点D为AB上一点且厘米，点P在线段BC上以2厘米秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．用含t的式子表示PC的长为__；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使与全等？苏科版数学新八年级暑假预习培优训练（教师卷）1.2全等三角形一、选择题1．如图，点D，E在的边BC上，≌，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是A.B.C.D.答案：【答案】A解析：解：≌，，，B成立，不符合题意；，，C成立，不符合题意；，，D成立，不符合题意；AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，故选：A．根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．2．如图，≌，DF和AC，FE和CB是对应边．若，，则等于A.B.C.D.答案：【答案】D解析：【分析】本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是180度来解答．【解答】解：≌，DF和AC，FE和CB是对应边，，又，；，，；故选D．3．如图，，若，，则AB的长为A.6B.5C.4D.3答案：【答案】D解析：【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得，然后求出，代入数据计算即可得解．【解答】解：由，得，所以，因为，，所以．故选D．4．如图，≌，，则的度数为A.B.C.D.答案：【答案】A解析：解：≌，，，，故选：A．根据全等三角形的性质可得，再根据等式的性质可得．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．5．如图，≌，，，则对于结论：其中正确的是，，，，A.B.C.D.答案：【答案】B解析：解：≌，，，，，，正确的是，故选：B．根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得，，，再利用等式的性质可得．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．6．如图，已知≌，则下列结论：，．，．，．其中正确的是A. B. C. D.答案：【答案】D解析：解：≌，，，，，，，都正确，故选D．根据全等三角形的性质得出，，，，根据平行线的判定推出即可．本题考查了平行线性质和全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．二、填空题7．如图，≌，且，，则______答案：【答案】92解析：解：≌，，，故答案为：92．由全等三角形的性质可求得，在中，利用外角的性质可求得．本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．8．如图，中，，，，，点P、Q分别在边AC和射线AX上运动，若与全等，则AP的长是______．答案：【答案】4或8解析：解：与全等，或，故答案为：4或8．根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9．如图，≌，，，则______．答案：【答案】10解析：解：，，，≌，．结合图形和已知条件求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等得．本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．10．如图，已知四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______时，能够使与全等．答案：【答案】3厘米秒或厘米秒解析：【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，属于中档题．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则，，，当，时，与全等，此时，，解得，，此时，点Q的运动速度为厘米秒；当，时，与全等，此时，，解得，点Q的运动速度为厘米秒；故答案为3厘米秒或厘米秒．11．如图，已知≌，，且，，点A在DE上，则的度数为______．答案：【答案】解析：解：≌，，，，，，，．，．故答案为：．先由≌，根据全等三角形的性质得出，，由，得出，等量代换得到，那么，于是由三角形内角和定理求出，于是．本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，求出是解题的关键．12．如图，中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，v的值为__________．答案：【答案】或3解析：【分析】本题考查了全等三角形的性质分两种情况讨论：若≌，根据全等三角形的性质，则厘米，厘米，根据速度、路程、时间的关系即可求得；若≌，则厘米，，可得答案．【解答】解：中，厘米，点D为AB的中点，厘米，若≌，则需厘米，厘米，点Q的运动速度为3厘米秒，点Q的运动时间为：，厘米秒；若≌，则需厘米，，，解得：；的值为：或3，故答案为或3．三、解答题13．如图，已知≌，点D在AC上，BC与DE交于点P，若，．若，，求的度数；求与的周长和．答案：【答案】解：，，，≌，，，即的度数为；≌，，，和的周长和．解析：根据全等三角形的性质得到，计算即可；根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．14．如图，已知≌，点E在AB上，DE与AC相交于点F，当，时，线段AE的长为______；已知，，求的度数；求的度数．答案：【答案】；≌，，，，；是的外角，，是的外角，．解析：【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案；根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案；根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质求出即可．本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【解答】解：≌，，，，，，故答案为3；见答案；见答案．15．如图，在中，，，，点F从点B出发，沿线段BC以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以的速度运动至点、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC 交于点D，设点E的运动时间为秒．分别写出当和时线段BF的长度用含t的代数式表示．在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值．当t为何值时，≌？答案：【答案】解：当时，，当时，；由题意得，，解得；当时，≌，则，即，解得，当时，≌，则，即，解得，则或4时，≌．解析：本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意列代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；根据题意列出方程，解方程即可；分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．16．已知：≌连结BE，交AC于F，点H是CE上的点，且，连结DH交BE于求证：．答案：【答案】证明：≌，，，在和中，≌，，在和中，，，．解析：根据全等三角形的性质得出，，进而证明三角形全等解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和判定解答．17．如图，已知在中，，厘米，点D为AB上一点且厘米，点P在线段BC上以2厘米秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．用含t的式子表示PC的长为__；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使与全等？答案：【答案】解：；，，又与全等，，≌，，，点P，点Q运动的时间秒，厘米秒．即点Q的运动速度是厘米秒时，能够使与全等．解析：【分析】此题考查了全等三角形的性质，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．先表示出BP，根据，可得出答案；根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．【解答】解：，则；故答案为；见答案．。

苏科版八年级数学上册1.3探索三角形全等的条件优生辅导专题提升训练一．全等三角形的判定1．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是（）A．甲、丁B．甲、丙C．乙、丙D．乙2．如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（）A．AD∥BC B．DF∥BEC．∠A＝∠C D．∠D＝∠B3．下列说法正确的是（）A．三个角对应相等的两个三角形全等B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两个角与一边相等的两个三角形不一定全等4．如图，∠C＝∠D＝90°，补充下列条件后不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．AC＝BD D．AD＝BC5．如图，在△ADF和△BCE中，点A，C，D，B在同一条直线上，AC＝BD，EC∥DF，添加下列哪个条件无法证明△ADF≌△BCE（）A．AF∥BE B．DF＝CE C．∠E＝∠F D．AF＝BE6．如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACEC．△EBD≌△ECD D．以上答案都不对7．如图，已知AD∥BC，那么添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△CDA的是（）A．∠B＝∠D B．AB∥DC C．AB＝CD D．BC＝AD8．如图，点E，F在线段BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，下列条件不能保证△ABF≌△DCE 的是（）A．∠A＝∠D B．AF＝DE C．AB＝DC D．∠AFB＝∠DEC 9．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是．10．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC≌△AED．二．直角三角形全等的判定11．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等12．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝度．三．全等三角形的判定与性质14．如图所示，AP平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，如果添加一个条件，即可推出AM＝AN，那么下面条件不正确的是（）A．PM＝PN B．∠APM＝∠APN C．MN⊥AP D．∠AMP＝∠ANP 15．直角△ABC、△DEF如图放置，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE且AB⊥DE．若DF＝a，BC＝b，CF＝c，则AE的长为（）A．a+c B．b+c C．a+b﹣c D．a﹣b+c16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝104°，则∠EDF的度数为（）A．24°B．32°C．38°D．52°17．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF 19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF ＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°20．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（）A．45°∠A B．90∠A C．90°﹣∠A D．180°﹣∠A 22．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．123．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是．24．如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BC＝8cm，DC＝3cm，则AE＝cm．25．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BE＝CD，点F在AE的延长线上，AF＝AC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝18°，求∠AFC的度数．26．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE 与BD相交于点F，连接DE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若CD＝1，试求△AED的面积．27．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．28．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．29．如图，AD，BC相交于点E，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．（1）求证：△ACD≌△BDC；（2）若∠BCD＝22°，求∠BDE的度数．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点．（1）请写出图中所有的全等三角形；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．31．如图，点B在线段AC上，∠ABD＝∠ABE，BD＝BE．求证：CD＝CE．32．如图，BD、CE是△ABC的高，且BF＝AC，CG＝AB．探究GA、FA有什么关系？说明理由．33．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．34．如图，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠B＝∠4，∠1＝∠2＝∠3，求证：BC ＝DE．35．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE ＝CF．求证：AB＝AC．完成下面的证明过程证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED＝∠CFD＝Rt∠∵D是BC的中点∴BD＝又∵BE＝CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF∴∠B＝∠C∴AB＝AC36．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD．（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？（2）求证：EG＝FG．37．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．38．如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE．求证：∠A＝∠D．39．已知，如图AE＝AC，AD＝AB，∠EAC＝∠DAB．求证：（1）△EAD≌△CAB；（2）∠DCB＝∠BAD．40．如图所示，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M．（1）试猜想DE与BF的关系，并证明你的结论；（2）求证：MB＝MD．四．全等三角形的应用41．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL42．如图，明明不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的三角形玻璃，则最省事的办法是（）A．带（1）去B．带（2）去C．带（3）去D．带（1）和（2）去参考答案一．全等三角形的判定1．解：A、△ABC和甲两个三角形根据SAS可以判定全等，△ABC与丁三角形根据ASA可以判定全等，故本选项正确；B、△ABC与丙两个三角形的对应角不一定相等，无法判定它们全等，故本选项错误；C、△ABC与乙、丙都无法判定全等，故本选项错误；D、△ABC与乙无法判定全等，故本选项错误；故选：A．2．解：∠D＝∠B，理由是：∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），即选项D正确；具备选项A、选项B，选项C的条件都不能推出两三角形全等，故选：D．3．解：A、如图，△ADE和△ABC的三角对应相等，但两三角形不全等，错误，故本选项不符合题意；B、如两个直角三角形，两个角相等，斜边和另一个三角形的直角边相等，这两个三角形不一定全等，故本选项不符合题意；C、如图，AC＝AD，AB＝AB，∠B＝∠B，但是△ABD和△ABC不全等，错误，故本选项不符合题意；D、如两个直角三角形，两个角相等，斜边和另一个三角形的直角边相等，这两个三角形不一定全等，故本选项符合题意；故选：D．4．解：A、∵在△ABC和△BAD中∴△ABC≌△BAD（AAS），故本选项不符合题意；B、根据∠C＝∠D，∠3＝∠4和AB＝BA不能推出△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；C、∵在Rt△ABC和Rt△BAD中∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），故本选项不符合题意；D、∵在Rt△ABC和Rt△BAD中∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），故本选项不符合题意；故选：B．5．解：∵EC∥DF，∴∠ECB＝∠FDA，∵AC＝BD，∴AC+CD＝DB+CD，即AD＝BC，A、∵AF∥BE，∴∠A＝∠B，利用ASA证明△ADF≌△BCE，不符合题意；B、∵DF＝EC，利用SAS证明△ADF≌△BCE，不符合题意；C、∵∠E＝∠F，利用AAS证明△ADF≌△BCE，不符合题意；D、∵AF＝BE，不能证明△ADF≌△BCE，符合题意；故选：D．6．解：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．故选：A．7．解：A、∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由得出△ABC≌△CDA，不符合题意；B、∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，由得出△ABC≌△CDA，不符合题意；C、由AB＝CD，AC＝CA，∠DAC＝∠BCA无法得出△ABC≌△CDA，符合题意；D、∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由得出△ABC≌△CDA，不符合题意；故选：C．8．解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，A、∵在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（AAS），故本选项不符合题意；B、根据AF＝DE，∠B＝∠C和BF＝CE不能推出△ABF≌△DCE，故本选项符合题意；C、∵在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），故本选项不符合题意；D、∵在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（ASA），故本选项不符合题意；故选：B．9．解：∵∠EAC＝∠FAB，∴∠EAB＝∠CAF，在△ABE和△ACF，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠B＝∠C．AE＝AF由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；在△ACN和△ABM，，∴△ACN≌△ABM（ASA）；（故④正确）∴CM＝BN，由于条件不足，无法证得②CD＝DN；故答案为：①③④10．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．二．直角三角形全等的判定（共3小题）11．解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS，B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL．故选：C．12．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．所以，S△ADE故选：A．13．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF＝∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD＝AD，即∠ABC＝∠BAD＝45°．故答案为：45．三．全等三角形的判定与性质（共28小题）14．解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，A、由∠BAP＝∠CAP，PM＝PN，AP＝AP，不能判定△APM≌△APN，∴不推出AM＝AN，故选项A符合题意；B、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠APM＝∠APN，能判定△APM≌△APN（ASA），∴AM＝AN，故选项B不符合题意；C、∵MN⊥AP，∴∠APM＝∠APN＝90°，又由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，能判定△APM≌△APN（ASA），∴AM＝AN，故选项C不符合题意；D、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠AMP＝∠ANP，能判定△APM≌△APN（AAS），∴AM＝AN，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：∵AB⊥DE，∴∠DGH＝90°，∵∠DFE＝90°，∴∠AFH＝90°，∴∠AFH＝∠DGH，∵∠DHG＝∠AHF，∴∠A＝∠D，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF，BC＝EF，∵DF＝a，BC＝b，CF＝c，∴AE＝AC+EF﹣CF＝DF+BC﹣CF＝a+b﹣c．故选：C．16．解：∵AB＝AC，∠A＝104°，∴∠B＝∠C＝38°，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠CFD，∵∠BED+∠B＝∠CDE＝∠EDF+∠CDF，∴∠B＝∠EDF＝38°，故选：C．17．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故选：B．18．解：∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠FCE＝∠FCE+∠BCF＝90°，∴∠F＝∠BCF；故A选项正确；在Rt△ACB与Rt△FEC中，，∴Rt△ACB≌Rt△FEC（HL），∴AC＝EF＝12，CE＝BC＝5cm，∴AE＝AC﹣CE＝7cm，故B选项正确；∵Rt△ACB≌Rt△FEC，∴∠A＝∠F，∵∠ADE＝∠GDF，∴∠FGD＝∠AEF＝90°，∴AB⊥CF，故D选项正确；∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC，∴＝＝，∴AD≠DB，∴EF不平分AB，故C选项错误，故选：C．19．解：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC（AAS）∴∠DBF＝∠CAD＝25°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°故选：D．20．解：作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DG，在Rt△DEG和Rt△DFH中，，∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL），∴∠DEG＝∠DFH，又∠DEG+∠BED＝180°，∴∠BFD+∠BED＝180°，∴∠BFD的度数＝180°﹣140°＝40°，故选：A．21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵BD＝CF，BE＝CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE＝∠CFD，∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°．∴∠A+2∠EDF＝180°，∴∠EDF＝90°﹣∠A．故选：B．22．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC与OA＞OC矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选：B．23．解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠DBC＝90°，∴∠OAB＝∠DBC．在△OAB和△DBC中，，∴△OAB≌△DBC（AAS），∴BD＝AO，DC＝OB．∵A（3，0），B（0，﹣1），∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB+BD＝4，∴点C的坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．24．解：∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，∴∠CAD+∠C＝90°，∠CBF+∠C＝90°，∴∠CAD＝∠CBF，∵在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，（ASA）∴DE＝CD，∴AE＝AD﹣DE＝BD﹣CD＝BC﹣CD﹣CD＝2；故答案为2．25．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵BE＝CD，∴BE﹣DE＝CD﹣DE，即BD＝CE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠FAC＝18°，∵AF＝AC，∴∠AFC＝．26．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（3）解：∵△ABE≌△BCD，∴BE＝CD＝1，∵AB＝BC＝2CD＝2，∴CE＝BC﹣BE＝1，∴CE＝CD，∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1＝．27．证明：∵AD⊥BC，在Rt△BDF和Rt△ADC中，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠C＝∠BFD，∵∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠C+∠DBF＝90°，∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC；28．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．29．证明：（1）∵∠A＝∠B＝90°，在Rt△ACD与Rt△BDC中，，∴Rt△ACD≌Rt△BDC（HL），（2）∵Rt△ACD≌Rt△BDC，∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝90°﹣22°＝68°，∴∠BDE＝∠BDC﹣∠ADC＝68°﹣22°＝46°．30．（1）解：△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE，△BDF≌△CEF；（2）证明：∵AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝CE，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB，在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS）．31．证明：∵∠ABD＝∠ABE，∴∠DBC＝∠EBC．在△DBC和△EBC中，，∴△DBC≌△EBC（SAS），∴CD＝CE．32．解：GA＝FA，GA⊥FA，理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ABF+∠BAD＝90°∠GCA+∠BAD＝90°，∴∠ABF＝∠GCA，在△ABF和△GCA中，，∴△ABF≌△GCA（SAS），∴FA＝GA，∠BAF＝∠G，∵CE是△ABC的高，∴CE⊥AB，∴∠G+∠GAE＝90°，∴∠BAF+∠GAE＝90°，即∠GAF＝90°，∴GA⊥FA．33．证明：连接AC，在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．34．证明：∵∠ADE+∠3＝∠1+∠B，∠1＝∠3，∴∠ADE＝∠B，∵∠1＝∠2，即∠BAC＝∠DAE，∵∠B＝∠4，∴AB＝AD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC＝DE．35．解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠BED＝∠CFD＝Rt∠（垂直的定义）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，又∵BE＝CF，∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）∴AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）．故答案为：已知；CD；HL；全等三角形的对应角相等；在同一个三角形中，等角对等边．36．（1）解：△ABF与△CDE全等，理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴EG＝FG．37．（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∵E是边AC的中点，CE＝5，∴AC＝2CE＝10．∴AB＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．38．证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACB＝∠DCE，在△BCA和△ECD中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A＝∠D．39．证明：（1）∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，即∠EAD＝∠CAB，在△EAD和△CAB中，，∴△EAD≌△CAB（SAS）；（2）∵△EAD≌△CAB，∴∠E＝∠ACB，∵∠ACD＝∠E+∠EAC，∴∠ACB+∠DCB＝∠E+∠EAC，∴∠DCB＝∠EAC，∵∠EAC＝∠DAB，∴∠DCB＝∠BAD．40．解：（1）DE＝BF，且DE∥BF，证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°．∴DE∥BF，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE；（2）在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM（AAS），∴MB＝MD．四．全等三角形的应用41．解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．42．解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带（3）去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．。

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式22m n +-化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°, ∵ABC △为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQC BOA ≅(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6, ∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,∴∠BPD=90°,∵ABD △是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP ,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOB BPD ≅∴AO=BP ,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=3∴m+n=23∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23∴整式2253m n +-3-（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM 为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM ,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM ≅,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM, ∴EN=12(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON). 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线时，将DAF∆沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE CF、，若4,22CD BC AC==CE的长．（提示：做AH BC⊥于H，做EM BD⊥于M）【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝CF＋DC；（2）C⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正确结论：DC＝CF＋BC，证明详见解析；（3）32【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS）；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质可得到=CF BD，ACF ABD∠=∠，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A作AH BC⊥于H，过E作EM BD⊥于M，证明ADH DEM△≌△，推出3EM DH==，2DM AH==，推出3CM EM==，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF中，AD AF=∵90BAC DAF==︒∠∠∴BAD CAF∠=∠在△DAB与△FAC中AD AFBAD CAFAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS△≌△∴B ACF∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴2232CE EM CM =-=【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠FAE 的度数；（3）求证：CD=2BF+DE ．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，∴∠G=∠CDA ，在△CGA 和△CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CGA ≌△CDA ，∴CG=CD ，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．5．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或32（3）9s【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ），∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC 与线段PQ 垂直.（2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912t t xt =-⎧⎨=⎩， 解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算. 6．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()6,0、()0,6，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM ON=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO=∠∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：如图1中，连接OP．∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P为AB的中点，∴OP=12AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，∴∠OPA=90°，在△PON和△PAM中，ON AMPON PAMOP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON≌△PAM（SAS），∴PN=PM，∠OPN=∠APM，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=︒．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴ΔDEF为等腰直角三角形.（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴△ADE≌△CDF，∴S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，∴ S∆ABC=2 S四边形AEDF,∴S 四边形AEDF =3.5 .（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ⊥BC,AD=BD ，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE ，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．8．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．【答案】（1）212；（2）证明见解析；（3）32【解析】 【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．【详解】解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE 是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM 与△DEN 中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE∴△AEM ≌△DEN （AAS ）∴ME=NE∴点E 在∠ACB 的平分线上，即CE 是ACB ∠的平分线（3）由（2）可知，点E 在∠ACB 的平分线上，∴当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，∵△AEM ≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=22() CN AC CD=+，当AC=3，CD=CO=1时，CE=2(31)22 2+=当AC=3，CD=CB=7时，CE=2(37)52+=∴点E的运动路程为：522232-=，【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．9．（1）如图（a）所示点D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b）所示当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c）所示，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF'，连接AF、BF'，探究AF、BF'与AB有何数量关系？并证明．②如图（d）所示，当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD = 证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒. 在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =， ∴111BDC B D C ∆∆≌，∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒. ∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等； 如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =， 再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠， 再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.。

苏科版数学八年级上册1.3探索全等三角形的条件同步强化提优训练一．选择题(30分）1.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能．．判定△ABE≌△ACD()A.∠B＝∠CB.AD＝AEC.BD＝CED.BE＝CD第1题图第2题图第3题图第5题图2.如图所示，已知AB∥DE，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝32°，∠A＝78°，则∠F等于()A．55°B．65°C．60°D．70°3.如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去()A．只带①B．只带②C．只带③D．带①和②4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是()A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D5.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC6.现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b 的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b 的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误7.如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB，CD两根木条)，这样做是运用了三角形的（）A.全等性B.灵活性C.稳定性D.对称性第7题图第8题图第9题图第10题图8.如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A.∠A=∠CB.AB=ADC.AD∥BCD.AB∥CD9.如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A.2个B.4个C.6个D.8个10.如果，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B ＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件是()A．3个B．2个C．1个D．4个二．填空题(30分)11.如图所示，D，E，F 分别为ΔABC 三边中点，则与ΔDEF 全等的三角形有___个第11题图第12题图第13题图第14题图第15题图12.如图，已知CAE BAD ∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠．其中能使ABC AED ≌△△的条件有___个13.如图所示，AB＝CD，AD，BC 相交于点O，要使ΔABO≌ΔDCO，应添加的条件为________.(只需写一个)14.如图，点D、E 分别在线段AB，AC 上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）．15.如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC 与DE 相交于点F，ED 与AB 相交于点G.若∠ACD＝40°，则∠AGD＝________°.16.如图，在△ABC 中，D，E 分别是边AB，AC 上的点，过点C 作平行于AB 的直线交DE 的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD 的长是________．第16题图第17题图第18题图第19题图第20题图17.如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.∵∠BAC＝80°，∠BDC＝120°，∴∠B＝∠C＝20°.18.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC 上取一点E，使EC＝BC，过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F.若EF＝5cm，则AE＝________cm.19．如图，已知在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于E，若BC＝20cm，则△DEB 的周长为cm．20.如图，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE.有下列结论：①DC=DE；②DA 平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D 为BC 的中点；⑤AD 被CE 垂直平分.其中正确的个数为（）三。

苏科版八上第一章《全等三角形》培优训练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.利用尺规作图，下列条件中不一定能作出唯一三角形的是A. 两角一边B. 三边C. 两边一角D. 一直角边一斜边2.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论中正确的是()A. AD>12(AB+AC) B. AD=12(AB+AC)C. AD<12(AB+AC) D. AD与AB+AC的大小关系不确定3.如图，在等边△ABC中，AD=BE=CF，D，E，F不是中点，连结AE，BF，CD，构成一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组，那么图中全等的三角形的组数是()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥BC，∠EAC+∠EAF=180°，EF⊥AB于点F.若AF=3，AC=10，则AB的长为()A. 16B. 15C. 14D. 135.如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有()个．A. 9B. 10C. 11D. 126.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE=CF，BF交CE于P，连PD，下列结论：①AC=AE，②CD=BE，③PB=PF，④DP⊥BF，其中一定成立的是_________。

A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④7.如图：Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°；D为BC边中点，CF⊥AD交AD于E，交AB于F；BE交AC于G；连DF，下列结论：①AC=AF.②CD+DF=AD.③∠ADC=∠BDF.④CE=BE.⑤∠BED=45°，其中正确的有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个二、填空题8.如图，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BOC=______ 度．9.如图所示，∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②AF//EB；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有______ ．10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则m+n_______b+c．11.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，并且BE平分∠ABC，则以下命题①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=1 2S四边形ABCD；⑤BC=CE.正确的命题序号是__________．12.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6.延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为________秒时，△ABP和△DCE全等．13.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____________14.如图，有一个Rt△ABC，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=__________．三、解答题15.如图，已知△ABC的两条高AD、BE交于点F，AE=BE．(1)若∠C=70°，求∠AFB的度数．(2)求证△AEF≌△BEC．(3)若AD平分∠BAC，求证AF=2BD．16.如图，在方格纸上画平行线．(1)过点C画CD⊥AB；(2)过点E画EF//AB．17.如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；(1)如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE= BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，∠BAC=90°，AB=16，AC=20.点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G.问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？(直接写出答案)18.如图，已知AM//BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA。

苏科版八年级数学上册《全等三角形》培优单元测试卷一、选择题（在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的）1．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B．AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D．∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F4．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确5．如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（）A．△ABD≌△CBD B．△ABC是等边三角形C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD6．下列命题中，不正确的是（）A．各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等B．各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等C．各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等D．各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位的置上）7．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP= 时，才能使△ABC和△APQ全等．8．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是．9．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，∠1=30°，则∠2的度数为．10．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题（请在答题的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）11．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD．12．如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．（1）求证：△CBD≌△CAE．（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．13．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠PBQ的度数．14．如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．（1）用含有t的代数式表示CP．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？《第1章全等三角形》参考答案与试题解析一、选择题（在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的）1．下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B．AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D．∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，逐一检验．【解答】解：A、符合SAS判定定理，故本选项错误；B、符合ASA判定定理，故本选项错误；C、符合AAS判定定理，故本选项错误；D、没有AAA判定定理，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】全等三角形的应用．【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．3．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．4．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】判定线段相等的方法可以由全等三角形对应边相等得出；判定两条直线平行，可以由“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”得出；判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS或HL得出．【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS=AR，∠RAP=∠SAP∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR ≌△QSP故本题仅①和②正确．故选B．【点评】本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角平分线，从而判定三个选项的正确与否．5．如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（）A．△ABD≌△CBD B．△ABC是等边三角形C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定．【分析】先根据轴对称的性质得出AB=BC，AD=CD，OA=OC，BD⊥AC，再根据全等三角形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，∴AB=BC，AD=CD，OA=OC，BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，故A正确；在△AOB与△COB中，，∴△AOB≌△COB，故C正确；在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD，故D正确；△ABC是等腰三角形，故B错误．故选B．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．6．下列命题中，不正确的是（）A．各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等B．各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等C．各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等D．各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS，SSS，AAS，ASA对各个选项逐一分析即可【解答】解：A、∵各有一个角为95°，这个角只能是顶角，∴这两个等腰三角形全等，本选项正确；B、∵不知这个角是顶角还是底角，∴这两个等腰三角形不一定全等，故本选项错误；C、∵各有一个角为40°，∴此直角三角形各个角相等，再加上且其所对的直角边相等，∴两个直角三角形全等，本选项正确，D、∵各有一个角为40°，∴此直角三角形各个角相等，再加上有斜边相等，∴两个直角三角形全等，本选项正确，【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位的置上）7．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP= 5cm或10cm 时，才能使△ABC和△APQ全等．【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．【解答】解：∵PQ=AB，∴根据三角形全等的判定方法HL可知，①当P运动到AP=BC时，△ABC≌△QPA，即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP=AC=10cm．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．8．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是①②④．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出对应边相等DE=DF，得出AD平分∠BAC，①②正确；由AE＞AD，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE=CF，AE=AF，得出④正确，即可得出结果．【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，①正确，∴AD平分∠BAC，②正确，∵在Rt△ADE中，AE是斜边，∴AE＞AD，③不正确，∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF，AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键9．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，∠1=30°，则∠2的度数为75°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线．【分析】由等腰直角三角形的性质求出∠ACB的度数，进而求出∠1+∠ACB的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠1=30°，∴∠1+∠ACB=75°，∵a∥b，∴∠2=∠1+∠ACB=75°，故答案为：75°【点评】此题考查了平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．10．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是①②④（请将所有正确结论的序号都填上）．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．【解答】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，∵AD=AD，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③错误；④如图，连接RS，与AP交于点D．在△ARD和△ASD中，，所以△ARD≌△ASD．∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．所以AP垂直平分RS，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题（请在答题的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）11．（2015•无锡）已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED；（2）∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．12．（2014秋•马鞍山期末）如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD 为一边作等边三角形CDE，连接AE．（1）求证：△CBD≌△CAE．（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形各内角为60°和各边长相等的性质可证∠ECA=∠DCB，AC=BC，EC=DC，即可证明△ECA≌△DCB；（2）根据△ECA≌△DCB可得∠EAC=60°，根据内错角相等，平行线平行即可解题．【解答】证明：（1）∵△ABC、△DCE为等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°，∵∠ACD+∠ACB=∠DCB，∠ECD+∠ACD=∠ECA，∴∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS）；（2）∵△ECA≌△DCB，∴∠EAC=∠DBC=60°，又∵∠ACB=∠DBC=60°，∴∠EAC=∠ACB=60°，∴AE∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ECA≌△DCB是解题的关键．13．（2015秋•无锡校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠PBQ的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形；（2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数，进而求得结论．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）由（1）知△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=30°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这两个性质是解决问题的关键．14．（2013秋•仪征市期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．（1）用含有t的代数式表示CP．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题；动点型；分类讨论．【分析】（1）求出BP=3t，即可求出答案；（2）求出BP、CQ、CP，根据全等三角形的判定推出即可；（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴BP=3t厘米，∵BC=8厘米，∴CP=（8﹣3t）厘米；（2）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴∠B=∠C，BD=5厘米，∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，∴CP=8厘米﹣3厘米=5厘米=BD，在△DBP和△PCQ中，，∴△DBP≌△PCQ（SAS）；（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，即①3t=xt，5=8﹣3t，解得：x=3（不合题意，舍去），②3t=8﹣3t，5=xt，解得：x=，即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分类讨论思想．。

苏科版八年级上册第一章全等三角形提优单元测试考试时间：90分钟满分：100分成绩：_______一、选择题（每题3分，共24分)1.已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，则能直接判定∠ABC∠∠DCB的方法是（）A. SASB.AASC.SSSD. ASA2.如图，已知OA=OB,OC=OD若∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC的度数为（）A.30°B.45°C.50°D.60°3.如图，D是AB上的一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC∠AB若AB=4，CF=3，则BD的长是（）A.0.5B.1C.1.5D.24.已知∠ABC的三个内角、三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和∠ABC全等的图形是（）A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙5.根据下列条件，能画出且只能画出一个∠ABC的是( )A. AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠A=30C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4D.∠C=90°，AB=66.如图，在5×5的正方形网格中，与∠ABC有一条公共边且全等（不与∠ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有( )A.5个B.6个C.7个D.8个7.如图，已知BA∠AE且BA=AE,BC∠CD且BC=CD，连接DE，分别过点E,B,D 作经过A,C两点的直线L的垂线，垂足分别为F,G,H，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的图形的面积S是（）A.50B.62C.65D.688.如图，在∠ABC中，D为BC的中点，若AC=3，AD=4。

则AB的长不可能是（）A．5B．7C．8D．9二、填空题（每题2分，共20分）9.如图，在∠ABC 和∠ADC 中，AB=AD,BC=DC ，∠B=130°，则∠D=______10.如图，在∠ABC 和∠DEF 中，∠B=∠E,BF ＝CE,B,F,C,E 四点在同一条直线上。

第一章全等三角形综合提优卷（时间：60分钟满分：100分）一、选择题（每题3分，共30分）1．有下列四种说法：①所有的等边三角形都全等；②两个三角形全等，它们的最大边是对应边；③两个三角形全等，它们的对应角相等；④对应角相等的三角形是全等三角形．其中正确的说法有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2△．在ABC△和A'B'C'中，下面能得到△ABC≌△A'B'C'的条件是()．A．AB＝A'B'，AC＝A'C，∠B＝∠B'；B．AB＝A'B'，BC＝B'C，∠A＝∠A'；C．AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠C＝∠C'；D．AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是()A．PO B．PQ C．MO D．MQ4．如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA＝AB＝2BC，D为AB的中点，则下面式子中不能成立的是()．A．∠1＋∠3＝90°C．∠3＝60°B．DE⊥AC且DE＝ACD．∠2＝∠35．如图所示，在△Rt ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝1：7，则∠BAC的度数为()．A．70°B．48°C．45°D．60°6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，（则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()．A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等7．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是()．第7题第8题第9题第10题A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB；D．DC＝BE8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE等于()．A．1B．3C．2D．2.59．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于()．A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论中正确的是()．A．AB－AD>CB－CD B．AB－AD＝CB－CDC．AB－AD<CB－CD D．AB－AD与CB－CD的大小关系不确定二、填空题（每题2分，共12分）11．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是_______．填一个即可）第11题第13题第14题第15题12△．在 ABC 中，∠C ＝30°△．将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°△得到 ADE ，AE 与 BC 交于F ，则∠AFB ＝_______．13．如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边 AB 、CD 、AD 、BC 上．①若 MN ＝EF ，则 MN ⊥EF ；②若 MN ⊥EF ，则 MN ＝EF ．你认为正确的是_______．（填序号）14．如图，有一个直角三角形 A BC ，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，一条线段 PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，问 P 点运动到_______位置时，才能使△ ABC ≌ △QP A ．15．在 △Rt ABC 中，∠ACB ＝90°．BC ＝2 cm ，CD ⊥AB ，在 AC 上取一点 E ，使 EC ＝BC ，过点 E 作 EF ⊥AC 交 CD 的延长线于点 F ，若 EF ＝5 cm ，则 AE ＝_______cm ．16．将长度为 20 cm 的铁丝折成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数为_______．三、解答题（共 58 分）17．如图，方格中有一个△ ABC ，请你在方格内，画出满足条件 A 1B 1＝AB ，B 1C 1＝BC ，∠A 1＝∠A △的 A 1B 1C 1，并判断△ A 1B 1C 1 与△ ABC 是否一定全等？18．如图，已知点 A 、E 、F 、C 在同一直线上，∠1＝∠2，AE ＝CF ，AD ＝C B ．请你判断BE 和 DF 的位置关系．19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，AD 与BE相交于点F．(1)△说明ABE≌△CAD的理由；(2)求∠BFD的度数．20．如图(1)，已知点C为线段AB上一点，△ACM△、BCN都是等边三角形．(1)求证：AN＝BM；(2)若把原题中“△ACM△和BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图(2)所示），AN与BM的关系如何？请说明理由．21．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC ＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数．22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是AD中点，CE交BA延长线于点F．(1)试说明：CD＝AF；(2)若BC＝BF，试说明：BE⊥CF．24．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．(1)求证：AB⊥ED；(2)若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．，25．某校七(1)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：①如图(1)所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长，②如图(2)所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．阅读后回答下列问题：(1)方案①是否可行？答：_______，理由是_______；(2)方案②是否可行？答：_______，理由是_______；(3)方案②中作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是_______，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°方案②的结论是否仍成立，答：_______．26．已知在△Rt ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为边AB的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F．当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图(1))，易证△S DEF＋△S CEF＝1△S AB C．2当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予说明；若不成立，△S DEF、△S CEF、△S ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需说明．参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．D8．C9．C10．A 11．AB＝DC(答案不唯一)12．90°13．①②14．AC中点15．316．817．略18．BE∥DF19．(1)略(2)60°20．(1)略(2)AN＝BM．理由略．21．39°22．相等23．(1)△易得DEC≌△AEF，所以CD＝AF(2)△说明BEC≌△BEF，得BE⊥CF．24．25．(1)可行△ABC≌△DEC(2)可行△ABC≌△EDC(3)略26．图(2)成立；图(3)不成立．。

苏科版数学新八年级暑假预习培优训练1.1全等图形一、选择题1．下列叙述中错误的是A.能够完全重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.两个周长相等的等腰三角形一定是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形2．在下列每组图形中，是全等形的是A. B.C. D.3．下列四个图形是全等图形的是A.和B.和C.和D.和4．下列四个汽车标志图案中，不存在全等图形的标志图案是A. B. C. D.5．下列说法：能够重合的两个图形一定是全等图形；两个全等图形的面积一定相等；两个面积相等的图形一定是全等图形；两个周长相等的图形一定是全等图形．这些说法中正确的是A. B. C. D.6．下列各组图形中，是全等图形的是A.两个周长相等的等腰三角形B.两个面积相等的长方形C.两个面积相等的直角三角形D.两个周长相等的圆二、填空题7．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与是全等形的有______．8．如图，图中由实线围成的图形与是全等形的有______填番号9．下列图形中的全等图形是_________．10．如图，与甲图案全等的图案是填序号．11．如图，四边形ABCD与四边形全等，则，，，．12．如图中全等的图形是和和和和和和填图形的序号三、解答题13．沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形．14．如图所示的是两个全等的五边形，，，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，各字母所表示的值．15．如图所示，已知四边形ABCD与四边形全等，，，试求出的度数．16．如图，把大小为的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，请在下图中沿着虚线画出四中不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．17．如图，试沿着虚线把图形分成两个全等图形．18．如图所示，在网格图中画出与已知图形全等的图形．苏科版数学新八年级暑假预习培优训练(教师卷）1.1全等图形一、选择题1．下列叙述中错误的是A.能够完全重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.两个周长相等的等腰三角形一定是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形答案：C解析：分析本题考查了全等图形的知识，要求同学们掌握全等图形的定义及性质．能够完全重合的两个图形叫做全等图形，结合各选项进行判断即可．详解解：能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项不符合题意；B.全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项不符合题意；C.两个周长相等的等腰三角形不一定是全等图形，故说法错误，故本选项符合题意；D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项不符合题意；故选C．2．在下列每组图形中，是全等形的是A. B.C. D.答案：C解析：【分析】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的概念根据能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解答】解：不是全等形，故此选项错误；B.不是全等形，故此选项错误；C.是全等形，故此选项正确；D.不是全等形，故此选项错误．故选C．3．下列四个图形是全等图形的是A.和B.和C.和D.和答案：C解析：分析根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．本题考查了全等图形的判定，能够完全重合的两个图形是全等图形；本题较简单．详解解：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．由图可得，、、图中的圆形在中间的三角形上，的圆在一边，所以，排除；又、、图中的圆，很明显图中的圆小于、中的圆；所以，排除；所以，能够完全重合的两个图形是、．故选C．4．下列四个汽车标志图案中，不存在全等图形的标志图案是A. B. C. D.答案：C解析：【分析】本题主要考查了全等图形的识别，全等图形是指能够完全重合的两个图形，全等图形要求大小，形状要相同，解答此题根据全等图形的定义判断即可．【解答】解：该图形圆中的三个标志全等，故A选项中有全等的图形；B.该图形中的图形内的两个箭头是全等的，故B选项中有全等图形；C.该图形椭圆中的三个图形大小不同，故C选项中没有全等图形；D.该图形的三个菱形是全等的，故D选项中有全等图形．故选C．5．下列说法：能够重合的两个图形一定是全等图形；两个全等图形的面积一定相等；两个面积相等的图形一定是全等图形；两个周长相等的图形一定是全等图形．这些说法中正确的是A. B. C. D.答案：A解析：解：能够重合的两个图形一定是全等图形，说法正确；两个全等图形的面积一定相等，说法正确；全等的两个图形的面积相等，但两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误；全等的两个图形的周长相等，两个周长相等的图形不一定是全等图形，说法错误；故选：A．依据全等图形的定义和性质进行判断即可．本题主要考查的是全等图形，能够完全重合的两个图形叫做全等形．6．下列各组图形中，是全等图形的是A.两个周长相等的等腰三角形B.两个面积相等的长方形C.两个面积相等的直角三角形D.两个周长相等的圆答案：D解析：【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解答】解：A、不一定是全等形，故此选项错误；B、不一定是全等形，故此选项错误；C、不一定是全等形，故此选项错误；D、是全等形，故此选项正确；故选D．二、填空题7．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与是全等形的有______．答案：，，解析：解：由图可知，图上由实线围成的图形与是全等形的有，，，故答案为：，，，根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，此题的关键是从边的角度来进行分析．8．如图，图中由实线围成的图形与是全等形的有______填番号答案：解析：解：由图可知，图上由实线围成的图形与是全等形的有，，故答案为：．根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，此题的关键是从边的角度来进行分析．9．下列图形中的全等图形是_________．答案：、、、解析：【分析】本题考查的是全等形的识别，做题时一定要看是否重合，属于较容易的基础题．要认真观察图形，从开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．【解答】解：由全等形的概念可知：共有4对图形全等，即与、与、与、能够重合．故答案为、、、．10．如图，与甲图案全等的图案是填序号．答案：解析：【分析】本题主要考查全等图形的定义根据能够完全重合的图形叫做全等形解答．【解答】解：能完全重合的图形叫做全等图形由题图知，图案、、均与图案甲不重合，图案旋转后与图案甲重合．故填．11．如图，四边形ABCD与四边形全等，则，，，．答案：120；70；12；6解析：【分析】本题考查全等图形的性质，比较简单，注意掌握全等图形能够完全重合且对应边、对应角相等．根据全等图形能够完全重合且对应边、对应角相等可得出各角的值．【解答】解：根据全等图形的性质得：，，，．故答案为：120；70；12；6．12．如图中全等的图形是和和和和和和填图形的序号答案：解析：略三、解答题13．沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形．答案：解：如图所示．答案不唯一或解析：略14．如图所示的是两个全等的五边形，，，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，各字母所表示的值．答案：解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和IJ，BC和对应角：和，和，和，和，和F.两个五边形全等，，，，，．解析：略15．如图所示，已知四边形ABCD与四边形全等，，，试求出的度数．答案：解：四边形ABCD与四边形全等，，，．又四边形的内角和为，．解析：【分析】本题考查全等图形的性质和四边形的内角和第，根据全等图形的性质：全等图形的对应角相等和四边形的内角和即可解答．16．如图，把大小为的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，请在下图中沿着虚线画出四中不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形．答案：解：四种不同的分法：．解析：本题主要考查了全等图形，利用对称性和互补性．可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．17．如图，试沿着虚线把图形分成两个全等图形．答案：解：如图：解析：略18．如图所示，在网格图中画出与已知图形全等的图形．答案：解：根据全等图形的定义以及每个图形在网格图中具体的形状来画图如图所示．解析：【分析】本题考查了全等图形和复杂作图根据全等图形的定义，利用平移的思想，在网格中作出已知图形的平移图形，即可得到原图形的全等图形．。

全等三角形培优习题1．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．2.如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B3．已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2A E AB A D =+,求∠ABC+∠ADC 的度数。

P ED CB A DC BA5．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．6．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积7．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．8．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD⊥CE(2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明9.如图，已知ABC ∆为等边三角形，D.E.F 分别在边BC.CA.AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？10.已知：如图点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ ∥AB ．11.如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点．① AD 平分∠BAC ，② DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，③ AD ⊥EF ．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．F E D C BA12、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？13、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90A E F ∠=，且EF 交正方形外角D C G ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证A M E E C F△≌△，所以A E E F =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如不正确，请说明理由．F B A D C EG 图1 F B A D C E G 图 2 F B AC E 图3 D。