高等数学测试题及解答下部分7-12章
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大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题(每题2分,共20分)1. 设函数f(x)在区间I上单调递增,若a < b,则必有__________。
【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间(-∞,+∞)上的最小值为__________。
【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9,则f'(x) =__________。
【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}],则矩阵A的行列式det(A) = __________。
【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。
【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N,则N是__________。
【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续,且f(a) = f(b),则函数f(x)在区间(a,b)上必有零点,此结论称为__________。
【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减,若a < b,则必有__________。
【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x),则f''(x) =__________。
【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}],则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。
【答案】(1/det(A))[c_{ij}],其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题(每题2分,共20分)1. 下列函数在区间(0,1)上单调递增的是__________。
精品文档n 02《高等数学》试卷1 (下)•选择题(3分10)n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为().n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是().A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ,贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是( 4.两个向量 17.若p 级数—收敛,则( )1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ,则有(A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. : a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是()n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为()•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题(4分5)2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题(5分6)1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ,求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定,求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ,其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题(10分2)1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ,其中点B 2, 1,1,则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1,贝U ------x y4•如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积( R 为半径)2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍,且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时,用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 (下)一.选择题(3分10)1.点 M 1 4,3,1,M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 ( ).2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0,则两平面的夹角为(试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为( A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为( A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为( ) A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2,则—1 x 1,2 ( ).A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的,则( ).n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋( ). n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为 ( A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题(4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行,则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题(5分6)1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题(10分2)2.设z u2v uv2,而u xcosy,v xsin y,求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定,求5.求微分方程y 3y2ax(a 0)所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图,以初速度v。
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C ))]()()[(x h x g x f +;(D ))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。
大学高等数学下考试题库(附答案)一、选择题1. 设函数 f(x) 在区间 I 上连续,则下列命题正确的是()A. 函数 f(x) 在区间 I 上必定存在零点B. 函数 f(x) 在区间 I 上必定单调C. 函数 f(x) 在区间 I 上必定有界D. 若f(a)· f(b) < 0,则函数 f(x) 在区间 (a,b) 内至少存在一点 c,使得 f(c) = 0答案:D2. 设函数 f(x) 在区间 I 上可导,则下列命题正确的是()A. 函数 f(x) 在区间 I 上必定连续B. 函数 f(x) 在区间 I 上必定单调C. 函数 f(x) 在区间 I 上必定有界D. 若f'(a)· f'(b) < 0,则函数 f(x) 在区间(a,b) 内至少存在一点 c,使得 f'(c) = 0答案:A3. 下列极限中,极限存在的是()A. lim(x→∞) (1 + 1/x)^xB. lim(x→0) sin x/xC. li m(x→1) (x - 1)/(x^2 - 1)D. lim(x→π) (π - x)/x答案:B4. 下列函数中,奇函数的是()A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x答案:A5. 下列导数中,导数不存在的是()A. f(x) = x^2 的导数B. f(x) = sin x 的导数C. f(x) = ln x 的导数D. f(x) = |x| 的导数答案:D二、填空题1. 设函数 f(x) 在区间 I 上连续,若f(a)· f(b) < 0,则函数 f(x) 在区间 (a,b) 内至少存在一点 c,使得 f(c) = ______.答案:02. 设函数 f(x) 在区间 I 上可导,若f'(a)· f'(b) < 0,则函数 f(x) 在区间 (a,b) 内至少存在一点 c,使得 f'(c) = ______.答案:03. 极限lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = ______.答案:e4. 极限lim(x→0) sin x/x = ______.答案:15. 函数 f(x) = |x| 的导数 f'(x) = ______.答案:x / |x|(x ≠ 0)三、解答题1. 求极限lim(x→0) (sin x - x)/x^2.答案:lim(x→0) (sin x - x)/x^2 = -1/22. 求函数 f(x) = x^3 的单调区间.答案:函数 f(x) = x^3 在 (-∞,+∞) 上单调递增.3. 求函数 f(x) = ln x 的定义域.答案:函数 f(x) = ln x 的定义域为 (0,+∞).4. 求极限lim(x→π) (π - x)/x.答案:lim(x→π) (π - x)/x = -15. 设函数 f(x) 在区间 I 上连续,且f(a)· f(b) < 0,证明函数 f(x) 在区间 (a,b) 内至少存在一点 c,使得 f(c) = 0.答案:根据零点存在性定理,函数 f(x) 在区间(a,b) 内至少存在一点 c,使得 f(c) = 0.四、应用题1. 一物体从静止开始沿着直线运动,其加速度a(t) = 4t(单位:m/s^2),求物体在时间 t 内的位移 s(t).答案:s(t) = 1/2 a(t) t^2 = 1/2 4t t^2 = 2t^3(单位:m)2. 一质点在平面直角坐标系中的运动方程为 x(t) = t^2 - 3t + 2,y(t) = t^3 - 2t^2 + t,求质点在时间 t 内的速度 v(t) 和加速度 a(t).答案:v(t) = x'(t) = 2t - 3,a(t) = v'(t) = 2(单位:m/s)3. 某企业生产一种产品,固定成本为 10000 元,每生产一件产品的成本为 50 元,设该企业的生产量为x(件),求该企业的利润函数 L(x).答案:L(x) = 销售收入 - 固定成本 - 变动成本= (50x) - 10000 - 50x = -10000(元)。
第七章习题答案习题7.01.下列各种情形中,P 为E 的什么点?(1)如果存在点P 的某一邻域()U P ,使得()⊂c U P E (c E 为E 的余集); (2)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠; (3)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有. 解 (1)P 为E 的外点;(2)P 为E 的边界点;(3)P 为E 的聚点。
2.判定下列平面点集的特征(说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等?)并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集,是半开半闭区域,是无界集,导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ;(2)既不是开集也不是闭集,是半开半闭区域,是有界集,导集为(){}22,620≤+≤x y x y ,边界集为(){}2222,=6=20++,x y x y x y ;(3) 是闭集,是半开半闭区域,是无界集,导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ;是闭集,是闭区域,是有界集,导集为集合本身,边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解 令,=-=yu x y v x,解得,11==--u uv x y v v,故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ,即()()21+,1=-u v f u v v ,所以,()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y,试求(),f tx ty .2. 解 因为()22,cot =+-y f x y x y xy x,所以,()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ;(2)(){},0->x y x y ;(3)(){}2,≥x y x y ;(4)(){}22222,<++≤x y r x y z R ;(5)(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解 (1)()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ;(2)()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e (3)()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y (4)()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y(5)()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy(6)()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解 令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ,k 取不同值,极限不同,故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ;令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ;01≠,故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数)在何处间断?6. 解 因为=y z 是二元初等函数,且函数只在点集(){,x y y 上无定义,故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明 对0∀>ε,要使220-=≤=<ε2<ε,取=2δε<δ0-<ε,所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ,求()1,0'x f ,()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==,x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ,(2) ()1=+xz xy , (3) ()222ln =+z y x y ,(4) ln tan=y z x, (5) ()222ln =+z x x y ;(6)=z (7) ()sec =z xy ;(8) ()1=+yz xy ;(9) ()arctan =-zy x y ;(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解 (1)2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂(2)因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭(3)()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+(4)222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (5)()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+(6)z z x y ∂∂====∂∂(7)()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂(8)()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ (9)()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-(10)因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ,求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明 因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数:(1)已知33sin sin=+z x y y x,求2∂∂∂zx y;(2)已知ln=xz y,求2∂∂∂zx y;(3)已知(ln=z x,求22∂∂z x和2∂∂∂z x y;(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解(1)3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂(2)ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭(3)(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ (4)22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ,求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解 因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ;(2) ()2222+=+x y xyz x y e;(3) ()arcsin0=>xz y y;(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ;1.解 (1)()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--(2)()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (3)2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂(4)22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ , ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量,并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ,()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ,()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ,k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在,故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续,同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解 令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为,内高为,内半径为的无盖圆柱形容器,求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解 设容器底面积半径为r ,高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ,则斜边z =,zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设,,,求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设,而,,求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设,,,求,. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设,而,,求,. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1);(2);(3);(4).6.解 (1)()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y(2)121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z (3)1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z (4)1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数,,(其中具有二阶连续偏导数):(1),(2). 7.解(1)22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++(2)()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数,证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数,求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。
学生填写): 姓名: 学号: 命题: 审题: 审批: ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- (答题不能超出密封装订线)班级(学生填写): 姓名: 学号: ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ (答题不能超出密封线)4.求方程y y y y '='+''2)(的通解.(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。
(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。
(4分)班级(学生填写): 姓名: 学号: ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ (答题不能超出密封线))7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。
(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线,使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解.(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。
高等数学A C二丿期耒夏习題一.填空题1、 __________________________________________________________________________________ 设A = 2a + 3b,B = 3a-b, \a\ = 2,问= 4,(©%)=专,则A与直的夹角为____________________________ 。
2、过点(-1,4,3)H与直线兀-3 = * = 三平行的直线方程为________________________________ o3、方程兀2_4丁2+宓2=/儿当。
=0, b = 2;。
= 一4, & = -2;。
=0, b = 0时依次表示的曲面是__________________ ,________________ , __________________ O4、 ____________________________________________________ 设 /(%, y) = x + (y - l)arcsin ,则/Y(x,l)= , f y(0,1)=___________________________________________ 。
5、 _________________________________________________________________ 设u = x2 -xy + y2,花(1,1),I = (cos a, sin a),则%心= ____________________________________________ ,在 __________ 方向上,方向导数最大;在_____________ 方向上,方向导数有最小值;在______________ 方向上,方向导数为();grad M(/^)= _______________________ o6、 ____________________________________________________ 设x2 sin y-Jy\nz = 3,则乎= _ ,李=。
第七单元 空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知→a 与→b 垂直,且12|||,5||==→→b a ,则=+→→||b a _________,=-→→||b a _________。
2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角,而与oz 轴组成的角是它们的两倍,那么这个向量的方向角为___________。
3、→→→→→→→→→→→⨯-+⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。
4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直,则__________=k 。
5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。
6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--),则该平面方程为_________。
7、设平面092:=--+z ky x π,若π过点)6,4,5(--,则_______;=k 又若π与平面032=+-z y x 成︒45角,则__________=k 。
8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-,在oz 轴上的截距为2,则该平面的方程是___________。
9、若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直,则_________=k 。
10、设,2)(=⋅⨯→→→c b a 则___________)()]()[(=+⋅+⨯+→→→→→→a c cb b a 。
11、过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1,43,2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。
12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zy x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。
二、选择题1、下列命题,正确的是( )(A)→→→++k j i 是单位向量; (B)→-j 非单位向量; (C)22||→→=a a ; (D)→→→→→=⋅b a b a a 2)(。
2、若直线λ12111-=+=-z y x 和直线z y x =-=+1111相交,则=λ( )(A)1; (B)23; (C)45-; (D)45。
3、母线平行于轴且通过曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是( ) (A)1622=+y x ; (B)16322=-z y ; (C)162322=+z x ; (D)16322=+-z y 。
4、旋转曲面0322222=-+z y x 的旋转轴是( ) (A)oz 轴; (B)oy 轴; (C)ox 轴; (D)直线z y x ==。
5、两平面01111=+++D z C y B x A 与02222=+++D z C y B x A 重合的充分必要件是( )。
(A)212121C C B B A A ==; (B)212121,,C C B B A A ===; (C)21212121D D C C B B A A ===; (D)21212121,,,D D C C B B A A ====。
6、设→→→→++=CA BC AB D (其中均为非零向量),则=→||D ( ) (A) 0 ; (B)非零常数;(C)||||||→→→++CA BC AB ; (D)→→→++222||||||CA BC AB 。
7、设有直线⎩⎨⎧=+=-+=--=-,32,6:,182511:21z y y x L z y x L 则1L 与2L 的夹角为( ) (A)6π ; (B) 4π ; (C) 3π ; (D)2π。
8、设有直线⎩⎨⎧=+--=+++,03102,0123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π则直线L ( )(A)平行于π ; (B)在π上; (C)垂直于π; (D)与π斜交。
9、设一平面经过原点及)2,3,6(-,且与平面824++-z y x 垂直,则此平面方程为( ) (A)0322=-+z y x ; (B)0322=--z y x ;(C)0322=++z y x ; (D)1322=-+z y x 。
10、已知向量→→b a ,的模分别为2||,4||==→→b a 且24=⋅→→b a ,则=⨯→→||b a ( ) (A )22; (B )22; (C )24; (D )2。
11、设有非零向量→→b a ,,若→→⊥b a ,则必有( )(A)||||||→→→→+=+b a b a ; (B)||||→→→→-=+b a b a ; (C)||||→→→→-<+b a b a ; (D)||||→→→→->+b a b a 。
12、设→→→c b a ,,满足0=++→→→c b a ,则=⨯+⨯+⨯→→→→→→a c c b b a ( ) (A )0 ; (B )→→→⨯⨯c b a ; (C ))(3→→⨯b a ; (D )→→⨯c b 。
三、计算解答1、设单位向量→a 、→b 、→c 满足→→→→=++0)(c b a 试证:→→→→→→→→→→→→→→⨯-=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅b a a c a c c b c b b a b a 23))(())(())((2、试求点)4,2,1(-A 的关于(1)平面023=--z y x 的对称点; (2)关于直线z y x ==2的对称点。
3、求半径为3,且与平面0322=+++z y x 相切点)3,1,1(-A 的球面方程。
4、求过点)3,4,1(--并与下面两直线⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L 和⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=tz t y tx L 23142:2都垂直的直线方程。
5、求过点)4,0,1(-,平行于平面1043=+-z y x ,且与直线231zy x =-=+相交的直线方程。
6、求过直线223221-=-+=-z y x 且垂直于平面0523=--+z y x 的平面方程。
7、求平行于平面0566=+++z y x ,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面。
8、求通过两平面022:1=--+z y x π和01223:2=+--z y x π的交线,且与平面06323:3=-++z y x π垂直的平面方程。
9、判断下列两直线4332:1z y x L =+=和221211:2-=+=-z y x L 是否在同一平面内,若是,则求两直线的交点;若不是,试求它们的最短距离。
第七单元 空间解析几何与向量代数测试题详细解答一、填空题1、13 , 13 由向量加法的平行四边形法则及勾股定理易知.13512||22=+=+→→b a .13512||22=+=-→→b a2、,,2πγπβα===或.2,4πγπβα===由已知,21γβα==而.1cos cos cos 222=++γβα 0)1(cos cos 1cos 21cos 21cos 2=+∴=++++∴γγγγγ1cos -=∴γ或.0cos =γπγ=∴或2πγ=,,2πγπβα===∴或.2,4πγπβα===3、→→⨯c a 2 原式=→→→→→→→→→→→→→→⨯=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯c a a c a b b c b a c b c a 24、1±=k 1021.),2,1,(),1,1,(22121±=∴=-+∴⊥-==→→→→k k n n k n k n Θ。
5、0=-y x 设所求方程为0=+++d cz by ax ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=-+022200d c b a d c b a c b a0.==-=∴d c b a .0=-∴y x6、0922=+-+z y x )1,2,2(--到原点的向经为)1,2,2(--,取)1,2,2(--=→n 则所求平面方程为01)2)(2()2)(2(=-++-++-z y x 既.0922=+-+z y x7、235-将)6,4,5(--代入平面方程092=--+z ky x , 得091245=-+-k 解得2=k 取).2,,1(1-=→k n ).1,3,2(2-=→n 则.22145313221232)cos(222222221=+-=++++--=→→k k k k n n 两边平方解得235-=k 或235=k (舍去)。
8、012634=+-+z y x 设所求平面截距式方程为,123=++-zb y x 将)1,10,6(-代入 得 1211036=+-+-b 解得 4-=b 所以所求平面为1243=+-+-z y x , 即 012634=+-+z y x 。
9、43取),2,1,3(),5,1,2(21-=+=→→k s k k s 则由21→→⊥s s 得.431290)2(5132==∴=-+++⋅k k k k 10、4 这是向量运算问题,先用叉乘对加法的分配律得原式=)()()()()(→→→→→→→→→+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯+⨯a c b b b b c a b a ,其中→→→=⨯0b b 。
再用点乘对加法的分配律得原式=→→→→→→→→→→→→→→→→⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯a c b c c b a c a c c a a b a c b a )()()()()()(。
由于 ,0)(),,(=⋅⨯=→→→→→→c b a c b a 只要其中有两个向量相同,又),,(c b a 中相邻两向量互换则变号,于是原式=422)(2=⨯=⋅⨯→→→c b a 。
11、043=---z y x 所求平面的法向量→n 平行于所给直线的方向向量)1,3,1(-,取)1,3,1(-=→n ,则所求平面方程为0)1())2(3)1(=++-+--z y x ,即043=---z y x12、023=++-z y x 所求平面π过直线1L 因而过1L 上的点π);3,2,1(过1L 平行于,2L 于是π平行于不共线的向量)1,1,2(),1,0,1(21=-=→→ιι(分别是直线与的方向向量)。
于是平面π的方程0113102211=----z y x ,即023=++-z y x 为所求。
二、选择题1、选(C ) 因,3111||222=++=++→→→k j i 所以A 错;.1||=-→j 所B 错;22||),sin(||||→→→→→→==a a a a a a 所以选C ;)(→→→⋅b a a 方向与→a 相同,→→b a 2方向与→b 相同所以D 错。