2019届北京市西城区高三上学期期末考试数学(文)试卷(word版)

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

高三数学（理科）2019.1合题目要求的一项•1. 已知全集 U= R ，集合 A={xx+1<0}，B={xx —3c0}，那么集合（Cu A ）Pl B = （A ）{x —1Exc3} （B ）{x —1cxc3} （0 {xx£_1}（D {XXA 3}2. 已知点A （_1,1），点B （2,y ），向量a = （1,2），若AB//a ，则实数y 的值为（A ）5（ B ）6（ C ）7（ D ）8 3.已知 ABC 中，a=1,b 「2，B=45；，则角A 等于（A ） 150：（B ）90（C ）60： （D ）30；(A ) A C_BD ( B ) / BA C =90〃1(C ) CA •与平面ABD 所成的角为30 ( D )四面体 A - BCD 的体积为-113&对于函数① f (x) =4x +— 一5，② f (x) =|log 2 x — (—)x ，③ f (x) = cos(x +2) -cosx , x 2判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1,2）上是增函数;北京市西城区20192019学年度第一学期期末试卷4.在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程(A ) Q 二COST ( B ) 亍二 si nr (C ) COST -1 (D ) sin v -1 5.阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数x 的取值范围是 (A ) (-：：，-2] (B ) [-2,-1] （C ） [-1,2] （ D ） [2,二）6.设等比数列"a n 匚的前n 项和为S n ,若8a 2 a 5 式子中数值不能确定的是(A )a 5(B )a 3S5 (C )也(D )S n1S 3 a nS n7.如图，四边形 BD 『2 , 对角线BD 折成四面体 A-BCD ，使平面ABD —平面BCD ，则下列结论正确的是ABCD 中，AB =AD =CD =1BD _ CD .将四边形 ABCD 沿下列命题乙： f （x）在区间（0, •：：）上恰有两个零点x1, x2，且^x2 :: 1.［来源：学科网］［来：学.科.网］能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A）①（B）②（C）①③（D）①②第n卷（非选择题共no分）、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.29. i为虚数单位，则------ 2（计）10. 在（2+x）5的展开式中，x2的系数为______ .［x-y+1 K0,11. 若实数x, y满足条件＜x + y£2, 则2x + y的最大值为______ .x＜1,12. 如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A B两点，BA =2 AP , PT与圆C相切于T点.已知圆C的半径为2 ,NCAB =30",则PT = _____ .［来源：学科网ZXXK］13•双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为___________ ；P,Q两点，且若双曲线C的右顶点为A，过A的直线丨与双曲线C的两条渐近线交于PA =2AQ，则直线丨的斜率为14. 在平面直角坐标系中，定义d（P,Q）=咅—x2+ % —y2为两点卩（为，％）, Q（X2,y2）之间的“折线距离”.则坐标原点O与直线2x + y-2j5 = 0上一点的“折线距离”的最小值是 __________ ；圆x2十y2 =1上一点与直线2x + y —2 J5 = 0上一点的“折线距离”的最小值是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数f（x） = 3sin 2x-2sin2x.［来源:］（i）若点p（1,-.3）在角〉的终边上，求f（＞）的值；江（n）若x［,］，求f （x）的值域.6 3坐标原点0在以MN 为直径的圆上，且“岂仝，求k 的取值范围216. (本小题满分13分)如图，在三棱柱 ABC - ABC 中，侧面ABBA , ACC 1A 1均为正方形，/ BAC = 90 , 点D 是棱BG 的中点.(I)求证：AD 丄平面BBGC ； (n)求证：AB,//平面 A 1DC ； (川)求二面角D - AC - A 的余弦值.17. (本小题满分13分)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,62个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率;3个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列.[来源：学科网ZXXK]18. (本小题满分13分)2 2已知椭圆 令y 2 =1 ( a b 0 )的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e .a b(n)设直线y = kx 与椭圆相交于• A , B 两点，M , N 分别为线段 AF 2, BF 2的中点.若(I)若从袋中每次随机抽取 的概率；1个球，有放回的抽取 2次，求取出的两个球编号之和为 6(n)若从袋中每次随机抽取 (川)若一次从袋中随机抽取 (I) 求椭圆的方程;B19. (本小题满分14分)1 2 已知函数f(x) ax-(2a 1)x 2In x (a R).2(I )若曲线y二f (x)在x =1和x = 3处的切线互相平行，求a的值；(n)求f (x)的单调区间；(川)设g(x) =x2 -2x，若对任意为• (0,2］，均存在x^ (0,2］，使得f(xj ：：： g(X2),求a的取值范围•［来源：学科网］20. (本小题满分14分)已知数列｛a n｝, ｛b n｝满足b n 二a. 1 - a.，其中n =1,2,3川I •(I)若a =1,b n二n，求数列｛a n｝的通项公式；(n)若bmb n^ =bn(n-2)，且b^ =1,b2 =2.(i)记C n =a6n」(n -1)，求证：数列｛C n｝为等差数列；(ii)若数列｛-a n｝中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项a应满n足的条件.北京市西城区2019 —2019学年度第一学期期末［来源:］高三数学参考答案及评分标准(理科) 2019.114. .5，兰2注：13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标 准给分.） 15. （本小题满分13分）解：（I ）因为.点P （1, —J3）在角0（的终边上，[来源：学科网ZXXK]所以 f(：)h 』3sin2： -2sin 2： =2、、3sin : cos ： -2sin 2：................. 4分3 1, 3 2 =2 ‘3 () 2 ()3..................... 5 分2 2 2(n) f(x)=、“3sin 2x -2sin 2x=、3sin2x cos2x-1 ................. 6分= 2sin(2 x —) -1 ,.................. 8 分65 ：：.因为［,］，所以 2x ■, .................. 10分6 366 61兀所以一三sin(2x)乞1 , ............... 11分26所以f(x)的值域是［-2,1］. .................... 13分［来源: ］16. （本小题满分13分）（I ）证明：因为侧面 ABBA , ACGA 均为正方形,所以 AA — AC,AA _ AB ,所以AA -平面ABC ，三棱柱ABC -'AB I G 是直三棱柱 因为ADu 平面ABG ，所以CG 丄AD ,9.一i10. 8011.412. 3 所以sin :二1 cos ：2又因为AB1二AC1 , D为BG中点，所以AD _ B1C1.因为CC1 PIRC1 =G,1分所以AD _平面BBGC . ............. 4分(n)证明：连结AC i，交AC于点0，连结0D ,因为ACGA为正方形，所以0为AC中点，又D为B1C1中点，所以0D为；A^C1中位线，所以AB // 0D , .................... 6分因为0D 平面A1DC , AB^平面ADC ,所以AB〃平面A i DC . .................... 8分(川)解：因为侧面ABB1A1, ACGA均为正方形，NBAC = 90",所以AB, AC, AA,两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 A - xyz .1 1设AB/，则C(0,1,0), B(1,0,0), A(0,0,1), D( , ,1).2 2A1D =(1,1,0)1 AC =(0,1, -1), .................... 9 分2 2[来源：学。

北京市西城区2019届高三数学上学期期末考试试题文一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合匚:：，那么..-■（）A. B.:」：C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A, B,由此能求出A H B.【详解】解：•••集合A= {x|x= 2k, k € Z},B= {x| x2w 5} = {x| 一J 匕、—},••• A H B= { - 2, 0, 2}.故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力, 是基础题.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增的是（）A. B. C. ■- J D. :-几【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.【详解】解：解：根据题意，依次分析选项：对于代y= x2+2x为二次函数，其对称轴为x =- 1,不是偶函数，不符合题意；对于B, y= x3,是奇函数，不符合题意；对于C, y= In |x| ，是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增，符合题意；对于D, y= cos x为偶函数，在区间（0, +R）上不是单调函数，不符合题意，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.3. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（正住）视图侧（左）视團俯视图A. .B. .C. .D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA!底面ABCDPA=2,底面是一个直角梯形，其中BC// AD,AB丄AD, BC=AB=1 AD=2 即可得出.【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PAL底面ABCD PA=2,底面是一个直角梯形，其中BC// AD AB L AD BC=AB=1 AD=2可知其最长棱长为PD . 丁丁2 .故选：C.【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题.严-y十M三04. 设x, y满足约束条件- ，则z=x+3y的最小值为（）I x + 2y > 0A. B.C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解， 把最优解的坐标代入目标函数得答案.徑-y 〈 3>0【详解】解：由x , y 满足约束条件作出可行域如图,I x + 2y > 0联立L ：,，解得 A ( 2 , - 1),一1 z化目标函数z = x +3y 为y =,由图可知，当直线 y ='过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为-1.5.执行如图所示的程序框图，若输入的 m =l ,则输出数据的总个数为()【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.【答案】B 【解析】【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题， 解题时应模拟程序框图的运行过程， 以便得出正确的结论，是基础题.6.设数列 是等比数列，则“ ”是一 •为递增数列”的()n 的值，模拟程序满足条件m €( 0, 100),执行循环体,满足条件 m € (0, 100), 执行循环体, 满足条件 m € (0, 100), 执行循环体, 满足条件 m € (0, 100), 执行循环体, 满足条件 m € (0, 100), 执行循环体, 满足条件 m € (0, 100), 执行循环体,n=3，输出n 的值为3, m=3 n=7，输出n 的值为7, m=7n=15，输出n 的值为15, m=15 n=31，输出n 的值为31, m=31n=63，输出n 的值为63, m=63 n=127，输出 n 的值为 127, m=127此时，不满足条件 m€( 0, 100),可得输出数据的总个数为 6.退出循环，结束.A. 5B. 6C. 7D. 8A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1= “1="二=-•时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1•已知集合八孩风・氷吐£｝，利，那么B-1（）A. |舐；曲| B•卜:讥汗C•隐:胡 D.卜*|【答案】B2•下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增的是（）A.卜=/斗心.B.』=討C. ；：■2|：〔D.卜7注【答案】C3•—个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）正（主靓图侧（左）视團俯视厨A. |制B. [.. ：]C.卜占：D.,【答案】Crx - y -F 3 > 04•设x, y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）I斗卜2丫王0A. B. |-.：；C. 1 D. 2【答案】A5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B6•设数列{备:是等比数列，则“屯I』”是“{%：为递增数列”的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B7设，是不共线的两个平面向量，已知忙一:十QR — f.若P,Q, R三点共线，贝y实数k的值为( )小] 1A. 2B. - 2C. -D. --2 2【答案】D8设双曲线1的左焦点为F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得p'p'/1 成立，则入=( )A. ;B.C.D. 0【答案】D二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9•复数z满足方程I - i ■ I,则旷_____________ .【答案】-1-i10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为___________ .【答案】(x-2) 2+y 2=211. 能说明“设函数f (X)的定义域为R,若f (0) =0，则f (x)是奇函数”为假命题的一个函数是________________ .【答案】f (x) =x212. 在厶 ABC 中，a =3 , b 瑯，B =2A ，则 cos A =【答案】实数b 的取值范围是=sin (2x+ )13•设函数 e , x<0 -x 2 + x+-, x>0则 f [f ( 0)]=；若方程f (x ) = b 有且仅有3个不同的实数根，则【答(1). (2).14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计)，并某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总 时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为 ___________ • 【答案】D三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.已知函数(n)若直线x =n 为函数f (x +a )图象的一条对称轴，求实数a 的值.案】1 x (I)百：(n) a==2cosx兀v'3 孑 21 .匣、百 sinx+ —cosx)-—2 2 2=sin xcosx+ cos X -要求听报告者••• T= n,(II )由(I)可知 f (x+a ) =sin (2x+2a+ p),Pl•••直线x=n为函数f (x+a )图象的一条对称轴，••• f (n + a)为f (x+a )的最大或最新值，即 f (n +a) =sin (2耳+ =sin (2a+=±1，1 1,k € z3 2_ 1…a= , k€ zb i ?UGr I —16.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，屯・寸，且a4+a5=6a3.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛log2a n｝的前n项和为S n,求S n的最小值.【答案】(I) a n=2 n-4(n) -6解：(I)各项均为正数的等比数列｛a n｝的公比设为q , q > 0 ,，且a4+a 5=6a 3,可得a1q= , a1q3+a 1q4=6a 1q2,解得q=2 , a1= —,Snt1则a n=a1q n-1= ?2n-1=2 n-4;8(n)设b n =log 2a n=log 22n-4=n-4 ,由1< n W4 时，b n W 0, n》5 时，b n > 0,可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6 .17•为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35) [35 , 40) [40 , 45]等级次品二等品存口寺口仃二等品二纶口一寺口仃次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表, 其中a>0).[15 , 20) 2[20 , 25) 18[25 , 30) 48[30 , 35) 14[35 , 40) 16[40 , 45]2合计100(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(n)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动•已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于［40, 45］的产品的概率；(川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.解：(I)由频率分布直方图得：(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080 )x 5=1,解得a=0.008 ,•••甲企业的样本中次品的频率为( a+0.020 )X 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14 •(n)记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于［40 , 45］的产品”为事件M,记质量指标值在［15 , 20］内的2件产品的样本分别为A i, A，质量指标值在［40 , 45］内的确件产品样本分别为B1, B2,从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有 （A i ，A 2）,（ A i ，B i ）,（ A i ，B 2），（ A 2，B i ）,（ A ，B 2），（ B i ，B 2），而事件M 包含的结果有4种，分别为：（A i ，B i ），（ A i ，B 2），（ A 2，B i ），（ A 2，B 2）, •••这两件次品中恰有一件指标值属于[40 , 45]的产品的概率 P — .6 3（川）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较， 由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， •认为乙企业产品的食品生产质量更高.【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查数形结合思想，是基础题.i8•如图，在三棱柱 ABC-A i B i C i 中，侧面B i BCG 是正方形，M, N 分别是A i B i, AC 的中点，AB 丄平面BCM.（I ）求证：平面 B i BCC 丄平面A i ABB i ;（H ）求证：A i N//平面 BCM;【答案】（I ）详见解析（H ）详见解析（川）6种，分别为:求棱锥C i -BB i M 的体积.BCM，BC?平面「. AB••• AB n BB i=B，• BC丄平面A i ABB i，••• BC?平面B i BCC i，...平面B i BCC i 丄平面A i ABB i;(H)设BC中点为Q,连结NQ, MQ,••• M , N 分别是A1B1, AC 的中点，••• NQ// AB ,且NQ= " AB, 2T AB // A1B1，且AB=A i B i,「. NQ / A i M，且NQ=A i M ,•四边形A i MQN是平行四边形，• A i N / MQ,■/ MQ?平面BCM，A1N?•- A i N //平面BCM.(川)连结A i B,根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A i B i C i的体积*〜日尺=1.日小，5 =兰,••• M为A i B i的中点，•棱锥C i-BB i M的体积乞占严=.仝心说=i9.已知椭圆C：二+ 1=血〉Q啲离心率为土，左、右顶点分别为A, B,点M是椭圆C上异于A, B的苕2 2一点，直线AM与y轴交于点P.(I)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；(H)设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°，求证:解：(I)由题意可得c2=a2-2,..e忑-e==,• a=2 , c=点，•••椭圆的方程为三+ =i ,设P (0 , m ),由点P在椭圆C的内部，得卫v m<J ,又T A (-2 , 0),又M为椭圆C上异于A , B的一点，<2…k AM €( — , 0), (0 ,(n)由题意F (|.J』，0),设Q ( 0 , y i) , M (X0 , y o),其中x o 工土2 ,y jQ直线AM的方程为y(x+2 ), AQ// BM.【答案】(I) (: , 0) ( 0,(n)详见解析•直线AM的斜率k AM= =0 + 2Xo + 22y I令x=0，得点P 的坐标为(0, ),h+q由/ PFQ=90。

北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1,2}C. {0,2}D. {−2,−1,0，1，2}2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则c等于()A. B. C. D.4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A. a2<abB. 1a >1bC. |a|<|b|D. (12)a<(12)b5.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. [−3,1]6.设a⃗，b⃗ 是两个向量，则“|a⃗+b⃗ |>|a⃗−b⃗ |”是“a⃗⋅b⃗ >0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. B. 18π C. 6π D. 3√3π8.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D，使得f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，那么称函数f(x)为对称函数．已知函数f(x)=√2−x−k是对称函数，则实数k的取值范围是()A. [2,94)B. (−∞,94)C. (2,94)D. (−∞,94]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于______.(用数字作答)10. 已知向量a ⃗ =(4,2)，向量b ⃗ =(x,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则|b ⃗ |=_____．11. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，同时a 9，a 1，a 5成等比数列，且a 1+3a 5+a 9=20，则a 13=______ ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______，侧面积为______．13. 双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为____________．14. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x −0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知函数f(x)=(2cos 2x −1)sin2x +12cos4x ．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2,π)时，若f(α)=√22，求α的值．16.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望;(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机⋅并说明理由．17.在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长；(3)在(2)的条件下，求直线CD与平面BDE所成角．18.设椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．19.已知函数．(Ⅰ)当a=2时，求曲线在y=f(x)点(1,f(1))处的切线方程：(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)求f(x)在[1,e]上的最小值．20.集合A={x|−1<x<3,x∈Z}的子集有多少个？并写出所有的子集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算，由交集的定义求解即可．解：因为A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，所以A∩B={0,2}．故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：本题考查正弦定理的运用，属于基础题．先利用三角形内角和定理求出A，再利用正弦定理求解即可．解：在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则A=180°−75°−45°=60°，故由正弦定理可得asinA =csinC,c=asinCsinA=10×√22√32=10√63．故选D．4.答案：D解析：解：∵a >b >0， ∴(12)a <(12)b ．故选：D ．利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，利用直线与圆相交或相切的条件求解． 解：∵直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点 ∴圆心到直线x −y +1=0的距离为√2≤√2 ∴|a +1|≤2 ∴−3≤a ≤1故选D ．6.答案：C解析：解：若|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |，则等价为|a ⃗ +b ⃗ |2>|a ⃗ −b ⃗ |2， 即|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ >|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 即4a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0成立， 反之，也成立，即“|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |”是“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的充要条件， 故选：C ．根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不向量数量积的应用是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，所以ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果． 解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ， 由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π． 故选A ．8.答案：A解析：本题主要考查了函数的值域，单调性，f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b，即a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根．利用换元法，结合范围得出结论．解：函数f(x)=√2−x −k 在(−∞,2]上是减函数，故满足条件①． 又f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，∴{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b,∴a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根． 令t =√2−x ，则x =2−t 2，t ≥0，∴关于t 的方程t 2−t +k −2=0在[0,+∞)上有两个不同的实数根， ∴{1−4(k −2)>0k −2≥0，解得2≤k <94，即实数k 的取值范围是[2,94). 故选A ．9.答案：40解析：解：由于(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)r，令r=2求得x2的系数等于C52×22=40，故答案为40．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10.答案：3√5解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，平面向量的坐标运算，向量的模，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．由向量的坐标，结合平行向量的条件，得到x 的值，从而得到向量的模长．解：向量a⃗=(4,2)，向量b⃗ =(x,3)，且a⃗//b⃗ ，则4×3−2x=0，解得x=6，所以b⃗ =(6,3)，所以|b⃗ |=√62+32=3√5，故答案为3√5．11.答案：28解析：本题考查等差数列的通项公式的运用、等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解：设{a n}的公差为d(d≠0)，由a9，a1，a5成等比数列，可得a12=a9a5，即a12=(a1+8d)(a1+4d)，化为3a1+8d=0①，由a1+3a5+a9=20，可得5a5=20，即有a1+4d=4②，由①②可得a1=−8，d=3，a n=a1+(n−1)d=−8+3(n−1)=3n−11，n∈N∗，a13=3×13−11=28．故答案为28．12.答案：12；27解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP=12AD⋅AP=6，S△ABP=12AB⋅AP=6，S△CDP=12CD⋅PD=152，S△CBP=12BC⋅BP=152．∴四棱锥的侧面积S=6+6+152+152=27.四棱锥的体积V=13S正方形ABCD⋅PA=13×32×4=12．故答案为12，27．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算体积和四个侧面的面积．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积和体积计算，属于中档题．13.答案：y=±√2x解析：本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．依据题意，求出a、c、b的值，再根据双曲线的焦点在x轴上，求出双曲线的渐近线方程．解：由2a=4，ca=√3，得a=2，c=2√3，b=2√2，所以渐近线方程为y=±√2x.故答案为y=±√2x.14.答案：45.6解析：先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售(15−x)辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式．解：依题意，可设甲销售x(x≥0)辆，则乙销售(15−x)辆，∴总利润S=5.06x−0.15x2+2(15−x)=−0.15x2+3.06x+30=−0.15(x−10.2)2+45.606，根据二次函数图象和x∈N∗，可知当x=10时，获得最大利润S=−0.15×102+3.06×10+30=45.6万元．故答案为45.615.答案：解：(1)因为f(x)=(2cos2x−1)sin2x+12cos4x=1sin4x+1cos4x=√22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函数的最大值为：√22．(2)∵f(x)=√22sin(4x+π4)，f(α)=√22，所以sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈(π2, π)，∴α=916π．解析：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．(1)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f(x)的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；(2)通过α∈(π2, π)，且f(α)=√22，求出α的正弦值，然后求出角即可．16.答案：解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950．(2)由题意，X 的所有可能取值为：0,1,2.因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是1575=15，所以P(X =0)=C 2×(1−15)2=1625， P(X =1)=C 21×15×(1−15)=825，P(X =2)=C 22×(15)2=125，所以随机变量X 的分布列为：故E(X)=0×1625+1×825+2×125=25． (3)答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225因为11615>225，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．解析：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．(1)根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；(2)依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是1575=15，所以X ～B(2,15)即可求出X 的分布列和数学期望；(3)可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．17.答案：(1)证明：取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，连接OM ，OD ，DN ，MN ，∵O ，M ，N 分别是BC ，AB ，BE 的中点， ∴OM//AC ，MN//AE ，MN =12AE =1， ∵BD =CD ，O 是BC 的中点，∴OD ⊥BC ， ∵平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC =BC ， ∴OD ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ， ∴OD//AE ，∵△BCD 是等腰直角三角形，BC =2，∴OD =1， ∴OD//MN ，OD =MN ，∴四边形OMND 是平行四边形，∴DN//OM ， ∴DN//AC ，又DN ⊂平面BDE ，AC ⊄平面BDE ， ∴AC//平面BDE ．(2)解：∵△ABC 是等边三角形，∴OA ⊥BC ，以O 为原点，以OB ，OA ，OD 为坐标轴建立空间坐标系O −xyz ，如图， 则O(0,0，0)，D(0,0，1)，B(1,0，0)，设AE =m(m >0)，则E(0,√3,m)， ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,m −1)， 设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0√3y +(m −1)z =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，又平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√(1−m)23+2，令√(1−m)23+2=cos60°=12，解得m =1+√6． ∴AE =1+√6．(3)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，m⃗⃗⃗ =(1,−√2,1)， ∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√2×2=√22， ∴直线CD 与平面BDE 所成角的正弦值为√22，故直线CD 与平面BDE 所成角为45°．解析：(1)取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，证明四边形OMND 是平行四边形得出DN//OM ，又OM//AC 即可得出DN//AC ，于是AC//平面BDE ；(2)以O 为原点建立空间坐标系，设AE =m ，求出两平面的法向量，令法向量夹角余弦值的绝对值等于12计算m 的值即可；(3)计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BDE 的法向量的夹角余弦值得出所求的线面角．本题考查线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18.答案：解：(1)c =√2−1=1，∴F(1,0)， ∵l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为x =1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2；(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1<√2，x 2<√2，则k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2，由y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k ，得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1 +x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1，可得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则Δ>0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k=12k 2+1(4k 3−4k −12k 3+8k 3+4k)=0， 从而k MA +k MB =0， 故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA =∠OMB ，综上，∠OMA =∠OMB ．解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题． (1)先得到F 的坐标，再求出点A 的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．19.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，，f (1)=12，f′(x )=2x −12x 2，∴f′(1)=32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12=32(x −1)， 即3x −2y −2=0． (Ⅱ)f′(x )=2ax−12x 2，∵f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数， ∴f′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，∴只需{2a −1≥04a −1≥0，解得a ≥12，所以，当a ≥12时，f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数． (Ⅲ)f′(x )=2ax−12x 2，①当a ≤0时，f′(x )<0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e．②当0<a ≤12e 时，12a ≥e ，f′(x )≤0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e ．③当12e <a <12时，1<12a <e ，令f′(x )<0，解得1<x <12a ， 令f′(x )>0，解得12a <x <e ，∴f(x)在区间(1,12a )上单调递减函数，在区间(12a ,e)上单调递增函数，．④当a≥1时，f′(x)≥0在x∈[1,e]上恒成立，2∴f(x)在区间[1,e]上是单调递增函数，∴f(x)min=f(1)=1．2综上，．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性最值，属于较难题．(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，即可求得切线方程;(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，则fˈ(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，解得a≥1；2(Ⅲ)对a进行分类讨论求出函数的单调区间，即可求出最值．20.答案：8；ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}．解析：A={0,1,2}，所以真子集共23=8个，分别是ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}．。

2北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末试卷第I 卷（选择题共40分）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.21.已知集合 A {x|x 2k, k Z}, B {x| x < 5},那么 AI B(B){ 2,0,2}(D) { 2,2}3. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为y 3> 0,y 3< 0,则 z 2yA 0,(B)(C)(D) 2.2'.石正（主）视图2侧（左）视图俯视图1(A) 1(B) 2(C) 1(D)高三数学（文科）2019.1(A){0,2,4}(C) {0,2}2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0, ）上单调递增的是,.、2 -3(A) y x 2x (B) y x(C) y ln|x| (D) y cosx4 .设x, y 满足约束条件xx 3y 的最小值为25.执行如图所示的程序框图，若输入的(A) 5(B) 6(C)7(D)86.在等比数列a n中，“ a2a i ”是“ a n为递增数列”的(A)充分而不必要条件(C)充要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件7.设a, b是不共线的两个平面向量，已知uur uuuPQ a kb, QR 2a b.若P,Q,R 三点共线,则实数k的值为c c "、 1(A) 2 (B) 2 (C)—2(D)8 .2设双曲线C： X2— 1的左焦点为3F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不uur uur同的点P使得PF PA=成立，则(A) 22(B) 1(D) 0m 1 ,则输出数据的总个数为第II 卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .复数z 满足方程1 i z i ,则z .......210 .以抛物线y 8x 的焦点为圆心，且与直线 y x 相切的圆的方程为 f(x)的定义域为R,若f(0) 0,则f(x)是奇函数”为假命题的一个函数是e x , x<0,2 1 n 则 f[f(0)]x x , x 0,4同的实数根，则实数 b 的取值范围是14 .在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计)，并要求听报告者不能迟到和早退.某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不11.能说明“设函数12.在 ABC 中,b 2层,B 2A,贝U cosA13.设函数f(x) ；若方程f(x) b 有且仅有3个不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、15.(本小题满分13分)已知函数f(x) 2cosxsin(x -)—.3 2(I)求f(x)的最小正周期；(n)若直线x兀为函数f(x a)图象的一条对称轴，求实数16.(本小题满分13分)在各项均为正数的等比数列a n中，a2［，且a4a56a3.4(I)求数列a n的通项公式；证明过程或演算步骤. a的值.(n )设数列log2 a n的前n项和为a ,求S的最小值.17.（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下:质量指标值[15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下，其中a 0）质量指标值频数[15,20) 2[20,25) 18[25,30) 48[30,35) 14[35,40) 16[40,45] 2合计100甲企业乙企业（D现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（n）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动.已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40,45]的产品的概率；（出）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.18.（本小题满分14分）如图，在三^柱ABC AB1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M ,N分别是AB1 , AC的中点，AB 平面BCM .（I ）求证：平面B1BCC1 平面A1ABB1 ；（II）求证：AN〃平面BCM ;（出）若三棱柱ABC ABG的体积为10,求棱锥C1 BBiM的体积.19.(本小题满分14分)已知椭圆C:勺y- 1(a 柩的离心率为—,左、右顶点分别为A,B ,点M是椭圆a 2 2 C上异于A B的一点，直线AM与y轴交于点P .(I )若点P在椭圆C的内部，求直线 A M的斜率的取值范围；(n)设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且PFQ 900,求证：AQ//BM .20.(本小题满分13分)已知函数f(x) lnx x a,其中a R.(I)如果曲线y f(x)与x轴相切，求a的值；(n)若a ln2e,证明：f(x)<x；(m)如果函数g(x) 在区间(1, e)上不是单调函数，求a的取值范围. x新课标第一网。

北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2019.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B =（A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A ）lg y x =（B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是 （A ）11a b< （B ）33a b >（C ）22a b >（D ）a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （A ）12（B ）60（C ）75（D ）1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7． 如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C '∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值. 16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：11C A B C ⊥. 17.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 18.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长倍.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积. 19.（本小题满分14分）ABCDC 1 A 1B 1已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠. （ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科） 2019.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 60 11. 412.13. (2,0)±0y ±= 14. ①③④注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()6f π22sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分（Ⅱ）()f x cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分 所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1A C ，设1A C 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分因为11ACC A 为正方形，所以O 为1A C 中点， 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD . ………………4分 因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥， 且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分AB CDC 1A 1B 1O（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,c a ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k =-+， 所以222412(,)1212k k B k k --++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-， 解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分 O 到直线1:12l y x =+ ………………11分AB ==………………12分所以△OAB 的面积为1223=. ………………13分 19.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a -+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分 所以21ln()a >---， 解得31ea <-. ………………14分 20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分 又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时， 当21()n k k =+∈*N 时，123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分 所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. ………………8分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b ，且这六个数的和为222b b++. 设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++所以，数列}{6i n a +均为以222b b++为公差的等差数列. ………………10分 因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分。

【区级联考】北京市西城区2019届高三第一学期期末数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么AB =( )A ．{0,2,4}B ．{2,0,2}-C ．{0,2}D ．{2,2}- 2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．22y x x =+ B ．3y x = C ．ln y x = D ．cos y x = 3．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（ ）ABC．D4．设x ，y 满足约束条件303020x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =x +3y 的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，若输入的m =1，则输出数据的总个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．设{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ a kb =+，2QR a b =-．若P ，Q ，R 三点共线，则实数k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 8．设双曲线2213y C x -=：的左焦点为F ，右顶点为A ．若在双曲线C 上，有且只有3个不同的点P 使得PF PA λ⋅=成立，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．0二、填空题9．复数z 满足方程1i z i -⋅=，则z =______．10．以抛物线y 2=8x 的焦点为圆心，且与直线y =x 相切的圆的方程为______．11．能说明“设函数f （x ）的定义域为R ，若f （0）=0，则f （x ）是奇函数”为假命题的一个函数是______．12．在△ABC 中，a ＝3，b =B ＝2A ，则cosA ＝_____．13．在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．三、双空题14．设函数()20104x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++⎪⎩，，＞则f [f （0）]=______；若方程f （x ）=b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b 的取值范围是______．四、解答题15．已知函数()232f x cosxsin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若直线x =π为函数f （x +a ）图象的一条对称轴，求实数a 的值．16．在各项均为正数的等比数列{a n }中，214a =，且a 4+a 5=6a 3． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{log 2a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．17．为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a ＞0）．（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．18．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC 的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．19．已知椭圆C ：(22212x y a a +=的离心率为2，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且∠PFQ =90°，求证：AQ ∥BM ． 20．已知函数()ln f x x x a =-+，其中a R ∈．(Ⅰ)如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；(Ⅱ)若ln2a e =，证明：()f x x ≤；(Ⅲ)如果函数()()2f x g x x =在区间()1,e 上不是单调函数，求a 的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，B ＝{x |x 2≤5}＝{x|x ≤≤}，∴A ∩B ＝{﹣2，0，2}．故选B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x 为二次函数，其对称轴为x ＝﹣1，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，y ＝x 3，是奇函数，不符合题意；对于C ，y ＝ln |x |()00lnx x ln x x ⎧=⎨-⎩，＞，＜，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D ，y ＝cos x 为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD==．故选C．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题．4．A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足约束条件303020x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩作出可行域如图，联立2030x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（2，﹣1），化目标函数z＝x+3y为y133zx=-+，由图可知，当直线y133zx=-+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．B【分析】由12a a <，可得1(1)0a q ->，解得101a q >⎧⎨>⎩或101(0)a q q <⎧⎨<≠⎩，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则12a a <，可得1(1)0a q ->，解得101a q >⎧⎨>⎩或101(0)a q q <⎧⎨<≠⎩， 此时数列{}n a 不一定是递增数列；若数列{}n a 为递增数列，可得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩， 所以“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．D【解析】【分析】由题意可得出0QR ≠，而P ，Q ，R 三点共线，从而得出PQ 与QR 共线，从而存在实数λ，使得PQ QR λ=，从而得出2a kb a b λλ+=-，这便得出12k λλ=⎧⎨=-⎩，解出k 即可． 【详解】解：∵a b ，是不共线的两个平面向量；∴20a b -≠；即0QR ≠；∵P ，Q ，R 三点共线；∴PQ 与QR 共线；∴存在λ，使PQ QR λ=；∴2a kb a b λλ+=-；∴根据平面向量基本定理得，21k λλ=⎧⎨=-⎩； 解得12k =-． 故选D ．【点睛】本题考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．8．D【解析】【分析】 设出P 的坐标，求出双曲线2213y C x -=：的左焦点为F ，右顶点为A ．利用推出λ的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．【详解】 解：双曲线2213y C x -=：的左焦点为F （﹣2，0），右顶点为A （1，0）．设P （m ，n ），可得：2213n m -=，推出n 2＝3m 2﹣3， PF =（﹣2﹣m ，﹣n ），PA =（1﹣m ，﹣n ），PF PA λ⋅=，可得λ＝（m +2）（m ﹣1）+n 2＝4m 2+m ﹣5，m ∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），如图：当λ＝0时，有且只有3个不同的点P使得PF PAλ⋅=成立，故选D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．9．-1-i【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由1﹣i•z＝i，得iz＝1﹣i，则z()()2111i iiii i---===---．故答案为﹣1﹣i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10．（x-2）2+y2=2【分析】依题意可求得抛物线焦点即圆心的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得．【详解】解：依题意可知抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），到直线直线y＝x的距离即圆的半径为= 故圆的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝2．故答案为（x ﹣2）2+y 2＝2．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，圆的方程，点到直线的距离等问题．属基础题． 11．f （x ）=x 2【解析】【分析】可取f （x ）=x 2，可得定义域为R ，计算f （-x ）与f （x ）比较可得f （x ）为偶函数．【详解】可取f （x ）=x 2，可得f （x ）的定义域为R ，且f （0）=0，但f （-x ）=（-x ）2=x 2=f （x ），可得f （x ）为偶函数．可说明“设函数f （x ）的定义域为R ，若f （0）=0，则f （x ）是奇函数”为假命题． 故答案为f （x ）=x 2．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查判断能力和运算能力、推理能力，属于基础题．12【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【详解】解：∵a ＝3，b =B ＝2A ， ∴由正弦定理可得：2a b b sinA sinB sinAcosA==，∴cosA 2b a ===．故答案为3． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题． 13．D【解析】【分析】当甲乙两人中某人听报告D ，通过数据比对与分析，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ， 甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ．【详解】解：通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ，当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ，故听报告D 最不合适，故答案为D ．【点睛】本题考查了对数据的分析能力及进行简单的合情推理，属简单题．14．14 （14，12） 【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b 的范围.【详解】解：函数()20104x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++⎪⎩，，＞则f [f （0）]＝f （e 0）＝f （1）14=． x ≤0时，f （x ）≤1，x ＞0，f （x ）＝﹣x 2+x 14+，对称轴为：x 12=，开口向下， 函数的最大值为：f （12）11114242=-++=，x →0时，f （0）→14， 方程f （x ）＝b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b 的取值范围是：（14，12）．故答案为14；（14，12）．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用． 15．（Ⅰ）π（Ⅱ）a=1πk π212+，k ∈z 【解析】【分析】（I ）利用和角正弦公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式T=即可求解；（II ）由（I ）可求f （x+a ），然后结合对称轴处函数取得最值可求a.【详解】解：（I ）∵()πf x 2cosxsin x 32⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．=2cosx （12）-2x -=1sin2x 2+ =sin （2x+1π3）∴T =π，（II）由（I）可知f（x+a）=sin（2x+2a+1π3），∵直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，∴f（π+a）为f（x+a）的最大或最新值，即f（π+α）=sin（12π2aπ3++）=sin（2a+1π3）=±1，∴112aππkπ32+=+，k∈z∴a=1πkπ212+，k∈z【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及三角公式中的和角公式，辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式．16．（Ⅰ）a n=2n-4（Ⅱ）-6【解析】【分析】（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式，解方程即可得到所求首项和公比，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，求得数列{b n}的项的正负，即可得到所求最小值．【详解】解：（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，21a4=，且a4+a5=6a3，可得a1q=14，a1q3+a1q4=6a1q2，解得q=2，a1=18，则a n=a1q n-1=18•2n-1=2n-4；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，由1≤n≤4时，b n≤0，n≥5时，b n＞0，可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17．（Ⅰ）0.14（Ⅱ）23（Ⅲ）乙【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出a=0.008，从而甲企业的样本中次品的频率为0.14，由此能求出从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，由此能求出这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率．（Ⅲ）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，得到乙企业产品的食品生产质量更高．【详解】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，解得a=0.008，∴甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）×5=0.14，故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2），而事件M包含的结果有4种，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），∴这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率P=42 63 ．（Ⅲ）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，∴认为乙企业产品的食品生产质量更高．【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）53【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AB ⊥BC ，BB 1⊥BC ，从而BC ⊥平面A 1ABB 1，由此能证明平面B 1BCC 1⊥平面A 1ABB 1．（Ⅱ）设BC 中点为Q ，连结NQ ，MQ ，推导出四边形A 1MQN 是平行四边形，从而A 1N ∥MQ ，由此能证明A 1N ∥平面BCM ．（Ⅲ）连结A 1B ，根据棱柱和棱锥的体积公式，三棱锥B ﹣A 1B 1C 1的体积11111111033B A BC A B C ABC V V --==，棱锥C 1﹣BB 1M 的体积1111C BB M B B C M V V --=，由此能求出结果． 【详解】证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，∴AB ⊥BC ，∵正方形B 1BCC 1，∴BB 1⊥BC ，∵AB ∩BB 1=B ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1，∵BC ⊂平面B 1BCC 1，∴平面B 1BCC 1⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）设BC 中点为Q ，连结NQ ，MQ ，∵M ，N 分别是A 1B 1，AC 的中点，∴NQ ∥AB ，且NQ=12AB ， ∵AB ∥A 1B 1，且AB=A 1B 1，∴NQ ∥A 1M ，且NQ=A 1M ，∴四边形A 1MQN 是平行四边形，∴A 1N ∥MQ ，∵MQ ⊂平面BCM ，A 1N ⊄∴A 1N ∥平面BCM ．（Ⅲ）连结A 1B ，根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A 1B 1C 1的体积111B A B C V -=111A B C ABC 1V 3-=103， ∵M 为A 1B 1的中点，∴棱锥C 1-BB 1M 的体积11C BB M V -=11B B C M V -=1B A BM 1V 2-=53． 【点睛】 本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（Ⅰ）（，0）（0）（Ⅱ）详见解析 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c 2＝a 2﹣2，由e 2c a ==，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F 0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则220042x y +=1，可得直线AM 的方程y 002y x =+（x +2），求出点Q 的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM ﹣k AQ ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c 2=a 2-2，∵e=c a =2，∴a=2，， ∴椭圆的方程为2x 4+2y 2=1，设P （0，m ），由点P 在椭圆C 的内部，得m ，又∵A （-2，0），∴直线AM 的斜率k AM =m 002-+=m 2∈（）， 又M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点， ∴k AM ∈（-2，0），（0，2）， （Ⅱ）由题意F，0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2， 则20x 4+20y 2=1， 直线AM 的方程为y=00y x 2+（x+2）， 令x=0，得点P 的坐标为（0，002y x 2+）， 由∠PFQ =90°，可得PF •FQ =0，∴（002y x 2+）•（，y 1）=0， 即2+002y x 2+•y 1=0， 解得y 1=-200x 2y +， ∴Q （0，-200x 2y +）， ∵k BM =00y x 2-，k AQ =-00x 22y +， ∴k BM -k AQ =00y x 2-+00x 22y +=0， 故k BM =k AQ ，即AQ ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20．（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）（23-ln2，1） 【分析】 （Ⅰ）先求导，再根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）构造函数F （x ）=f （x ）-x=lnx-2x+ln2e ，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明（Ⅲ）先求出函数g （x ）在（1，e ）上是单调函数a 的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．【详解】解：（I ）求导．得f ′（x ）=1x -1=1x x- ∵曲线y=f （x ）与x 轴相切，∴此切线的斜率为0．由f ′（x ）=0，解得x=1，又由曲线y=（x ）与x 轴相切，得f （1）=-1+a=0解得a=1．（II ）证明：由题意，f （x ）=lnx-x+ln2e ，令函数F （x ）=f （x ）-x=lnx-2x+ln2e求导，得F ′（x ）=1x -2=12x x- 由F ′（x ）=0，得x=12， 当x 变化时，F ′（x ）与F （x ）的变化情况如下表所示：∴函数F （x ）在（0，12）上单调递增，在（12，+∞）单调递减， 故当x=12时，F （x ）max =F （12）=ln 12-1+ln2e=0， ∴任给x ∈（0，+∞），F （x ）=f （x ）-x ≤0，即f （x ）≤x ，（Ⅲ）由题意可得，g （x ）=2lnx x a x-+，∴g ′（x ）=2x 2lnx 12a x -+-， 当g ′（x ）≥0时，在（1，e ）上恒成立，函数g （x ）单调递增，当g ′（x ）≤0时，在（1，e ）上恒成立，函数g （x ）单调递减，∴x-2lnx+1-2a ≥0在（1，e ）上恒成立，或x-2lnx+1-2a ≤0在（1，e ）上恒成立， ∴2a ≤x-2lnx+1在（1，e ）上恒成立，或2a ≥x-2lnx+1在（1，e ）上恒成立， 令h （x ）=x-2lnx+1，∴h ′（x ）=1-2x =x 2x-， 由h ′（x ）=0，解得x=2，当x ∈（1，2）时，h ′（x ）＜0，函数h （x ）单调递减，当x ∈（2，e ）时，h ′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∵h （1）=2，h （e ）=e-2+1=e-1，∴h （x ）max =h （1）=2∴h （x ）min =h （2）=3-2ln2，∴2a ≥2或2a ≤3-2ln2，∴a ≥1或a ＜32-ln2， ∵函数()()2f x g x x =在区间（1，e ）上不是单调函数， ∴23-ln2＜a ＜1， 故a 的取值范围为（23-ln2，1）． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．。