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专题-圆的问题专题知识回顾一、与圆有关的概念与规律1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10. 点和圆的位置关系：① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
14．圆内接四边形的特征：⇔⇔⇔①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
15.直线与圆有3种位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。
1有一半圆形圆环，内圆直径为10厘米，外圆直径为18厘米，求此半圆形圆环的周长和面积。
2、有一圆环，外环半径比内环半径多1/5，内环半径比外环半径少5厘米。
该圆环的面积是多少？
3、已知圆环面积是549.5平方厘米，外环半径为20厘米，求内环周长。
4、已知外环周长比内环周长多31.4厘米，外环半径为20厘米，求内圆面积。
5、已知圆环宽5厘米，内环周长为94.2厘米，求外圆面积。
6、已知内圆面积为706.5平方厘米，外圆周长为125.6厘米，求圆环面积。
7、黑蚁和白蚁同时在圆环的内环和外环上爬行，黑蚁在在半径为15米内环上以每分钟5米的速度爬行，白蚁在半径为20米的外环上爬行，当黑蚁第一次回到起点时，白蚁还要爬1/4的路程才能回到起点。
白蚁每分钟爬行多少米？
8、大圆面积比小圆面积多1/3，圆环面积是549.5平方厘米，大圆面积是多少？
9、公园内花圃中的圆形花坛，外圆周长78.5米，环宽1.2米。
求这个花坛的面积。
拓展延伸:
1.大圆半径是3分米,小圆半径是2分米,大圆周长与小圆周长的比是(),小圆面积
与大圆面积的比是().
2.大圆的半径相当于小圆的直径,已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米,大圆的面积是多少?
5、环形的外圆直径是24厘米，内圆半径是7厘米，求环形的面积。
6、环形的外圆直径是24厘米，环宽是5厘米，求环形的面积。
7、环形的外圆周长为78.5分米，内圆周长为62.8分米，求环形的面积。
8、坏形的外圆周长为31.4厘米，环宽3厘米，求环形的面积。
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
圆的最值问题在数学中是一个非常重要且常见的问题。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些解决圆的最值问题的技巧，并提供一些实例以便更好地理解这些技巧。
一、理解圆的基本概念在解决圆的最值问题之前，我们首先要对圆的基本概念有一个清晰的理解。
圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
圆心是这个固定点，半径是连接圆心与圆上任意一点的线段的长度。
二、圆的最值问题的分类圆的最值问题可以分为两类：圆的周长最值问题和圆的面积最值问题。
1. 圆的周长最值问题圆的周长是围绕圆的边界走一圈所经过的路径长度。
当半径给定时，圆的周长最大值出现在圆的直径上，最小值出现在圆的半径为零的点上。
2. 圆的面积最值问题圆的面积是圆内部的区域的大小。
当圆的半径给定时，圆的面积最大值出现在半径最大的圆上，最小值出现在半径为零的点上。
三、解决圆的最值问题的技巧解决圆的最值问题需要使用一些数学工具和技巧。
下面列举一些常用的技巧：1. 构造函数对于圆的最值问题，可以通过构造一个函数来描述圆的特性。
例如，对于圆的周长最值问题，可以构造一个函数表示周长与半径之间的关系。
通过求导或者应用相关的数学方法，可以找到函数的最值点。
2. 应用不等式在解决圆的最值问题时，可以应用一些不等式来限制变量的取值范围。
例如，当半径为正数时，圆的面积大于等于零。
通过应用这个不等式，可以得到一些限制条件，帮助解决最值问题。
3. 应用几何性质圆的最值问题可以利用圆的几何性质进行求解。
例如，圆的周长与直径之间有一个定理，即周长等于直径乘以π。
通过应用这个几何性质，可以得到一些等式或者关系，帮助求解最值问题。
四、实例分析为了更好地理解解决圆的最值问题的技巧，以下提供两个实例进行分析。
实例1：求半径为r的圆的面积的最大值。
解析：根据圆的面积公式，可以得到圆的面积A等于π乘以半径的平方。
因此，问题可以转化为求函数A=πr^2的最大值。
通过求导，可以得到函数A'=2πr。
解决实际问题中的圆问题圆作为几何学中的重要概念之一，存在于我们日常生活和各个领域中。
在解决实际问题中，我们时常会遇到与圆有关的问题，如圆的面积、周长、切线等。
本文将针对解决实际问题中的圆问题展开探讨，并提供一些有效的解决方法。
1. 圆的面积计算圆的面积是我们在解决很多问题中常常需要计算的一个指标。
圆的面积可以通过半径或直径来计算。
常用的计算公式是πr² (其中π 取近似值3.14) 或π(d/2)² 。
例如，如果我们需要计算一个半径为5cm的圆的面积，可以使用π × 5² 进行计算。
2. 圆的周长计算与圆的面积类似，圆的周长也是一个常见的指标。
圆的周长可以通过半径或直径来计算。
常用的计算公式是2πr 或πd。
比如，如果我们需要计算一个半径为5cm的圆的周长，可以使用2π × 5 进行计算。
3. 圆的切线问题在解决一些实际问题中，我们可能会遇到圆的切线问题。
圆的切线是与圆只有一个交点的直线。
解决圆的切线问题时，我们可以利用圆的性质和几何学知识进行求解。
例如，已知圆心坐标和半径，可以通过计算得出切线方程。
或者通过利用切线与半径垂直的性质，计算切线与坐标轴的交点从而求解。
4. 圆的相似性问题圆的相似性是指两个或多个圆在几何形状上相似的概念。
在解决实际问题中，我们可能会用到圆的相似性来计算未知量。
圆的相似性可以通过相似三角形的性质来求解。
比如，已知两个相似圆的半径比例，可以通过设置相似三角形的比例关系来计算未知量。
5. 圆与直线的位置关系问题在解决实际问题中，我们有时会遇到圆与直线的位置关系问题。
根据圆与直线的位置关系，可以分为相离、相切或相交三种情况。
在解决该类问题时，我们可以通过求解直线与圆的交点个数来得出结论。
若直线与圆有两个交点，则相交；若直线与圆没有交点，则相离；若直线与圆有且仅有一个交点，则相切。
总结：解决实际问题中的圆问题，需要根据具体问题选择合适的计算方法和求解策略。
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
圆的问题专题【例题1】（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【例题2】（2019•南京）如图，P A.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．【例题3】（2019•甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【例题4】（2019•江苏苏州）如图，AE为Oe的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.（1）求证：DO AC ∥；（2）求证：2DE DA DC ⋅=;（3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值.训 练一、选择题1．(2019甘肃陇南)如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°2.（2019•山东省聊城市）如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ．如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为（ ）A ．35°B ．38°C ．40°D ．42° 3.（2019•广西贵港）如图，AD 是⊙O 的直径，＝，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是（ ）AA．40°B．50°C．60°D．70°4.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接B D．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5.（2019•山东省德州市）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°6.（2019湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D，下列结论不一定成立的是（）A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD7.（2019•广东广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条8．（2019•山东泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°9．(2019•湖南益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD10. (2019湖北荆门)如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定二、填空题11.（2019广西北部湾）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。
关于圆的数学问题
关于圆的数学问题有很多，以下列举几个常见的：
1.圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点的距离都相等的点组成的集合。
2.圆的周长和面积：圆的周长为2πr，其中r 为半径；圆的面积为πr²，其中r 为半径。
3.弧长和扇形面积：圆的弧长计算公式为s = θr，其中θ为弧度，r 为半径；圆的扇形面积计算公式为 A = 1/2θr²，其中θ为弧度，r 为半径。
4.弧度和角度的转换：常用的一个圆的弧度等于π角度等于180°。
弧度和角度的转换公式为弧度= 角度×π/180，角度= 弧度×180/π。
5.圆的切线和切点：圆与直线相切时，切点在圆上；圆与另一个圆相切时，切点在两个圆的切线上。
6.圆锥曲线：圆是一种特殊的椭圆，其离心率为0，焦点和焦距均为零。
7.圆锥曲线的方程：圆的方程一般形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b) 是圆心坐标，r 是半径。
这些是关于圆的数学问题的一些基本概念和定理。
在几何学和解析几何中，圆是一个重要的基础概念，它在很多数学问题中都有重要的应用。
六年级数学圆形问题练习题答案：六年级数学圆形问题练习题1. 计算圆的周长和面积一个圆的半径为4cm，求其周长和面积。
解答：根据圆的定义，周长C为半径r乘以2π，即C=2πr。
面积S为半径r平方乘以π，即S=πr²。
给定半径r=4cm，代入公式计算：C = 2π × 4 = 8π ≈ 25.13cmS = π × 4² = 16π ≈ 50.27cm²所以，该圆的周长约为25.13cm，面积约为50.27cm²。
2. 计算圆的直径和半径一个圆的周长为18π cm，求其直径和半径。
解答：根据圆的定义，直径D为周长C除以π，即D= C/π。
半径r为直径D除以2，即r=D/2。
给定周长C=18π cm，代入公式计算：D = 18π /π = 18cmr = 18 / 2 = 9cm所以，该圆的直径为18cm，半径为9cm。
3. 计算圆的弧长和扇形面积一个圆的半径为5cm，弧度为π/3，求其弧长和扇形面积。
解答：根据弧长和扇形面积的计算公式：弧长L = rθ，扇形面积A = 1/2r²θ。
给定半径r=5cm，弧度θ=π/3，代入公式计算：L = 5 × π/3 ≈ 5.24cmA = 1/2 × 5² × π/3 ≈ 8.23cm²所以，该圆的弧长约为5.24cm，扇形面积约为8.23cm²。
4. 计算圆的切线长度一个圆的半径为6cm，切线与圆心的连线夹角为45度，求切线的长度。
解答：根据圆的切线性质，切线长度等于半径的平方根的两倍，即L=2√r。
给定半径r=6cm，代入公式计算：L = 2 × √6 ≈ 7.75cm所以，切线的长度约为7.75cm。
5. 计算圆的内接正方形边长一个圆的半径为8cm，求内接正方形的边长。
解答：根据圆的内接正方形性质，内接正方形的边长等于圆的直径，即边长=直径=D。
小学数学圆的练习题目1. 概述数学中的圆是一个非常重要的概念，它在几何形状、图形计算和实际问题中都有广泛的应用。
通过练习解决与圆相关的问题，可以帮助小学生加深对圆的认识和理解。
本文将提供一些小学数学圆的练习题目，并提供解答和解题思路。
2. 判断题(1) 圆是一种特殊的长方形。
( )(2) 圆的周长和宽度有关。
( )(3) 圆的直径是圆周上任意两点之间的最长距离。
( )(4) 圆的半径和直径是相等的。
( )(5) 圆的面积是半径的平方乘以π。
( )解答与解题思路：(1) 错误，圆和长方形是不同的几何形状。
(2) 错误，圆的周长与半径有关，与宽度无关。
(3) 正确，圆的直径是经过圆心的线段，且是圆周上任意两点之间的最长距离。
(4) 正确，圆的半径是直径的一半，因此两者相等。
(5) 错误，圆的面积是半径的平方乘以π的一半。
3. 填空题(1) 圆的周长公式为 __________。
(2) 圆的面积公式为 __________。
(3) 若圆的半径为3cm，则其直径为 __________。
(4) 若圆的直径为8cm，则其半径为 __________。
(5) 若圆的周长为12πcm，则其半径为 __________。
解答与解题思路：(1) 圆的周长公式为2πr，其中r为半径。
(2) 圆的面积公式为πr²，其中r为半径。
(3) 若圆的半径为3cm，则其直径为 6cm。
(4) 若圆的直径为8cm，则其半径为 4cm。
(5) 若圆的周长为12πcm，则其半径为 6cm。
4. 计算题(1) 半径为5cm的圆的周长和面积分别是多少？(2) 直径为12cm的圆的周长和面积分别是多少？(3) 若圆的周长为18πcm，求其半径和直径的长度。
解答与解题思路：(1) 半径为5cm的圆的周长为2π × 5 = 10π cm，面积为π × 5² = 25π cm²。
(2) 直径为12cm的圆的周长为2π × 6 = 12π cm，面积为π × 6² = 36π cm²。
【本讲教育信息】一. 教学内容：第28章圆全章小结与复习二. 重点、难点：（1）用数量关系（点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心的距离）识别与圆有关的位置关系，灵活运用圆的基本性质这些知识解决问题；（2）切线的性质、识别方法以及切线长定理，能够应用这些性质回答相关问题；⑶弧长和扇形面积公式，计算弧长和比较复杂图形的面积．三. 知识梳理：1. 圆的基本元素（1）圆心和半径；（2）弦和直径；⑶弧和半圆；⑷圆心角和圆周角．2. 圆周角与圆心角（1）圆周角与圆心角：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．性质的验证，运用了“分类”的思想．（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.一般地，若题目无直径，需要作出直径．⑶圆周角与同弧或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同一圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．3. 圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，概括为：在一个圆（同圆或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（2）圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．于是就有了垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．还可概括为：如果一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．具备其中任意两个条件，那么就可得到其他三个结论．[注：具备②③条件时，应是平分（不是直径的）弦．]4. 点和圆的位置关系点与圆的位置关系的判定与性质：①如点在圆外，则有性质d>r；若d>r，则可判定出点在圆外．②如点在圆上，则有性质d=r；若d=r，则可判定出点在圆上．③如点在圆内，则有性质d＜r；若d＜r，则可判定出点在圆内．5. 直线和圆的位置关系：相离、相切、相交（1）直线和圆的位置关系的判定与性质：①当直线l和⊙O相离时，则有性质d>r；若d>r，则直线l和⊙O相离②当直线l和⊙O相切时，则有性质d=r：若d=r，则直线l和⊙O相切③当直线l和⊙O相交时，则有性质d＜r．若d＜r，则直线l和⊙O相交其中l表示直线，d是⊙O与直线l的距离，r是⊙O的半径（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．（3）三角形的内心与外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．6. 圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：（1）两圆外离；（2）两圆外切；⑶两圆相交；⑷两圆内切；⑸两圆内含，同心圆7. 关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算已知⊙O半径为R，则圆面积公式为：S=；圆周长公式为：C=2；n°圆心角的弧长公式是：．在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积公式是：说明：只要已知圆的半径、圆心角度数、弧长及扇形面积四个量中的任意两个量就可计算出其它量．在具体解题时，应通过作图、识图、阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．S全=πra＋πr2．【典型例题】例1. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，圆心距为3，•则两圆的位置关系是（）．A. 内含B. 外切C. 相交D. 内切解析：两圆内切时，圆心距等于两半径之差，∵5－2=3，∴两圆内切．答案：D．例2. 已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A•与⊙O的位置关系是（）．A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上；C. 点A在⊙O外D. 不能确定解析：若d<r，则点在圆内；d=r，则点在圆上；d>r，则点在圆外．本题只需判断点A 到圆心O的距离与半径5cm的大小．因OP=2·OA，•所以OA=3cm<5cm，故点A在⊙O 内．答案：A．例3. 已知：如图，圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于点F，AB＝BE，连结AC，且OD＝3，AF＝FB＝．求AC的长．解析：连结OA，∵DF过点O，AF＝FB＝，∴∠AFO＝90°．∴．∴．∴.．由垂径定理知＝，∴∠DCA＝∠DAB．∵∠ADC是△ADC与△EDA的公共角，∴△ADC∽△EDA．∴．．∴．领悟整合：与圆有关的计算题常用到垂径定理、勾股定理、相似三角形等知识，常用到的辅助线是过圆心连半径或过圆心作已知弦的垂线构造直角三角形运用垂径定理、勾股定理或相似三角形有关的比例式或与圆有关的比例线段求解．例4. 如图，AC为⊙O的直径，B、D、E都是⊙O上的点，求∠A+∠B +∠C的度数．分析：由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE，这样将∠CAD （∠A）、∠C放在了△AEC中，而∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题便迎刃而解．解：连结AE∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=90°∴∠CAD +∠EAD+∠C =90°∵，∴∠B=∠EAD∴∠CAD +∠B+∠C =90°例5. △ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C=90°，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，求AD的长．分析：圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH⊥AB，这只要求出AH的长就能得出AD的长．解：作CH⊥AB，垂足为H∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10∵∠C=90°，CH⊥AB∴又∵AC＝6，AB=10∴AH＝3.6∵CH⊥AB∴AD=2AH∴AD=7.2答：AD的长为7.2．例6. （1）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．（2）在（1）中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．（1）（2）分析：第（1）小题中，因为AB为直径，只要再说明∠BAE为直角即可．第（2）小题中，AB为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°∴∠BAC＋∠B=90°又∵∠CAE=∠B，∴∠BAC＋∠CAE =90°即∠BAE =90°∴AE与⊙O相切于点A．（2）连结AO并延长交⊙O于D，连结CD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°∴∠D＋∠CAD=90°又∵∠D=∠B，∴∠B＋∠CAD=90°又∵∠CAE =∠B，∴∠CAE＋∠CAD=90°即∠EAD =90°，∴AE仍然与⊙O相切于点A．说明：本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第（1）小题的特殊情况，大胆提出猜想，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法．例7. 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5．（1）若，求CD的长．（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）．分析：图形中有“直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD的长就转化为求DE的长．第（2）小题求扇形OAC的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOC的大小．解：（1）∵AB是⊙O的直径，OD＝5∴∠ADB＝90°，AB＝10又∵在Rt△ABD中，∴∵∠ADB＝90°，AB⊥CD∴BD2=BE·AB，CD= 2DE∵AB＝10 ，∴BE=，在Rt△EBD中，由勾股定理得：∴答：CD的长为．（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD∴∴∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD∵AO＝DO∴∠BAD＝∠ADO∴∠CDB＝∠ADO设∠ADO＝4k，则∠CDB＝4k由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝k∵∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°∴得k＝10°∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°∴∠AOC＝∠AOD＝100°则答：扇形OAC的面积为例8. 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P. 已知BC：CA=4 ：3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；⑶当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．分析：当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝45°，作BE⊥PC于点E，CP＝PE+EC．由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ 也最大．解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴AB=5，BC：CA=4：3∴BC=4，AC=3S Rt△ACB=AC·BC=AB·CD∴∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=90°，∠CAB＝∠CPQ，∴Rt△ACB∽Rt△PCQ∴∴（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．∵P是弧AB的中点，∴又∠CPB=∠CAB∴tan∠CPB= tan∠CAB=∴从而由（l）得，⑶点P在弧AB上运动时，恒有故PC最大时，CQ取到最大值．当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为说明：用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt△ACB∽Rt△PCQ）往往是解题的关键．【模拟试题】（答题时间：120分钟）一、选择题：（每题3分，共36分）1. 下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分；⑶经过平面上任意三点可作一个圆；⑷任意一个圆有且只有一个内接三角形；⑸三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3. AB是⊙O的弦，∠AOB=88°，则弦AB所对的圆周角等于（）A. 44°B. 22°C. 44°或136°D. 22°或68°4. O是△ABC的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（）A. 100°B. 120°C. 130°D. 160°5. 一个点到圆的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则圆的半径是（）A. 5cm或13cmB. 2.5cmC. 6.5cmD. 2.5cm或6.5cm6. 如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（）A. 65°B. 50°C. 130°D. 80°7. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A. 15B. 12C. 13D. 148. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，以A为圆心，以4cm为半径作圆，•则直线BC与⊙A的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定9. 已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2－4x+3=0的两根，•那么这两个圆的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切10. ⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O•相切的圆的半径一定是（）A. 1cm或7cmB. 1cmC. 7cmD. 不确定11. 一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 30cm12. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，•连结OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题. （每题2分，共20分）1. ⊙O中，弦MN把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T为MN中点，则∠TMO=_________，则弦MN所对的圆周角为_______．2. ⊙O到直线L的距离为d，⊙O的半径为R，当d、R是方程x2－4x+m=0的根，且L•与⊙O相切时，m的值为_________．3. ⊙O中，若弦AB、BC所对的圆心角分别为120°、80°，则弦AC•所对的圆心角为_____；4. 如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=20°，，•则∠DAC的度数是_______．5. 在△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，则△ABC的内切圆的半径为_________．6. △ABC三边与⊙O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=________．7. 如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=40°，则∠AOB的度数为_________．8. 两圆相切，圆心距等于2cm，其中一个圆的半径等于3cm，•则另一个圆的半径等于_________．9. 已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r•的所有可能的正整数值为_________．10. 圆心角为120°的扇形的弧长是2cm，则此扇形的面积为___________．三、解答题. （第1至6题各6分，第7、8两题各9分，第9题10分，共64分）1. 如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O•的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．2. 如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1与以BC为直径的半圆O2相切于点D．求图中阴影部分面积．3. 将半径为R的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，•设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，求r1+r2+r3的值．4. 如图，求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上的一点P．5. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB，BC，AC为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S1，S2，设△ABC的面积为S．求证：S=S1+S2．6. 如图所示，⊙I是△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，CA=10，点D、E分别为AB、AC 上的点，且DE是⊙I的切线，求△ADE的周长．7. 如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O•的切线CD，D为切点，连结AD，OD，BD．请根据图中给出的已知条件（不再标注字母，不再添加辅助线）写出两个你认为正确的结论．8. 如图，已知弦AB与半径相等，连结OB，并延长使BC=OB．（1）问AC与⊙O有什么关系．（2）请你在⊙O上找出一点D，使AD=AC（自己完成作图，并证明你的结论）．9. 如图所示，AB为⊙O的直径，把AB分成几条相等线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a，⊙O的周长为L=a．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=a=______；（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=_______；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4= _______；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n= _______．结论：（1）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的_______；（2）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n个小圆的周长和与大圆周长的关系是_______ ；探索：请仿照上面的探索方式和步骤，计算每个小圆的面积与大圆面积的关系．。
