2015高考数学优化指导第5章 第5节

1.(2012·佛山二模)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 2＝9，那么下列不等式中不成立的是( )A ．a 10＋a 11>0B ．S 21<0C ．a 11＋a 12<0D ．n ＝10时，S n 最大解析：依题意可得d ＝－1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－n ，所以a 10＝1，a 11＝0，a 12＝－1，a 10＋a 11>0，S 21＝21a 11＝0，a 11＋a 12＝－1<0，n ＝10或11时，S n 最大．故选D.答案：D 2．(2013·皖北模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42解析：∵{a n }成等差数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列． ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．即2×(10－2)＝2＋S 6－10.∴S 6＝24. 故选C. 答案：C3．(2013·江南十校联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .故选C.答案：C4．(2013·浙江省五校联盟下学期第一次联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．85B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝10，得a 4＝5，设公差为d ，则d ＝a 4－a 3＝3，所以a 5＝8，a 6＝11，所以S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62＝95.故选C.答案：C5．(2012·北京海淀区模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，a n >0，则a n ＝2n.所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.故选C.答案：C6．(2013·西安模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，∴n ≥10. 故选D. 答案：D7．(2013·福州质检)在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：a 1＋a 7≥2a 1a 7＝2a 3a 5＝264＝16，当且仅当a 3＝a 5＝8时，a 1＋a 7取得最小值16，此时数列{a n }是常数列．答案：C8．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析：设数列的公差为d ，则根据题意得()2＋2d 2＝2()2＋5d ，解得d ＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n n －2×12＝n 24＋7n4.故选A.答案：A9．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：12010．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0092.答案：1 00511．(2012·汕头模拟)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为______颗；第n 件工艺品所用的宝石数为______________颗(结果用n 表示)．答案：66 2n 2＋3n ＋112．(2013·苏州模拟)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案：10 4n －213．(2013·佛山一模)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.b 1＝a 1＝2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )，化为d 2－3d ＝0. 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可得C n ＝b n a n ＝3n －12n ，则T n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ，∴2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .14．(2013·河南六市第二次联考文改编)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前6项和为23，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0， 所以a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前6项和为23，可得S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，即6a 1＋15d ＝23，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝13(n ＋8)(n ∈N *)．(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 219－1n ＋9＝19－1n ＋9， 所以d 2＝1，即d ＝1或d ＝－1. 15．(2012·东莞一模)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的图象经过点A (2,1)和B (5,2)，记a n ＝3f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若T n ＜m (m ∈Z )对n ∈N *恒成立，求m 的最小值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 3a ＋b ＝1，log 3a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以f (x )＝log 3(2x －1)，a n ＝3log 3(2n －1) ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝2n －12n ，所以T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋…＋2n －52n －1＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②得 12T n ＝121＋222＋223＋…＋22n －1＋22n －2n －12n ＋1＝121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋…＋12n －2＋12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，设f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)，则由f n ＋fn ＝2n ＋52n ＋12n ＋32n ＝2n ＋5n ＋＝12＋12n ＋3≤12＋15＜1，得f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)随n 的增大而减小，T n 随n 的增大而增大． 所以当n →＋∞时，T n →3，又T n ＜m (m ∈Z )恒成立，所以m 的最小值为3.。

1.设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项答案：B2．(2012·衡水中学调研)观察下列数：1,3,2,6,5,15,14，x ，y ，z ，…则x ，y ，z 的值依次为( )A ．13,39,123B ．42,41,123C ．24,23,123D ．28,27,123解析：观察各项可以发现：x 为前一项的3倍即42，y 为前一项减1即41，z 为前一项的3倍即123.故选B.答案：B3．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.138解析：由递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C.答案：C4．(2012·石家庄二模)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 解析：因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈Z ，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，即最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.答案：D5．(2013·惠州一模)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．8解析：数字共有n 个，当数字n ＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，所以第25项是7，故选C.答案：C6．(2013·济宁质检)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0 (n ∈N *)，故选C. 答案： C7．(2013·赤峰模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案：C8．(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009．(2013·吉林省实验中学二模)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且单调递增，则k 的取值范围是 ____________.解析：因为{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n ＜a n ＋1恒成立，即n 2－kn ＜(n ＋1)2－k (n ＋1)恒成立，化简得k ＜2n ＋1恒成立，所以k ＜3.答案：(－∞，3)10. (2013·唐山模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2(n ∈N *)．答案：n 2(n ∈N *)11．(2013·安徽合肥二模)数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋b n，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围是__________．解析：由题意可得b ＞0，因为对所有n ∈N *，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5，a 6≥a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 4≥5＋b5，6＋b 6≥5＋b 5，解得20≤b ≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b ∈[20,30]． 答案：[20,30]12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求{a n }的通项公式．解析：由题意，得S n ＝2n ＋1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.13．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解析：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1na n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1n a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n (n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n2，n ≥2.(2)∵a n ＝n2＝2 013，∴n ＝4 026.。

第一节集合【考纲下载】1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系表示 关系文字语言记法 集合 间的 基本 关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素 A ⊆B 或B ⊇A 真子集集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于AA ⊂B 或B ⊃A 相等 集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B 且B ≠∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集 符号 表示A ∪B A ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形 表示意义{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合．2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合．3．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？提示：有2n个子集，2n－1个真子集．1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．2．(2013·重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．3．(教材习题改编)设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为()A．3 B．1 C．±1 D．1或3解析：选D因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.4．满足A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.答案：75．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x ＜2}．答案：{x|1≤x＜2}前沿热点(一)以集合为载体的创新型问题1．以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．2．解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化为熟知的基本运算求解．[典例](2013·广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S[解题指导]先要理解新定义集合S中元素的性质：(1)x，y，z∈X；(2)x＜y＜z，y＜z ＜x，z＜x＜y恰有一个成立，然后根据已知集合中的两个元素(x，y，z)和(z，w，x)，分别讨论x，y，z，w之间的大小关系，进而检验元素(y，z，w)和(x，y，w)是否满足集合S的性质特征．[解析]法一(直接法)：由(x，y，z)∈S，则有x＜y＜z，①y＜z＜x，②z＜x＜y，③三个式子中恰有一个成立；由(z，w，x)∈S，则有z＜w＜x，④w＜x＜z，⑤x＜z＜w，⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种，①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第二种，①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第三种，②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第四种，③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上所述，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3, 4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S.[答案] B[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)准确理解集合S的性质：x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，把已知集合的两个元素和要判断的两个元素的大小关系进行分类讨论．(2)紧扣新定义集合的性质，结合不等式的性质，通过分类讨论或特殊值法，把问题转化为熟悉的知识进行求解．有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多少．例如，对于集合A ＝{1,2,3，…，n ，…}与B ＝{2,4,6，…，2n ，…}，我们可以设计一种方法得出A 与B 的元素个数一样多的结论．类似地，给出下列4组集合：①A ＝{1,2,3，…，n ，…}与B ＝{31,32,33，…，3n ，…}；②A ＝(0,2]与B ＝[－3，＋∞)；③A ＝[0,1]与B ＝[0,3]；④A ＝{x |－1≤x ≤3}与B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}．其中，元素个数一样多的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：选D 可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数，使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合．①y ＝3x (x ∈N *)；②y ＝1x －72(0＜x ≤2)；③y ＝3x (0≤x ≤1)；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1＜x ≤0，x 2＋1，0＜x ≤3.综上，元素个数一样多的有4组．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3解析：选A由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x ＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sinx <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法 记法 条件p 、q 对应的集合分别为A 、B关系A ⊆BB ⊆AA ⊂B B ⊂ A A ＝BA ⊄B 且B ⊄ A 结论p 是q 的充分条件p 是q 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，可知⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <ax |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－ax |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.⌝和q⌝之间的关系p、q之间的关系p⌝是q⌝的必要不充分条件p是q的充分不必要条件p⌝是q⌝的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p⌝是q⌝的充要条件p是q的充要条件p⌝是q⌝的既不充分也不必要条件p是q的既不充分也不必要条件p第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考纲下载】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.⌝的真假判定1．命题p∧q、p∨q、p⌝p q p∧q p∨q p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，⌝p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，⌝p(x)1．逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题．2．全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题的真假性有什么关系？提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题的真假性恰好相反．1．若命题“p或q”与命题“⌝p”都是真命题，则()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q同真同假解析：选B由题可知“⌝p”是真命题，所以p是假命题，又因为“p或q”是真命题，所以q是真命题．2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q)C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q解析：选A命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．3．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则()A．⌝p：∃x∈A,2x∈BB．⌝p：∃x∉A,2x∈BC．⌝p：∃x∈A,2x∉BD．⌝p：∀x∉A,2x∉B解析：选C选C因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为⌝p：∃x∈A,2x∉B.4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是()A．⌝p B．qC．(⌝p)∨q D．(⌝q)∧p解析：选D依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此⌝p是假命题，(⌝q)∧p是真命题，(⌝p)∨q是假命题．5．已知命题p：∃x0≥0,2x0＝3，则()A．⌝p：∀x＜0,2x≠3B．⌝p：∀x≥0,2x≠3C．⌝p：∃x0≥0,2x0≠3D．⌝p：∃x0＜0,2x0≠3解析：选B因为命题p：∃x0≥0,2x0＝3为特称命题，所以⌝p：x≥0,2x≠3.易误警示(一)含有量词命题的否定中的易错点[典例](2012·辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则⌝p是() A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[解题指导]首先分析命题中所含有的量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后再对命题进行否定．[解析]题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．[答案] C[名师点评] 1.若忽视对量词的改写，易错选D；若对不等号改写不准确，易误选A.2．解决此类问题，还常出现以下错误：有的全称命题的全称量词往往可以不写，从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词．如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”．3．为避免上述错误，对含有一个量词的命题进行否定时，应重点关注以下几点：(1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义，从整体上把握，明确其否定的实质．(2)明确命题的类型，是全称命题还是特称命题．(3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.第一节函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素函数由定义域、值域、对应关系三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：自变量x的取值范围．(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析式法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按照确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和x对应，那么就称对应f：A→B叫做从集合A 到集合B的一个映射．1．函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？提示：不一定．3．已知函数f(x)与g(x)．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ (2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ 提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是( )解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于B 、C 、D ，函数定义域都不相同．3．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：选B 要使函数y ＝x ln(1－x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，即0≤x <1.4．(2014·青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为________．解析：由题易知，f (2)＝4，1f (2)＝14，故f ⎝⎛⎭⎫1f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 答案：15165．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝32时，x ＝30°.答案：1230°数学思想(一)分类讨论在分段函数中的应用由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2014·西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2(x ≤0)，2(x >0). 当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． [答案] {－2,2}[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 因为f (－1)＝－(－1)＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a ＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.第二节 函数的单调性与最值【考纲下载】1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2. 会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)＞f (x 2)． 2．单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．3．函数的最值前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 是y ＝f (x )的最大值M 是y ＝f (x )的最小值1．如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数？提示：不能．如函数y ＝1x 在(0，＋∞)及(－∞，0)上都是减函数，但函数y ＝1x 在定义域上不是单调函数．2．当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“∪”将它们连接起来．如函数y ＝1x 的单调递减区间有两个：(－∞，0)和(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝1xC ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x |解析：选D 函数y ＝3－x ，y ＝1x ，y ＝－x 2＋4在(0,1)上都是减函数，y ＝|x |在(0,1)上是增函数．2．(教材习题改编)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 的对称轴为x ＝1－a3，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1－a 3.所以1－a 3≥1，即a ≤－2.3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由题意知，函数f (x )为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，∴⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1且|x |≠0.∴x ∈(－1,0)∪(0,1)． 4．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 5．(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]．下列命题： ①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25.其中真命题的是________(写出所有真命题的编号)．解析：易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.答案：①③④方法博览(二)五招破解函数的最值问题1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[典例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．[解题指导] 将函数整理成关于e x ＋e －x 的一元二次函数，然后利用配方法求解．[解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x ，则t ≥2，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2.因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值． [典例2] 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．[解题指导] (1)先判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，然后求最值；(2)f (x )＞0恒成立⇔f (x )min ＞0.[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3>0，a >－3.所以0<a ≤1.③当a >1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2，2a ＋2>0，显然成立．综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，＋∞)． [点评] 不等式m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ，m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min . 3．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．[典例3] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．[解题指导] 依据新定义，将f (x )化简为分段函数，画出图象求解． [解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12.所以f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图象如图所示．由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12＋1＝32. [答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．4．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式，灵活选择换元的方法，以便将复杂函数的最值问题转化为简单函数的最值问题．如可用三角换元解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[典例4] 设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．[解题指导] a 2＋2b 2＝6可变形为⎝⎛⎭⎫a 62＋⎝⎛⎭⎫b 32＝1，故可考虑利用三角换元求解． [解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R ， 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3[点评] 在用换元法时，需特别注意换元后新元的取值范围，如本题换元后中间变量α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 确定的．5．基本不等式法(见第六章第四节基本不等式)第三节函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数及其图象特征奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．若函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上有奇偶性，则实数a，b之间有什么关系？提示：a＋b＝0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)为何值？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定。

【优化指导】2015高考数学总复习第1章第1节集合课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则( )A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：选C 由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.2．(2012·某某高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：选B ∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝{0,1,3,7,9}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{7,9}，故选B.3．(2014·某某一中月考)设全集Q＝{x∈N|x2－2x－3<0}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是( )A．3 B．4C．7 D．8解析：选D Q＝{x∈N|(x＋1)(x－3)<0}＝{x∈N|－1<x<3}＝{0,1,2}，所以满足P⊆Q 的集合P有23＝8个，选D.4．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B的实数a 的一个值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．显然只有a＝3时满足条件．5．(2013·某某高考)设全集为R，函数f (x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为( ) A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D 由1－x2≥0，得－1≤x≤1，故M＝[－1,1]，从而∁R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因此选D.6．(2014·某某重点中学统考)已知全集U ＝R ，设集合A ＝{}x |y ＝ln3x －1，集合B ＝{}y |y ＝sin x ＋2，则(∁U A )∩B 为()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13D ．∅解析：选C ∵A ＝{}x |y ＝ln 3x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞，B ＝{}y |y ＝sin x ＋2＝[－1,1]，∴∁U A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13，所以(∁U A )∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13，故选C.7．(2014·某某一中模拟)已知集合A ＝{y ∈R |y ＝ln x ，x >1}，B ＝{x ∈N ||x |≤2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1}B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0]C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D．(∁R A )∩B ＝{－2，－1,0}解析：选D 因为A ＝{y |y >0}，所以∁R A ＝{y |y ≤0}，又B ＝{－2，－1,0,1,2}，所以(∁RA )∩B ＝{－2，－1,0}，选D.8．(2014·镇海中学月考)已知集合M ＝{x |x 2－5x <0}，N ＝ {x |p <x <6}，且M ∩N ＝{x |2<x <q }，则p ＋q ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 依题意，M ＝(0,5)，N ＝(p,6)，又M ∩N ＝{x |2<x <q }，所以q ＝5，p ＝2，所以p ＋q ＝7.9．(2014·某某模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪5x ＋1≥1，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)<0}．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．{1}∪[2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 由5x ＋1≥1，得x －4x ＋1≤0，所以A ＝{x ∈R |－1<x ≤4}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)<0}＝{x ∈R |2a <x <a 2＋1}．若B ≠∅，则在数轴上可以看出2a ≥4，所以a ≥2；若B ＝∅，只能a ＝1.综上选C.10．设S ＝{x |x <－1，或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值X 围是( ) A ．(－3，－1)B ．[－3，－1]C ．(－∞，－3]∪(－1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) 解析：选A在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.11．(2014·荆州质检)设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫21－x >1，x ∈R ，B ＝{x |y ＝1－x 2}，则(∁R A )∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1<x <1}C ．{－1,1}D ．{1}解析：选 C 选集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫21－x >1＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |y ＝1－x 2}＝{x |－1≤x ≤1}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，(∁R A )∩B ＝{－1,1}．12．(2014·某某模拟)设A ＝{1,4，x }， B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( ) A ．0 B ．－2 C ．0或－2D ．0或±2解析：选D 因为B ⊆A ，所以，B ＝{1，x 2}中的任何一个元素均是集合A ＝{1,4，x }中的元素，即x 2＝4，x ＝±2，或x 2＝x ，x ＝0(如果x ＝1，与集合的互异性矛盾)，故选D.13．(2014·某某调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－|x |)}，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－1,1)D ．(1,2]解析：选B 由x 2－x －2<0可得－1<x <2，又y ＝ln(1－|x |)中1－|x |>0，则1>|x |，即－1<x <1，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，因此A ∩(∁R B )＝[1,2)，故选B.14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1] ②－3∈[3] ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”，其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ①2 011＝2 010＋1＝402×5＋1∈[1]，正确；由－3＝－5＋2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数a ，b 属于同一类，不妨设a ，b ∈[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，则a ＝5n ＋k ，b ＝5m ＋k ，n ，m 为整数，a －b ＝5(n －m )＋0∈[0]正确，故①③④正确．1．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝( ) A．M B．NC．I D．∅解析：选A 根据题意，N是M的真子集，所以M∪N＝M，选A.2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若M∩(∁U N)＝{x|x ＝1，或x≥3}，则( )A．a＝－1 B．a≤1C．a＝1 D．a≥1解析：选A 由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁U N＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁∪N)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.3．(2014·某某三校联考)已知全集U＝R，集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|x2－2x ＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A．{－1} B．{2}C．{1,2} D．{0,2}解析：选B 在集合A中，由于x∈Z，且|x|≤1，所以A＝{－1，0,1}集合B中，由x2－2x＝0得x＝0或2，所以B＝{0,2}．图中阴影部分表示在集合B中但不在集合A中的元素的集合，所以是{2}，故选B.4．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b ∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( ) A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b解析：选A 在B选项中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，故B正确；在C选项中，将a*(b*a)＝b中的a换成b，即得b*(b*b)＝b成立，故C正确；在D选项中，令a*b＝c，则c*(b*c)＝b成立，故D正确；只有A选项不能恒成立．5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|＝λ}，若A∩B≠∅，则实数λ的取值X围是______．解析：[1，2] 集合A表示圆x2＋y2＝1上点的集合，集合B表示菱形|x|＋|y|＝λ上点的集合，由λ＝|x|＋|y|≥0知λ表示直线在y 轴正半轴上的截距，如图，若A ∩B ≠∅，则1≤λ≤ 2.6．(2014·威海模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{x |－1≤x <1}，B ＝{x |x <0}，则A ⊕B ＝______.解析：{x |x <－1或0≤x <1} 由题意知A －B ＝{x |0≤x <1}， B －A ＝{x |x <－1}． 因此A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝{x |0≤x <1或x <－1}．7．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y ＋2x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x －4}，那么(∁U M )∩(∁U N )＝______.解析：{(2，－2)} 由题意，知M ＝{(x ，y )|y ＝x －4(x ≠2)}，M 表示直线y ＝x －4上的点集，但是除掉点(2，－2)，∁U M 表示直线y ＝x －4外的点集，且包含点(2，－2)；N 表示直线y ＝x －4外的点集，∁U N 表示直线y ＝x －4上的点集，所以(∁U M )∩(∁U N )＝{(2，－2)}．8．(2014·某某适应性统考)非空集合G 关于运算⊕满足：(1)对任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；(2)存在e ∈G ，对一切a ∈G ，都有a ⊕e ＝e ⊕a ＝a ，则称G 关于运算⊕为“和谐集”，现给出下列集合和运算：①G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中关于运算⊕为“和谐集”的是______(写出所有“和谐集”的序号)．解析：①③ 依题意，对于①，注意到0∈G ，且对任意a 、b ∈G ，均有a ＋b ∈G ；0＋a ＝a ＋0＝a ∈G ，此时集合G ＝{非负整数}关于运算“整数的加法”是“和谐集”．对于②，注意到此时集合G 中不存在一个偶数e 使得e 与任意一个偶数a 之积ae 仍等于偶数a ，因此集合G ＝{偶数}关于运算“整数的乘法”不是“和谐集”．对于③，注意到0∈G ，且对任意a 、b ∈G ，均有a ＋b ∈G ；0＋a ＝a ＋0＝a ∈G ，此时集合G ＝{平面向量}关于运算“平面向量的加法”是“和谐集”．对于④，注意到x 2－2x ＋4∈G ，－(x 2－2x ＋4)∈G ，但(x 2－2x ＋4)－(x 2－2x ＋4)＝0∉G ，因此集合G ＝{二次三项式}关于“多项式的加法”不是“和谐集”．综上所述，其中关于运算⊕为“和谐集”的是①③.。

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第5讲 知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选 D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1 a n ，则b n ＋1＝2a 1 a n+1 ，由于{2 a 1 a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2 a 1a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)． 设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6 7．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

第5节三角恒等变换课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.计算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( B )(A)-(B)(C)(D)1解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°=sin(68°-23°)=sin 45°=.故选B.2.(2013惠州模拟)函数f(x)=1-2sin2x是( D )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:f(x)=1-2sin2x=cos 2x,∴f(x)是最小正周期为π的偶函数,故选D.3.(2013淄博模拟)已知cos(α-)=,则sin 2α等于( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:法一∵cos(α-)=,∴cos α+sin α=,∴cos α+sin α=,∴1+sin 2α=,∴sin 2α=-.故选D.法二sin 2α=cos(2α-)=2cos2(α-)-1=2×()2-1=-.故选D.4.化简等于( C )(A)-2 (B)-(C)-1 (D)1解析:===-1.故选C.5.当-≤x≤时,函数f(x)=sin x+cos x的( D )(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-(C)最大值是2,最小值是-2(D)最大值是2,最小值是-1解析:f(x)=2sin(x+),∵-≤x≤,∴-≤x+≤,∴-1≤2sin(x+)≤2.故选D.二、填空题6.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sin θ+cos θ= .解析:因为θ为第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,因此π+2kπ<θ+<π+2kπ,k∈Z,又tan(θ+)=,从而sin(θ+)<0.所以sin(θ+)=-,所以sin θ+cos θ=sin(θ+)=-.答案:-7.sin α=,cos β=,其中α、β∈(0,),则α+β= . 解析:∵sin α=,cos β=,α,β∈(0,),∴cos α=,sin β=,∴cos(α+β)=×-×=0.又∵α+β∈(0,π),∴α+β=.答案:8.设tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,0<α<,π<β<,则α+β= .解析:∵tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,∴tan α+tan β=,tan αtan β=,∴tan (α+β)==1.∵0<α<,π<β<,∴π<α+β<2π,∴α+β=.答案:9.已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是-,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cos α= .解析:依题设得,cos β=-,∵0<β<π,∴<β<π,sin β=,又∵sin(α+β)=>0,0<α<π,∴<α+β<π,cos(α+β)=-.∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-×+×=.答案:三、解答题10.(2012洛阳模拟)已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1)求tan 2α的值;(2)求β.解:(1)由cos α=,0<α<,得sin α===.∴tan α==×=4,于是tan 2α===-.(2)由0<β<α<,得0<α-β<,∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)===.由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,所以β=.11.(2013广东深圳第一次调研)已知函数f(x)=2sin(+) (0≤x≤5),点A、B分别是函数y=f(x)图象上的最高点和最低点.(1)求点A、B的坐标以及·的值;(2)设点A、B分别在角α、β的终边上,求tan(α-2β)的值.解:(1)∵0≤x≤5,∴≤+≤,∴-≤sin(+)≤1.当+=,即x=1时,Sin(+)=1,f(x)取得最大值2;当+=,即x=5时,Sin(+)=-,f(x)取得最小值-1.因此,点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5,-1).∴·=1×5+2×(-1)=3.(2)∵点A(1,2)、B(5,-1)分别在角α、β的终边上,∴tan α=2,tan β=-.∵tan 2β==-,∴tan(α-2β)==.12.(2013惠州市高三第一次调研)已知函数f(x)=sin (ωx+ϕ) (ω>0,0≤ϕ≤π)为偶函数,周期为2π.(1)求f(x)的解析式;(2)若α∈(-,),f(α+)=,求sin(2α+)的值.解:(1)∵T=2π,则ω==1.∴f(x)=sin (x+ϕ).∵f(x)是偶函数,∴ϕ=kπ+(k∈Z),又0≤ϕ≤π,∴ϕ=.则f(x)=cos x.(2)f(α+)=cos(α+)=,∵α∈(-,),∴α+∈(0,).则sin(α+)=.∴sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.B组13.若cos α=-,α是第三象限的角,则等于( A )(A)-(B)(C)2 (D)-2解析:因为α是第三象限的角,且cos α=-,所以sin α=-.====-.故选A.14.(2013赣州模拟)已知sin(α+)+cos α=,则cos(-α)的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:∵sin(α+)+cos α=,∴sin α+cos α+cos α=,即×(sin α+cos α)=,∴sin(α+)=,∴cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(α+)=,故选A.15.设函数f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则= .解析:f′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f′(x)得sin x+cos x=2cos x-2sin x,∴cos x=3sin x,于是===-.答案:-。

【优化方案】2015年高考数学 第五章 第5课时 数列的综合应用知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．(2014·某某某某一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是( )A ．a 2＋a 15B ．a 2·a 15C ．a 2＋a 9＋a 16D ．a 2·a 9·a 16解析：选C ．因为S 17为一确定常数，根据公式可知，a 1＋a 17为一确定常数，又a 1＋a 17＝a 2＋a 16＝2a 9，∴a 2＋a 16＋a 9为一确定常数．2．若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km ，此后每秒钟通过的路程增加2 km ，若从这一秒钟起通过240 km 的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析：选C ．设从这一秒钟起，经过x 秒钟，通过240 km 的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x ＋x （x －1）2×2＝240，即x 2＋x －240＝0，解得x ＝15或x ＝－16(舍去)．3．已知实数等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：选C ．由a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 7＝a 4q 3，∴q 3＝18，∴q ＝12，a 1＝16，∴S 5＝16[1－（12）5]1－12＝31.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C ．∵S n ＝a n－1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1（a －1）a n －1，n ≥2.当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．5．在如图所示的程序框图中，当输出T 的值最大时，n 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．6或7 D ．8解析：选C ．该程序框图的实质是输出以a 1＝64为首项，12为公比的等比数列{a n }的前n项的乘积T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…，15)，由于a 7＝1，所以在T n (n ＝1，2，…，15)中，T 6＝T 7且最大．6．夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，则此山相对于山脚处的高度是________米．解析：∵每升高100米温度降低0.7 ℃， ∴该处的温度变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，d ＝－0.7.∴26＋(n －1)(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．答案：1 600 7．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴{b n }是一个以23为首项，13为公比的等比数列．10．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．解：设a n 为(2 010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N *，则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…，a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，∴即数列{a n －500}是首项为a 1－500＝1 000，公比为2的等比数列．∴a n －500＝1 000×2n －1，∴a n ＝1 000×2n －1＋500.(1)a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．(2)由a n >32 500，即2n －1>32，得n >6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．[能力提升]1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：选D ．依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014B ．2 020×2 013C ．1 010×2 014D ．1 010×2 013解析：选D ．结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2，所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝4×2 013＋2 013×2 0122＝2 013×1 010.3．设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 014项和为________．解析：由“凸数列”的定义，可知，b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，故数列{b n }是周期为6的周期数列．又b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，故数列{b n }的前2 014项和S 2 014＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝1－2－3－1＝－5.答案：－54．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”． 下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②已知数列{a n }是等方差数列，则数列{a 2n }是等方差数列；③{(－1)n}是等方差数列；④若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a 2n }是公差为p 的等差数列，故①正确．对于②，取a n ＝n ，则数列{a n }是等方差数列，但数列{a 2n }不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n ]2－[(－1)n －1]2＝0(n ≥2，n ∈N *)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *)，则a 2kn －a 2k （n －1）＝(a 2kn －a 2kn －1)＋(a 2kn －1－a 2kn －2)＋…＋(a 2kn －k ＋1－a 2k （n －1）)＝kp 为常数，故④正确．答案：①③④5．(2014·某某某某市诊断性检测)设函数f (x )＝x 2，过点C 1(1，0)作x 轴的垂线l 1交函数f (x )图象于点A 1，以A 1为切点作函数f (x )图象的切线交x 轴于点C 2，再过C 2作x 轴的垂线l 2交函数f (x )图象于点A 2，…，以此类推得点A n ，记A n 的横坐标为a n ，n ∈N *.(1)证明数列{a n }为等比数列并求出通项公式；(2)设直线l n 与函数g (x )＝log 12x 的图象相交于点B n ，记b n ＝O A →n ·O B →n (其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：以点A n －1(a n －1，a 2n －1)(n ≥2)为切点的切线方程为y －a 2n －1＝2a n －1(x －a n －1)．当y ＝0时，得x ＝12a n －1，即a n ＝12a n －1.又∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．∴通项公式为a n ＝(12)n －1.(2)据题意，得B n ((12)n －1，n －1)．∴b n ＝O A →n ·O B →n ＝(14)n －1＋(14)n －1·(n －1)＝n (14)n －1.∵S n ＝1×(14)0＋2×(14)1＋…＋n ×(14)n －1，14S n ＝1×(14)1＋2×(14)2＋…＋n ×(14)n ， 两式相减，得34S n ＝1×(14)0＋1×(14)1＋…＋(14)n －1－n ×(14)n ＝1－（14）n1－14－n ×(14)n.化简，得S n ＝169－(4n 3＋169)×(14)n ＝169－3n ＋49×4n －1.6．(选做题)(2014·某某某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{2na n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n的大小．解：(1)证明：a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1得a n n ＝12×a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项和公比均为12的等比数列．(2)由(1)得a n n ＝12n ，于是2n·a n ＝n ，T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.所以1T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，于是A n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1， 而2na n ＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2nn 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2n n 2，g (n )＝nn ＋1，当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1， 所以f (n )>g (n )．经验证当n ＝1，2，3时，仍有f (n )>g (n )． 因此对任意的正整数n ，都有f (n )>g (n )，即A n <2na n.。