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安徽省合肥市2018届⾼三三模试题（⽂）数学试题及答案解析安徽省合肥市2018届⾼三三模数学试题（⽂）第Ⅰ卷⼀、选择题1. 设复数(其中为虚数单位)，则=（）A. B. 3 C. 5 D.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是（）A. -1，3B. ，3C. -1，，3D. ，，34. 若正项等⽐数列满⾜，则其公⽐为（）A. B. 2或-1 C. 2 D. -15. 运⾏如图所⽰的程序框图，则输出的等于（）A. B. C. 3 D. 16. 若为两条不同的直线，为平⾯，且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图是⼀个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的⽅法估计圆周率的值：随机撒⼀把⾖⼦，若落在正六边形内的⾖⼦个数为个，落在圆内的⾖⼦个数为个，则估计圆周率的值为（）A. B. C. D.8. 函数的图象⼤致为（）A. B.C. D.9. 若的三个内⾓所对的边分别是，若，且，则（）A. 10B. 8C. 7D. 410. 已知双曲线(，)的上焦点为，是双曲线虚轴的⼀个端点，过，的直线交双曲线的下⽀于点.若为的中点，且，则双曲线的⽅程为（）A. B. C. D.11. 我国古代《九章算术》将上、下两⾯为平⾏矩形的六⾯体称为刍童.右图是⼀个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，⾼为2，则该刍童的表⾯积为（）A. B. 40 C. D.12. 若函数在区间上是⾮单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考⽣根据要求作答.⼆、填空题13. 已知，，则的值等于_________.14. 若实数满⾜条件，则的最⼤值为______.15. 已知，.当最⼩时，___________.16. 已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则__________.三、解答题：解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．17. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数的图象.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)⽐较与的⼤⼩.18. 2018年2⽉9-25⽇，第23届冬奥会在韩国平昌举⾏.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家⼝举⾏.为了宣传冬奥会，某⼤学在平昌冬奥会开幕后的第⼆天，从全校学⽣中随机抽取了120名学⽣，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进⾏了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ) 根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学⽣中，采⽤按性别分层抽样的⽅法选取8⼈，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、⼥学⽣各选取多少⼈？(ⅱ)若从这8⼈中随机选取2⼈到校⼴播站开展冬奥会及冰雪项⽬宣传介绍，求恰好选到⼀名男⽣⼀名⼥⽣的概率P.附：，其中.19. 如图，侧棱与底⾯垂直的四棱柱的底⾯是梯形，，，，，，点在棱上，且.点是直线的⼀点，.(Ⅰ)试确定点的位置，并说明理由；(Ⅱ)求三棱锥的体积.20. 记焦点在同⼀条轴上且离⼼率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.(Ⅰ)求椭圆的⽅程；(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有⼀个公共点，试判断的⾯积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21. 已知函数(为⾃然对数的底数).(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.请考⽣在第(22)、(23)题中任选⼀题作答.注意：只能做所选定的题⽬，如果多做，则按所做的第⼀个题⽬计分.22. 选修4－4：坐标系与参数⽅程在平⾯直⾓坐标系中，直线的参数⽅程为(为参数)，圆的⽅程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(Ⅰ)求直线及圆的极坐标⽅程；(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)设函数的最⼩值为，实数满⾜，，，求证：.。
2017-2018学年 数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}20<<∈=x R x A ，则=A C R （ ）A ．{}0≤x xB ．{}2≥x x C ．{}20><x x x 或 D ．{}20≥≤x x x 或2.i 为虚数单位，复数=-+ii12（ ） A ．i 2321+ B ．i 2123+ C ．i 2323+ D ．i 2123-3.等比数列{}n a 中，4,1653==a a ，则=7a （ ） A ．1 B ．-1 C ．1± D ．414.从1，2，3,5这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶数的概率为（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．61 5.若实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-02,084,0632y x y x y x 则z=x-y 的最大值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．26.已知0,:2<∈∃x R x p ；0log ,2:21<>∀x x q ，则下列中为真的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∨7.若函数20162)(-+=x x f x的一个零点)1,(0+∈n n x ，则正整数n=（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．88.执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出v 的值为（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649.已知双曲线12222=-by a x 的左焦点在抛物线x y 202=的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为34，则双曲线的标准方程是（ ） A ．116922=-y x B ．191622=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 10.某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（ ）A ．π212+B ．π214+C ．π+14D ．π+1611.直线01)1(22=--+y a ax 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．]43,4[ππ B ．],43[]4,0[πππ C ．),43[]4,0(πππ D ．),43[]4,0[πππ 12.若关于x 的不等式a ax x +≤+)1sin(的解集为),1[+∞-，则a 的取值范围为（ ） A ．),21[+∞ B ．),2[+∞ C ．),0(+∞ D ．),1[+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数ax x x f +=3)(，若10)2(=f ，则a=_____.14.已知2tan =α，则=-+-+)2cos()3sin()2(sin 2απαπαπ______.15.已知)6,(),,1(-==t t ，则a 2_______.16.如图，△ABC 中，AB=4，BC=2，60=∠=∠D ABC ，若△ABC 是锐角三角形，则DA+DC 的取值范围为________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的首项11=a ，公差d≠0，且1243a a a =⋅. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n a b 2⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）某高中为了解全校学生每周参与体育运动的情况，随机从全校学生中抽取100名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下：（1）作出样本的频率分布直方图；（2）①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数；②若该校有学生3000人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数. 19.（本小题满分12分）如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 边上的高BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上.（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DCDE的值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，短轴长为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆)0(:222b r r y x C <<=+上任意一点作圆C 的切线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，都有OA ⊥OB （O 为坐标原点），求r 的值. 21.（本小题满分12分）已知函数ax a x f x-=)(（a>0且a≠1），)(x f '是f(x)的导函数.（1）当a>1时，求函数f(x)的极小值点； （2）若ea x f x f a 29log )()(-'≥（e 是自然对数的底数）对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，弧AE=弧AC ，DE 交AB 于点F.（1）求证：PB PA PO PF ⋅=⋅； （2）若720,2,4===DF PB PD ，求弦CD 的弦心距.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线)(sin 22,cos 2:为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，直线)(2,23:为参数t ty t x l ⎩⎨⎧=+=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C 的极坐标方程，直线l 的普通方程；（2）点A 在曲线C 上，点B 在直线l 上，求A 、B 两点间距离AB 的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数12)(+++=x m x x f . （1）当m=-1时，解不等式3)(≤x f ；（2）若]0,1(-∈m ，求函数12)(+++=x m x x f 的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值.合肥市2016年高三第三次教学质量检测 数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题1.D2.A3.A4.B5.D6.C7.B8.C9.A 10.B 11.D 12.D 二、填空题 13.1 14.5315.52 16.]34,6( 三、解答题17.解：（1）由1243a a a =⋅，得1111)31()21(=⇒+=+⋅+d d d d 或d=0（不和题意舍去）， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）依题意，n n n n n a b 22⋅=⋅=，n n n T 2232221321⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=， 13222)1(22212+⨯+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n T ，两式相减，得132122222+⨯-+⋅⋅⋅+++=-n n n n T ，22)1(221)21(211--=⨯---=-++n n n n n n T ，∴22)1(1+-=+n n n T .18.解：（1）频率分布直方图略； （2）①由数据估计中位数为：6.6440264=⨯+， 估计平均数为：88.602.01806.01428.0104.0624.02=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.（2）由题意，得BC BM 41=， 取BC 的中点F ，则PF ∥MN ，∴PF ∥平面DMN ，由条件PE ∥平面DMN ，PE ∩PF=P ，∴平面PEF ∥平面DMN ， ∴EF ∥DM ，∴31==MC MF DC DE . 20.解：（1）1422=+y x ; （2）当直线l 的斜率存在时，设n kx y l +=:，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=14,22y x n kx y 得0448)41(222=-+++n knx x k ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则22212214144,418kn x x k kn x x +-=+-=+， ∴22121221212121)()1())((n x x kn x x k n kx n kx x x y y x x ++++=+++=+=⋅2222222222241)1(454148)44)(1(k k n k n k n n k n k ++-=+++--+=，∵直线l 与圆C 相切，∴r k n =+21，即)1(222k r n +=.∴22241)1)(45(k k r ++-=⋅，OA ⊥OB ，∴0=⋅，故0452=-r ，∴552=r . （2）当x l ⊥轴时，由04452=-=⋅r ，同样可得552=r ， 综上，当OA ⊥OB 时，r 的值为552. 21.解：（1）0ln )(=-='a a a x f x，∵a>1，∴a a a xln =，即)(l n l o g 1)ln (log a aax aa -==，∴f(x)在))(ln log 1,(a a --∞上为减函数，在)),(ln log 1(+∞-a a 上为增函数， ∴f(x)的极小值点为)(ln log 1a x a -=. （2）设ea a a a ax a e a x f x f x g a x x a29log ln 29log )()()(++--=+'-= ea a ax a a ax 29log )ln 1(++-⋅-=， ∴a a a a x g x--='ln )ln 1()(，①当0<a<1时，0ln )ln 1(<-a a ，0)(<'x g ，g(x)在R 上单调递减， ∵]1ln []29log 1)ln 1[(29log )ln 1()2(2--<+-⋅-=+-⋅-=a a a a ea a a e a a a a g a a， 设)1,0(,1ln )(∈--=a a a a a ϕ，则0ln )(>-='a a ϕ，∴)(a ϕ在(0,1)上递增，而0)1(=ϕ， ∴0)2(,0)1()(<∴=<g a ϕϕ，∴0<a<1时，不能保证0)(≥x g 对一切x ∈R 恒成立.②当e a ≥时，0ln )ln 1(<-a a ，0)(<'x g ，g(x)在R 上单调递减， ∵0)ln 1(])ln 1[(]29log 1)ln 1[()2(2≤-=-<+-⋅-=a a a a a ea a a g a， ∴e a ≥时，不能保证0)(≥x g 对一切x ∈R 恒成立.③当1<a<e 时，由0)(='x g ，得a a a a xln )ln 1(-=，∴aa ax a ln )ln 1(log -=，∴g(x)在)ln )ln 1(log ,(a a a a--∞上为减函数，在),ln )ln 1((log +∞-aa a a 上为增函数，∴ea a a a a a a a a a x g aa 29log ln )ln 1(log ln )ln 1()ln 1()(min ++---⋅-= 0]ln )ln 1(29[log 29log ]ln )ln 1[(log log ≥⋅-=+⋅-+=a a a e a a a a e a a aa a ， ∵1<a<e ，∴1]ln )ln 1(29≥⋅-a a ，∴32ln 31≤≤a ，即3231e a e ≤≤，故a 的取值范围为],[3231e e .22.解：（1）连接OE 、OC ，∵弧AE=弧AC ，∴EOC COA EOA ∠=∠=∠21， 又COA EDC ∠=∠，故COP FDP ∠=∠，∵P P ∠=∠， ∴COP FDP ∆∆~，∴PD PC PO PF POPDPC PF ⋅=⋅⇒=， 由割线定理得PD PC PB PA ⋅=⋅，∴PB PA PO PF ⋅=⋅. （2）由（1）知COP FDP ∆∆~，则POPDOC DF =， 设⊙O 的半径为r ，则524720=⇒+=r rr ，故由PD PC PB PA ⋅=⋅得，2)4(4212=⇒+=⨯CD CD ， ∴弦CD 的弦心距为621522=-.23.解：（1）由)(sin 22,cos 2:为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C 得，4)2(22=-+y x ，即0422=-+y y x ，根据y y x =+=θρρsin ,22得曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=.直线)(2,23:为参数t ty t x l ⎩⎨⎧=+=的普通方程为x-y-3=0.（2）A 、B 两点间距离AB 的最小值即是圆4)2(22=-+y x 的圆心(0,2)到直线x-y-3=0的距离减去半径2，即242522320-=---，故AB 的最小值为2425-.24.解：（1）当m=-1时，不等式31213)(≤++-⇔≤x x x f ，若21-≤x ，则131213)(-≥⇒≤---⇔≤x x x x f ，故211-≤≤-x . 若121≤<-x ，则131213)(≤⇒≤++-⇔≤x x x x f ，故121≤<-x .若1>x ，则131213)(≤⇒≤++-⇔≤x x x x f ，这与x>1矛盾，故∅∈x ， 综上所述，当m=-1时，不等式3)(≤x f 的解集为[-1,1].（2）若]0,1(-∈m ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->++-≤<--+-≤---=+++=m x m x m x m x x m x x m x x f ,1321,121,1312)(，画出函数y=f(x)的图象与直线y=3（草图），则12)(+++=x m x x f 的图象与直线y=3围成的多边形为四边形ABCD ， 易得)3,2(),3,32(),21,9),21,21(),3,34(m E mD m m c m B m A +-----+-， ∴四边形ABCD 的面积617443)1(46)52(222++-=+-+=m m m m S ， 当]0,1(-∈m 时，四边形ABCD 的面积的最大值为617.。
安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2ii+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．15B ．15iC ．25iD ．252.已知{}13M x x =-<<，{}N x x =0<<1，则M N ⋂=（ ）A ．∅B ．{}x x 0<<1C ．{}x x -1<<1D ．{}13x x -<< 3.若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．14.已知实数,x y 满足约束条件202201x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最大值是（ ）A ．6-B ．3- C. 3 D ．6 5.下列双曲线中，渐近线方程不是．．34y x =±的是（ ） A ．22114481x y -= B ．2211832y x -= C. 221916y x -= D ．22143x y -=6.执行如图的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．9B ．19 C. 33 D ．517.在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，60,4,C a b c =︒==，则b =（ ）A ．1B ．2 C.3 D 8.“1a >”是“32a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中俯视图和侧视图图弧部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．44π+B ．54π+ C.6π D ．7π10.将函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．411.若函数()22ln f x x x ax =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．[)4,+∞ C. (),4-∞ D ．(],4-∞12.已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则数列(){}1n n a -的前10项的和10S =（ ）A ．220B ．110 C. 99 D ．55第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆22220x y x y ++-=的半径为 ．14.命题0:1p x ∃>，使得20021x x -<，则p ⌝是 ． 15.已知()()2,51,1,1a t b t =-=+-，若a b ⊥，则t = ．16.已知,,,A B C D 是半径为5的球面上的点，且BC CD DB ===当四面体ABCD 的体积最大时，AB = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()sin cos f x x x =+.（Ⅰ）当()f x =时，求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）若()()2g x f x =，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域.18.学校将高二年级某班级50位同学期中考试数学成绩（均为整数）分为7组[)[)[]80,90,90,100,,140,150进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.观察图中信息，回答下列问题.（Ⅰ）试估计该班级同学数学成绩的平均分；（Ⅱ）先准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出2人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率.19.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1232414,64a a a a a ++=⋅=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.如图，多面体ABCDEF 中，//,AD BC AB AD ⊥,FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且222AB AD AF BC DE =====.（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证：//CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.21. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎭，左焦点为()F .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于,M N 两点，求AMN ∆的面积.22. 已知函数()3f x ax bx =+在x =处取得极小值（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若过点()1,M m 的直线与曲线()y f x =有三条切线，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBCDD 6-10:CAAAB 11、12：DB二、填空题21,21x x x ∀>-≥ 15. 1 16.三、解答题17.解：（Ⅰ）依题意，()2sin cos sin cos 2sin 21x x x x x +=+=⇒=∴1sin 2cos 332x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭（Ⅱ）()sin 2cos 224g x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.∴函数()f x 的值域为⎡-⎣. 18. 解：（Ⅰ）平均分800.06950.11050.241150.281250.21350.081450.04113.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由直方图可知，数学成绩不低于130分的同学共有500.08500.04426⨯+⨯=+=人，其中，分数在[]130,140的有4人记作,,,a b c d ，分数在[]140,150的有2人记作,m n 依题意从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，故715P =. 19.解： （Ⅰ）设等比数列的公比为q ，且0q >， ∵243648a a a ⋅=⇒= ∴218a q =，又12314a a a ++=∴()2344002q q q q --=>⇒= ∴2n n a =（Ⅱ）由（Ⅰ）知()21n n b n a =- 得()212n n b n =-⋅ 故()()12112+1232232212n n n n T b b b n n -=++=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (1)∴()()23121232232212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (2)()()12-得：()()123122222212n n n T n +-=++++--⋅，∴()12326n n T n +=-⋅+20.解：（Ⅰ）证明：取AD 中点N ，由平面//CMN 平面ABF ∴//CM 平面ABF（Ⅱ）()11118212122232323F ABC C ADEF V V V --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=21.解：1222a a =⇒= 又c =，故2221b a c =-=，∴椭圆E 的方程为：2214x y+=.（Ⅱ）过()F 的直线方程为(12y x=，2AF =+联立(221214y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2810y ⇒--=， 设()()1122,,,M x y Nx y，则12121218y y y y y y ⎧+=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩， ∴AMN ∆的面积(1211222AF y y =⋅-=+=.22.解：（Ⅰ）∵函数()3f x ax bx =+在x =处取得极小值∴2423020f a b a b f ⎧=⎪+=-⎧⎪⎝⎭⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⎩'=⎪⎝⎭⎩2,3a b ⇒==-，经验证，函数()f x 的解析式为()323f x x x =-.（Ⅱ）设切点为()3000,23x x x -，曲线()y f x =的切线斜率()20063k f x x '==- 则切线方程为()()()3200002363y x x x x x --=--代入点()1,m ， 得3200463m x x =-+-依题意，方程3200463m x x =-+-有三个根 令()32463g x x x =-+-，则()()21212121g x x x x x '=-+=--, ∴当(),0x ∈-∞时，()0g x '<； 当()0,1x ∈时，()0g x '>； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '<；故()32463g x x x =-+-在(),0-∞上单调递减， 在()0,1上单调递增，在()0,+∞上单调递减， ∴()()03g x g ==-极小值，()()11g x g ==-极大值，当31m -<<-时，()32463g x x x =-+-与y m =有三个交点， 故31m -<<-时，存在三条切线.∴实数m 的取值范围是()3,1--.。
合肥市达标名校2018年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知4cos sin b B C =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 2．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A ．B C ．1-D ．13．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-4．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24B ．36C ．48D ．645．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12BC ．2logD6．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 7．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．18．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )9．已知13313711log,(),log245a b c===，则,,a b c的大小关系为A．a b c>>B．b a c>>C．c b a>>D．c a b>>10．已知向量a与a b+的夹角为60︒，1a=，3b=，则a b⋅=( )A．3-B．0 C．0或32-D．32-11．已知随机变量X服从正态分布()1,4N，()20.3P X>=，()0P X<=（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.812．已知函数()2ln2,03,02x x x xf xx x x->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y=-对称的点在()1g x kx=-的图像上，则k的取值范围是( )A．13(,)34B．13(,)24C．1(,1)3D．1(,1)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数(其中为虚数单位)，则=A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】分析：化简复数，利用复数模的公式求解即可.详解：因为，所以=，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，利用集合交集的定义进行计算即可.详解：因为或，所以，又因为，则，故选C.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3. 已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是A. -1，3B. ，3C. -1，，3D. ，，3【答案】B【解析】分析：分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果.详解：因为在上单调递增，所以，排除选项；当时，为非奇非偶函数，不满足条件，排除，故选B.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.4. 若正项等比数列满足，则其公比为A. B. 2或-1 C. 2 D. -1【答案】C【解析】分析：设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，即，可解得的值，根据正项数列，排除不合题意的公比即可.详解：根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，即，解可得或，由数列为正项等比数列，可得，故选C.点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5. 运行如图所示的程序框图，则输出的等于A. B. C. 3 D. 1【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：当时，满足进行循环的条件，故；当时，满足进行循环的条件，故；当时，满足进行循环的条件，故；当时，不满足进行循环的条件，退出循环，输出，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能可得必要性不成立.详解：由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为个，落在圆内的豆子个数为个，则估计圆周率的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设正六边形边长为，则内切圆的半径为，求出圆的面积和正六边形的面积，由几何概型概率公式列方程可得结果.详解：设正六边形边长为，则内切圆的半径为，由几何概型概率公式可得，，故选D.点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.8. 函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项；由，可排除选项，从而可得结果.详解：因为，所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，可排除选项,由，可排除选项，故选D.点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9. 若的三个内角所对的边分别是，若，且，则A. 10B. 8C. 7D. 4【答案】B【解析】分析：利用诱导公式、两角和与差的正弦公式将展开，结合正弦定理和余弦定理进行化简可得.详解：,即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即，即，则，故选B.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及两角和与差的正弦公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10. 已知双曲线(，)的上焦点为，是双曲线虚轴的一个端点，过，的直线交双曲线的下支于点.若为的中点，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设出以及的坐标，求出的坐标，利用在双曲线上，以及勾股定理列出方程组，求出，从而可得结果.详解：双曲线的上焦点为是双曲线虚轴的一个端点，过的直线交双曲线的下支于点，若为的中点，且，可得则，由题意可得，解得，所以双曲线的方程为，故选C.点睛：本题主要考查待定系数求双曲线方程，属于难题.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求...............................11. 我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A. B. 40 C. D.【答案】D【解析】分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.详解：由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为，分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为，故选D. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若函数在区间上是非单调函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数在区间上是非单调函数，等价于在有解，即在有解，换元后，求出的范围即可.详解：,,在区间上是非单调函数，在有解，即在上有解，即在有解，设，在上有解，时，分别有，所以，即实数的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查导数的应用及数学的转化与划归思想，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，将“不单调”转化为“方程有解”，再转化“求函数值域”，是解题的关键.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知，，则的值等于_________.【答案】2【解析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.14. 若实数满足条件，则的最大值为______.【答案】8【解析】请在此填写本题解析!15. 已知，.当最小时，___________.【答案】【解析】分析：由，可得,求出，可得，利用二次函数的性质可得结果.详解：，得，，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查平面向量的运算及利用二次函数求最值，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．16. 已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则__________.【答案】3027【解析】分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.详解：数列为等差数列，可设，化为，，联立解得：，则，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数的图象.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)比较与的大小.【答案】(1);(2).【解析】分析：(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，进而可得结果；(Ⅱ)利用三角函数的性质，判断出与的符号，即可得结果.详解：(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，即.(Ⅱ)，而.∵，∴.点睛：本题考查三角函数图象变换、性质、诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于而言，即或；横向伸缩或平移是相对于而言，即（纵坐标不变，横坐标变为原来的倍），(时，向左平移个单位；时，向右平移个单位)．18. 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生60 20女生20 20(Ⅰ)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：，其中.【答案】(1)见解析;(2)(i) 男生有6人，女生有2人. (ii).【解析】分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；(ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.详解：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率.点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断. （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19. 如图，侧棱与底面垂直的四棱柱的底面是梯形，，，，，，点在棱上，且.点是直线的一点，.(Ⅰ)试确定点的位置，并说明理由；(Ⅱ)求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】分析：(Ⅰ)在棱上取点，使得，可证明四边形为平行四边形，从而，过作交于，连接，则平面平面，由此得到平面即为所求，此时；(Ⅱ)利用，结合棱锥的体积公式可得结果.详解：(Ⅰ)如图，在棱上取点，使得.又∵，∴.∴四边形为平行四边形，∴.过作交于，连结，∴平面，平面，∴平面即为所求，此时.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面，∴.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20. 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1);(2)6.【解析】分析：(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线.由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.详解：(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，∴椭圆的方程为.(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线.由得，.令得，.联立与，化简得.设A()，B()，则∴，而原点O到直线的距离∴.当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，∴.综上所述，的面积为定值6.点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数(为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析. (2).【解析】分析：(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，点斜式可得切线方程为直线的方程为，可得直线经过定点；(Ⅱ)分两种情况讨论的范围，函数有两个极值点等价于有两个不同的解，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，列不等式可筛选出函数有两个极值点的实数的取值范围.详解：(Ⅰ)∵，∴，.又∵，∴直线的方程为，∴直线经过定点(-2，0).(Ⅱ)∵，∴.设，则.当时，，即在上单调递增，则最多有一个零点，函数至多有一个极值点，与条件不符；当时，由，得.当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减，∴，即.令，解得.∵，，∴，∵在上单调递增，∴在上有唯一零点，当时，；当时，.∴在上有唯一极值点.又∵当时，.设，其中，则，∴，∴.即当时，，而，∵在上单调递减，∴在上有唯一零点，当时，；当时，.∴在上有唯一极值点.综上所述，当有两个极值点时，.点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线及圆的极坐标方程；(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(Ⅰ)由直线的参数方程得普通方程为，利用可得直线及圆的极坐标方程；(Ⅱ)将直线：，与圆：联立得或，不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且，于是.于是，.详解：(Ⅰ)由直线的参数方程得，其普通方程为，∴直线的极坐标方程为.又∵圆的方程为，将代入并化简得，∴圆的极坐标方程为.(Ⅱ)将直线：，与圆：联立，得，整理得，∴.不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.于是，.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：(Ⅰ) 对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，从而可得，令，利用基本不等式转化求解证明即可.详解：(Ⅰ)，即.(1)当时，不等式可化为.又∵，∴；(2)当时，不等式可化为.又∵，∴.(3)当时，不等式可化为.又∵，∴.综上所得，，或，即.∴原不等式的解集为.(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，∴，即.令，则，，，原不等式得证.点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2017-2018学年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A={x∈R|0＜x＜2}，则∁R A=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}2．i为虚数单位，复数=（）A． +i B． +C． +i D．﹣i3．等比数列{a n}中，a3=16，a5=4，则a7=（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．4．从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．若实数x，y满足不等式组，则z=x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．已知p：∃x∈R，x2＜0；q：∀x＞2，log x＜0，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∨￢q7．若函数f（x）=2x+x﹣2016的一个零点x0∈（n，n+1），则正整数n=（）A．11 B．10 C．9 D．88．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出v的值为（）A．31 B．32 C．63 D．649．已知双曲线﹣=1的左焦点在抛物线y2=20x的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（）A．12+2πB．14+2πC．14+π D．16+π11．直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，]B．[0，]∪[，π]C．（0，]∪[，π） D．[0，]∪[，π）12．若关于x的不等式sin（x+1）≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题13．已知函数f（x）=x3+ax，若f（2）=10，则a=______．14．已知tanα=2，则sin2（+α）﹣sin（3π+α）cos（2π﹣α）=______．15．已知=（1，t），=（t，﹣6），则|2+|的最小值为______．16．如图，△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=60°，△ADC是锐角三角形，DA+DC 的取值范围为______．三、解答题17．等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a3•a4=a12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某高中为了解全校学生每周参加体育运动的情况，随机从全校学生中抽取100名学生，（2）①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数；②若该校有学生3000人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数．19．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD 的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上的任意一点作圆C的切线l与椭圆E交于A，B两点，都有OA⊥OB（O为坐标原点），求r的值．21．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．2016年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x∈R|0＜x＜2}，则∁R A=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义求出集合A的补集即可．【解答】解：∵集合A={x∈R|0＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤0或x≥2}．故选：D．2．i为虚数单位，复数=（）A． +i B． +C． +i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===，故选：A．3．等比数列{a n}中，a3=16，a5=4，则a7=（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【考点】等比数列的性质．【分析】直接利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：等比数列{a n}中，a3=16，a5=4，则a7===1．故选：A．4．从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，先求出基本事件总数，再求出这两个数字之和是偶数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数字之和是偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，基本事件总数n=，这两个数字之和是偶数包含的基本事件个数m==3，∴这两个数字之和是偶数的概率为p===．故选：B．5．若实数x，y满足不等式组，则z=x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得，由z=x﹣y，得：y=x﹣z，显然直线过（2，0）时，z最大，z的最大值是2，故选：D．6．已知p：∃x∈R，x2＜0；q：∀x＞2，log x＜0，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．p∨￢q【考点】复合的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合的真假即可．【解答】解：p：∃x∈R，x2＜0，是假，q：∀x＞2，log x=﹣＜0，是真，故p∧q是假，p∧￢q是假，￢p∧q是真，p∨￢q是假，故选：C．7．若函数f（x）=2x+x﹣2016的一个零点x0∈（n，n+1），则正整数n=（）A．11 B．10 C．9 D．8【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别求出f（10）和f（11）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间，即可求出n．【解答】解：∵f（10）=210+10﹣2016＜0，f（11）=211+11﹣2016＞0，∴f（x）=2x+x﹣2016的存在零点x0∈（10，11）．∵函数f（x）=2x+x﹣2016在R上单调递增，∴f（x）=2x+x﹣2016的存在唯一的零点x0∈（10，11）．∵函数f（x）=2x+x﹣2016的一个零点x0∈（n，n+1），则整数n=10．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出v的值为（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的v，n的值，当n=6时不满足条件n≤5，退出循环，输出v的值为63即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=2，n=1，v=1满足条件n≤5，执行循环体，v=3，n=2满足条件n≤5，执行循环体，v=7，n=3满足条件n≤5，执行循环体，v=15，n=4满足条件n≤5，执行循环体，v=31，n=5满足条件n≤5，执行循环体，v=63，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出v的值为63．故选：C．9．已知双曲线﹣=1的左焦点在抛物线y2=20x的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程可得c=5，即a2+b2=25，求得渐近线方程可得=，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的准线为x=﹣5，可得双曲线﹣=1的左焦点为（﹣5，0），即c=5，即a2+b2=25，又渐近线方程为y=±x，由题意可得=，解得a=3，b=4，可得双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（）A．12+2πB．14+2πC．14+π D．16+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个球的，下面是一个长方体．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个球的，下面是一个长方体．∴该几何体的表面积=2×（2×2+1×2）+1×2+1×2+=14+π．故选：C．11．直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，]B．[0，]∪[，π]C．（0，]∪[，π） D．[0，]∪[，π）【考点】直线的一般式方程．【分析】设直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角为θ，可得tanθ=﹣，对a分类讨论，利用基本不等式的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：设直线2ax+（a2+1）y﹣1=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，a=0时，tanθ=0，可得θ=0；a＞0时，tanθ≥=﹣1，当且仅当a=1时取等号，∴θ∈；a＜0时，tanθ≤1，当且仅当a=﹣1时取等号，∴θ∈；综上可得：θ∈∪．故选：D．12．若关于x的不等式sin（x+1）≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】设x+1=t，则sint≤at的解集为[0，+∞），根据函数y=sinx与y=ax的图象关系解答即可．【解答】解：由已知，设x+1=t，则sint≤at的解集为[0，+∞），根据函数y=sinx与y=ax的图象关系，当x≥0时，切线斜率y′=cosx的最大值为1，所以要使sin（x+1）≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），只要a≥1；故选：D．二、填空题13．已知函数f（x）=x3+ax，若f（2）=10，则a=1．【考点】函数的值．【分析】将x=2代入f（x）的表达式，得到8+2a=10，解出a的值即可．【解答】解：已知函数f（x）=x3+ax，若f（2）=10，即f（2）=8+2a=10，则a=1，故答案为：1．14．已知tanα=2，则sin2（+α）﹣sin（3π+α）cos（2π﹣α）=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，代入tanα=2计算即可得解．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2（+α）﹣sin（3π+α）cos（2π﹣α）=cos2α+sinαcosα====．故答案为：．15．已知=（1，t），=（t，﹣6），则|2+|的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算便可得出，从而进行数量积的坐标运算即可求出，这样配方即可求出5（t2﹣4t+8）的最小值，从而得出的最小值．【解答】解：=（2+t，2t﹣6）；∴=5（t2﹣4t+8）=5（t﹣2）2+20；∴t=2时，取最小值20，即取最小值．故答案为：．16．如图，△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=60°，△ADC是锐角三角形，DA+DC的取值范围为．【考点】正弦定理．【分析】在△BAC中，由余弦定理可得：AC2=42+22﹣2×4×2×cos60°，AC=2．在△ADC中，设∠CAD=α，则∠ACD=120°﹣α．由于△ADC是锐角三角形，可得30°＜α＜90°．由正弦定理可得：===4．化简整理即可得出．【解答】解：在△BAC中，由余弦定理可得：AC2=42+22﹣2×4×2×cos60°=12．∴AC=2．在△ADC中，设∠CAD=α，则∠ACD=120°﹣α．∵△ADC是锐角三角形，∴0°＜α＜90°，0°＜120°﹣α＜90°，可得30°＜α＜90°．由正弦定理可得：===4．∴AD=4sin，DC=4sinα，∴AD+DC=4sin+4sinα===4sin（α+30°），∵30°＜α＜90°，∴60°＜α+30°＜120°，∴sin（α+30°）∈．∴AD+DC∈．故答案为：．三、解答题17．等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a3•a4=a12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由已知a3•a4=a12，求得d=1，即可写出通项公式；（2）b n=a n•2n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，采用乘以公比错位相减法，求得T n．【解答】解：a3•a4=a12．（a1+2d）（a1+3d）=（a1+11d），解得：d=1，a n=n，数列{a n}的通项公式，a n=n；b n=a n•2n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，T n=n•2n+1﹣2n+1+2=（n﹣1）2n+1+2∴T n=（n﹣1）2n+1+2．18．某高中为了解全校学生每周参加体育运动的情况，随机从全校学生中抽取100名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下：（2）①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数；②若该校有学生3000人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表，作出频率分布直方图即可；（2）①利用频率分布直方图求出中位数与平均数；②根据频率分布直方图，求出每周参与体育运动的时间不低于8小时的频率与频数．【解答】解：（1）根据频率分布表，作出频率分布直方图，如图所示：（2）①∵0.24+0.40＞0.5，∴中位数在区间[4，8）内，设中位数为x，则0.24+（x﹣4）×0.1=0.5，解得x=6.6，即估计该校学生每周参与体育运动时间的中位数为7.6小时，平均数为2×0.24+6×0.4+10×0.28+14×0.06+18×0.02=6.88；②根据频率分布直方图得，该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的频率是：0.28+0.06+0.02=0.36，∴估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数是3000×0.36=1080．19．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD 的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．【考点】直线与平面平行的性质．【分析】（1）由BD是AC边上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此证明BD⊥平面PCD，即可证明PE⊥BD；（2）连接BE，交DM与点F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，证明△DEF是等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出的值即可．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，∴BD⊥CD，BD⊥PD，又PD∩CD=D，∴BD⊥平面PCD，又PE⊂平面PCD中，∴BD⊥PE，即PE⊥BD；（2）如图所示，连接BE，交DM与点F，∵PE∥平面DMN，∴PE∥NF，又点N为PB中点，∴点F为BE的中点；∴DF=BE=EF；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF是等边三角形，设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；∴==．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上的任意一点作圆C的切线l与椭圆E交于A，B两点，都有OA⊥OB（O为坐标原点），求r的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和短轴的概念，结合a，b，c的关系，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）讨论切线的斜率不存在和为0，求得A，B的坐标，由垂直的条件可得r；证得圆x2+y2=上任一点（m，n）的切线与椭圆的交点A，B，都有OA⊥OB．设出切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，即可得到半径r的值．【解答】解：（1）由题意可得e==，2b=2，即b=1，a2﹣c2=b2=1，解得c=，a=2，即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）当切线l的斜率不存在，即l：x=r时，代入椭圆方程可得A（r，），B（（r，﹣），由OA⊥OB，可得r2﹣（1﹣）=0，解得r=；当当切线l的斜率为0，即l：y=r时，代入椭圆方程可得A（2，r），B（﹣2，r），由OA⊥OB，可得r2﹣4（1﹣r2）=0，解得r=；只要证得圆x2+y2=上任一点（m，n）的切线与椭圆的交点A，B，都有OA⊥OB．由两直线垂直的条件可得切线的方程为mx+ny=（nm≠0），联立椭圆方程，消去y，可得（n2+4m2）x2﹣x+﹣4n2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，即有y 1y 2=（﹣mx 1）（﹣mx 2）=（+m 2x 1x 2﹣m （x 1+x 2））=[+m 2•﹣m •]=，则x 1x 2+y 1y 2=+===0，即OA ⊥OB ．故r=．21．已知函数f （x ）=lnx +x 2．（1）若函数g （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a ＞1，h （x ）=e 3x ﹣3ae x ，x ∈[0，ln2]，求h （x ）的极小值． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）先将g （x ）在（0，+∞）上递增，转化成f ′（x ）≥0对x ∈（0，+∞）恒成立，最后根据基本不等式求最值的方法可求出实数a 的取值范围；（2）求出函数的导数，h'（x ）=3e 3x ﹣3ae x =3e x （e 2x ﹣a ），令h'（x ）=0得e 2x =a ，故，分当0≤x ＜时与当x ＞时，再讨论导数的正负与单调性的规律，得出极值．【解答】解：（1）∵g （x ）=f （x ）﹣ax=lnx +x 2﹣ax ，定义域：（0，+∞）∴g'（x ）=∵函数g （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域内为增函数，g'（x ）=≥0在（0，+∞）恒成立，即a ≤在（0，+∞）恒成立，令t （x ）=，只需a ≤t （x ）最小值即可，∵x ＞0，∴当且仅当=2x ，时上式取等号，∴t （x ）最小值=，∴a ．（2）由（1）以及条件得：1＜a ≤， ∵h （x ）=e 3x ﹣3ae x ，∴h'（x ）=3e 3x ﹣3ae x =3e x （e 2x ﹣a ），令h'（x ）=0得e 2x =a ，∴，∵1＜a≤，∴，∴≤=，∴，当0≤x＜时，2x＜lna，∴e2x＜e lna=a，∴e2x﹣a＜0，∴h'（x）＜0，∴h（x）在[0，]上递减；当x＞时，2x＞lna，∴e2x＞e lna=a，∴e2x﹣a＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在[，ln2]上递增；∴当时，函数h（x）取极小值，∴=﹣3a=﹣=．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．2016年9月10日。
安徽省合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学文科本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一,选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1,函数2()12sin2xf x =-的最小正周期是( ) ...2.42A B C D ππππ2,以双曲线2213x y -=的一条准线为准线,顶点在原点的抛物线方程是( ) 22222222.66.66.22.33A y x y x B x y x y C y x y xD y x y x==-==-==-==-或或或或3,已知,a b 为直线,,,αβγ为平面①,,//a b a b αα⊥⊥则;②,,//a a αβαβ⊥⊥则 ③,,//γαγβαβ⊥⊥则;④,,//a a ααββ⊥⊥则以上结论正确的是( )A ,①④B ,①②C ,③④D ,②③ 4,圆222x y r +=(r 是半径长)与2268110x y x y ++--=相交,则r 的取值范围是( ),(1,11),(1,),(0,),(0,11)A B C D +∞+∞5,238(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++⋅⋅⋅++的展开式中2x 项的系数等于( ),56,84,36,28A B C D6,将函数sin()3y x π=+的图像向右平移6π个单位,再向上平移2个单位所得图像对应的函数解析式是( ),sin()2,sin()226,sin()2,sin()226A y xB y xC y xD y x ππππ=++=++=+-=+-7,函数1xy x =-的反函数图像是( )8,下列不等式中恒成立的个数有( ) ①12(0)x x x +≥≠;②(0)c c a b c a b <>>>;③(,,0,)a m a a b m a b b m b+>><+;④||||2a b b a a ++-≥,4,3,2,1A B C D9,设全集{(,U x y x=∈∈,则点(1,4)()U P AC B ∈的充要条件是( ),2,9,2,9,2,9,2,9A a bB a bC a bD a b >><>><<<10,设32(0)()22(0)x x x f x x -⎧+<⎪=⎨⎪≥⎩,则1()2f x ≥的解集是( ) 1111,(,][1,),[1,],(,1][,),[,1]2222A B C D -∞-+∞--∞-+∞-11,由1、2、3这三个数字组成的三位数中,有重复数字的三位数共有( )个,27,23,21,18A B C D12,若函数()f x 满足:()(2)f x f x =+且当[1,3]x ∈时,()|2|f x x =-,则方程5()log f x x =的根的个数是( ),1,2,3,4A B C D第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二,填空题(共4小题,每小题4分,共16分)13,若三点(1,3),(,0),(0,1)A B a C 共线,则a 的值等于__________.14,从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图:若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为_________.15,正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4,侧棱长为2,过正三棱柱111ABC A B C -底面一条棱BC 作一平面与底面ABC 成60的二面角,则该平面与面111A B C 所得截线段长等于__________. 16,实数x 、y满足442(22)0x y x y+-+=,22x y m =+,则m 的取值范围是__________.三,解答题(共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17,(满分12分) 已知,在如图所示的几何体ABCDE中,EC ABC ⊥面,DB ABC ⊥面,2CE CA CB DB ===,90ACB ∠=,M 为AD 的中点.(1)证明:EM AB ⊥; (2)求直线BM 和平面ADE 所成角的大小.18,(满分12分)数列{}n a 满足:*12213311,,().222n n na a a a a n N ++===-∈ (1)记1n n n d a a +=-,求证:{}n d 是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)求{}n a 的前n 项和n S .19,(满分12分)某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目,这三个项目投资是否成功相互独立,预测结果如下表:(1)求恰有一个项目投资成功的概率; (2)求至少有一个项目投资成功的概率. 20,(满分12分)如图,平面四边形ABCD 中,13AB =,三角形ABC 的面积为25ABCS=,3cos 5DAC ∠=,120AB AC =,求: (1)AC 的长; (2)cos BAD ∠21,(满分12分)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是椭圆上一点,1260F PF ∠=,设12||||PF PF λ=. (1)求椭圆离心率e 和λ的关系式;(2)设Q 是离心率最小的椭圆上的动点,若||PQ的最大值为求椭圆的方程. 22,(满分14分) 已知函数321()(2)41,()532mf x mx x xg x mx =-+++=+. (1)当0m >,求函数()f x 的单调增区间;(2)是否存在0m <,使得对任意的1x 、2x [1,2]∈都有12()()1g x f x -≤,若存在,求m 的范围;若不存在,请说明理由.。
安徽省合肥市2018届高三第三次教学质量检测数学（文）试题考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交，第I卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若1ia bii=++（a、b∈R，i为虚数单位），则a+b=（）A．32B．l C．0 D．-1 2．函数f（x）=1n（x -1））A．（1,2）B．[1,2）C．（1,2] D．[1,2] 3．若等差数列{a n}的前n项和为S n ,且S3=12，a1 =2，则a4=（）A ．20B ．10C ．6D ．84．空间中，若a 、b 、c 为三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，则下列ss 正确的为（ ）A ．若 a ⊥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，a ∥β，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ5．"1"x ≥是1"2x x+≥（ ） A ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆C ：（x －l ）2+y 2=l 与直线l :x －2y+1=0相交于A 、B 两点，则|AB|=（ ）A ．5B ．5C ．5D ．57．记直线x －3y －l=0的倾斜角为α，曲线y=1nx 在（2，1n2）处切线的倾斜角为β，则αβ+=（ ） A ．2πB ．4πC ．34πD ．54π 8．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 图像如图所示，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则不等式()f x x'>0的解集为（ ） A ．（-∞,-l ）U （0,1） B ． （-∞，-1）U （1,+∞） C ．（-1,0）U （0,1）D ．（-l,0）U （1,+ ∞）9．已知M （x ，y ）落在双曲线22132y x -=的两条渐近线与抛物线y 2= -2 px （p>0）的准线所围成的封闭区域（包括边界）内，且点M 的坐标（x ，y ）满足x+2y+a=0．若a 的最大值为2，则p 为（ ） A ． 2 B ． 4C ． 8D ． 1610．矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，点E 、F 分别为BC 、CD 边上动点，且满足EF=1，则AE uu u r ·AF u u u r的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．5第Ⅱ卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11．定义在R 上的奇函数f （x ），若x>0时，f （x ）= x（2x －3），则f （－1）=____ ． 12．执行右边的程序框图，若输出的结果为2，则输入的x 为 。
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数(其中为虚数单位)，则=A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】分析：化简复数，利用复数模的公式求解即可.详解：因为，所以=，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，利用集合交集的定义进行计算即可.详解：因为或，所以，又因为，则，故选C.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3. 已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是A. -1，3B. ，3C. -1，，3D. ，，3【答案】B【解析】分析：分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果.详解：因为在上单调递增，所以，排除选项；当时，为非奇非偶函数，不满足条件，排除，故选B.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.4. 若正项等比数列满足，则其公比为A. B. 2或-1 C. 2 D. -1【答案】C【解析】分析：设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，即，可解得的值，根据正项数列，排除不合题意的公比即可.详解：根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，即，解可得或，由数列为正项等比数列，可得，故选C.点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5. 运行如图所示的程序框图，则输出的等于A. B. C. 3 D. 1【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：当时，满足进行循环的条件，故；当时，满足进行循环的条件，故；当时，满足进行循环的条件，故；当时，不满足进行循环的条件，退出循环，输出，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能可得必要性不成立. 详解：由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 7. 右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为个，落在圆内的豆子个数为个，则估计圆周率的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设正六边形边长为，则内切圆的半径为，求出圆的面积和正六边形的面积，由几何概型概率公式列方程可得结果.详解：设正六边形边长为，则内切圆的半径为，由几何概型概率公式可得，，故选D.点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.8. 函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项；由，可排除选项，从而可得结果. 详解：因为，所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，可排除选项,由，可排除选项，故选D.点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9. 若的三个内角所对的边分别是，若，且，则A. 10B. 8C. 7D. 4【答案】B【解析】分析：利用诱导公式、两角和与差的正弦公式将展开，结合正弦定理和余弦定理进行化简可得.详解：,即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即，即，则，故选B.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及两角和与差的正弦公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10. 已知双曲线(，)的上焦点为，是双曲线虚轴的一个端点，过，的直线交双曲线的下支于点.若为的中点，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设出以及的坐标，求出的坐标，利用在双曲线上，以及勾股定理列出方程组，求出，从而可得结果.详解：双曲线的上焦点为是双曲线虚轴的一个端点，过的直线交双曲线的下支于点，若为的中点，且，可得则，由题意可得，解得，所以双曲线的方程为，故选C.点睛：本题主要考查待定系数求双曲线方程，属于难题.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...11. 我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A. B. 40 C. D.【答案】D【解析】分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.详解：由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为，分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为，故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若函数在区间上是非单调函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数在区间上是非单调函数，等价于在有解，即在有解，换元后，求出的范围即可.详解：,,在区间上是非单调函数，在有解，即在上有解，即在有解，设，在上有解，时，分别有，所以，即实数的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查导数的应用及数学的转化与划归思想，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，将“不单调”转化为“方程有解”，再转化“求函数值域”，是解题的关键.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知，，则的值等于_________.【答案】2【解析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误. 详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.14. 若实数满足条件，则的最大值为______.【答案】8【解析】请在此填写本题解析!15. 已知，.当最小时，___________.【答案】【解析】分析：由，可得,求出，可得，利用二次函数的性质可得结果.详解：，得，，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查平面向量的运算及利用二次函数求最值，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．16. 已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则__________.【答案】3027【解析】分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.详解：数列为等差数列，可设，化为，，联立解得：，则，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数的图象.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)比较与的大小.【答案】(1);(2).【解析】分析：(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，进而可得结果；(Ⅱ)利用三角函数的性质，判断出与的符号，即可得结果.详解：(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，即.(Ⅱ)，而.∵，∴.点睛：本题考查三角函数图象变换、性质、诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于而言，即或；横向伸缩或平移是相对于而言，即（纵坐标不变，横坐标变为原来的倍），(时，向左平移个单位；时，向右平移个单位)．18. 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：，其中.【答案】(1)见解析;(2)(i) 男生有6人，女生有2人. (ii).【解析】分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；(ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.详解：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率.点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19. 如图，侧棱与底面垂直的四棱柱的底面是梯形，，，，，，点在棱上，且.点是直线的一点，.(Ⅰ)试确定点的位置，并说明理由；(Ⅱ)求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】分析：(Ⅰ)在棱上取点，使得，可证明四边形为平行四边形，从而，过作交于，连接，则平面平面，由此得到平面即为所求，此时；(Ⅱ)利用，结合棱锥的体积公式可得结果.详解：(Ⅰ)如图，在棱上取点，使得.又∵，∴.∴四边形为平行四边形，∴.过作交于，连结，∴平面，平面，∴平面即为所求，此时.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面，∴.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20. 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1);(2)6.【解析】分析：(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线.由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得. 详解：(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，∴椭圆的方程为.(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线.由得，.令得，.联立与，化简得.设A()，B()，则∴，而原点O到直线的距离∴.当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，∴.综上所述，的面积为定值6.点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数(为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析. (2).【解析】分析：(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，点斜式可得切线方程为直线的方程为，可得直线经过定点；(Ⅱ)分两种情况讨论的范围，函数有两个极值点等价于有两个不同的解，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，列不等式可筛选出函数有两个极值点的实数的取值范围.详解：(Ⅰ)∵，∴，.又∵，∴直线的方程为，∴直线经过定点(-2，0).(Ⅱ)∵，∴.设，则.当时，，即在上单调递增，则最多有一个零点，函数至多有一个极值点，与条件不符；当时，由，得.当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减，∴，即.令，解得.∵，，∴，∵在上单调递增，∴在上有唯一零点，当时，；当时，.∴在上有唯一极值点.又∵当时，.设，其中，则，∴，∴.即当时，，而，∵在上单调递减，∴在上有唯一零点，当时，；当时，.∴在上有唯一极值点.综上所述，当有两个极值点时，.点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线及圆的极坐标方程；(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(Ⅰ)由直线的参数方程得普通方程为，利用可得直线及圆的极坐标方程；(Ⅱ)将直线：，与圆：联立得或，不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且，于是.于是，.详解：(Ⅰ)由直线的参数方程得，其普通方程为，∴直线的极坐标方程为.又∵圆的方程为，将代入并化简得，∴圆的极坐标方程为.(Ⅱ)将直线：，与圆：联立，得，整理得，∴.不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.于是，.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：(Ⅰ)对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，从而可得，令，利用基本不等式转化求解证明即可.详解：(Ⅰ)，即.(1)当时，不等式可化为.又∵，∴；(2)当时，不等式可化为.又∵，∴.(3)当时，不等式可化为.又∵，∴.综上所得，，或，即.∴原不等式的解集为.(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，∴，即.令，则，，，原不等式得证.点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合01x A xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}22B x x x =<，则“x A B ∈”是“()0,1x ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了”（ ） A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里3.将函数()cos f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．3πB ．23π C ．8π D ．56π 4.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3272π-B ．183π-C ．273π-D ．3182π-5.已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，6b =，则2a b +在a 方向上的投影为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．76.如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始x 分钟后，瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =，如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数()h f x =的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，数列{}n b 是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{}n b a 是（ ） A ．公差为5的等差数列 B ．公差为6的等差数列 C ．公比为6的等比数列 D ．公比为8的等比数列8.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．118D ．118-9.已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当[)2,0x ∈-时，()()22log xf x x =+-，则()2017f = （ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．210.已知不等式422xxay y +-≤+对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式()22log 312log 31xxf -<--的解集为（ ） A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()()1,00,3- D ．()(),00,1-∞12.已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的取值范围是 ．14.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 为DE 中点，则AF BC = ．15.数列{}n a 满足112, 02121, 12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则2016S = ．16.在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-（*n N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13log n n b a =，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 18. （本小题满分12分）已知向量()1,sin a x =，cos 2,sin 3b x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1cos 22f x a b x =-． （1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c ，若c =()0f C =，求ABC∆周长的取值范围． 19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF DB P ．（Ⅰ）已知AB BC =，AE EC =．求证：AC FB ⊥；（Ⅱ）已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH P 平面ABC ． 20. （本小题满分12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（Ⅰ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 21. （本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f f 处的切线的斜率为1，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性． 22. （本小题满分12分）已知函数()()22xf x ax x e =++（0a >），其中e 是自然对数的底数．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]2,2-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1a =时，求整数t 的所有值，使方程()4f x x =+在[],1t t +上有解．合肥一中2018届高三第一学期段三考试数学（文科）参考答案一、选择题1-5:C B A D D 6-10:C D B A D 11、12：D B 二、填空题13.[]1,9 14.12- 15.100816.三、解答题17.（本小题满分10分）（1）当1n =时，由1121S a =-得：113a =．（2）13n n a =（*n N ∈），11331log log 3nn n b a n ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭．3n n n n a b ∴=231233333n n nT ∴=++++；231112133333n n n n n T +-∴=++++ 2311111121111123331333333322313n n n n n n n nn T +++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭∴=++++-=-=- ⎪⨯⎝⎭- 32334434n n n T +∴=-<⨯ 18.（本小题满分12分） （1）()2171cos 2sin cos 2sin 23262f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由7222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得572663k x k πππππ-≤+≤-，k Z ∈ 所以，函数()f x 的单调递增区间为5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）由（1）()71sin 2062f C C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又C 为ABC ∆的内角，所以711266C ππ+=，3C π=又2c =，由正弦定理可得2sin sin sin a b cA B C===，2sin a A ∴=，2sin b B =，232sin 2sin 2sin sin 2sin 326a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-==+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭3C π=，203A π∴<<，5666A πππ∴<+<，1sin 126A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以ABC ∆的周长的取值范围为(．19.（本小题满分12分）（1）证明：因为EF BD P ，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为AE EC =，E 为AC 的中点，所以DE AC ⊥，同理可得BD AC ⊥，又因为BDDE D =，BD ⊂平面BDEF ，DE ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，因为FB ⊂平面BDEF ，所以AC FB ⊥．（2）解：设FC 的中点为I ，连接GI 、HI ，在C E F ∆中，G 是CE 的中点，所以GI EF P ，又EF DB P ，所以GI DB P ，又GI ⊄平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，所以GI P 平面ABC ，同理，HI P 平面ABC ，又G I H I I =，所以平面GHI P 平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH P 平面ABC20.（本小题满分12分）（Ⅰ）当时，该项目获利为S ，则()22112002008000040022S x x x x ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭，∴当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩．当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x取得最小值240； 当[)144,500x ∈时，1800002002003002y x x x x x=+-≥-= 当且仅当1800002x x =，即400x =时，yx取得最小值300 因为240300<，所以当每月处理量为120吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 21.（本小题满分12分）（1）由()()22ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为{}0x x >，且()()22a f x x a x '=-++．由题意，()()24212af a '=-++=，解得2a =． （2）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==（0x >） 令()0f x '=，得11x =，22ax = ①当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x << 所以，()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数 ②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得1x >或02ax <<，令()0f x '<，得12ax << 所以，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上为增函数③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在()0,+∞上为增函数 ④当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2ax >，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数 22.（本小题满分12分）（1）()()222x f x x x e =++，则()()()()2253123x xf x x x e x x e '=++=++令()0f x '=，1x =-，32-()32352f x f e -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭极大值，()()113f x f e -=-=极小值（2）问题转化为()()22130xf x ax a x e '⎡⎤=+++≥⎣⎦在[]2,2x ∈-上恒成立；又0xe > 即()22130ax a x +++≥在[]2,2x ∈-上恒成立；令()()2213g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a--≤-，即102a <≤时，()g x 在[]2,2-上单调增，()()min 210g x g ∴=-=> 102a ∴<≤②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在12,12a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调减，在11,22a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增，()221120a a ∴∆=+-≤ 解得：11a ≤≤+ 112a ∴<≤+综上，a 的取值范围是0,1⎛ ⎝⎦． （3）1a =，设()()224x h x x x e x =++--，()()2331x h x x x e '=++-令()()2331x x x x e ϕ=++-，()()256x x x x e ϕ'=++令()()2560xx x x e ϕ'=++=，得2x =-，3-()()33310x e ϕϕ∴=-=-<极大值，()()21210x e ϕϕ=-=-<极小值 ()1110eϕ-=-<，()020ϕ=> ∴存在()01,0x ∈-，()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>()h x ∴在()0,x -∞上单调减，在()0,x +∞上单调增又()41440h e -=>，()38310h e-=-<，()020h =-<，()1450h e =-> 由零点的存在性定理可知：()0h x =的根()14,3x ∈--，()20,1x ∈ 即4t =-，0．。
