组合数学引论课后习题答案

组合数学引论课后答案习题一1.1任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。

1.2任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数1.3任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数1.4在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋1.5将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题1.6从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除1.7从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除1.8任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。

1.10上题中若改成9个整点，问是否有相同的结论？试证明你的结论1.11证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。

1.12 证明：对任意的整数N ，存在着N 的一个倍数，使得它仅有数字0和7组成。

（例如，N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）1.13(1) 在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为12；(2) 在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为13；(3) 确定n m ，使得在一边长为1的等边三角形中任取n m 个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1n ；1.14 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。

1.15 从1,2,…,2n 中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为11.16 针对1.1节的例6，当m,n 不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一定成立习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

第一章排列组合1、在小于2000的数屮，有多少个正整数含有数字2?解：千位数为1或0,百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0,百位数不为2,十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10；千位数为1或0,百位数和H立数皆不为2,个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1=542。

2、在所有7位01串屮，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？解：(1)串屮有6个1： 1个0有5个位置可以插入：5种。

(2)串中有5个1,除去0111110,个数为(；)・1 = 14。

(或：(：)+2*(：) = 14)(3)串屮有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101,共(])-1 种；②其中两个0—组，另外一个单独，则有(；)戶(2,2)-(：)*2种。

(4)串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**,故共4*2种。

所以满足条件的串共48个。

3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文吋，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。

如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1, 2, 3, 4, 5, 6组成的各位数字互异的4位偶数共有n个，其和为m。

求n和m。

解：由1, 2, 3, 4, 5, 6组成的各位数字互异，且个位数字为2, 4, 6的偶数均有P(5,3)=60 个，于是：n 二60*3 二180。

以纲,出口3,如分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = ai+10a2+100a3+1000a4。

因为个位数字为2, 4, 6的偶数各有60个，故如二(2+4+6严60=720。

因为千(百，十)位数字为1, 3, 5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2, 4, 6的偶数各有2*P(4,2) = 24个,故a2 = a3 = 34 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。

第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：（答案略） （答案略）从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。

满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。

满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计个点. (b)(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案. [解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!××m!＝n!××m!=种方案。

第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。

满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。

满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。

满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。

满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

P3 习题1.11.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x-1，③x2+x+1，④x2-x+1，①②x2-1，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3-x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5-x4+x3-x2+x-1)}1.1.2 解⑴{x | x∈I+ , x<80}；⑵{x | x∈I且∃n∈I使x=2n+1}；⑶{x | x∈I且∃n∈I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y∈R , x2+y2<1}；⑸{(ρ,θ)| ρ,θ∈R, ρ>1}；⑹{ax+b=0| a,b∈R且a≠0}。

P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。

1.2.3 解：A=Φ，B={0}，C={…,-4,-2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,-4,-2,0,2,4…}，F={2,4}，G=Φ，H={…,-4,-2,0,2,4…}。

∴C=E=H，D=F，A=G。

1.2.4 答：四个全为真。

证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={Φ}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={Φ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{Φ} ；幂集的幂集{Φ,{Φ}}⑵幂集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}；幂集的幂集零元素子集{Φ,单元素子集{Φ} , {{Φ}} , {{a}} , {{Φ,a}},双元素子集{Φ,{Φ}} , {Φ,{a}} , {Φ,{Φ,a}} , {{Φ},{a}} , {{Φ},{Φ,a}} , {{a},{Φ,a}} ,三元素子集{Φ,{Φ},{a}} , {Φ,{Φ},{Φ,a}} , {Φ,{a},{Φ,a}} , {{Φ},{a},{Φ,a}}}，四元素子集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}} 。

组合数学（卢开澄）版 第四章答案4.1，若群G 的元素a 均可表示为某一个元素x 的幂，即a=x m，则称这个群为循环群，若群的元素交换律成立。

即a ，b ∈G 满足，a ·b=b ·a证明：令a= x m ，b= x n ，则a ·b= x m ·x n = x n ·x m=b ·a ，因此是阿贝尔群4.2若x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m=e ，则称m 为x 的阶，试证： C={e,x,x 2,…x m-1}是G 的一个子群。

证明：一个群G 的不空集合H 作成G 的一个子群的充分必要条件是：1,a b H ab H a H a H-∈⇒∈∈⇒∈,a b 是H 的任意元素。

由题意知C 中的任意两个元素如,a b C ∈则ab C ∈；a C ∈则1a C -∈。

所以21{,,,,}m C e x x x -= 是G 的一个子群。

4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n 。

证明； 因为G 中每有元素都能生成一个与元素等阶的子群，子群的阶当然不能超过群G 的阶；所以则G 的所有元素的阶都不超过n 。

4.4若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂： a 1 ，a 2 。

a n 的元素a 的数目。

证明： 若一个群G 的每一个元都是G 的某一固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号()G a =来表示。

所以就有一个这样的a ，即就有一个母元素。

4.5 试证循环群G 的子集也是循环群根据子群的定义，循环群G 的子群应满足循环群G 所满足的所有运算。

所以其子群页应该是循环群。

4.6若H 是G 的子群，x 和y 是G 的元素，试证xH ∩yH 或为空，或为xH=yHx,y ∉G若 xH ⋂yH ≠Φ可知：存在g ∈xH,g ∈yH 由g ∈xH,知存在h 1∈H,有g=xh 1;由g ∈yH,知存在h 2∈H,有g=yh 2; 从而有 xh1=yh2 ⇒x=y(h 2h 11-)------------式1任取z ∈xH,则存在h ∈H,有z=xh-------------------式2将-式1代入-式2： z=y(h 2h 11-)h=y(h 2h 11-h)--------- -式3H 是子群，有h 1，h 2，h ∈H 可推知，h 2h 11-h ∈H从而 y(h 2h 11-h) ∈yH.再由式3知 z ∈yH,这样我们就可推知xH ⊆yH 同理可推得 yH ⊆xH综上知道 yH=xH4.7若H 是G 的子群，H =k ，试证：xH =k ，其中x ∈GH =k设 H={n h h h h 32,1,} 同时对于i,j ∈{k ,3,2,1} 当i ≠j 时，有ah i≠ah j(否则，若有ah i =ah j ，由消去律得h i =h j ，矛盾) 表明{}n h h h h 32,1, 为n 个不同元而aH 恰有这些元组成， 故 aH =k, ∴aH =H4．8有限群G 的阶为n ，H 是G 的子群，则H 的阶必除尽G 的阶。

组合数学第四版答案组合数学第四版答案【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a- b|=5；（2）|a-b|?5；解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4 或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a- b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a 和b之间正好有3个女生的排列是多少？所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。

因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为ppnnn?1m(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。

3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。

解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。

解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）=25431783xx x--+,求序列{ n a } 解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n --2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。

解：母函数为239()156xG x x x-=--39(17)(18)x x x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A+7B=9+=⎧⎨--⎩ 解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。

新教材高中数学学生用书新人教A版选择性必修第三册：第1课时组合与组合数公式学习任务1．理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(数学抽象) 2．掌握组合数公式，并会应用公式求值．(数学运算)高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？知识点1 组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？知识点2 组合数及组合数公式1．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．2．组合数公式乘积式：C n m＝_________＝_________________．阶乘式：C n m＝_____________．规定：C n0＝________．2．“组合”与“组合数”是同一概念吗？它们有什么区别？1．(多选)下列选项是组合问题的是( )A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D．4本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法2．(1)C62＝________；(2)A42－C32＝________．3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________．类型1 组合的概念【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？[尝试解答]判断一个问题是不是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．[跟进训练]1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)2023年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？类型2 列举具体问题的组合【例2】(源自湘教版教材)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？[尝试解答]写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]2．已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．类型3 利用组合数公式化简、求值与证明利用组合数公式化简、求值【例3】计算：(1)C73＋C74；(2)C105C100－C1010；(3)已知1C5n −1C6n＝710C7n，求C8n．[尝试解答]利用组合数公式证明【例4】求证：C n m＝nn−m C n−1 m．[尝试解答](1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C n m中的n为正整数，m为自然数，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．[跟进训练]3．计算：C103·A33－C107．m−1．4．求证：mC n m＝nC n−1类型4 简单的组合问题【例5】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[尝试解答]解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟进训练]5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方法做这件事情？1．以下四个选项，属于组合问题的是( )A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2．计算：C42＋C43＝( )A．8 B．10 C．12 D．163．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A．A103种B．C103种C．C103A103种D．30种4．若A2n4＝120C n2，则n＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出本节课学习的公式吗？2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？3．写组合时可采取什么方法？把相同物品分给不同对象的分法种数把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？由于每个篮球都相同，因此只要指出每人所得篮球的个数即可，比如，甲得2个、乙得3个、丙得3个、丁得0个，就是一种满足条件的分法．可能有人会想到通过列举来求解上述问题，但是，经过简单的尝试之后，你就会发现，这个问题可能比想象中的难．注意到每一种满足条件的分法本质上就是把8个球分为了4堆，为此可借助3块隔板来实现．例如，前述满足条件的分法可以用图1表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的，第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的，第三块隔板后的篮球是分给丁的．容易知道，任何一种类似图1的排列都对应一种分法，例如，图2对应的分法为：甲得1个，乙得0个，丙得0个，丁得7个．这样一来，问题就转化为8个相同的篮球和3块相同的隔板，可以有多少种不同的排列方法．因为总共有8＋3＝11个位置，而且我们只需要从这11个位置中选出3个放置隔板(其余放置篮球)即可，因此不同的排列方法种数为C113＝11×10×9＝165．3×2×1也就是说，我们有165种不同的分法．有意思的是，如果设甲、乙、丙、丁4人所得篮球个数分别为x1，x2，x3，x4，则不难看出，我们得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非负整数解(x1，x2，x3，x4)个数为165．类似地，可以得到把n个相同的物品分给r个不同对象的方法数(其中r和n均为正整数)，也就是方程x1＋x2＋…＋x r＝n的非负整数解(x1，x2，…，x r)的个数，请自己尝试一下吧！6.2.3 组合6.2.4 组合数第1课时组合与组合数公式[必备知识·情境导学探新知]知识点1 一组思考1 提示：(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．知识点2 1．所有不同组合 C n m2．A n m A m m n(n−1)(n−2)…(n−m ＋1)m ！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) n ！m ！(n−m)！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) 1 思考2 提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一组对象；组合数是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．课前自主体验1．BD [AC 与顺序有关，是排列问题，BD 与顺序无关，是组合问题．]2．(1)15 (2)9 [(1)C 62＝6×52＝15． (2)A 42－C 32＝4×3－3×22×1＝12－3＝9．]3．ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd [可按a →b →c →d 顺序写出，即所以所有组合为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ．][关键能力·合作探究释疑难]例1 解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．跟进训练1．解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．例2解：如图所示，以A 为端点，到其余四点的线段有4条：AB ，AC ，AD ，AE ．A 不是端点，以B 为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC ，BD ，BE ； A ，B 都不是端点，C 为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD ，CE ；A ，B ，C 都不是端点，剩下两点D ，E 为端点的线段只有1条：DE ．共有4＋3＋2＋1＝10(条)不同的线段．跟进训练2．解：可按AB →AC →AD →BC →BD →CD 顺序写出，即所以所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ．例3 解：(1)C 73＋C 74＝7×6×53×2×1＋7×6×5×44×3×2×1＝35＋35＝70． (2)C 105C 100－C 1010＝10×9×8×7×65×4×3×2×1×1－1＝252－1＝251． (3)由1C 5n －1C 6n ＝710C 7n ，得n ！(5−n)！5！－n ！(6−n)！6！＝7×n ！(7−n)！10×7！， ∴1－6−n 6＝(6−n)(7−n)60， 即n 2－23n ＋42＝0，解得n ＝2或n ＝21，又0≤n ≤5，∴n ＝2，∴C 8n ＝C 82＝28．例4 证明：因为右边＝n n−m C n−1m ＝n n−m ·(n−1)！m ！(n−1−m)！＝n ！m ！(n−m)！＝C n m ＝左边，所以原等式成立．跟进训练3．解：C 103·A 33－C 107＝10×9×83×2×1×3×2×1－10×9×8×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1＝10×9×8－10×9×83×2×1＝720－120＝600．4．证明：因为m C n m ＝m ·n ！m ！(n−m)！＝n(n−1)！(m−1)！(n−m)！＝n ·(n−1)！(m−1)！(n−m)！＝n C n−1m−1，所以原等式成立．例5 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C 102＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 62种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 42种方法．根据分类加法计数原理，共有C 62＋C 42＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 62种，从4名女教师中选2名的选法有C 42种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 62×C 42＝15×6＝90(种)．跟进训练5．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1711＝12376．(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1711种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练做这件事情的方法种数为C 1711×C 111＝136136．[学习效果·课堂评估夯基础]1．C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．B [C 42＋C 43＝4×32×1＋4＝6＋4＝10．]3．B [三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 103．]4．3 [由A 2n 4＝120C n 2， 得2n (2n －1)(2n －2)(2n －3)＝120×n(n−1)2， 即n 2－2n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝3，因为n ≥2，所以n ＝3．]课堂小结1．提示：①C n m ＝A n m A m m ＝n ！m ！(n−m)！(n ，m ∈N *，且m ≤n )；②C n 0＝1．③C n m ＝C n n−m ；④C n m ＋C n m−1＝C n ＋1m ． 2．提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．3．提示：可采用“顺序后移法”或“树形图法”．。

组合数学引论课后答案习题一1.1 任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。

1.2 任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数 1.3 任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n 的倍数1.4 在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k 盘棋(k=1,2,…，21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋1.5 将1.1节例5推广成从1,2，…，2n 中任选n+1个数的问题1.6 从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除 1.7 从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除 1.8 任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。

1.10 上题中若改成9个整点，问是否有相同的结论？试证明你的结论 1.11 证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。

1.12 证明：对任意的整数N ，存在着N 的一个倍数，使得它仅有数字0和7组成。

（例如，N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）(1) 在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为12；(2) 在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为13；(3) 确定n m ，使得在一边长为1的等边三角形中任取n m 个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1n ；1.13一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。

1.14从1,2,…,2n中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为11.15针对1.1节的例6，当m,n不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一定成立习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。

组合数学第五版答案【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|?5；解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少？所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。

因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为ppnnn?1m(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。

因此，共有n!?(m?1)!种可能。

(c)男生a和女生b排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能，a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。