二次曲线复习1

二次函数（一）——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、 知识点回顾1.函数概念小结2.待定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、 典例剖析考点1【二次函数的相关概念】例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x- (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²随堂练习11.下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠02.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.例3-2【密植问题】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学： ※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y ab-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线： 双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为：0x y ab±=．问题2：双曲线22221y x ab-=的几何性质?图形： 范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线：双曲线22221y x ab-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925xy-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185xy+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升： ※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※ 当堂检测1． 双曲线221168xy-=实轴和虚轴长分别是（ ）．A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3． 双曲线22148xy-=的离心率为（ ）．A ．1 B ． C D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．P 58~ P 60，文P 51~ P 53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质? 复习2：双曲线的方程为221914xy-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ． 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x +=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？※ 典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136xy-=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求A B ？ 思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214xy a+=与双曲线2212xya-=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214xym-=的渐近线方程为2y =±，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义； 3．直线与双曲线的位置关系．※ 当堂检测1．若椭圆2212516xy+=和双曲线22145xy-=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）． A ．212B ．84C ．3D ．212．以椭圆2212516x y+=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A.2211648xy-= B.221927xy-= C.2211648xy-=或221927xy-= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．A.1B.C. 1D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 5．方程221xy+=表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y ab-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．双曲线的简单几何性质随堂巩固1．双曲线19422=-yx的渐进线方程为（ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±=2．已知双曲线C 的两条渐进线方程为x y ±=，且过点)1,2(M ，则双曲线的方程为（ ） A ．122=-y x B ．222=-y x C ．122-=-yx D ．222-=-y x3．双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是4．已知双曲线1422=-ymx的一条渐近线方程为x y =，则实数m =5．已知P 是双曲线19222=-yax 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，设21F F 、分别为双曲线的左、右焦点.若32=PF ,则1PF = 6．已知双曲线与椭圆125922=+yx共焦点，它们离心率之和为514，则双曲线方程是强化训练1．已知双曲线12222=-by ax 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a by mx 的离心率互为倒数，那么以m b a 、、为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．已知双曲线13622=-yx的焦点21,F F ，点M 在双曲线上且x MF ⊥1轴，则1F 到直线2MF 的距离为（ ）A ．563 B ．665 C ．56 D ．653．双曲线192522=-yx和)259(192522<<-=+--k k ykx有（ ）A ．相同焦点B ．相同的渐进线C ．相同顶点D ．相等的离心率 4．已知双曲线)0(19222>=-m x m y 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为51，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．设1>a ，则1)1(2222=+-a yax 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)5,2(C ．)5,2(D ．)5,2(6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一条渐近线为)0(>=k kx y ，离心率为k e 5=，则双曲线方程为（ ）A ．142222=-a yax B ．152222=-ayax C ．142222=-by bxD ．152222=-by bx7．双曲线1251622=-yx的两条渐进线的夹角为8．已知圆0846:22=+--+y x y x C ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 9．已知双曲线的渐进线方程为x y 34±=，并且焦点都在圆10022=+yx 上，求双曲线的方程10．已知双曲线的离心率21,2F F e 、=是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上且SPF F ,6021=∠△21FPF =123，求双曲线的方程11．已知双曲线的中心在原点，焦点21F F 、在坐标轴上，离心率为2，且过)10,4(-M （1）求双曲线的方程（2）若点),3(m N 在双曲线上，求证：021=⋅NF NF （3）求△21NF F 的面积12．双曲线14922=-yx与直线1-=kx y 只有一个公共点，求k 的值第二课时1．双曲线112422=-xy的准线方程为（ ）A ．169±=x B ．49±=x C ．169±=y D ．49±=y2．已知双曲线9322=-y x ，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ．4 B ．332 C ．2 D ．23．若双曲线)0(116222>=-b by x的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．42 D ．434．若双曲线的两渐进线是x y 23±=，焦点)0,26()0,26(21F F 、-，那么它两准线间距离为（ ） A ．26138 B ．26134 C ．261318 D ．261395．双曲线两准线间距离等于半焦距，则离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．36．与曲线1492422=+yx共焦点，且与曲线1643622=-yx共渐进线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-yxB ．116922=-yxC ．191622=-xyD ．116922=-xy强化训练1．已知双曲线14:22=-yx C ，过点)1,1(P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ） A ．1 条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 2．双曲线191622=-yx的右准线与渐进线在第四象限的交点与右焦点连线的斜率（ ）A ．35- B ．53 C ．34 D ．433．已知双曲线1242522=-yx上一点M 到右准线的距离是10，2F 是右焦点，N 是2MF 的中点，O 坐标原点，则ON 等于（ ）A ．2 B ．2或7 C ．7或12 D ．2或124．设双曲线12222=-by ax 的右准线与渐进线交于B A 、两点，点F 为右焦点，若AB 以为直径的圆经过点F ，则该双曲线离心率为（ ）A ．332 B ．2 C ．3 D ．25．设双曲线12222=-by ax 与)0,0(12222>>=+-b a by ax 的离心率分别为21e e 、，则当b a 、在变化时，2221e e +的最小值是（ ）A ．2B ．42 C ．22 D ．46．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(]2,1 B ．[)+∞,2 C ．(]12,1+ D ．[)+∞+,127．双曲线两准线将实轴三等分，则双曲线的离心率为 8．已知：点)0,2(),0,3(F A ，在双曲线1322=-yx 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小9．设双曲线C 的渐进线方程为034=±y x ,一条准线为516=y ,求双曲线C 的方程10．设双曲线中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知)5,0(P 到双曲线上的点最近距离为2,求此双曲线的方程 11．在双曲线1121322-=-yx的一支上有不同的三点),()6,(),(33211y x C x B y x A 、、,与焦点)5,0(F 成等差数列(1)求31y y +的值(2)求证:线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标12．已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(- （1）求此双曲线（2）若直线系03=+--m k y kx （其中k 为参数）所过定点M 恰好在双曲线上， 求证：M F M F 21⊥13．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于B A ,两点 （1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值 （2）是否存在这样的实数a ，使B A ,两点关于直线x y 21=对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由 14．设双曲线)0(1:222>=-a yax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点B A 、（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围 （2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=,求a 的值。

高二数学同步辅导教材（第20讲）第八章 圆锥曲线方程专题讲座一、 二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系1t y tc x 222=++ 当t>0时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系；当-c 2<t<0时，表示共焦点（±c,0）的双曲线系；当t<-c 2时无轨迹。

[例1]已知椭圆的焦点坐标是（0，3），（0，-3），且经过点（1，-2），求椭圆的标准方程。

解：3c ,3c 2=∴= 。

又焦点坐标为（0，3），（0，-3），曲线为椭圆，故设所求方程为)0t (1t3y t x 22>=++ ∵椭圆过点（1，-2），∴()1t 32t 12=+-+。

化简整理得 t 2-2t-3=0。

∴t=3或t =-1（舍去）故所求椭圆方程为16y 3x 22=+。

说明 运用共焦点曲线系建立方程时，一是要注意焦点所在的坐标轴，二是应注意参数t 的取值范围。

[例2] 求以椭圆13y 13x 22=+的焦点为焦点，以直线x 21y ±=为渐近线的双曲线方程 解 由椭圆方程13y 13x 22=+知a 2=13，b 2=3，则c 2=10，焦点在x 轴上。

设共焦点的双曲线系方程为),10t 0(1ty t 10x 22<<=-- 其渐近线方程为,0t yt 10x=±-已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=， 41t 10t =-∴，解得t=2。

故所求双曲线方程为.12y 8x 22=- 说明 这里由于出现参数t 的二次根式，所以设t>0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。

与椭圆1by a x 2222=+共焦点的二次曲线系方程也可以设为 1kb y k a x 2222=-+-（0<b<a ，则a 2>k ≠b 2，k 为参数）。

（二）具有相同离心率的圆锥曲线系[例3]已知椭圆的离心率是21，焦点在x 轴上，且被直线2x 21y +=截得的弦长为53，求椭圆的标准方程。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。