2016年织金七中春季学期初三数学竞赛试卷

2016全国初中数学联合竞赛（初三组）试题一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3,14]3=，[0]0=，[3,14]4-=-。

把[]x x -称为x的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -=（） A ． B ． C ．1 D2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本（每种图书至少购买一本），那么不同的购书方案共有（）A ．9种B ．10种C ．11种D ．12种3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。

如：3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”. 那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（） A ．6858 B ．6860C ．9260D ．92624．已知O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，若8AB =，2CD =，则BCE △的面积为（）A ．12B ．15C ．16D ．185．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，AB AC =，1CD =，对角线的交点为M ，则DM =（） AB C D ．12 B AM D C6．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为（）A ．12B ．23C ．34D ．1 二、填空题（本题满分28分，每小题1．已知ABC △的顶点A 、C 在反比例函数0)x x >的图象上，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6AB =，则点C 的坐标为 .2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，BC OD =，则ABC ∠=.B C A D O3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数. 这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是. 4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2. 考虑每列中各数之和. 设这5个和的最小值为M . 则M 的最大值为 .三、（本题满分20分）已知a ，b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.四、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在线段BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N . 证明：FN DE =.A CMN F BO D E 五、（本题满分25分）已知正实数x ，y ，z 满足：1xy yz zx ++≠，且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. （1）求111xy yz zx++的值； （2）证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.。

人教版九年级数学2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用x 表示不超过x 的最大整数，把xx 称为x 的小数部分.已知123t ，a 是t 的小数部分，b 是t 的小数部分，则112b a （）.A 12.B 32.C 1.D 32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A 9种.B 10种.C 11种.D 12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858.B 6860.C 9260.D 92623(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a 的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b 为整数时，ab（）.A 0.B 14.C 34.D 24.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB 2CD ,则BCE的面积为（）.A 12.B 15.C 16.D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ，5AB AC ,1CD ,对角线的交点为M ，则DM( ) .A 32.B 53.C 22.D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z 则23M xy yz xz 的最大值为 ( )。

初三数学竞赛题（含答案）（全卷满分120分考试时间90分）姓名_________班级________指导教师_________ 得分_________一 .单项选择题（每题6分，共30分）1.22016－22017＝( )A.-22016B.-2C. 22016D.22.若关于x 的多项式x 2-6x+m 2是一个完全平方式，则m=( ) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±93.圆锥的侧面展开是圆心角为90°的扇形，则圆锥的母线与底面半径之比为（） A . 6:1 （B ）. 4:1 （C ）.3:1 （D ）.2:14.如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形AB CD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为（） A.15 B.20 C.25 D.305.如图，矩形ABCD 中，AB AD 2=，E 是AD 边上一点，AD nDE 1=（n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF和EG .记四边形BFEG 的面积为1S ，矩形ABCD 的面积为2S ，当301721=S S 时，n = （ ）A.3B. 4C.6D.8第4题图第5题图二 .填空题（每题6分，共30分）6.已知2cos 2β+3sin β-3=0,则锐角β＝________. 7.化简：324324--+＝________8.（1+2+3+…+99）（2+3+4+…+100）－（1+2+3+…+100）（2+3+4+…99）＝________. 9.已知关于x 的分式方程111=--++x kx k x 的解为负数，则k 的取值范围是_______. 10.如图，点A 1，A 2依次在的图象上，点B 1，B 2依次在x 轴的正半轴上，若ΔA 1OB 1 ,ΔA 2B 1B 2均 为等边三角形，则点B 2的坐标为 ． 三．解答题（每题20分，共60分）11.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？BCAD12. 如图，抛物线y=x2－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．数学竞赛答案1.A2.B3.D4. D5. C6.3007.28.1009. k＞1/2, 且k≠1 10.(26,0)11. 解：（1）依题意得，=，整理得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100，经检验，m=100是原分式方程的解，所以，m=100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式组的解集是95≤x≤105，∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案；（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x=95时，W有最大值，12. 解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x－5上，∴当x=1时，y=1－5=－4，∴A（1，－4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，－4）代入y=x2－2x+c，可得，1－2+c=－4，∴c=－3，∴y=x2－2x－3，∴B（0，－3）当y=0时，x2－2x－3=0，x1=－1，x2=3∴C（－1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4－3）2+12=2，AD2=（3－1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x－5交y轴于点A（0，－5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x1－5），则G（1，x1－5）则PC=|1－x1|，AG=|5－x1－4|=|1－x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1－x1）2+（1－x1）2=18，x12－2x1－8=0，x1=－2，4∴P（－2，－7），P（4，－1）存在点P（－2，－7）或P（4，－1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．第12题图第13题图S△AEM =．13.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE =，∴BE=6－=；（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=－+x=－（x－3）2+，∴AM=－5－CM ═（x－3）2+，∴当x=3时，AM 最短为，又∵当BE=x =3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE ==4，此时，EF⊥AC，∴EM ==，。

初三数学竞赛试题（本卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题5分、共40分）1、如果多项式200842222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ ）(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 20082、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ). (A)2124L S - (B)2124L S + (C)21S L 42- (D)21S L 42+3、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）（A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个 4、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4， △BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）26 5、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）。

（A ）8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 6、已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5S x x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。

其中正确的说法是（ ）(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ （D ）③④7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。

被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ( )(A) 7 2° （B ）108°或14 4° （C ）144° （D ） 7 2°或144°8、如图，已知圆心为A 、B 、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为a 、b 、c(0<c<a<b)，则a 、b 、c 一定满足的关系式为 ( ) （A ）2b=a+c （B ）=b c a +（C ）b ac 111+= (D)ba c 111+=二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知a ﹑b 为正整数,a=b-2005,若关于x 方程x 2-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________. 10、如图，在△ABC 中，AB=AC, AD ⊥BC, CG ∥AB, BG 分别交AD,AC 于E,F.若b a BE EF =，那么BEGE等于 .A BCG F E D11、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；④2a-b+1．其中正确的结论是_____________．(填写序号)12、如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ．13、某商铺专营A ，B 两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y 与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=x 71，yB=x 73。

九年数学竞赛试题一、选择题(每小题7分，共42分)1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k 为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中，正确结论的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D) 44.设，那么S与2的大小关系是( )(A)S=2 (B)S＜2(C)S＞2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为( )(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6.已知x，y，z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx( )(A)只有最大值 (B)只有最小值(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值二、填空题(每小题7分，共56分)7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.8.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.10.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____11.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A( , )；C( , ).13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.三、解答题(每题13分，共52分)15.九年(1)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.17.某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x.(1)试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.377 8.1:39.，30 10.11.12.(,0)，(,1) 13.0，1或7 14.2815.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得xy=(x+12)(y-2)，①且整数x满足38＜x＜50.②由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.③由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.此时相应的y为9或10.但m＜400，∴x=42，y=9.答：(略).16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0①有实数根，故△=42-4(3k-1)≥0，解之，得k≤.②设x1，x2为①的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1·x2=3k-1，因≥x1x2，故(x1+x2)2-3x1x2≥0，即(-4)2-3(3k-1)≥0，∴k≤.③又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知1+5k＞0，即k＞-.④综合②③④，得-＜k≤.∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.18.(1)由题意知：BP=x，0＜x＜6，且有，故AD=·BP=x=x.过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N点，则PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x2；又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，故S1=S△ABP=BP·AN=2x；S3=S△CDP=CD·PM=(AC-AD)·PM=(4-x)·(6-x)=(6-x)2.(2)因为S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当x=3时，S2取最大值S2=3，此时S1=6，S3=3，因此，S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2，S1=2S3.(以上4个关系只要写出3个即可)。

九年级数学竞赛试题一、选择题（每小题3分，共24分） 1.计算：3)2(-的相反数是( ) A.6 B.6- C.8 D. 8- 2.下列运算中正确的是（ ）A.532=+ B.633a a a =+ C.222)(b a b a -=- D.336326x x x =÷3.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A.正三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正六边形4.将一组数据中的每一个数都加上2，得到一组新的数据，下列四个统计量中，计算结果保持不变的是（ ） A.平均数 B.中位数C.众数D.方差5.已知x y y x -=++2414122，则y x 11-的值等于( )A ．1B ．0C ．－1D ．41-6.某学校美术社团第一次用120元买了若干本相同的绘画本发给学生练习，第二次又用240元在同一家商店买这种绘画本，这次商家每本优惠4元，结果比第一次多买了20本，求第一次买了多少本绘画本.设第一次买了x 本，下列列出的方程中正确的是（ ）A.120240420x x -=+ B. 240120420x x -=+ C. 120240420x x -=- D.240120420x x-=-7.∠AOB=45°，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PM ⊥OB 于 M ，PN ∥OB ，PN 与OA 相交于点N ，那么PNPM的值等于（ ） A.21B.22C.23D.338.在同一直角坐标系中，函数a y x=与2y ax a =-+的图象可能是（ ） 第7题图OMN A BCPA B C D二、填空题（每小3分，共24分）9.分解因式：=-339xy y x10.2018年的非洲猪瘟病毒的直径是0.000 068毫米，这个数用科学记数法表示为 11. 化简：43)323(2--⋅-+-x x x x x ＝________ _____ 12.不等式组⎩⎨⎧<-<-04204m x x 无解，则m 的取值范围是13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，53sin =A ，CD 为AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ．当⊙B 与中线CD 相切时，那么⊙B 的半径r= 14.如图，正六边形ABCDEF 的顶点B 、C 分别在正方形AGHI 的边AG 、GH 上，如果4AB =，那么CH 的长为 ．15.△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=30°，BD 是△ABC 外接圆的直径，连接CD ，已知CD=32，则AD=16.如图，在正方形ABCD 中， AC 、BD 交于O ，M 是BC 边上的动点(点M 不与B 、C 重合)，连接DM ，作CN ⊥DM 交AB 于点N ，连结OM 、ON 、MN.有下列结论：①△CNB ≌△DMC ；②ON ⊥OM ；③四边形ONBM 的面积保持不变；④222OB CM AN =+.其中正确结论是_________ （将所有正确结论的番号填在横线上） 三、解答题（共72分） 17.（每小题6分，共12分） （1）计算：02)201812019(12)31(60tan 2-+--+-BDCA第13题图 第14题图H DC IFBAGE第15题图第16题图（2）解方程：1415162++=---x x x x x18.（6分）如图，AD 是△ABC 的中线，M 是AD 的中点，过A 点作AE ∥BC ，交CM 的延 长线于点E ，连接BE.求证：四边形AEBD 是平行四边形；19.（8分）某糕点商店生产的桃酥共有第一至第六档共六种档次，但每千克的成本都一样，只生产第一档次的桃酥时每天生产76千克，每千克获利10元，销售中发现：每生产提高一个档次的桃酥，每千克的利润增加2元．（1）某天生产的桃酥每千克利润14元，请列方程求出这天生产的是第几档次的桃酥； （2）由于生产工艺不同，桃酥生产每提高一个档次，一天的产量会减少4千克．某天全天为客户生产的某一档次的桃酥一天的总利润为1080元，该客户订购的是第几档次的桃酥.第18题图E AMBD C20. （8分）某学校开展四项社团活动，要求每个学生掌握一项活动技能，覆盖所有学生，为了适合学生的喜爱，针对四个社团项目进行调查，初一（1）班针对“你最喜爱的社团活动项目”对全班学生进行调查（每名学生只能选一个活动项目），根据调查结果需要作出统计表图一、条形统计图和扇形统计图：已知选择乐器的同学占全班的10%，在扇形统计图中选择篮球所对的圆心角为1080，图一：男、女生项目人数统计表图二：项目人数条形统计图根据以上信息解决下列问题：（1）m=，n=；（2）在图二上方作出条形统计图；（3）从选乐器的4名学生中随机选取2名学生参加学校器乐队，请用列举法或画树状图求所选取的2名学生中恰好有这位女同学的概率．21.（8分）为了测量一个圆锥形建筑物的底面圆的直径，在直径ED 的延长线上选取两点A 、B,在A 处测得圆锥顶端点C 的仰角为300，在B 处测得圆锥顶端点C 的仰角为450，又测得AD=30米，BD=12米，求圆锥形建筑物的底面圆的直径.（结果保留根号）22.（8分）如图，一次函数b ax y +=与反比例函数xky =的图象交于一象限的两个点A 、B,且m A (，3），3(B ,1).（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接OA 、OB ，求△AOB 的面积；（3）点P 从点A 出发，沿线段AB 向B 点移动，至点B 时停止，作PD x ⊥轴于点D ，连接OP ，若POD ∆的面积为S ，求S 的值的变化范围.ABCD E第21题图第22题图23.（10分）如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，连接AC ，N 是DC 上一点，且CN=CA ，连接并延长AN 交⊙O 于F ，过点F 作ME ∥AC ，交CD 的延长线于M ，交AB 的延长线于E ． （1）求证：ME 是⊙O 的切线； （2）连接DF ，若cos ∠DFA=54，AN=102，求⊙O 的直径的长度．24.（12分）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线c bx x y ++=2交x 轴于点A （1,0）和B （3,0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为点P ，对称轴为直线MN ． （1）求抛物线的解析式和顶点P 的坐标；（2）若点E 是抛物线的对称轴上一点，且EA=EC ，求出点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在MN 右侧的抛物线上存在点Q ，使∠MEQ=∠NEB ，求出点Q 的坐标．第24题图附：九年级数学竞赛参考答案一、选择题：CDDD CABD 二、填空题9.)3)(3(y x y x xy -+；10.5108.6-⨯；11.21+x ；12.2≤m ；13.524；14.326-；15.6；16.①②③ 三、解答题17.（1）10；（2）经检验11-=x 是 增根，舍去,∴原方程的根是9=x ．18.略19.（1）3；（2）设客户订购的是第x 档次的桃酥，根据题意得：[][]1080)1(476)1(210=---+x x ，解得51=x ，112=x （舍去），设客户订购的是第5档次的桃酥.20. 解.（1）8,3；（2）略；（3）21，树状图略. 21.6318-22. 解：（1）4+-=x y ，xy 3=; （2）4；（3）∵1(A ，3），3(B ,1).P 在线段AB 上，设P （n ，4+-n ） ∴31≤≤n 。

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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名： 成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。

初三数学竞赛试题(含答案) 初三数学竞赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.要使方程组 $3x+2y=a$，$2x+3y=2$ 的解是一对异号的数，则 $a$ 的取值范围是（）。

A) $4\sqrt{3}<a<3$B) $a<4\sqrt{3}$C) $a>3$D) $a>3$ 或 $a<4\sqrt{3}$2.一块含有 $30^\circ$ 角的直角三角形（如图），它的斜边 $AB=8$ cm，里面空心 $\triangle DEF$ 的各边与 $\triangle ABC$ 的对应边平行，且各对应边的距离都是 $1$ cm，那么$\triangle DEF$ 的周长是（）。

A) $5$ cmB) $6$ cmC) $(6-3)$ cmD) $(3+3)$ cm3.将长为 $15$ cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（）。

A) $5$ 种B) $6$ 种C) $7$ 种D) $8$ 种4.作抛物线 $A$ 关于 $x$ 轴对称的抛物线 $B$，再将抛物线 $B$ 向左平移 $2$ 个单位，向上平移 $1$ 个单位，得到的抛物线 $C$ 的函数解析式是 $y=2(x+1)^2-1$，则抛物线$A$ 所对应的函数表达式是（）。

A) $y=-2(x+3)^2-2$B) $y=-2(x+3)^2+2$C) $y=-2(x-1)^2-2$D) $y=-2(x+3)^2+2$5.书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（）。

A) $\frac{2}{11}$B) $\frac{3}{32}$C) $\frac{3}{26}$D) $\frac{3}{26}$6.如图，一枚棋子放在七边形 $ABCDEFG$ 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子 $10$ 次，移动规则是：第 $k$ 次依次移动 $k$ 个顶点。

EF 图（ 4）B 3 4初三数学竞赛试卷(时间 100 分钟，满分 100 分)一. 填空:（每小题 2 分，共 30 分） 1. 2 300 + (-2 301 ) =____________.2.比较 2100 与 375 的大小________________.3.已知 y 1=x 2-7x+6,y 2=7x-3,且 y=y 1+xy 2,当 x=2 时,y=________.4.如图(1)已知 AB ∥DE,则∠B+∠C+∠D=___________.A BE 图（1） DC5.一个角比它的补角的一半还小 18º24’36’’,则这个角是_________.6.(1)小明今天买了 5 本书;(2)2002 年美国在阿富汗的战争每月耗费 10 亿美元;(3)有关 部门预测:2002 年以 DVD 形式出售的影片将首次超过盒式录象带,达到 95 亿美元;(4) 人的大脑有 10000000000 个细胞.(5)这次测验小红得了 92 分.(6)地球上煤储量为 15 万亿吨以上.上述数据中,精确的有_________,近似的有_____________(填序号).7.如果 4x 2-axy+9y 2 是一个完全平方式,则 a 的值是________. A D8.已知 1+x+x 2+x 3=0,则 x+x 2+x 3+……+x 2004 的值是_________. 9.a,b,c 是ΔABC 的三边,且满足 a 2+b 2=25,a 2-b 2=7,c=5,则ΔABC 最大边上的高是_________. B C10.如图(2)矩形 ABCD 中,DE ⊥AC 于 E,设∠ADE=α , 图（ 2） 且 cos α = 3,AB=4,则 AD=_______.5B11.如图(3)有一个圆柱形的油桶,它的高是 80,底面直径是 50. 在圆柱下底面的 A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与 A 点在同侧的 B 点处的食物,但由于 A,B 两点间有障碍,不能直接到达 , 蚂蚁只能沿桶壁爬行 , 则蚂蚁需要爬行的最短路程是_________(π 取整数 3).A12.如果方程 x 2+px+1=0(p>0)的两根之差是 1,则 p=________.13. 若 a 为整数 , 且点 M(3a-9,2a-10)在第四象限 , 则 a 2+1 的值是_______.图（ 3 ）A D14.如图(4)在正方形 ABCD 中,点 E 在 AB 边上,且 AE ∶EB=2∶1,AF ⊥DE 于 G,交 BC 于 F,则ΔAEG 的面积与四边形 BEGF的面积比是_________.E G15.已知圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC ⊥BD,AB>CD,若 CD=4, C 则 AB 的弦心距是____.二. 选择:(每小题 3 分,共 15 分)( )1.一辆汽车在广场上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A.第一次向右拐 50º,第二次向左拐 130º;B.第一次向左拐 30º,第二次向右拐 30 º;C.第一次向右拐 60º,第二次向右拐 120º;D.第一次向左拐 40º,第二次向左拐 40º.( )2.在 M 1=2.02 ⨯ 10-6, M 2=0.0000202, M =0.00000202, M =6.06 ⨯ 10-5 四个数中,存在两个数,其中一个数是另一个数的 3 倍,这两个数为A.M 2 与 M 4,且 M 4=3M 2;B.M 1 与 M 3,且 M 3=3M 1;C.M 1 与 M 4,且 M 4=3M 1;D.M 2 与 M 3,且 M 3=3M 2. E BDOAC 图（5）13()3.无论m为何值时,二次函数y=x2+(2-m)x+m的图象总过的点是A(1,3)B(1,0)C(-1,3)D(-1,0).()4.关于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有实根,则m的取值范围是A.m<3;B.m≤3;C.m<3且m≠2;D.m≤3且m≠2.()5.如图(5)在RtΔABC中,∠C=90º,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作⊙O与AC,AB 相切,又⊙O与BC的另一交点为D,则线段BD的长为A.1;B.11; C.; D..24三.解答:(每小题4分,共20分)1.已知m=11,n=3-23+2,求(m-n mn+n2mn-)⋅m2-2mn+n2m2-n2n-1的值.2.某市为了改变市容市貌,提高人民的生活水平,市政府投入巨额资金拆掉大批小平房,建成风景秀丽的无业小区,如图(6)所示是四个物业小区,分别用A,B,C,D表示.为了使四个小区中的孩子能就近上学,市政府准备修建一所小学H,问H应建在何处,才能使四个小区的孩子上学走路的总和最小,请你找出H的位置,并说明理由.ABD图（6）C3.如图(7)A市气象站测得台风中心在A市的正东方向300千米的B处,以107千米/时的速度向北偏西60º的BF方向移动.距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.(1)A市是否会受到这次台风的影响?请你写出结论并给以证明;(2)如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?北FA图（7）B东cos240︒+4.计算:sin50︒1+cot45︒tan230︒-sin260︒.5.已知a,b是整数,x2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根,x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根,x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根,求a,b的值.四.(1小题5分,2小题6分,共11分)1.解方程2(x2+11)-3(x+)-1=0 x2x2.如图(8)在ΔABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD 相交于点F.(1)求证:ΔABC∽ΔFCD;(2)若SΔFCD=5,BC=10,求DE的长.AEB D图（8）C五.应用题(7分)根据有关信息,有一批货物,如果本月出售,可获利100元,然后可将本利都存入银行,已知银行每月利率是0.5%;如果下月初出售,可获利120元,但要付5元的保管费,试问这批货x 和 y = - x + 物何时出售好?六.(8 分)如图(9)已知⊙O 1 和⊙O 2 外切于点 P,AB 是两圆的外公切线,A,B 为切点,AP 的延长线交⊙ O 1 于 C 点,BP 的延长线交⊙O 2 于 D 点,直线 O 1O 2 交⊙O 1 于 M,交⊙O 2 于 N,与 BA 的延长线交于 点 E.求证:(1) AB 2 = BC ⋅ DA ;(2)线段 BC,AD 分别是两圆的直径; (3) PE 2 = BE ⋅ AE .B AMOP O N E DC图（ 9）七.(9 分) 如图(10)正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点,且 OA 与边 AB 所在直线的解析式分别为y = 3 3 254 4 3,D,E 分别为边 OC 和 AB 的中点,P 为 OA 边上的一动点(点 P 与点 O 不重合),连结 DE 和 CP,其交点为 Q.(1) 求证:点 Q 为ΔCOP 的外心; (2) 求正方形 OABC 的边长;(3) 当ΔCOP 的外接圆⊙Q 与 AB 相切时,求点 P 的坐标.yB CQEDPAO图（ 10）x参考答案:一.填空:1.-2300;2.2100<375;3.18;4.360º;5.47º43’36’’;6.(1)(5);(2)(3)(4)(6);7. ± 12;8.0;9. 12 5 ;1610. ; 11.170; 12. 5 ; 13.17; 14.4∶9; 15.2.3二.选择: 1.B; 2.A; 3.A; 4.D; 5.C. 三.1.原式化简为 - mn 1 1; m = = -(2 + 3); n = = 2 - 3 ;m - n 3 - 2 3 - 2原式= - - (2 + 3)(2 - 3)- (2 + 3) - (2 - 3) 1 =- .42.学校应建在 AC,BD 的交点处.理由:任取一点 H ’,用三角形两边之和大于第三边易证.3.(1)过 A 作 AE ⊥BF,垂足是 E,在 Rt ΔABE 中,∠ABE=90º-60º=30º,AB=300,AE= 12AB=150<200,A 市将受到这次台风影响.(2)以点 A 为圆心,以 200 千米长为半径作弧,交 BF 于点 C,D,在 Rt ΔACE 中,AE=150,AC=200,∴ EC =AC 2 - AE 2 = 50 7, CD = 2 E C = 100 7;∴100 7 ÷ 10 7 = 10,∴A 市受这次台风影响的时间达 10 小时. 194. -;5意: ⎨∆ = (6 - a) 2 - 4(7 - b ) = 0(2)⎪ 2 2 ∵S ΔFCD =5,∴S ΔABC =20,又 BC=10,∴AM=4;∵DE ∥AM,∴ = ∴ AB∴ΔEPB ∽EAP,∴EP5. 设 已 知 三 个 方 程 的 判 别 式 依 次 是 Δ1, Δ 2, Δ 3; 由 题⎧∆ = a 2 - 4(3 - b ) 0(1) ⎪ 12⎩∆ 3 = (4 - a) 2 - 4(5 - b ) 0(3)5解之得: a 3 ,又 a 是整数,∴ a = 2 ,代人得 b = 3 ,∴ a = 2, b = 3.3 1四. 1 设 x + = y ,则原方程化为 2( y 2 - 2) - 3 y - 1 = 0 ,即: 2 y 2 - 3 y - 5 = 0x5 1解之得: y = -1; y = .分别代人得: x = 2; x = ,经检验都是原方程的根.1 2 1 22.(1)易证∠B=∠BCE,∠ADC=∠ACB,得证ΔABC ∽ΔFCD;S(2)过点 A 作 AM ⊥BC,垂足是 M, ΔABC ∽ΔFCD,BC=2CD,∴∆ABC= 4 ,S∆FCDDE BDAM BM1 5 1 ∵DM= CD= ,BM=BD+DM,BD= BC=5,∴2 2 2 DE 5 8= ,∴DE= .4 5 + 5/ 2 3五. 设这批货物的成本价为 a 元,赢利分情况考虑如下:5若本月出售,那么到下月初共赢利100 + (a + 100) ⨯ 0.5% = a + 100.5 元;1000若下月初出售,共赢利 120-5=115 元.(1) 当 5 1000a + 100.5 115 ,即 a >2900 时,本月初出售最好.5(2) 当 a + 100.5 = 115 即 a =2900 时,本月初或下月初出售都行.1000 5(3) 当 a + 100.5 115 即 a <2900 时,下月初出售最好.1000六.(1)∵BA 切⊙O 1 于 B,∴∠ABP=∠C,∵BA 切⊙O 2 于 A,∴∠BAP=∠D,∴ΔABC ∽ΔDAB,DA = ,∴ AB 2 = BC ⋅ DA ;BC AB(2)过 P 作两圆的内公切线交 A B 于 F,由切线长定理得:BF=PF,PF=AF,∴PF=BF=AF= 1 2AB∴∠BPA=90º,∴BP ⊥AP,∴∠BPC=∠APD=90º,∴BC,AD 分别是⊙O 1,⊙O 2 的直径. (3)∵PF 是⊙O 1 和⊙O 2 的公切线,∴PF ⊥O 1O 2,∴∠APF=∠APE=90º,∵∠APB=90º,∴∠ABP+∠BAP=90º,又∵PF=AF,∴∠BAP=∠APF,∴∠ABP=∠APE,∵∠E=∠EEB = ,∴ PE 2 = BE ⋅ AE . EA EP七.(1)∵D,E 分别为 OC,AB 的中点,∴DE ∥OA,Q 是 CP 的中点,又∵CP 是 Rt ΔCOP 的斜边,∴点 Q 是ΔCOP 的外心;⎧x = 4 ⎪⎪ 4(2)由 ⎨解得: ⎨ .∴点 A 的坐标为(4,3),∴OA=5, ⎩ y = 3 ⎪ y = - x + 25OP ⋅ OF OP ⋅ AF9⎩⎧3 y = x 4⎪ 3 3 正方形的边长是 5.(3)当ΔCOP 的外接圆⊙Q 与 AB 相切时,E 是切点,∵AE 和 APO 分别是⊙Q 的切线和割线,5 5 5 15∴ AE 2 = AP ⋅ AO ,即 ( ) 2 = 5 A P ,∴AP= ,∴OP=5- = .2 4 4 4OP OH PH分别作 PH ⊥x 轴,AF ⊥y 轴,垂足是 H,F,则 PH ∥AF.∴ = =OA OF AF15 15⨯ 4 ⨯ 3 ∴ OH = = 4 = 3. PH= = 4 = .OA 5 OA 5 49∴点 P 的坐标是(3, ).4。

初三数学竞赛试题(含答案)8个时，即第4个数)称为（）。

A)中位数(B)平均数(C)众数(D)极差11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AE、BF，交于点G，则△ABG的面积是（）。

A)1/4(ABCD)(B)1/6(ABCD)(C)1/8(ABCD)(D)1/12(ABCD)12．已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=1/2在区间(0,1)内至少有（）个实根。

A)0(B)1(C)2(D)313．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC上一点，且AF平分△ABC的周长，则△ABC的面积是（）。

A)4S△ADE(B)2S△ADE(C)S△ADE(D)S△ABC14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE=CF，则△DEF的面积是（）。

A)1/4AB2(B)1/6AB2(C)1/8AB2(D)1/12AB2三、解答题：（共有3个小题，每小题20分，满分60分）15．已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，g(x)=f(x)-2x+3，h(x)=g(x)-2x+3，求h(x)的最高项系数。

16．如图，ABCD是一个正方形，O是BD上一点，且OD=2BD，连接AC、CO，交于点E，求△ABE的面积。

17．如图，在长方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC 上，且AE=CF，连接EF，交AC于点G，求证：△ADG与△CDF的面积相等。

解：根据题意，可以得到以下方程组：begin{cases}frac{6-2a}{5}=y \\3a-4<x<6-2aend{cases}$要使方程组的解是一对异号的数，只需 $y3$ 或 $a3$ 时，$x$ 的取值范围为 $3a-40$，即 $0<x<6-2a$。

因此，答案为$\boxed{\frac{3}{2}<a<3}$。