2018版高中数学人教版a版必修一学案：第一单元 1.3.2 奇偶性含答案

奇偶性教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数＝与＝－既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排课时导入新课思路．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究．思路．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数＝和＝的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))()如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图()如何利用函数的解析式描述函数的图象关于轴对称呢？填写表和表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？()偶函数的图象有什么特征？()函数()＝，∈[－]是偶函数吗？()偶函数的定义域有什么特征？()观察函数()＝和()＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：()观察图象的对称性．()学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．()利用函数的解析式来描述．()偶函数的性质：图象关于轴对称．()函数()＝，∈[－]的图象关于轴不对称；对定义域[－]内＝，(－)不存在，即其函数的定义域中任意一个的相反数－不一定也在定义域内，即(－)＝()不恒成立．()偶函数的定义域中任意一个的相反数－一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．()先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则－也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：()这两个函数之间的图象都关于轴对称．()(－)＝()；(－)＝()；(－)＝()．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个，都有(－)＝()．()一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(－)＝()，那么函数()就叫做偶函数．()偶函数的图象关于轴对称．()不是偶函数．()偶函数的定义域关于原点对称．()一般地，如果对于函数()的定义域内的任意一个，都有(－)＝－()，那么函数()就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．(\\(应用示例))思路例判断下列函数的奇偶性：()()＝；()()＝；。

【巩固练习】1．函数2()||f x x x =+的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．不具有对称轴2．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 43．设函数3()1f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）A.-3B.3C.-5D. 54．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)3(=f ，则使0)(<x f 的x 的范围是A ．)3,(-∞B ．),3(+∞C ．),3()3,(+∞-∞D ．)3,3(-6．（2016 天津静安区二模）若函数2()()x F x f x =+为奇函数，且g （x ）=f （x ）+2，若f （1）=1，则g （－1）的值为（ ）A ．－1B ．－3C ．2D ．－27．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是( )A ．)23(-f >)252(2++a a fB ．)23(-f <)252(2++a a fC ．)23(-f ≥)252(2++a a fD ．)23(-f ≤)252(2++a a f 8．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）．A ．()f x 为奇函数B ． ()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数9．已知函数)(x f 为奇函数，且当x ＞0时,xx x f 1)(2+=，则)1(-f 的值为 （ ） A ．2 B ．﹣2 C ．0 D ．110．（2016 浙江绍兴一模）已知函数222,0()2,0x x x f x ax x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是奇函数，则a =____，f （f （1））=____． 11．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-= .12．已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -，则()f x 的值域 ． 13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．(1)()f x = (2) 2,1,1(),1122,1x x f x x x x +<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩14．已知奇函数()f x 在（-1，1）上是减函数，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．15．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,a b R ∈都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+．（1）求(0),(1)f f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论．16．（2016 江苏扬州一模）定义在[－1，1]上的函数y =f （x ）是增函数且是奇函数，若f （－a +1）+f （4a －5）＞0．求实数a 的取值范围．17．函数f (x )对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f (x )+f (y )成立，且当x ＞0时f (x )＜0恒成立．（1）证明函数f (x )的奇偶性；（2）若f (1)= －2，求函数f (x )在[－2，2]上的最大值；（3）解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->-- 【答案与解析】1. 【答案】B.【解析】因为22()()||||()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称.2. 【答案】B.【解析】 奇次项系数为0,20,2m m -==3. 【答案】C.【解析】因为3()1f x ax bx +=+是奇函数，所以3()1f x ax bx -+=--，所以(1)1((1)1)f f -+=--+(1)1(1)1,31(1)1,(1)5f f f f ∴-+=--∴+=--∴=-.4. 【答案】A.【解析】 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性5. 【答案】A.【解析】 ()()()()F x f x f x F x -=--=-6．【答案】A【解析】∵函数2()()x F x f x =+为奇函数，∴F （－X ）=－F （x ）．由f （1）=1，则F （1）=2，∴F （－1）=－2，即f （－1）+1=－2，∴f （－1）=－3，∴g （－1）=f （－1）+2=－1故选A ．7. 【答案】C.【解析】 225332(1)222a a a ++=++≥，2335()()(2)222f f f a a -=≥++ 8. 【答案】C.【解析】解法一：（特殊函数法）由条件1212()()()1f x x f x f x +=++可取()1f x x =-，所以()1f x x +=是奇函数.解法二：令120x x ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，∴(0)1f =-令12,x x x x ==-，则(0)()()1f f x f x =+-+，[][]()1()10f x f x ∴++-+=，()1f x ∴+为奇函数，故选C.9. 【答案】21x x --+【解析】 设0x <，则0x ->，2()1f x x x -=+-，∵()()f x f x -=-∴2()1f x x x -=+-，2()1f x x x =--+10．【答案】－1，1【解析】若函数f （x ）是奇函数，则f （－1）=－f （1），即a +2=－（1－2）=1，则a =－1，则f （1）=1－2=－1，f （－1）=a +2=－1+2=1，故答案为：－1，111. 【答案】15-【解析】 ()f x 在区间[3,6]上也为递增函数，即(6)8,(3)1f f ==-2(6)(3)2(6)(3)15f f f f -+-=--=-12．【答案】311,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数2()3f x ax bx a b =+++为[]1,2a a -上的偶函数，所以120,0,a a b -+=⎧⎨=⎩即1,30.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩即21()13f x x =+，所以21()13f x x =+在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为311,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13．【解析】(1)定义域为[]1,1-，()()g x g x -=-=-，所以()g x 是奇函数．(2)函数的定义域为R ，当1x <-时，()2f x x =+，此时1x ->，()()22()f x x x f x -=--+=+=． 当1x >时，()2f x x =-+，此时1x -<-，()2()f x x f x -=-+=．当11x -≤≤时，1()()2f x f x ==-． 综上可知对任意x R ∈都有()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数．14．【解析】由已知2(1)(1)f m f m -<--，由()f x 为奇函数，所以2(1)(1)f m f m -<-， 又()f x 在()1,1-上是减函数，22111,111,1 1.m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩解得02,002 1.m m m m <<⎧⎪<<<⎨⎪-<<⎩或01m ∴<<15．【解析】（1）(0)(00)0(0)0(0)0;f f f f =⋅=+=(1)(11)1(1)1(1)2(1)f f f f f =⋅=⋅+⋅=，(1)0f ∴=．（2）[](1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)0f f f f f =-⋅-=--+--=--=，(1)0f ∴-=．[]()(1)(1)()(1)f x f x f x xf ∴-=-⋅=-⋅+-=()0()f x f x -+=-故()f x 为奇函数．16．【答案】4332a <≤ 【解析】由f （－a +1）+f （4a －5）＞0得f （4a －5）＞－f （－a +1），∵定义在[－1，1]上的函数y =f （x ）是增函数且是奇函数，∴不等式等价为f （4a －5）＞f （a －1），则满足1451111451a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪->-⎩，得2130243a a a ⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩，即4332a <≤，即实数a 的取值范围是4332a <≤．17．【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x 即得f(－x)=－f(x ）∴f(x ）是奇函数（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，由已知得21()0f x x -< （1） 又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=- （2）由（1）（2）可知12()()f x f x >，由函数的单调性定义知f (x )在(-∞，+∞)上是减函数∴x ∈[－2，2]时，[]max ()(2)(2)(11)2(1)4f x f f f f =-=-=-+=-=，∴f (x )当x ∈[－2，2]时的最大值为4．（3）由已知得：[]2(2)(4)2()(2)f x f x f x f -->--由（1）知f(x ）是奇函数，∴上式又可化为：[]2(24)2(2)(2)(2)(24)f x x f x f x f x f x -->+=+++=+ 由（2）知f(x ）是R 上的减函数，∴上式即：22424x x x --<+化简得(2)(1)0x x ++>∴ 原不等式的解集为{|2x x <-或1}x >-。

课堂导学三点剖析一、函数的奇偶性概念【例1】 判断下列论断是否正确：(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数.思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.二、函数奇偶性的判断【例2】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=1-x +x -1; (2)f(x)=12-x +21x -; (3)f(x)=xx ||; (4)f(x)=kx+b(k ≠0); (5)f(x)=x+x a (a ≠0); (6)f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).解：(1)由⎩⎨⎧≥-≥-01,01x x 得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-,01,0122x x 得x 2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.(3)函数定义域为{x|x ≠0}且f(-x)=xx --||=-f(x).f(x)为奇函数. (4)函数定义域为R ，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b ≠0时，为非奇非偶函数. (5)函数定义域为{x|x ≠0}，且f(-x)=-x-x a =-f(x).函数为奇函数. (6)函数定义域为R ，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b ≠0时，为非奇非偶函数. 温馨提示1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断.2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.3.一次函数y=kx+b 为奇函数b=0.4.二次函数y=ax 2+bx+c 为偶函数b=0.【例3】 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+3x ),求：(1)f(-8);(2)x<0时，f(x)的解析式.思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+3x ),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x 都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x).(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+38)=8×(1+2)=24,∴f(-8)=-f(8)=-8(1+38)=-8(1+2)=-24.(2)当x<0时，f(x)=-f(-x).∵-x>0,f(-x)=-x(1+3x -)=-x(1-3x ),∴f(x)=-［-x(1-3x )］=x(1-3x ).三、函数奇偶性的应用举例【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：设x 1<x 2<0,-x 1>-x 2>0,∴f(-x 1)<f(-x 2).由于f(x)是偶函数，因此f(-x 1)=f(x 1),f(-x 2)=f(x 2).∴f(x 1)<f(x 2)，即f(x)在(-∞,0)上是增函数.温馨提示利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题.【例5】 判断下面函数的奇偶性：f(x)=2|2|42-+-x x ∵f(-x)= 2|2|)(42-+---x x =2|2|42---x x ，故f(x)为非奇非偶函数. 错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.正解：由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,042x x 得-2≤x ≤2且x ≠0,∴函数的定义域为［-2，0］∪(0,2)，此时f(x)=x x 24-,有f(-x)=xx ---2)(4=x x 24-=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. 温馨提示1.判断函数的奇偶性首先求函数的定义域，初学者最容易忽略这一点，若定义域关于原点对称再进一步判断f(-x)与f(x)的关系.2.当判断f(-x)与f(x)的关系比较困难时，有时可以改为判断f(x)±f(-x)是否为0或)()(x f x f -是否为1.各个击破类题演练1下面四个结论中正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)A.1B.2C.3D.4 解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交.反例：y=x -2,y=x 0等.故①错误，③正确.奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.反例：y=x -1，故②错误.若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x ∈R.反例：f(x)=21x -·12-x ,其定义域为{-1，1}，故④错误.从而选A.答案：A类题演练2判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|x|-2x ; (2)f(x)=|3|1-x -|3|1+x ; (3)f(x)=|2|212+--x x ; (4)f(x)=x -x.答案：（1）既奇又偶函数； （2）奇函数； (3)奇函数； （4）非奇非偶函数. 温馨提示判断函数的奇偶性，首先求出函数的定义域，在此基础上，可对函数解析式进行化简，化简后再判断.如（3）若不化简解析式，则判断不出奇偶性,只能得出非奇非偶的判断. 变式提升2判断⎩⎨⎧<+>-0),1(,0),1(x x x x x x 的奇偶性. 解析：当x>0时，则-x<0,∴f(-x)=-x ［1+(-x)］=-x(1-x)=-f(x),当x<0时，则-x>0,∴f(-x)=-x ［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x).于是f(-x)=⎩⎨⎧<+->--).0(),1(),0(),1(x x x x x x∴f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.类题演练3若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式.解析：设x<0时，则-x>0,∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-2x(1+x),∴f(x)=2x(1+x).∵f(0)=0,∴f(x)=⎩⎨⎧≤+>-.0),1(2,0),1(2x x x x x x 变式提升3设函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0,f(x)=x 2-2x+3,试求出f(x)在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.解析：∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)=0.当x<0时，则-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x 2+2x+3),∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-.0,32,0,0,0,3222x x x x x x x其图象如右上图所示.由图象得单调增区间是（-∞,-1），［1,+∞］，单调减区间是［-1,0］,(0,1).类题演练4已知f(x)是偶函数，而且f(x)在［a,b ］上是增函数，判断f(x)在［-b,-a ］上是增函数还是减函数，并证明.解析：减函数.证明如下：设［-b,-a ］上任意两个自变量x 1,x 2，且x 1<x 2，则b>-x 1>-x 2>a,∵f(x)在［a,b ］上是增函数，∴f(-x 1)>f(-x 2).∵f(x)是偶函数，∴f(x 1)>f(x 2),∴f(x)在［-b,-a ］上是减函数.变式提升4若f(x)是R 上的偶函数，且在［0,+∞］上是减函数，求满足f(π)<f(m)的实数m 的取值范围. 解析：f(π)<f(m)f (π)<f(|m|).∵f(x)在［0，+∞］上是减函数，∴π>|m|,∴-π<m<π.类题演练5（2006全国Ⅱ文，13）已知函数f(x)=a-121+x ,若f(x)为奇函数，则a=_______________. 解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-121+-x =-(a-121+x ),得a=21. 答案:21 变式提升5已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=)(1x f 在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解：减函数.证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则有:-x 1>-x 2>0,∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,∴f(-x 2)<f(-x 1)<0,又∵f(x)是奇函数,∴f(-x 2)=-f(x 2),f(-x 1)=-f(x 1),∴-f(x 2)<-f(x 1)<0,∴f(x 2)>f(x 1)>0,F(x 1)-F(x 2)=)(11x f -)(12x f =)()()()(2112x f x f x f x f ∙->0,即F(x 1)>F(x 2), ∴F(x)=)(1x f 在（-∞,0）上是减函数.。

§1.3.2 奇偶性1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3336复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝x 3、f (x )＝x 4，分别比较f (x )与f (－x ).二、新课导学※ 学习探究探究任务：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x=.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x； （3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .三、总结提升※ 学习小结1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A．()()0f x f x--=B．()()0f x f x+-=C．()()0f x f x-=D．(0)0f≠2. 已知()f x是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（）A. (5)(5)f f>- B.(4)(3)f f>C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是.5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。

函数的奇偶性教学设计1.学情调查，情景导入情景1：生活中，哪些几何图形表现着对称美？情景2：咱们学过的函数图象中有无表现着对称的美呢？情景3：引导学生从对称角度将所说的函数图象进行分类比较。

2.问题展示，合作探讨问题1：按照函数的解析式，结合函数的图像通过求值观察并总结出规律。

(设计那个问题有如此的目的：通过直观图像帮忙学生更好的找出规律一是从图象的角度作出判断；二是从“数的方面”论证概念创设教学情景.)问题2：“能不能从函数解析式的角度来描述函数图象的对称性？若是能，该怎么解决？学生会选取很多的x的值，取得结论。

追问：这些x的值能不能代表所有x呢？借助课件演示，引导学生进行代数式推导，再次得出结论f(-x)=-f(x).(强调x是概念域内任意值，帮忙学生完成由特殊到一般的思维进程)用数学符号表示奇函数的严格概念。

问题4：让学生用自己的语言描述对偶函数的熟悉。

(从形和数两方面)问题5：结合讲义中的材料，仿照奇函数概念的成立进程，学生独立去成立偶函数的概念。

3.归纳归纳，精致概念(现在，大部份学生已经有了如何判断函数奇偶性的意识，只是不太肯定。

）问题6：通过具体例题的判断总结如何判断函数的奇偶性(设计那个问题的目的:一来是为学生强调判断函数奇偶性的方式;二来强调判断函数奇偶性的一个先决条件：“概念域必需关于原点对称”)。

问题6：在学习函数奇偶性的概念中有哪些几个注意的地方？问题7：咱们经历了函数单调性和奇偶性概念的学习进程，谈谈你对这两个概念的熟悉？(引导学生进一步精致所学概念：熟悉单调性、奇偶性都是描述函数整体特征的，都必需在整个概念域范围内进行研究；引导学生对概念中“任意”的理解；引导学生熟悉到函数图象是函数性质的直观载体；)最后布置试探题：一、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数二、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数知识梳理，归纳总结由学生总结完成。

1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学习目标：1.理解函数奇偶性的概念，能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题；学会运用函数图象理解和研究函数性质；会判断函数的奇偶性，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力. 2.通过自主学习，合作探究，学会用定义判断奇偶性的方法. 3.激情参与，全力以赴，享受成功的快乐，感受数学的对称美.重点：函数奇偶性概念的理解. 难点：函数奇偶的判断.课前预习案使用说明与学法指导： 1.用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。

一、相关知识1.分别作出函数2==-y x y x 、的图象，它们有什么共同的特征？2. 分别作出函数1==y y x x、的图象，它们有什么共同的特征？学习建议：请同学们结合初中的知识作出回答。

二、教材助读1.偶函数是怎样定义的？2.你能举出几个偶函数的例子吗？并尝试着根据定义来证明.3.偶函数的图象有什么特征？4.奇函数是怎样定义的？5.你能举出几个奇函数的例子吗？并尝试着根据定义来证明.6.奇函数的图象有什么特征？5.你能试着总结出判断函数奇偶性的步骤吗？三、预习自测学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”.1.下列函数是奇函数的是（ ）A. 23+4()=x f x xB. (f x 2()=-1f x x D. 4()=-f x x x 2. 判断下列函数的奇偶性：（1）4=+y x x（2） y =y (4)=2y x 我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.课堂探究案一、学始于疑-------我思考，我收获1.一个函数一定是奇函数、或是偶函数吗？2.如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数一定是奇函数吗？3.图象关于y 轴对称的函数一定是偶函数吗？学习建议：请同学们用2分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习.二、质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点：偶函数与奇函数的概念请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案：1.一般地，如果对于函数()f x 定义域内的___________一个x ，都有_________________,那么函数()f x 就叫做偶函数.2. 一般地，如果对于函数()f x 定义域内的___________一个x ，都有_________________,那么函数()f x 就叫做奇函数.3.具有奇偶性的函数的图象特征：偶函数的图象关于__________对称；奇函数的图象关于________对称.4.由奇、偶函数的定义可知，对于定义域内的任意一个x ，-x 也一定在此定义域内，即定义域关于_________对称.5.如果函数()f x 在=0x 处有定义且(0)=0f a ≠，那么函数()f x 可能是奇函数吗？可能是偶函数吗？为什么?___________________________________________________________________. 6.如果函数()f x 和()g x 是定义域相同的两个奇函数，试问函数()=()+g()F x f x x 是偶函数吗？______________________________________________________________________________. 归纳总结：（二）知识综合应用探究探究点一 函数奇偶性的判定（重点）例1.判断下列函数的奇偶性：（1）1()=+f x x x （2）21()=f x x（3）()f x =（4）()=(f x x 思考1：它们的定义域分别是什么？关于原点对称吗？思考2： (-)()f x f x 与有什么关系？学习建议：自主探究后谈谈你如何判断函数的奇偶性.规律方法总结：拓展提升：判断函数(1-),<0()=(1+),>0x x x f x x x x ⎧⎨⎩的奇偶性.思考1：函数的定义域是否关于原点对称？思考2：当<0x 时，->0x ，那么(-)f x 适合哪个解析式？思考3：你能得出(-)()f x f x 与有什么关系？学习建议：先复习分段函数的定义，要正确理解分段函数，它不论分几段其实质还是一个函数.探究点二 函数奇偶性的综合应用（重难点）例2.已知函数2()3+f x ax bx a b =++是偶函数，其定义域为[-1,2]a a ，求函数()f x 的值域.思考1：偶函数的图象有什么特征？思考2：偶函数的定义域有什么特点？学习建议：自主探究后谈谈你的解题思路.规律方法总结：拓展提升：若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当<0x 时()=(2-)+1f x x x ，求函数()f x 的解析式.思考1：奇偶性反映在图象上有怎样的对称关系？思考2：奇函数在=0x 时函数值是怎样的？思考3;你怎样利用已知条件，求0x ≥时的解析式？学习建议：探究后谈谈你的解题思路.探究点三 函数奇偶性与单调性的综合应用（难点）例3. 已知奇函数()f x 在定义域[-2,2]上单调递减，若(1-)+(-)<0f m f m ，求实数m 的取值范围.思考１.通过函数的奇偶性，可以将已知的不等式怎样变形？思考２.通过函数的单调性，能否得到1-m 与m 分之间的关系？学习建议：探究后，谈谈你对利用函数的奇偶性与单调性解决抽象函数问题的认识. 规律方法总结；三、我的知识网络图--------归纳梳理、整合内化 __________:⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩偶函数定义奇偶函数的概念奇函数定义偶函数的图象关于对称函数的奇偶性奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于对称奇偶函数的判断方法步骤四、当堂检测——有效训练、反馈矫正1.若函数3()=,f x x x R ∈，则函数=(-)y f x 是（ ）.Ａ．单调递增的偶函数 Ｂ．单调递减的奇函数Ｃ．单调递增的奇函数 Ｄ．单调递减的偶函数.2.对于定义域是R 的奇函数()f x 有（ ）A. ()-(-)>0f x f xB. ()-(-)<0f x f xC. ()(-)0f x f x ≤D. ()(-)>0f x f x有错必改我的收获（反思静悟、体验成功）：课后训练案学习建议：完成课后训练案需定时训练，时间不超过20分钟，独立完成，不要讨论交流，全部做完后再参考答案查找问题.【基础知识检测】1.奇函数=()()y f x x R ∈的图象必过定点（ ）A. (,(-))a f aB. (-,())a f aC. (-,(-))a f aD. 1(,())a f a 2.定义在R 上的偶函数=()y f x 在区间(0,+)∞上是增函数，则（ ）A. (3)<(-4)<(-)f f f πB. (-)<(-4)<(3)f f f πC. (3)<(-)<(-4)f f f πD. (-4)<(-)<(3)f f f π3. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0()=2+2+()x x f x x b b ≥时，为常数，则(-1)f 等于（ ）A. 3B.1C. -1D. -34. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,+)x ∈∞时，()=f x x ，则当(-,0)x ∈∞时，()f x 等于（ ）A. -xB. xC. -xD. x【能力题目训练】5.已知42()=++2-8f x ax bx x 且(-1)=10f ，则(1)f 等于（ ）.A. 20B. 16C. 14D. 126.若奇函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么()f x 在[-7,-3]上是（ ）A.增函数，最小值为-5B. 增函数，最大值为-5C. 减函数，最小值为-5D. 减函数，最大值为-57. 已知函数=()y f x 是R 上的偶函数，且在(-,0]∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤B. -22a a ≤≥或C. -2a ≥D. -22a ≤≤.【拓展题目探究】8. 若对于一切实数,x y 都有(+)=()+()f x y f x f y ，（1）求(0)f 并证明()f x 是奇函数；（2）若(1)=8f 求+(-)()f n n N ∈.。

《函数奇偶性》教学设计科目：数学教学对象：高一学生课时：第一课时提供者：杨瑞单位：开封市第二十五中学一、教学内容分析：奇偶性是既函数的单调性之后学生接触到的又一重要性质,在高考中占有重要的地位，也是高考中的热点，它常常会在和函数的单调性、周期性相结合的情况下出现在高考题中。

为了今后更加优化对本部分内容的教学，二、教学目标：1.了解函数的奇偶性及其含义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系；三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。

最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）四、教学策略选择与设计：多媒体辅助教学，合作探究的教学方法；五、教学重点及难点：教学重点：函数的奇偶性及其含义；教学难点：判断函数的奇偶性的方法；易混点：函数奇偶性与图象的对称性之间的关系。

六、教学过程：一、课堂引入“对称”是大自然的一种美，请大家欣赏一组图片，并判断图形是否具有对称性？四川曹家大院一景通过观察，同学们发现了这些图形有的关于一条直线对称，有的关于一个点对称，而这样的对称在数学中也有体现。

二、 新课探究观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x). 定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．雪铁龙 奔驰观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数且()(||)f x f x =奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.且f(0)=0注意：1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个先决条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论.若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 三、 巩固应用例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性例2．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数（2）32()1x x f x x -=-为非奇非偶函数（3）x x x f +=3)( 奇函数 常用结论：(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 四、知识小结• 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x 换成-x ，(x,-x 均在定义域内）xxx]2,1[,)(2-∈=x x x f x偶奇奇偶①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。

第一章 集合与函数概念§1.3函数的基本性质第三课时 函数的奇偶性一、课前准备1．课时目标：从具体函数出发，理解函数的奇偶性，学会利用图象理解和探讨函数的性质，能熟练判断一些简单函数的奇偶性。

2．基础预探(1) 如果函数)(x f y =的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-，则称)(x f y =是 .它的等价形式有(2) 如果函数)(x f y =的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-，则称)(x f y =是 . 它的等价形式有二、基本知识习题化1. 2)(x x f =，[)1,1-∈x 是2.x x y =是 函数（填写奇或偶）．三、学习引领1．函数按奇偶性分为四大类：（1）奇函数：如果定义域关于原点对称（这一点说明了x 与x -必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-，则函数()y f x =是奇函数. 如53)(x x x f +=；（2） 偶函数：即如果定义域关于原点对称（这一点说明了x 与x -必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=，则函数()y f x =是偶函数. 如62)(x x x f +=等；（3） 非奇非偶函数：即函数的定义域不关于原点对称（这一点说明了存在x ，使得x 与x -不同时在定义域中），或虽然定义域关于原点对称，但对定义域内的任意x 有()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则函数()y f x =是非奇非偶函数. 如3)(+=x x f ，3)(x x f =（[)1,1-∈x ）等；（4）既奇又偶函数：解析式只有()0f x =，但定义域可以为任何关于原点对称的区间.2．判断函数()y f x =的奇偶性，首先看定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则看对任意的x 是否都有()()f x f x -=-，或()()f x f x -=，若满足前者则是奇函数，满足后者是偶函数，两者都不满足，则是非奇非偶函数.3．奇函数的图象关于原点对称；如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数. 偶函数的图象关于y 轴对称. 如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 对于在原点有定义的奇函数()y f x =，有()00f =.4．两个奇（偶）函数的和、差函数还是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积、商函数是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数.四、典例导析题型一：函数的奇偶性的判断例1判断()f x x a x a =++-的奇偶性．思路导析：先看函数的定义域，显然是R ，然后根据定义找)(x f -与)(x f 的关系．解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=，∴函数()f x 是偶函数．规律总结：如果定义域关于原点对称，才可根据定义判定函数奇偶性，否则直接下结论是非奇非偶函数，如果直接用定义判断有困难，也可用定义的等价形式．变式1：已知函数()f x =.题型二：己知函数的奇偶性求参数例2已知函数()23()114x a f x x x bx -=-≤≤-+为奇函数，试求,a b 的值. 思路导析：己知函数的奇偶性，然后求参数，有时用特殊值法是很有效的，比如我们常用()00f =可大大方便解题．解析：由于()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，所以()00f =得0a =.又()()11f f -=-，所以3355b b -=-+-，所以0b =. 所以23()4x f x x =+，再利用定义可以证明()f x 为奇函数. 规律总结： 对于在原点有定义的奇函数()f x ，可以先令特殊值()00f =，求出其中参数的值，当然如果参数多时也可以再取其它自变量的值来求，当然有时也可根据对于定义域内的任意x 值恒成立的等式，借用待定系数法来求.变式2： 设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。

1.3.2　奇偶性学习目标　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)．预习教材P33－P35，完成下面问题：知识点　函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数．( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )提示　(1)×　反例：f (x )＝x 2，存在x ＝0，f (－0)＝－f (0)＝0，但函数f (x )＝x 2不是奇函数；(2)×　存在f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数，又是偶函数；(3)×　函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．题型一　函数奇偶性的判断【例1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝＋；x 2－11－x 2(3)f (x )＝；xx －1(4)f (x )＝Error!解　(1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．规律方法　判断函数奇偶性的两种方法：(1)定义法：(2)图象法：【训练1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝.2x 2＋2xx ＋1解　(1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．题型二　奇、偶函数的图象问题【例2】　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法　1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．【训练2】　已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．解　f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f (2)<f (4).考查方向　题型三　函数奇偶性的应用方向1　利用奇偶性求函数值【例3－1】　已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，若f (－3)＝10，则f (3)＝( )A ．26 B ．18C ．10 D ．－26解析　法一　由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，得f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx .令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋8，∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )，∴G (x )是奇函数，∴G (－3)＝－G (3)，即f (－3)＋8＝－f (3)－8.又f (－3)＝10，∴f (3)＝－f (－3)－16＝－10－16＝－26.法二　由已知条件，得Error!①＋②得f (3)＋f (－3)＝－16，又f (－3)＝10，∴f (3)＝－26.答案　D方向2　利用奇偶性求参数值【例3－2】　若函数f (x )＝为奇函数，则a ＝________.(x ＋1)(x ＋a )x解析　∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即＝－，显然(－x ＋1)(－x ＋a )－x(x ＋1)(x ＋a )xx ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，解得a ＝－1.答案　－1方向3　利用奇偶性求函数的解析式【例3－3】　已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式．解　当x ＜0，－x ＞0，∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1.又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数，∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝Error!规律方法　1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )可求函数值，比较f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )的系数可求参数值．2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．课堂达标1．下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝ D ．y ＝x 2，x ∈(－1,1]x 解析　对于A ，f (－x )＝－x ＝－f (x )，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f (x )＝f (－x )，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B ．答案　B2．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( )A ．1 B ．2C ．3 D ．4解析　f (－x )＝(m －1)x 2－(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，由f (－x )＝f (x )，得m －2＝0，即m ＝2.答案　B3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋－1，则f (－2)＝________.1x解析　f (2)＝－22＋－1＝－，又f (x )是奇函数，故f (－2)＝－f (2)＝.129292答案　924．如图，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，且f (3)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析　由条件利用偶函数的性质，画出函数f (x )在R 上的简图：数形结合可得不等式f (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．答案　(－3,0)∪(0,3)5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，求f (x )的解析式．解　当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x －1，又f (0)＝0，所以f (x )＝Error!课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔＝±1(f (x )≠0)．f (－x )f (x )3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )对函数值及函数解析式进行转换．。

课后导练基础达标1.下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象有且只有一条对称轴，即y 轴 ④是奇函数且又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x ∈R A.0 B.1 C.2 D.3解析：①若定义域内包含0，则偶函数图象一定与y 轴相交，②若定义域内有0，则奇函数的图象一定过原点，③偶函数图象关于y 轴对称，但是还可以有其他的对称轴，④既奇又偶的函数一定是f(x)=0，但定义域不一定是x ∈R. 答案：A2.如果奇函数f(x)在区间［3,7］上是增函数且最小值是5，则f(x)在［-7，-3］上是（ ） A.增函数，最小值为-5 B.增函数，最大值是-5 C.减函数，最小值为-5 D.减函数，最小值是-5解析：由奇函数的图象关于原点对称（如下图）可知：f(x)在［-7，-3］上单调递增，且f(x)max =f(-3)=-f(3)=-5.答案：B3.函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在(-∞,0)上单调递增，若x 1<0<x 2,且|x 1|<|x 2|,则（ ）A.f(-x 1)>f(-x 2)B.f(-x 1)<f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.f(-x 1)≤f(-x 2) 解析：x 1<0<x 2,且|x 1|<|x 2|,则-x 2<x 1<0，由题目条件得 f(-x 2)<f(x 1),∵f(x 1)=f(-x 1),∴f(-x 2)<f(-x 1). 答案：A4.对于定义在R 上的任意奇函数f(x)都有（ ）A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0 解析：当x ≠0时，f(x)·f(-x)<0;当x=0时，f(x)·f(-x)=0,故f(x)·f(-x)≤0. 答案：C5.已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)是偶函数，那么g(x)=ax 3+bx 2+cx 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 解析：由条件得b=0,∴g(x)=ax 3+cx,由于g(-x)=ax 3+cx=-ax 3-cx=-g(x),∴g(x)为奇函数. 答案：A6.设f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0,则x ·f(x)<0的解是（ ） A.-3<x<0或x>3 B.x<-3或0<x<3 C.x<-3或x>3 D.-3<x<0或0<x<3 解析：由条件得f(3)=f(-3)=0,x ·f(x)<0⎩⎨⎧<>⇔0)(,0x f x 或⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧><)3()(,00)(,0f x f x x f x 或⇔⎩⎨⎧-><)3()(,0f x f x 或-3<x<0.答案：D7.在下列函数中，不具有奇偶性的是…（ ）①y=2(x-1)2-3 ②y=x 2-3|x|+4 ③y=|x+1|+|x-1| ④y=xx || A.①②③ B.①③④ C.①③ D.① 解析：由奇偶函数的定义可知只有y=2(x-1)2-3为非奇非偶函数. 答案：D8.f(x)是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，且x ≥0时，f(x)=x 3+x 2,则当x<0时，f(x)=_______. 解析：当x<0时，-x>0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x 3+x 2. ∵f(-x)=f(x),∴f(x)=-x 3+x 2. 答案：-x 3+x 29.已知函数f(x)=ax 5+bx 3+cx+8,且f(-2)=10,则f(2)=______________. 解析：令g(x)=f(x)-8=ax 5+bx 3+cx,则g(x)为奇函数. ∵g(-2)=f(-2)-8=10-8=2, ∴g(2)=-2,∴f(2)=g(2)+8=-2+8=6. 答案：610.若f(x)是偶函数，则f(1+2)-f(211-)=__________________.解析：f(1+2)-f(211-)=f(1+2)-f ［-(1+2)］=f(1+2)-f(1+2)=0.答案：0 综合运用11.函数y=f(x)在（0，2）上是减函数，且关于x 的函数y=f(x+2)是偶函数，那么…（ ）A.f(25)<f(3)<f(21) B.f(21)<f(3)<f(25)C.f(3)<f(21)<f(25)D.f(3)<f(25)<f(21)解析：令f(x+2)=x 2,∴f(x)=(x-2)2,其对称轴为x=2,对f(21)=f(27),且27>3>25, ∴f(27)>f(3)>f(25),故选A. 答案：A12.定义在R 上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列给出的不等式中成立的是（ ）①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A.②④ B.②③ C.①④ D.①③解法一：取f(x)=x,g(x)=|x|,a=2,b=1代入①得，3>1;②得，3<1;③得，3>-1;④得，3<-1.故①③正确，选D.解法二：令f(x)=x,g(x)=|x|作出相应图象，如下图所示.观察图象可知①③正确.故选D.解法三：由于f(x)为奇函数且在原点有意义，故f （0）=0，又f(x)为增函数，∴f(a)>f(b)>f(0)=0.当x ≥0时，g(x)=f(x).据条件改写①得，f(b)+f(a)>g(a)-g(b)=f(a)-f(b)，即f(b)>0,①正确而②不正确. 改写③得，f(a)+f(b)>g(b)-g(a)=f(b)-f(a)，即f(a)>0，③正确而④不正确，故选D. 答案：D13.函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调递减函数，且f(1-a)<f(a 2-1)，则a 的取值范围是 __________________.解析：f(1-a)<f(a 2-1)⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-11,111,11122a a a a ⇔0<a<1.答案：0<a<114.f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且是单调递减函数，若f(2-a)+f(2a-3)<0，求a 的取值范围. 解析：f(2-a)+f(2a-3)<0⇔f(2-a)<-f(2a-3)⇔f(2-a)<f(3-2a).∵f(x)是定义在（-2，2）上的奇函数，且单调递减，∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-.232,2232,222a a a a解得 1<a<25. 答案：1<a<25 15.若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=11-x ,求函数f(x)和g(x). 解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+--=+)2(11)()()1(11)()(11)()(,11)()(x x g x f x x g x f x x g x f x x g x f①+②得，2f(x)=11-x -11+x =122-x ,∴f(x)=112-x ,代入①得g(x)=12-x x.16.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且在［0,+∞)上为增函数.(1)求证：y=f(x)在(-∞,0)上是增函数； (2)如果f(21)=1，解不等式-1<f(2x+1)≤0. (1)证明：略.（2）解析：∵f(x)是定义在（-∞,+∞）上的奇函数，∴f(0)=0.∵f(21)=1, ∴f(-21)=-1,∴-1<f(2x+1)≤0⇔f(-21)<f(2x+1)≤f(0). ∵f(x)在［0,+∞］上为增函数， ∴f(x)在(-∞，0)上也为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+<-.012,01221x x解得 -43<x ≤-21. 拓展探究17.已知函数f(x)=(m 2-1)x 2+(m-1)x+n+2的定义域为(-∞,+∞).m 、n 为何值时f(x)为奇函数？ 解法一：f(x)=(m 2-1)x 2+(m-1)x+n+2是奇函数，对任意x ∈R ，都有f(-x)+f(x)=0恒成立，即(m 2-1)x 2-(m-1)x+n+2+(m 2-1)x 2+(m-1)x+n+2=0恒成立，也就是(m 2-1)x+n+2=0对任意x ∈R 的成立.当且仅当⎩⎨⎧=+=-,02,012n m 即⎩⎨⎧-=±=2,1n m 时，f(-x)+f(x)=0对任意x ∈R 成立，∴⎩⎨⎧-=±=2,1n m 时，f(x)是奇函数.解法二：由于f(x)是定义在(-∞,+∞)上是奇函数，因此f(0)=0,得到n+2=0.∴n=-2.f(x)=(m 2-1)x 2+(m-1)x 为奇函数，必须满足m 2-1=0,即m=±1.∴m=±1且n=-2时，f(x)是奇函数.18.对于任意非零实数x,y ，函数y=f(x)(x ≠0)满足f （xy ）=f(x)+f(y). (1)求证：f(1)=f(-1)=0；（2）求证：y=f(x)是偶函数；（3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，解不等式f(x)+f(x-21)≤0. (1)证明：令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0;又令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即0=2f(-1), ∴f(-1)=0,故f(1)=f(-1)=0. (2)证明：∵f(1)=f(x ·x 1)=f(x)+f(x 1),f(-1)=f(-x ·x 1)=f(-x)+f(x1),而f(1)=f(-1)=0, ∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数， （3）解析：∵f(x)+f(x-21)≤0，即f(x 2-21x)≤0,而y=f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴f(x 2-21x)≤f(1),∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≠-≠.121,021,02x x x x解得 4171-≤x ≤4171+,且x ≠0,x ≠21.。

1.3 函数的基本性质互动课堂疏导引导1.3.11.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x2f(x 1)＜f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x2f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间.疑难疏引 (1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：f(x)=5x,(x ∈{1,2,3}）．再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.(2)函数的单调性与单调区间的关系函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数y=f （x ），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f （x ），它在区间（a ，b ）与（c ，d ）上都是单调增（减）函数，不能说y=f （x ）在（a ，b ）∪（c ，d ）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x 轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x 轴正方向逐渐下降的. ●案例1 如何证明函数y=x+x1在（1，＋∞）上为增函数? 【探究】 证明函数的增减性，先在定义域上取x 1＜x 2，然后作差f （x 1）－f （x 2），判断这个差的符号即可.设x 1、x 2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=x 1+11x －（x 2+21x ）=x 1－x 2+（11x －21x ）=x 1－x 2－2121x x x x -=（x 1－x 2）（21211x x x x -）.∵x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴函数y=x ＋x1在（1，＋∞）上为增函数. 【溯源】（1）取值：设x 1、x 2为该区间内任意的两个值，且x 1＜x 2； （2）作差变形：作差f （x 1）－f （x 2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于（3（4）判断：根据定义作出结论.疑难疏引 讨论函数y ＝f ［φ(x)］的单调性时要注意两点：(1)若u ＝φ(x)，y ＝f （u ）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y ＝f ［φ(x)］为增函数(2)若u ＝φ(x)，y ＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y ＝f ［φ(x)］为减函数.若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性.(2)C ＞0时，函数f(x)与C ·f(x)具有相同的单调性；C ＜0时，函数f(x)与C ·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与)(1x F 具有相反的单调性. (4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数. ●案例2（1）y=－x 2＋2|x|＋3; （2）y=x-x5; （3）已知函数f(x)在其定义域［-4,4］上是增函数，求f(x 2-2x)的增区间. 【探究】 （1）可画图判断，（2）和（3）都不能画图，（2）可看成两个基本函数g(x)=x 和t(x)=-x5相加得到，（3）是复合函数f ［u(x)］的形式，其中u(x)=x 2-2x.（1）如图.可判断函数的单调增区间是（－∞，－1）,（0，1）.（2）g(x)=x 在R 上是增函数，t(x)=-x 5在区间（-∞,0），（0，+∞）上是增函数，所以y=x-x5的增区间是（-∞,0）和（0，+∞）.（3）由函数定义域知-4≤x 2-2x ≤4，所以1-5≤x ≤1+5，二次函数y=x 2-2x 的单调增区间为（1，+∞），所以原函数的增区间为（1，1+5）.【溯源】(1)分解函数成简单函数的形式； (2)求出函数的定义域; (3)利用同增异减判断.(4)找出区间和定义域取交集. 2.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M.那么我们称M 是函数y=f(x)的最大值. ●案例3已知函数f （x ）=xax x ++22，x ∈［1，+∞）.（1）当a=21时，求函数的最小值； （2）若对任意x ∈［1，+∞），f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围. 【探究】 先来解决第（1）问，当a f （x ）=x ＋x21＋2，它类似于函数f （x ）=x ＋x1，所以可以利用函数的单调性来判断最值. （1）当a=21时，f （x ）=x ＋x21＋2.f （x ）在［1，+∞）上为增函数，所以f （x ）在［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）f （x ）=x ＋xa＋2，x ∈［1，+∞）. 当a ≥0时，函数f （x ）的值恒为正.当a ＜0时，函数f （x ）在［1，＋∞）上为增函数，故当x=1时，f （x ）有最小值3＋a ，于是当3＋a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故0＞a ＞－3. 综上，可知当a ＞－3时，f （x ）＞0恒成立.【溯源】 如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a 分类不全面，而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误. ●案例4二次函数y ＝x 2＋2ax －3，x ∈［1，2］，试求函数的最小值. 【探究】 首先观察到函数图象过（0，－3），再考虑对称轴的位置，由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论.y ＝x 2＋2ax －3＝（x ＋a ）2－a 2－3，当－a ∈（2，＋∞），即a<－2时，函数在［1，2］上为减函数，故此时的最小值为f （2）＝4a ＋1；当－a ∈（－∞，1），即a>－1时，函数的最小值为f （1）＝2a －2；当－a ∈［1，2］，即－2≤a ≤－1时，函数的最小值为f （－a ）＝－a 2－3.【溯源】 二次函数带参求最值常见题型有两类，一是对称轴是定值，给出区间含参不确定，另一类则是对称轴含参不确定，给出区间确定，一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论，然后利用单调性求解. ●案例5设函数f （x ）在定义域R ＋上是单调递减函数，且满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （31）=1，求：f （1）及f （91）. 【探究】 这里的函数f （xf （1条件f （xy ）=f （x ）+f （y ）中的x 、y 进行恰当的赋值，于是令x=31，y=1，得f （1）=0. ∵f （31）=1，∴f （91）=2. 【溯源】 函数的单调性反映的是函数值y 随自变量x 的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可以通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值，如0、1等. 1.3.21.定义一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数；如果对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）＝－f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数.函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.由于任意x 和-x 均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性. 2. (1)(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x(3)可逆性：f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x) (4)等价性：f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0 (5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数. 疑难疏引（1）判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)＝0或)()(x f x f -＝±1(f(x)≠0)来代替.（2）存在既奇且偶函数，例如f(x)＝2211x x -+-.当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论. 函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y 轴对称. 3(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数. (2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝x x f x f )()(--+xx f x f )()(-+.(5)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0.(6）记忆口诀：增函数，减函数，函数作差要记住； 正号增，负号减，增减函数很简单.奇函数，偶函数，函数奇偶看f. 同号偶，异号奇，非奇非偶不离奇. 对折偶，旋转奇，图象重合在一起. 疑难疏引(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x 2，x ∈［－1，1)，既非奇函数又非偶函数.(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数. (3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数. (5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性. ●案例1已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2－1，求f （x ）在R 上的表达式. 【探究】 题目已经给出x ＞0时的解析式，只要求出x<0和x ＝0时的解析式就可以了.f （x ）＝x 3＋2x 2－1.∵f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0.设x ＜0，则－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1. 又根据f （x ）为奇函数，∴有f （－x ）＝－f （x ）.∴－f （x ）＝－x 3＋2x 2－1.∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1.因此，⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-+0,120,00,122323x x x x x x x【溯源】 把最后结果写成f （x ）＝x 3＋2x 2－1和f （x ）＝x 3－2x 2＋1就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义，错把分段函数当成是两个函数.另外，漏掉x ＝0也是常见错误. ●案例2已知f （x ）是奇函数，在（－1，1）上是减函数，且满足f （1－a ）＋f （1－a 2）＜0，求实数a 的范围.【探究】 要求a 的取值范围，先要列出关于a 的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.由f （1－a ）＋f （1－a 2）＜0，得f （1－a ）＜－f （1－a 2）.∵f （x ）是奇函数，∴－f （1－a 2）=f （a 2－1）.于是f （1－a ）＜f （a 2－1）.又由于f （x ）在（－1，1）上是减函数，因此⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1111111122a a a a 解之，得0<a<1.【溯源】 利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误. 1. 证明函数f （x ）=x 在［0，+∞）上是增函数.【思路解析】 判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手. 【答案】 证明：设x 1≥0，x 2＞0，且x 1＜x2 则f （x 1）－f （x 2）=x 1－x 2=2121x x x x +-.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，1x +2x >0.∴f （x 1）－f （x 2）<0，即f （x 1）<f （x 2）. 由定义，知f （x ）=x 在［0，+∞）上是增函数.2. 判断函数f （x ）=－x 3＋1在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x ∈（0，＋∞），函数f （x ）是增函数还是减函数?【思路解析】 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性.一般地，若k ＞0，f （x ）与kf （x ）具有一致的单调性；若k ＜0，则f （x ）与kf （x ）的单调性相反；f （x ）与f （x ）+b 具有一致的单调性.从f （x ）=－x 3＋1f （x ）是减函数，用单调性的定义证明，应注意对差式的变形及分解因式.【答案】 f （x ）=－x 3＋1在（－∞，0）上是减函数，证明如下： 在（－∞，0）上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2.∵f （x 1）－f （x 2）=（－x 13＋1）－（－x 23＋1）=（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）=（x 2－x 1）［（x 2+21x ）2+43x 12又x 2－x 1＞0，（x 2+21x ）2+43x 12>0∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）.故f （x ）=－x 3＋1在（－∞，0）上是减函数.同理，可证当x ∈（0，＋∞）时，函数f （x ）仍然是减函数.3. 函数f(x)=-x 2+2x+8，则下列说法正确的是 …( ) A. f(x) B. f(x)在(-∞,1) C. f(x) D. f(x)在(-∞,1)【思路解析】 本题是已知函数解析式，确定单调区间的典型题.由于函数f(x)=-x 2+2x+8是二次函数，∴在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的. 所以解答此题的关键是确定对称轴. 根据二次函数对称轴的公式x=-ab2可求. 解法一：（综合法）依题意得，函数f(x)=-x 2+2x+8的对称轴方程为x=-)1(22-⨯=1.又∵二次项系数为-1<0，∴开口方向向下.∴f(x)在(-∞,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数.因此，选B. 解法二：（数形结合法，图象法）如图所示，便知f(x)在(-∞,1)上是增函数.因此，选B.【答案】 B4. 设f （x ）、g （x ）都是单调函数，下列四个命题中正确的是( ) ①若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递增;②若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递增;③若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递减;④若f （x ）单调递减，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递减. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】 C 5. 讨论函数f(x)=21++x ax (a ≠21)在(-2,+∞)上的单调性. 【思路解析】 只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.【答案】 设-2<x 1<x 2，则Δx=x 1-x 2<0.f(x)=2212+-++x a a ax =a+221+-x a.∴Δy=f(x 2)-f(x 1) =(a+2212+-x a )-(a+2211+-x a )=(1-2a)(212+x -211+x )=(1-2a)·)2)(2(1221++-x x x x .又∵-2<x 1<x 2，∴)2)(2(1221++-x x x x <0.∴当1-2a>0，即a<21时，Δy<0,即f(x 2)<f(x 1). 当1-2a<0，即a>21时，Δy>0,即f(x 2)>f(x 1). ∴当a<21时，f(x)=21++x ax 在(-2,+∞)上为减函数；当a>21时，f(x)=21++x ax 在(-2,+∞)上为增函数.6. 已知函数f(x)=2x 2-5x-3，求函数y=f(x)的单调区间. 【思路解析】 可利用函数单调性的定义求解，也可利用复合函数的单调性判断法则来求解，复合函数y=f ［g(x)］是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y 通过中间变量u 与自变量x 建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集． 【答案】 当x ∈［3,+∞)时，函数f(x)=3-5x -2x 2为增函数； 当x ∈(-∞,-21］时，函数f(x)= 3-5x -2x 2为减函数. 7. 求函数y=x-x-1的值域.【答案】 原函数定义域为{x|x ≥1}. 因为y=1--x x ＝11-+x x 在定义域上是单调减函数，所以函数的值域是(0,1］.8. 利用单调性求函数y=x －x 21-的值域.【思路解析】 本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，最后求值域.【答案】 定义域为{x|x ≤21}，y=x 以及y=－1-2x 均在（－∞，21）上递增，∴y=x －1-2x 在（－∞，21）上递增，f （x ）≤f （21）=21.∴y=x －1-2x 的值域为（－∞，21］.9. 已知二次函数y ＝－x 2＋2ax ＋(a －2)在x ∈［－1，2］上有最大值4，求实数a 的值.【思路解析】 该二次函数的图象开口向下，因而若x ∈R ，则y ＝－(x －a)2＋a 2＋a －2,即当x ＝a y max ＝a 2＋a －2,目前规定x ∈［1,2］,解题时应分a ∈［1,2］以及a ＜1,a ＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.【答案】 y ＝－x 2＋2ax ＋(a －2)＝―（x ―a ）2＋a 2＋a －2,①若a ∈［－1,2］,则当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －2,由题意知a 2＋a －2=4,而a 2＋a －6＝0,a=-3或a ＝2,∵a ∈［－1,2］,∴a ＝2符合条件.②若a ＜－1，∵二次函数y ＝f(x)在［a,＋∞)上单调递减，即在［－1，2］上单调递减，∴当x ＝－1时，y max ＝―1,―2a ＋a －2＝―a ―3,由―a ―3＝4，得a ＝－7(＜－1), ∴a ＝－7符合条件.③若a ＞2,则二次函数y ＝f(x)在［－1,2］上单调递增，∴当x ＝2时，y max ＝－4＋4a ＋a －2＝5a ―6.由5a ―6＝4得a ＝2(≯2),∴此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a 的值为2或－7.10. 已知函数f(x)=x 5+ax 3+bx-8,若f(-2)=10，求f(2)的值.【思路解析】 观察函数的解析式可知函数x 5,ax 3,bx 都是奇函数，所以x+ax 3+bx 也是奇函数，因此可构造一个新的奇函数来求解.【答案】 构造函数g(x)=f(x)+8，则g(x)=x 5+ax 3+bx 一定是奇函数. 又∵f(-2)=10，∴g(-2)=18.11. 若函数y=x 2-3x-4的定义域为［0,m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是( )A. (0, 4］B. ［23, 4］ C. ［23, 3］D. ［23, +∞)【思路解析】 首先判断二次函数的对称轴，然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况.y=x 2-3x-4=(x-23)2-425.对称轴为x=23,∴m ∈［23,3］.【答案】 C12. 若函数f(x)在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数f(x)在区间（a ，c ）上( ) A. B. C. D.【思路解析】 考查单调性定义，即x=b 时可能无定义.【答案】 D13. 下列四个函数中是奇函数的是( )A. f(x)=||2x xB. f(x)=x 3+xC. f(x)=x -2+x -1D. f(x)=2x+1【思路解析】 判断一个函数是不是奇函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f(-x)与-f(x)是否相等，如果相等就是奇函数，如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.∵A 选项的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)=||)(2x x --=||2x x =f(x)≠-f(x)，∴A∵B 的定义域是R ，关于原点对称，又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x 3+x)=-f(x)，∴B 是奇函数；∵C 的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)=(-x) -2+(-x) -1=x -2-x -1≠-f(x)， ∴C∵D 的定义域关于原点对称，又∵f(-x)=2·(-x)+1=-2x+1≠-f(x)，∴D 不是奇函数.因此，选B.【答案】 B14. 已知f(x)在R 上是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ；当x<0时，求f(x)的表达式. 【思路解析】 已知函数的奇偶性和原点右侧的函数解析式，求原点左侧的函数解析式，是函数奇偶性类型题目中比较典型的.其解题思路是：设待求原点左侧的自变量为x ，则已知原点右侧的自变量就为-x ，代入已知原点右侧的函数解析式，整理便得待求原点左侧的函数解析式.【答案】 设x ′<0，则-x ′>0,∵f(x)在R 上是奇函 ∴f(-x)=-f(x). ∴f(-x ′)=-f(x ′).又∵当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，把-x ′代入f(x)=x 2-2x,得f(-x ′)=(-x ′)2-2·(-x ′)=x ′2+2x ′=-f(x)，即f(x ′)=-x ′2-2x ′.因此当x<0时，f(x)=-x 2-2x.当x=0时，符合题意. 15. 对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·5x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数； （2）f(x)在(0,+∞)上是增函数;（3）解不等式f(2x 2-1)<2．【思路解析】 本题的中心就是构造，如何利用已知条件构造出f(x)和f(-x)的关系，此题可用特值法. 【答案】（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1).∴f(1)=0. 令x 1=x 2=-1，得f(-1)=0.又f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x) ∴f(x)是偶函数． （2）设x 2>x 1>0 f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1) =f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x ).∵x 2>x 1>0，∴12x x >1，f(12x x )>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数．（3）∵f(2)=1∴f(4)=f(2)+f(2)=2.∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x 2-1)<2可化为f(|2x 2-1|)<f(4).又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x 2-1|<4.解得-210<x<210， 即不等式的解集为(-210,210)． 16. 已知偶函数f(x)在［0，4］上单调递增，那么f(-π)和f(3.1)中较大的一个是 .【思路解析】 要想比较f(-π)和f(3.1)的大小，最好的是能把它们两个放在同一个单调区间中进行.但是已知条件中并没有给出它们两个是否在一个单调区间，∴要把其中的一个进行转化.由于f(x)是偶函数，∴f(-π)=f(π)，转化成功.∵f(x)是偶函数，∴f(-π)=f(π).又∵f(x)在［0，4］上单调递增，而π∈［0，4］，3.1∈［0，4］.又π>3.1，∴f(π)>f(3.1).因此f(-π)>f(3.1).故较大的是f(-π).【答案】 f(-π)。