高考数学(文)二轮复习(课件+跟踪训练)：第二部分 思想方法专题部分(8份)专题跟踪训练28

专题跟踪训练(二十八)
一、选择题
1．(2015·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝2x ，则满足f (1－2x )<f (3)的x 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－2,1)
C ．[－1,2]
D ．(－2,1]
[解析] 由题意知，偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故|1－2x |<3，得－1<x <2，故选A.
[答案] A
2．若点P (x ，y )在直线x ＋y ＝12上运动，则x 2＋1＋y 2＋16的最小值为( )
A.37＋213
B.2＋137 C ．13 D ．1＋410 [解析]
x 2＋1＋y 2＋16＝
(x －0)2＋(0＋1)2＋
(x －12)2＋(0－4)2表示点(x,0)到点A (0，－1)与点B (12,4)的距离之和，最小值|AB |＝13，故选C.
[答案] C
3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2
－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．8
D ．－1
[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋1
2，y ＝x 2－4x ＋3的图象，如图，由图可知，当x ＝1时，f (x )有最小值2.选A.
[答案] A
4．(2015·辽宁大连双基)函数
f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，π2的图象大致是(
)
[解析] 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 、B.f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π
3，所以选D.
[答案] D
5．(2015·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－x
－1，
x 1
2 ，
x ≤0，x >0.
若f (x 0)>1，则
x 0的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析] 首先画出函数y ＝f (x )与y ＝1的图象(如图)，
解方程f (x )＝1，得x ＝－1或x ＝1.由图中易得
f (x 0)>1时，所对应x 0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] D
6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )
A ．k ≤1
2 B ．－1≤k <－1
2 C ．－12<k ≤12
D ．－12<k ≤1
2或k ＝－1
[解析] 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π
4， 结合三角函数的图象可知T 2＝π
4.
又T ＝2π2ω＝π
ω，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫4x ＋π3.
将f (x )的图象向右平移π
8个单位得到
f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2
倍得到g (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π6.
所以方程为sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6＋k ＝0.
令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π
6.
若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，
即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，5π6有且只有一个交点．
如图所示，由正弦函数的图象可知
－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤1
2或k ＝－1，故选D. [答案] D 二、填空题
7．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x >0，
y ≤2，则y
x 的最小值是________．
[解析] 可行域如图所示．
又y
x 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．
联立⎩⎨
⎧
x －y ＋1＝0，y ＝2，
得A (1,2)，
所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y
x 的最小值为2.
[答案] 2
8．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．
[解析] 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB .
又k P A ＝－2－(－1)
1－0＝－1，
k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1.
[答案] [－1,1]
9．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．
[解析] 函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.
[答案] －1
2 三、解答题
10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x x －1
－kx 2，x ≤0，
ln x ，x >0
有且只有两个不同的零点，
求实数k 的取值范围．
[解] 当x >0时，f (x )＝ln x 与x 轴有一个交点，即f (x )有一个零点． 依题意，显然当x ≤0时，f (x )＝x x －1－kx 2
也有一个零点，即方程x x －1－
kx 2＝0只能有一个解．
①若x ＝0时，显然x ＝0是f (x )的一个零点；
②若x <0时，由题意知：方程kx ＝1x －1，即k ＝1
x 2－x 在(－∞，0)上无
根．
∵1
x 2－x
>0，∴k ≤0. 综上，所求实数k 的取值范围是(－∞，0]． 11．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；
(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值． [解] (1)因为x |x －1|＋1＝x ， 所以x ＝－1或x ＝1.
(2)f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－ax ＋1，x ≥a ，
－x 2
＋ax ＋1，x <a ，
(其示意图如图所示)
①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时f (x )＝x 2
－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤1
2<1，
所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，
f (x )min ＝f (1)＝2－a ；
②当1<a ≤2时，当x ＝a 时f (x )min ＝f (a )＝1；
③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2
＋ax ＋1，对称轴是x ＝a
2∈
⎝
⎛
⎭⎪⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.
因为(2a －3)－a ＝a －3<0， 所以f (x )min ＝f (2)＝2a －3.
综上，当0<a ≤1时，f (x )min ＝2－a ； 1<a ≤2时，f (x )min ＝1； 2<a <3时，f (x )min ＝2a －3. 12．已知函数f (x )＝ln x x . (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)是否存在正实数m 、n (m <n )，使m n ＝n m ？若不存在，请说明理由；若存在，求m 的取值范围．
[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x
x 2， 当0<x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，
所以f (x )单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e ，＋∞)． (2)存在．
由m n
＝n m
，得n ln m ＝m ln n ，即ln m m ＝ln n
n ，
所以f(x)＝ln x
在(0，＋∞)上有不同两点函数值相等．
x
因为f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
；
当x∈(0,1)时，f(x)<0；f(x)max＝f(e)＝1
e
当x无限增大时，f(x)无限接近0，
且f(x)>0，f(x)的图象如图所示，
故总存在正实数m、n，且1<m<e<n，
使得f(m)＝f(n)，即m n＝n m，此时1<m<e.。