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13.3.2 等边三角形第1课时一、教学目标（一）学习目标1. 探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.2. 探索等边三角形的判定定理.3. 会用性质及判定解决相关问题.（二）学习重点等边三角形的性质与判定.（三）学习难点等边三角形的性质与判定的应用.二、教学设计（一）课前设计1. 预习任务（1）三条边都相等______的三角形叫做等边三角形.等边三角形也称正三角形，它是特殊的等腰三角形.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等_______ ，并且每一个角都等于.（3）等边三角形的判定：①三条边都__相等______的三角形是等边三角形；②三个角都__相等______的三角形是等边三角形；③有一个角是的__等腰三角形____________是等边三角形.2. 预习自测（1）有下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④【知识点】等边三角形的判定.【思路点拨】运用等边三角形的判定．【解题过程】 依次筛选 故正确的有：①②③④． 【答案】D ．（2）如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDF=∠CDE=，图中与BD 相等的线段有（ ）A.5条B.6条C.7条D.8条E F DA BC【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】利用等腰三角形、等边三角形的性质进行判定．【解题过程】解：根据等边三角形、等腰三角形的性质，可以得出两个三角形：△BDF 、△CDE 也是等边三角形，两个三角形：△AFD.△AED 为等腰三角形，所以可以得出：BD=CD=DF=BF=AF=AE=CE=DE ，共7条．【答案】C ．（3）已知等边△ABC ，分别以AB.BC.CA 为边向外作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．BC2=AC2+BC2﹣AC•BCB ．△ABC 与△DEF 的重心不重合 C ．B ，D ，F 三点不共线 D ．S △DEF ≠S △ABC 【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】根据等边三角形的性质，对四选项逐个进行判断即可求解． 【解题过程】解：A.化简化得AC=BC ，正确；B. △DEF 是等边三角形，且等边△ABC 的各顶点是△DEF 各边的中点，等边△ABC 可看作是△DEF 的内接正三角形，所以△ABC 与△DEF 的重心重合，错误；C.根据题意，可得出点D.B.E 在同一直线上，点D.A.F 在同一直线上，点E.C.F 在同一直线上，正确；D.S △DEF=4S △ABC ，正确． 故选B.（4）如图，A.C.B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE.BD分别与CD.CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．【解题过程】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确）∴∠AEC=∠DBC∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=，∠ACD=∠ECB=∴∠DCE=∠ECB=∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=，∠AEC=∠DBC∴△EMC≌△BNC（ASA）∴CM=CN（②正确）∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=+∠NBC＞，而DN 所对的角为，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．故选B．【答案】B．1.知识回顾（1）等腰三角形的定义：有两边_相等_______的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质：①等边对_等角_________；②等腰三角形的_顶角平分线_____、___底边上的中线________________、___底边上的高_____互相重合.（3）等腰三角形的判定：等角对_等边________.2.问题探究探究一等边三角形的性质.●活动①在等腰三角形中，如果底边也等于腰长，会得到哪些结论呢？（等边三角形，每个角相等，都等于.）追问：这是什么类型的问题？怎么证明呢？有哪些步骤呢？（画草图，写出已知求证，最后证明.）已知：△ABC是等边三角形.求证：∠A＝∠B＝∠C＝.【思路点拨】引导学生利用等腰三角形性质去证明.证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC ＝BC （等边三角形的三条边相等___）∴∠A＝∠B ＝∠C （等边对等角）∵∠A+∠B+∠C＝（三角形的内角和定理）∴∠A＝∠B＝∠C＝.【设计意图】通过类比，进行等边三角形的性质探索.练习1．等边三角形轴对称图形（填是或否）.如果是，它有条对称轴，分别是.【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】利用等边三角形的轴对称性.【答案】是、3.三个角的平分线（或三条边的中线或三条边的高线）所在的直线.探究二等边三角形的判定.●活动①探究判定1求证：三个角都相等的三角形是等边三角形【思路点拨】这是文字命题，先画图，写出已知求证，再利用等边三角形的定义.【解题过程】已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝∴AB=AC，AB=BC ，BC=AC .（等角对等边）∴AB= AC = BC .∴△ABC是等边三角形（等边三角形的定义）【设计意图】根据等边三角形的定义判定.●活动②探究判定2证明：有一个角是的等腰三角形是等边三角形.【思路点拨】这是文字命题，先画图，写出已知求证，再利用等边三角形的定义. 【解题过程】已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝求证：△ABC是等边三角形.证明：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C （等边对等角）又∵∠A＝，∠A+∠B+∠C＝∴∠A＝∠B ＝∠C＝∴△ABC是等边三角形（三个角都_相等_的三角形是等边三角形）【设计意图】根据刚才探究1的等边三角形的判定1判定，把未知化归为已知求证. 探究三等边三角形的性质和判定运用.●活动①例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.【知识点】等边三角形的判定．【思路点拨】先利用等边三角形的性质得出三个内角相等，再由平行线的性质得出∠ADE＝∠B ，∠AED＝∠C，最后再由等量代换得出小三角形的三个内角相等，再由等边三角形的判定1得证.【解题过程】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B ＝∠C（等边三角形的三个内角相等）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B ，∠AED＝∠C .（两直线平行，同位角相等）∴∠A＝∠ADE ＝∠AED .∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）【设计意图】根据等边三角形的判定1进行证明.●活动② 思维拓展师问：请聪明的同学们思考，你还有其他方法证明吗？请小组谈论并写出来．学生小组讨论形成过程.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B ＝∠C =（等边三角形三个内角都等于）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B =，∠AED＝∠C =（两直线平行，同位角相等）∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE(等角对等边)∴△ADE是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）【设计意图】给学生留足时间，让学生独立完成，根据等边三角形的判定2进行证明，同时让学生明白几何题的证明可以有不同的路径.练习：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF.求证：△DEF是等边三角形．【知识点】等边三角形的性质和判定【答案】证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C又∵AD=BE=CF∴BD=EC=AF∴△DBE≌△ECF≌△FAD（SAS）∴DE=EF=DF∴△DEF是等边三角形【思路点拨】先由△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C ，再由已知AD=BE=CF和等式性质即可得出BD=EC=AF，最后由三角形全等得证.【设计意图】让学生对等边三角形的性质和判定进行融会贯通.3. 课堂总结知识梳理等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于.（简记为：三边等，三角等，各边上三线合一）（2）等边三角形的判定方法：①定义：三边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是的等腰三角形是等边三角形（最常用）.重难点归纳等腰三角形与等边三角形的区别和联系等腰三角形等边三角形区别性质边两边相等三边相等角两个底角相等三个角都相等，等于三线合一底边上的中线、高、和顶角的平分线互相重合每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称性是轴对称图形，有1条对称轴是轴对称图形，有3条对称轴判定边有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）三边都相等的三角形是等边三角形（定义）角有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定）三个角都相等的三角形是等边三角形有1个角是的等腰三角形是等边三角形联系等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
A第17讲 等边三角形【板块一】 等边三角形的性质方法技巧（1）运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系解题．（2）共顶点的两个等边三角形（也称手拉手图形）组成的图中，必定有全等三角形．题型利一 与等边三角形有关的角度的计算．【例1】如图，△ABC 是等边三角形，CD ⊥BC ，CD ＝BC ，求∠DAC 和∠ADB 的度数．AD题型二 共顶点的等边三角形（手拉手图形）【例2】如图，点D 是等边△ABC 的边AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ． （1）求证：△DBC ≌△EAC； （2）求证：AE ∥BC ．B【例3】如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点E 在BC 上，AE 的延长线交BD 于点F ． （1）求证：AE ＝BD ； （2）求∠AFB 的度数； （3）求证：CF 平分∠AFD ；（4）直接写出EF ，DF ，CF 之间的数量关系．题型三 平面直角坐标系中的等边三角形【例4】如图，，点A （－2，0），B （2，0），C （6，0），D 为y 轴正半轴上一点，且∠ODB ＝30°，延长DB 至E ，使BE ＝BD ，点P 为x 轴正半轴上一动点（点P 在点C 的右边），点M 在EP 上，且∠EMA ＝60°，AM 交BE 于点N ．（1）求证：BE ＝BC ；（2）求证：∠ANB ＝∠EPC ；（3）当点P 运动时，求BP －BN 的值．针对练习11．如图，等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B’处，D EDB ’，EB ’分别交AC 于点F ，G ，若∠ADF ＝80°，求∠EGC 的度数．B'B2．如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形， DC 于BE 交于点M ． （1）求证：BE ＝CD ；（2）求∠AMD 的度数．3．如图1，等边△ABC 中，点D 是AB 上一点，以CD为一边，向上作等边△EDC ，向下作等边△DCF ，连接AE ，BF ． （1）求证：AB ＝AE ＋BF ；（2）当点D 在BA 延长线上时，如图2，若AE ＝10，BF ＝4，求AC 的长．B图1 图24．已知点D ，E 分别是等边△ABC 的边BC ，AB 上的点，∠ADE ＝60°． （1）如图1，当点D 是BC 的中点时，求证：AE ＝3BE ； （2）如图2，当点M 在AC 上，满足∠ADM ＝60°，求证：BE ＝CM ；（3）如图3，过C 作CF ∥AB 交ED 延长线于点F ，探究线段BE ，CF ，CD 之间的数量关系，并给出证明．BCBCBC图1 图2 图35.在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在第二象限，AO =a ，AB =b ，BO 与x 轴正方向的夹角150°，且220a -b a-b . ⑴判断△ABO 的形状；⑵如图1，若BC ⊥BO ，BC =BO ，点D 为CO 的中点，AC 、BD 交于点E ，求证:AE = BE +CE ；图 1⑶如图2，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG ，延长GA 交x 轴于点P ，AP 与AO 之间有何数量关系?试证明你的结论.图 26.△ABC 为等边三角形，BC 交y 轴于点D ，A (a ，0)，B (b ，0)，且a ，b 满足230a+ . (1)如图1，求点A ，B 的坐标及CD 的长；图 1(2)如图2，P是AB的延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证:直线EB必过点D关于x轴对称的对称点；E(3)如图3，若点M在CA的延长线上，点N在AB的延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN-AM的值.【板块二】60°角的用法◆方法技巧◆合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.题型一过60°角一边上一点作平行线构造等边三角形.方法技巧:过60°角一边上一点，作平行线构造等边三角形，转化边与角.【例5】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，∠EDF=120°.(1)求证:DE=DF；(2)若AB=5，求CE-BF的值.A题型二 在60°角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形 方法技巧:在60°角的边上截取两条相等线段后构成等边三角形，然后产生新的全等三角形，从而找到解决问题的突破口.【例6】如图，△ABC 为等边三角形，∠ADB =60°. (1)如图1，当∠DAB =90°时，直接写出DA ，DC ，DB 之间的数量关系_______；图 1ABCD(2)如图2，当∠DAB ≠90°时，①中的关系式是否成立?说明理由.图 1ABCD题型三 利用60°角的一边上的点向另一边做垂线构造30°，60°，90°的直角三角形 方法技巧:利用30角所对的直角边等于斜边的一半，作高. 【例7】如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠C =45°，AB =2，BC =1 ，求△ABC 的面积.ABC題型四 利用60°角延长构造等边三角形方法技巧；向外延长60”角的一边，在外部构造等边三角形.【例8】已知点D ，点E 分別等边△ABC 边BC ，AC 上的点，CD =AE ，AD 与BE 交于点F .(1)如图1，求∠AFE 的度数；图 1BCAD(2)点G 边AC 中点，∠BFG =120° ，如图2，求证:AF =2FG .图 2BCAD针对练习21.如图，在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO =PD ，求AP 的长.ABCP2.如图.在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC . (1)试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；(2)线段BD ，DE ，EC 三者有什么关系?请说明理由.E DBCA3.点D 为BC 上任一点，∠ADE =60°，边ED 与∠ACB 外角的平分线交于点E ，求证:AD =DE ；BCAD4.已知△ABC 是边长为5的等边三角形.(1)如图1，若点P 是BC 上一点，过点C ，点P 分别作AB ，AC 的平行线，两线相交于点Q ，连接BQ ，AP 的延长线交BQ 于点D .试问:线段AD ，BD ，CD 之间是否存在某种确定的数量关系?若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论；若不存在，说明理由；图 1QBCA(2)如图2，若点P 是BC 延长线上一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APE (点E 、点A 在直线BC 同侧)，连接CE 交AP 于点F ，求CE -CP 的值.图 2BCDE5.如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，以BC 为边在△ABC 的同侧作等边△DBC ，BD ，AC 相交于点E ，连结AD .(1)如图1，若A 2ACAB,求证：△ABC ≌△ADC图 1CAD(2)如图2，若3AC AB，求ABAD的值. 图 2CAD6.如图1，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE =BD ，连接CE 、DE . ⑴求证：EC =ED ；图 1BDE⑵如图2，EO ⊥CD 于点O ，点N 在EO 上，△DNM 为等边三角形，CM 交EO 于F ，若FO =1，求FM -FN 的值.图 1BDE[板块三) 30°角的用法方法技巧构造30°角的直角三角形，算边长与面积.题型一 已知30°角连线巧得隐直角.【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系.BC题型二 利用30°作高构造直角三角形.【例10】如图，CD 是△ABC 的中线，CD ⊥CB ，∠ACD =30°，求证:AC =2BC.DABC题型三 已知30°和90°角补形构造直角三角形 【例11】如图，四边形ABCD 中，∠C =30°，∠B =90°，∠ADC =120°，若AB =2，CD =8，求AD 的长.ACBD题型四 利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形 【例12】如图，∠AOC =15°，OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD /∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若OD =4cm ，求PE 的长.EOA题型五 利用150°构造30°角的直角三角形【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，以AD 为腰作等腰△ADE ，且AD =AE ，∠BAC =∠DAE =30°，连接CE ，若BD =2，CD =5，求△DCE 的面积.BCADE题型六30°直角三角形斜边上的高方法技巧：30°角的直角三角形斜边上的高中，有3个30°的直角三角形，选取最小的和最大的两个直角三角形进行计算.【例14】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，∠A =30°，AD =6，求BC 的长.DABC针对练习31.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a 元，求购买这种草皮至少需要多少元?BCA2.在△ABC 中，∠B =30°，AB =AC =8，P 为BC 上一点，求AP 的最小值.ABCP3.如图，在等边△ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =CE ，∠ACE =60°. (1)求证:△BCD ≌△ACE ；图1EBCA(2)延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，若AF =CF ，猜想线段BF ，AF 的数量美系，并证明你的猜想.图 2BCAE4.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 为三角形内一点，且AB =AC =BD ，∠ABD =30°.求证:AD =CD ，AB C。
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
等边三角形一．等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．二．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60︒．三．等边三角形的判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．四．直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．B'CBA证明：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，延长BC 至'B 使'CB CB =，那么有AC 垂直平分'BB ，所以'AB AB =，因为60B ∠=︒，所以'ABB △是等边三角形，所以'2AB BB BC ==，即12BC AB =．五．等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形根底上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．题模一：等边三角形的性质例三个等边三角形的位置如下列图，假设∠3=50°，那么∠1+∠2=____°．【答案】130【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴70°+〔120°-∠2〕+〔120°-∠1〕=180°，∴∠1+∠2=130°．故答案为：130．例如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．假设DE=DB，那么CE的长为____．【答案】 32 【解析】 该题考察的是∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点，BD 为ABC ∠的平分线，∴60ABC ∠=︒，30DBE ∠=︒，又DE DB =， ∴30E DBE ∠=∠=︒，∴30CDE ACB E ∠=∠-∠=︒，即CDE E ∠=∠，∴CD CE =；∵等边△ABC 的周长为9，∴3AC =，∴1322CD CE AC ===， 即32CE =．例 在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，假设BC=5，BD=4．那么以下结论错误的选项是〔 〕A ． AE ∥BCB ． ∠ADE=∠BDC C ． △BDE 是等边三角形D ． △ADE 的周长是9 【答案】B【解析】 此题考察的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC 是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD ，BD=BE ，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD 即可判断出△BDE 是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，应选项A 正确；∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD 逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE ，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD ，∴△BDE 是等边三角形，应选项C 正确；∴DE=BD=4，∴△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，应选项D 正确；而选项B 没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的选项是B ，应选：B ．题模二：等边的判定例 如下列图，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，那么BC '的长为________.【答案】 4【解析】 此题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=． 故此题的答案是4．例 ：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．〔1〕求证：AN BM =；〔2〕求证：CEF ∆为等边三角形．ACD B C '【答案】见解析【解析】〔1〕ACM∆是等边三角形，∆，CBN∠=∠=︒，ACM NCBAC MC=，60∴=，BC NC∠=∠．∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCBACM MCN NCB MCN在ACN=，ACN MCB=，∠=∠，NC BC∆中，AC MC∆和MCB∴=．ACN MCB∴∆≅∆，AN BM〔2〕ACN MCB∴∠=∠，∆≅∆，CAN CMB又18060∴∠=∠，∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACEMCF ACM NCB在CAE∠=∠，=，ACE MCF∆和CMF∠=∠，CA CM∆中，CAE CMF∴∆为等腰三角形，∴=，CEFCAE CMF∴∆≅∆，CE CF又60∠=︒，CEF∴∆为等边三角形．ECF例如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于____．【答案】15【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边例如图，ABC⊥，那么以下关系式正确的为〔〕=，30∠=︒，AB AD∆中，AB ACCA．BD CDBD CD=D．4==B．2BD CDBD CD=C．3【答案】B【解析】该题考察的是特殊的直角三角形．∠=∠=︒，C CAD30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD应选B．例如图，30∥10PC=，那么OC=__________，⊥于D，PC OB∠=︒，OP平分AOBAOB∠，PD OBPD=__________.【答案】【解析】该题考察的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP∠=∠，∵PC OB∥，∴CPO BOP∠=∠，∴CPO AOP∠=∠，∴PC OC=，∵10PC=，∴10OC PC==，过P作PE OA⊥于点E，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠，∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC == ∴5PE PD ==例 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，假设BE=6cm ，DE=2cm ，那么BC=____．【答案】 8cm【解析】 延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF∥BC，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm ，∴DM=4cm，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，OD B P CAE∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故答案为：8cm ．题模四：等边三角形与全等三角形综合例 ：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P ． 〔1〕观察度量，BPC ∠的度数为_______．〔直接写出结果〕〔2〕假设绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形．〔示意图〕 〔3〕在〔2〕的条件下，求出BPC ∠的度数．【答案】 〔1〕120°〔2〕见解析〔3〕120°【解析】 此题考察等边三角形及全等三角形的性质与判定．〔1〕BPC ∠的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60DAB ABD CAE ∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ADC CDB ∠+∠=︒，∴60ABE CDB ∠+∠=︒，∴120BPC DBP PDB ABE CDB ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒；〔2〕作出相应的图形，如下列图；〔3〕∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60ADB DAB ABD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB DAE CAE DAE ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ABE DBP ∠+∠=︒，∴60ADC DBP ∠+∠=︒，∴120BPC BDP PBD ADC DBP ADB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒例 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒．以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，那么AMN ∆的周长为____【答案】 6【解析】 延长NC 到E ，连接DE ，使CE BM =，连接DE ．ABC ∆为等边三角形，BCD ∆为等腰三角形，且120BDC ∠=︒，603090MBD MBC DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，18018090DCE ACD ABD ∠=︒-∠=︒-∠=︒，又BM CE =，BD CD =，CDE BDM ∴∆∆≌，CDE BDM∴∠=∠，DE DM =，1206060NDE NDC CDE NDC BDM BDC MDN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，在DMN ∆和DEN ∆中，DM DE =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DN DN =，DMN DEN ∴∆∆≌，MN NE CE CN BM CN ∴==+=+．=6AMN L AM MN AN AM BM CN AN AB AC ∆∴+==+++=+=例 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．〔1〕假设D 恰好在BC 的中点上〔如图1〕求证：△ADE 是等边三角形；〔2〕假设D 为直线BC 上任一点〔如图2〕，其他条件不变，上述〔1〕的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 〔1〕证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形，∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =，∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形；〔2〕在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ，∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形，∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠，∴△ADF ≌△EDC 〔AAS 〕，∴AD ED =，又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．作业1如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF ⊥DE，交BC的延长线于点F．〔1〕求∠F的度数；〔2〕假设CD=2，求DF的长．【答案】〔1〕30°〔2〕4【解析】〔1〕∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；〔2〕∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．作业2 如下列图，ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，假设4AB =时，那么图形ABCDEFG 外围的周长是_____【答案】 15【解析】 ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，AD DE ∴=，EF EG =，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，4AB =，2DE EA ∴==，1GF EF ==,∴图形ABCDEFG 外围的周长是432115⨯++=．作业3 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，那么阴影局部的周长为____．【答案】 2【解析】∵两个等边△ABD，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A′B′D′的位置， ∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO ，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC ，B′G=RG=RB′， ∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．作业4 如下列图，等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++=__________，并证明你的猜想．【答案】 见解析【解析】 PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，∵PE ∥BC ，PF ∥AC ，△ABC 是等边三角形，∴60PGF B ∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，∴△PFG 是等边三角形，同理可得△PDH 是等边三角形，∴PF PG =，PD DH =，又∵PD ∥AB ，PE ∥BC ，∴四边形BDPG 是平行四边形，∴PG BD =，∴PD PE PF DH CH BD BC a ++=++==．故答案为a ．作业5 ：如图，ABC △是等边三角形．D 、E 是ABC △外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD EB =．当AFB ∠度数多少时，ECD △是等边三角形？并证明你的结论．【答案】 60AFB ∠=︒【解析】 该题考察的是全等三角形的判定和性质．60AFB ∠=︒，A C MFEN D B理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴CA CB =，460∠=︒，∵245∠+∠=∠，135∠+∠=∠，且360∠=︒，∴12∠=∠，又∵BE AD =，在△BCE 和△ACD 中， 1. 12CA CB AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△ACD 〔SAS 〕 ∴CE CD =，BCE ACD ∠=∠，∴66BCE ACD ∠-∠=∠-∠，即4760∠=∠=，∴△ECD 是等边三角形．作业6 在△ABC 中，AB AC =，BAC ∠=α()060︒<α<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．〔1〕如图1，直接写出ABD ∠的大小〔用含α的式子表示〕；〔2〕如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断△ABE 的形状并加以证明；〔3〕在〔2〕的条件下，连结DE ，假设45DEC ∠=︒，求α的值．【答案】 〔1〕302α︒-〔2〕见解析〔3〕30︒ 【解析】 该题考察的是三角形综合．〔1〕∵AB AC =∴1809022ABC ACB ︒-αα∠=∠==︒-，A D B CADB C E∴90603022ABD ACB DBC αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，………………………………………1分 〔2〕△ABE 是等边三角形， ………………………………………………………2分 连结AD ，CD ．∵60DBC ∠=︒，BD BC =，∴ △BDC 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC = ………………3分 又∵AB AC =，AD AD =，∴ △ABD ≌△ACD ．∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒． ………………4分∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠．又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒，∴ △ABD ≌△EBC ．∴AB EB =．∴ △ABE 是等边三角形． …………………………………………5分〔3〕∵△BDC 是等边三角形，∴ 60BCD ∠=︒．∴ 90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴CE CD BC ==．………………………………………………………6分∴15EBC ∠=︒． ∵302EBC ABD α∠=∠=︒-， ∴ 30α=︒． ……………………………………………………………7分作业7 将一张矩形纸片ABCD 如下列图折叠，使顶点C 落在C '点．2AB =，30DEC '∠=︒，那么折痕DE 的长为〔 〕A ． 2B ． 23C ． 4D ． 1【答案】C【解析】 该题考察的是图形的翻折．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD =，由题意可知'30CED DEC ∠=∠=︒，1sin 2CD CED DE ∠==，所以2224DE CD ==⨯=．所以，此题的正确答案是C ．作业8 如图，在等边△ABC 中，2AB =，点P 是AB 边上任意一点〔点P 可以与点A 重合〕，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，求当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？【答案】 43BP =【解析】 设BP x =，在直角三角形PBE 中，30BPE ∠=︒ ∴12BE x =，那么122EC x =- 在直角△EFC 中，30FEC ∠=︒， ∴11124FC EC x ==-，∴1214AF FC x =-=+ 同理：1128AQ x =+ 当点P 与点Q 重合时，2BP AQ +=即11228x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得43x =A BE C DC '故当43BP =时，点P 与点Q 重合．作业9 如图，ABC ∆为等边三角形，AD 平分BAC ∠,ADE ∆是等边三角形，以下结论中 ①AD BC ⊥，②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒.正确的个数为〔 〕A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】D【解析】 该题考察的是三角形的性质．∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，∴AD BC ⊥，30BAD ∠=︒，60ABD ∠=︒∵△ADE 是等边三角形，30BAD ∠=︒，∴30EAB EAD BAD ∠=∠-∠=︒，EA DA =，在△AEF 和△ADF 中，EA DA EAB DAB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△ADF 〔SAS 〕，∴EF FD =，同理，△AEB ≌△ADB ，∴60ABE ABD ∠=∠=︒，EB DB =，故正确的个数为4个，故此题答案为D ．作业10 如图，过边长为2的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，那么DE 的长为〔 〕A ． 13B ． 12C ． 23D ． 1【答案】D【解析】 过P 作BC 的平行线交AC 于F ，Q FPD ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60APF B ∴∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形，AP PF ∴=，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中，FPD Q ∠=∠， PDF QDC PF CQ ∠=∠=，PFD QCD ∴∆∆≌，FD CD ∴=，PE AC ⊥于E ，APF ∆是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12ED AC ∴=，2AC =，1DE ∴=．作业11 如图，在等边ABC △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q .〔1〕求证：ABE CAD △≌△；〔2〕请问PQ 与BP 有何关系？并说明理由.【答案】 〔1〕见解析〔2〕2BP PQ =【解析】 该题考察全等三角形的判定与性质．∵△ABC 为等边三角形．∴AB AC =,60BAC ACB ∠=∠=︒,在△BAE 和△ACD 中：AE CD BAC ACB AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△ACD〔2〕2BP PQ =∵△BAE ≌△ACD∴ABE CAD ∠=∠∵BPQ ∠是△ABP 的外角，∴BPQ ABE BAD ∠=∠+∠，∴60BPQ CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠=︒∵BQ AD ⊥，AB P EQD C∴30∠=︒PBQ∴如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
