下载文档原格式
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知2()y a x h k =-+是由抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； (3)观察2()y a x h k =-+的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是21(1)22y x =--+， ∴ 12a =-，1h =，2k =． (2)函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．(3)观察21(1)22y x =--+的图象知，当1x <时，y 随x 的增大而增大； 当1x >时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线212y x =-平移后的抛物线的解析式，再对比2()y a x h k =-+得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【高清课程名称：《二次函数》专题 第二讲：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习3】【变式】把二次函数2()y a x h k =-+的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(1)12y x =-+-的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数2()y a x h k =-+的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）1,1,52a h k =-==-.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.2. 已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞ 的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2016•杭州校级二模）二次函数y=（x ﹣1）2+1，当2≤y ＜5时，相应x 的取值范围为 ．【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x 的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x 的取值范围．【答案】﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3． 【解析】解：当y=2时，（x ﹣1）2+1=2， 解得x=0或x=2， 当y=5时，（x ﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1， 又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3．【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x 的值，再结合图象确定x 的取值范围．举一反三：【变式】（2014秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线213(1)y x =+的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式2y kx b =+； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有12y y >? 【答案与解析】(1)由213(1)y x =+知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得3y =，∴ (0,3)A ．由待定系数法可求出3b =，3k =，∴ 233y x =+．(2)∵ 抛物线213(1)y x =+的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知(2,3)B -． ∴ 12332ABC S =⨯⨯=△． (3)根据图象知0x >或1x <-时，有12y y >．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A 、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）CBAO【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=84-9π． 图（2） 故选B ．A EB DC F P类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.【过程与方法】通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？学生自主思考.（二）探索新知探究一：二次函数y=ax2的图象的画法出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．当取更多个点时，函数y=x 2的图象如下：（出示课件6）教师归纳：二次函数y=x 2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.出示课件7：画出二次函数y=-x 2的图象.学生分组画y=-x 2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：⑵描点：⑶连线：x …-3-2-10123…y =-x 2……探究二：二次函数y=ax2的图象性质出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：1.顶点都在原点（0,0）;2.图像关于y轴对称;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．师生共同探究：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？（出示课件11）教师强调：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.探究三：二次函数y=ax2的性质出示课件12：观察图形，y随x的变化如何变化？教师归纳：（出示课件13）对于抛物线y=ax2（a＞0），当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.师生共同探究：观察图形，y随x的变化如何变化？（出示课件14）教师归纳：（出示课件15）对于抛物线y =ax 2（a＜0）当x＞0时，y 随x 取值的增大而减小；当x<0时，y 随x 取值的增大而增大.出示课件16：在同一直角坐标系中，画出函数221,22y x y x ==的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ...－4－3－2－101234 (212)y x =······x ···－2－1.5－1－0.500.51 1.52···22y x =······出示课件17：师生共同探究：二次函数2221,,22y x y x y x ===的图象开口大小与a 的大小有什么关系？教师归纳：当a>0时，a 越大，开口越小.出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数221,22y x y x =-=-的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ···－4－3－2－101234···212y x =-······x ···－2－1.5－1－0.500.51 1.52···22y x =-······出示课件19：师生共同探究：二次函数2221,,22y x y x y x =-=-=-的图象开口大小与a 的大小有什么关系？教师归纳：当a<0时，a 越小（即a 的绝对值越大），开口越小.对于抛物线y=ax 2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．师生共同完善认知：（出示课件20）出示课件21：填一填：（1）函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;（2）函数y=－3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是，顶点是抛物线的最点;⑶函数32的图象的开口,对称轴是,顶点是，顶点是抛物线的最点;⑷函数y=－0.2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是.学生独立思考后，口答如下：⑴向上；y轴；(0,0)⑵向下；y轴；(0,0)；高⑶向上；y轴；(0,0)；低⑷向下；y轴；(0,0)出示课件22：例已知y=(m+1)x m2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.学生自主思考后，师生共同解答如下：解:依题意有:解②,得m 1=－2,m 2=1.由①,得m>－1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x 2.出示课件23：已知24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当x＞0时，y 随x 增大而增大，则k=.学生独立思考后，自主解答如下：解：24(2)k k y k x+-=+是二次函数，即二次项的系数不为0，x 的指数等于2.又因当x＞0时，y 随x 增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，24220k k k ⎧+-=⎨+⎩＞，解得k=2.探究四：二次函数y =ax 2的实际应用出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax 2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.出示课件25：例已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm 2，（1）求S 与C 之间的二次函数关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm 2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C 取何值时，S≥4cm 2.学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为4Ccm，∴S 与C 之间的关系式为S=216C ；（2）作图如图：（3）当S=1cm 2时，C 2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm 2，即216C ≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥8cm.出示课件27：已知二次函数y＝2x 2.(1)若点(－2，y 1)与(3，y 2)在此二次函数的图象上，则y 1_____y 2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD 的顶点A、B 在x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．学生独立思考后，自主解答：（出示课件28）(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB,∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.教师总结如下：（出示课件29）二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．（三）课堂练习（出示课件30-34）1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A.y1＞0＞y2B.y2＞0＞y1C.y1＞y2＞0D.y2＞y1＞02.函数y=2x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而.3.函数y=-3x 2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y 随x 的增大而,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而.4.如图，观察函数y=（k-1）x 2的图象,则k 的取值范围是.5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：6.已知二次函数y=x 2，若x≥m 时，y 最小值为0，求实数m 的取值范围．开口方向对称轴顶点坐标23x y =23x y -=231x y =231x y -=7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x 2交于A、B 两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．参考答案：1.C2.向上；y 轴；(0,0)；减小；增大3.向下；y 轴；(0,0)；增大；减小4.k>15.6.解：在二次函数y=x 2中，a=1＞0因此当x=0时，y 有最小值.∵当x≥m 时，y 最小值=0，∴m≤0．7.解：由题意得234,,y x y x =+⎧⎨=⎩开口方向对称轴顶点坐标23x y =向上y 轴（0,0）23x y -=向下y 轴（0,0）231x y =向上y 轴（0,0）231x y -=向下y 轴（0,0）解得4,1,16,1,x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y 轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC .在△BOC 中，OC 边上的高就是B 点的横坐标值的绝对值1；在△ACO 中，OC 边上的高就是A 点的横坐标值的绝对值4.因此S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC ＝12×4×1+12×4×4＝10.（四）课堂小结1.画二次函数y=ax 2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax 2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.。
22.1.2 二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质知识点:1、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的对称轴为 ，顶点坐标为 。
2、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与抛物线)0(2≠=a ax y 的形状 ，位置 ，将抛物线)0(2≠=a ax y 进行平移可得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ，平移规律为： 当0,0>>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0><k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<<k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；3、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象特点： 0>a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ；0<a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ；一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21） 2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-16、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。
第二十二章二次函数知人者智，自知者明。
《老子》 原创不容易，【关注】，不迷路！22.1.3二次函数y =a (x －h )2+k 的图象和性质 第2课时二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 学习目标：1.会画二次函数y =a (x －h )2的图象. 2.掌握二次函数y =a (x －h )2的性质. 3.比较函数y =ax 2与y =a (x －h )2的联系. 重点：会画二次函数y =a (x －h )2的图象.难点：掌握二次函数y =a (x －h )2的性质并会应用其解决问题.一、知识链接1.说说二次函数y =ax 2+c (a ≠0)的图象的特征.2.二次函数y =ax 2+k (a ≠0)与y =ax 2(a ≠0)的图象有何关系？3.函数21(2)2yx 的图象，能否也可以由函数212y x 平移得到？ 二、要点探究探究点1：二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 引例在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x 与21(2)2y x 的图象． 根据所画图象，填写下表：试一试画出二次函数2112yx ，()2112y x =--的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.想一想通过上述例子，函数y =a (x －h )2的性质是什么？ 要点归纳：二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的性质当a ＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最小值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；x ＞h 时，y 随x 的增大而增大. 当a ＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最大值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；x ＞h 时，y 随x 的增大而减小. 典例精析例1已知二次函数y ＝(x -1)2 （1）完成下表；x … … y……（2）在如图坐标系中描点，画出该二次函数的图象．（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （4）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大． （5）若3≤x ≤5，求y 的取值范围； 想一想：若-1≤x ≤5，求y 的取值范围；（6）若抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＜x 2＜1，试比较y 1与y 2的大小．变式：若点A (m ，y 1)，B (m +1，y 2)在抛物线的图象上，且m ＞1，试比较y 1，y 2的大小，并说明理由．探究点2：二次函数y =ax 2与y =a (x －h )2的关系 想一想抛物线2112yx ，2112y x 与抛物线212y x 有什么关系？ 要点归纳：二次函数y =a (x －h )2与y =ax 2的图象的关系y =ax 2向右平移︱h ︱得到y =a (x －h )2； y =ax 2向左平移︱h ︱得到y =a (x +h )2.左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.例2抛物线y ＝a 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．练一练将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个位D ．向右平移1单位 三、课堂小结1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 22(3)x 22(2)x23(1)4x 2.如果二次函数y ＝a (x -1)2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是_____．3.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.4.若（-134，y1）（-54，y2）（14，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为___________.5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．能力提升已知二次函数y＝（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.参考答案自主学习知识链接1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，c）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值c），当x0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值c），当x0时，y随x 增大而减小.2.答：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到：当k>0时，向上平移k个单位长度得到.当k<0时，向下平移-k个单位长度得到.3.能课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质引例列表如下：描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.图①图② 填表如下：试一试 填表如下：1212-292-892-21212-2描点、连线，画出这两个函数的图象如图②所示. 例1解：（1）填表如下：x…-10 1 2 3 …y… 2 120 122 …（2）解：描点，画出该二次函数图象如下：（3）对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0).（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.想一想∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∵当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.变式∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系想一想抛物线向左平移1个单位得到抛物线，抛物线向右平移1个单位得到抛物线.例2解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a=14，∴平移后二次函数关系式为y＝14(x－3)2.练一练C当堂检测 1.填表如下： 22(3)x 22(2)x23(1)4x2.a ＞03.y =-(x +3)2或y =-(x -3)24.y 1＞y 2＞y 35. 解：图象如图.函数y =2(x -2)2的图象由函数y =2x 2的图象向右平移2个单位得到. 能力提升解：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①若h ＜-1≤x ≤3，x ＝-1时，y 取得最小值4，可得（-1-h ）2＝4，解得h ＝-3或h ＝1（舍）；②若-1≤x ≤3＜h ，当x ＝3时，y 取得最小值4，可得：（3-h ）2＝4，解得：h ＝5或h ＝1（舍）；③若-1＜h ＜3时，当x ＝h 时，y 取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h 的值为-3或5.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
“三段六环节”教学法课时备课课题22.1.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课型新授教学目标知识与技能：1、会画二次函数y=a(x-h)2的图象，并能说出开口方向、对称轴、顶点坐标。
2、理解和掌握二次函数y=a(x-h)2的性质3、理解抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的位置关系.过程与方法：会用数形结合的思想研究二次函数的图象和性质，培养学生观察、分析、比较、抽象和概括等能力。
情感态度与价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
教学重点二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教学难点二次函数y=a(x-h)2的图象与抛物线y=ax2的位置关系教法学法新杏坛式教学法自主、合作、探究教学用具三角尺 PPT课件板书设计22.1.2二次函数y=a（x-h）2的图象和性质二次函数y=a(x-h)2的性质：y=a(x-h)2a>0 a<0开口方向对称轴顶点坐标增减性最值反思这一节课整个过程中的成功和不足之处，我觉得需要改进的有如下几点：1、认真考虑每一个细节。
考虑到一节课时间有些紧张，所以我让学生提前画好了图象，这样在课堂上可以节省时间，由于默认学生已经画好了图象，所以我也没有在黑板上再画出图象，这样让学生在看图象时，有的学生没有画出，有的同学画错了，这样就给学习新知识带来了困难，这是我没有想到的。
所以以后要充分考虑到每一个细节，要想到学生可能会出现什么情况。
2、在学生观察课件抛物线平移的过程中，没有始终扣住“二次函数”图象上特殊的顶点来表述，所以很多学生只是看到了平移的过程，而对于顶点的变化却理解不是很透彻。
3、小组合作学习流于形式，没有体现出应有效果，没有很好的调动学生的积极性，对需要合作的问题预设不到位。
4、引导学生思维的语言不精练，时间把握得不好，这些都是在今后的教学中要多加注意和需要不断改进的。
教学反思教师活动学生活动自主学习复习引入：1、抛物线21+42y x=-的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？2、抛物线21+42y x=-与抛物线212y x=-有什么关系？学习目标：1、会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2的图象．2、掌握二次函数 y＝a(x－h)2的性质3、理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系.自主学习一：观察你所画出的二次函数21(1)2y x=+、21(1)2y x=--的图象，并填表（同步学习P31）：学生思考并回答.学生默读并清楚本节课的目标学生自主学习，观察图象并将同步学习P31的表填上，类比于2y ax=和2y ax k=+总结出两个函数的性质展示交流小组交流讨论，统一所填内容，并进行展示检 测 反 馈1.对于抛物线 ，下列说法错误的是： （ ）A.开口向上B.对称轴是直线x=2C.最低点的坐标是（2,0）D.当x ＞2时，y 随x 的增大而减小2. 抛物线y=4(x-3)2的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值，其值为 ，当x 时， y 随x 的增大而增大。
22.1.2 二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质（三）知识点:1、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的对称轴为 ，顶点坐标为 。
2、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与抛物线)0(2≠=a ax y 的形状 ，位置 ，将抛物线)0(2≠=a ax y 进行平移可得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ，平移规律为： 当0,0>>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0><k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<<k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；3、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象特点：0>a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ； 0<a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ；一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21）2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小 3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x y B 、3)1(2+-=x y C 、3)1(2-+=x y D 、3)1(2--=x y4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-1 6、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限 二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。
2、抛物线k h x y ++=2)(4的顶点在第三象限，则有k h ,满足h 0，k 0。
3、已知点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数1)1(2+-=x y 的图象上，若121>>x x ，则1y 2y （填“＞”、“＜”或“=”）．4、抛物线的顶点坐标为P （2,3），且开口向下，若函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围为 。
5、在平面直角坐标系中，点A 是抛物线k x a y +-=2)3(与y 轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 。
6、将抛物线2x y -=先沿x 轴方向向 移动 个单位，再沿y 轴方向向 移动 个单位，所得到的抛物线解析式是1)3(2+--=x y 。
7、将抛物线12+-=x y 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是 。
8、将抛物线1)1(22++-=x y 绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ； 将抛物线1)1(22++-=x y 绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 。
9、抛物线k h x a y +-=2)(的顶点为（3，-2），且与抛物线231x y -=的形状相同，则a ，h = ，k = 。
10、如图，抛物线3)2(21-+=x a y 与1)3(2122+-=x y 交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是 。
三、解答题：1、若二次函数图象的顶点坐标为（-1,5），且经过点（1,2），求出二次函数的解析式。
2、若抛物线经过点（1,1），并且当2=x 时，y 有最大值3，则求出抛物线的解析式。
3、已知：抛物线y=34（x-1）2-3． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y 轴的交点为P ，与x 轴的交点为Q ，求直线PQ 的函数解析式．4、在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A （1、-4），且经过点B （3,0） （1）求该二次函数的解析式；（2）当33<<-x 时，函数值y 的增减情况； （3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点。
5、如图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M （1，-4）（1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
22.1.2二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图像和性质一、理解新知1、直线x=h （h ，k ）2、相同 不同 向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位； 向右平移h 个单位，再向下平移|k|个单位；向左平移|h|个单位，再向上平移k 个单位； 向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位。
3、上 减 增 低；下 增 减 高 二、知识巩固练习： （一）选择：1、B2、C3、B4、D5、C6、C7、C8、C （二）填空：1、直线x=-3 （-3，-1） <-3 >-3 大 -12、>0 <03、>4、2≥x5、186、右 3 上 17、2)2(2-+-=x y 8、1)1(22++=x y1)1(22--=x y 9、31-3 -2 10、①（三）解答：5)1(434325)11(215)1(511222++-=∴-==++∴++=∴-x y a a x a y ），图象过点（又设二次函数的解析式为），（二次函数的图象顶点为、解：3)2(2213)21(113)2(322222+--=∴-==+-∴+-=∴=x y a a x a y y x ），抛物线过点（又设抛物线解析式为取得最大值时函数、解：494349430349,:)0,3(Q 490P 1PQ 0103Q 490P 01031,3031430493430331)2(11311111110212min -=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=-----===--=-=-==-===x y b k b k b b x k y l x x x x y y x y x y x PQ 解得则设），，（若可分两种情况：），所以直线，）或（，（），，（则），）或（，轴得交点为（即与解得）（得令得）令（时，有最小值，当对称轴为直线）抛物线的开口向上，、解：（49494943PQ 49494949049,:01Q 490P 222222220--=-=--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=--x y x y x y b k b k b b x k y l PQ或的解析式为综上所述，直线解得则设），（），，（若顶点为原点个单位即可实现抛物线个单位，再向上平移向左平移）将抛物线（的增大而增大随时，的增大而减小，当随时，当开口向上抛物线对称轴为直线解得），（二次函数图象过点又设二次函数的解析式为），（二次函数的图象顶点为）、解：（414)1(33113,1)2()41(104)13(03B 4)1(41A 142222--=<≤<<-∴=--=∴==--∴--=∴-x y x y x x y x x x y a a x a y ），）或（，，坐标为（存在合适的点，解得则的图象上在点又即同底，且与解得得令），（的顶点为抛物线解析式为）、解：（5254P 2,454)1(,544)1(P 5544545S 45S )2()0,3(),0,1(1,304)1(04)1(41M )(152122MAB PAB 21222-∴-===--=∴-≥∴--=±==⨯==∴=∆∆-∴-===--=--=∴-++=∆∆x x x y y x y y y y MAB PAB B A x x x y x y k m x y P P P M P。
