圆的综合 中考总复习练习题

中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。

中考数学专项复习《圆的综合题》练习题(附答案)一、单选题1．连接圆上的任意两点的线段叫做圆的（）.A．半径B．直径C．弦D．弧2．如图为△ABC和一圆的重叠情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70∘，∠B=60°，则CD̂的度数为何（）A．50∘B．60∘C．100∘D．120∘3．挂钟分针的长10cm，经过20分钟，它的针尖转过的路程是() A．20π3cm B．10πcm C．20πcm D．5πcm 4．已知，AB是∠O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（）A．∠A+∠B=900B．∠A=∠BC．∠A+∠B＞900D．∠A+∠B的值无法确定5．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2√3B．3√3C．4√3D．6√3 6．若一圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是()A．40°B．80°C．120°D．150°7．如图，AB是∠O的直径，∠CDB=40°，则∠ABC=（）A．40°B．50°C．60°D．80°8．如图，在平面直角坐标系中已知B(2，0)，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆⌢的长为（）.上，则FCA．√5πB．√5πC．5π2D．5π29．如图所示，矩形纸片ABCD中AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 10．如图，半径为5的⊙O中有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB=CD=8，则OE的长为（）A．3B．√3C．2 √3D．3 √2 11．已知在∠ABC中AB=AC=13，BC=10，那么∠ABC的内切圆的半径为（）A．103B．125C．2D．3 12．如图，AB为∠O直径，∠BCD＝30°，则∠ABD为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题13．在∠O中已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为. 14．如图，AB是∠O的直径，AC是∠O的切线，OC交∠O于点D，若∠C=40°，⌢的长为．（结果保留π）OA=9，则BD15．如果圆O的半径为3，圆P的半径为2，且OP=5，那么圆O和圆P的位置关系是．16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为．17．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为cm2．（结果保留π）18．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB =.三、综合题19．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是AB⌢上异于A、B 的动点，过点C作CD∠OA于点D，作CE∠OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；⌢上运动时在CD、CG、DG中是否存在长度不变的线段？若存（2）当点C在AB在，请求出该线段的长度；（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．20．如图，∠ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与∠O相切于点D，OB与∠O相交于点E．（1）求证：AC是∠O的切线；（2）若BD= √3，BE=1．求阴影部分的面积．21．在数学活动课中同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知∠ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．22．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知∠O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指AB⌢的中点到弦AB的距离）．求：（1）水面的宽度AB．（2）横截面浸没在水中的AB⌢的长（结果保留π）．23．如图，AB是∠O的直径，CD与∠O相切于点C，与AB的延长线交于D．（1）求证：∠ADC∠∠CDB；（2）若AC=2，AB= 32CD，求∠O半径．24．如图1，BC是∠O的直径，点A在∠O上，AD∠BC，垂足为D，AE⌢=AB⌢BE 分别交AD、AC于点F、G.（1）判断∠FAG的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】3 14．【答案】132π15．【答案】外切 16．【答案】2317．【答案】270π 18．【答案】28°19．【答案】（1）证明：连接OC 交DE 于M ．由矩形得OM ＝CM ，EM ＝DM ． ∵DG ＝HE ．∴EM ﹣EH ＝DM ﹣DG ． ∴HM ＝GM ．∴四边形OGCH 是平行四边形 （2）解：DG 不变．在矩形ODCE 中∵DE ＝OC ＝3． ∴DG ＝1（3）证明：设CD ＝x ，则CE ＝ √9−x 2 ．过C 作CN∠DE 于N ． 由DE•CN ＝CD•EC 得CN ＝ x √9−x 23 ．∴√x 2−(x √9−x 23)2＝ x 23 ．∴HN ＝3﹣1﹣ x 23 ＝ 6−x 23．∴3CH 2＝3[（ 6−x 23 ）2+（ x √9−x 23 ）2]＝12﹣x 2． ∴CD 2+3CH 2＝x 2+12﹣x 2＝12．20．【答案】（1）证明：连接OD ，作OF∠AC 于F ，如图，∵∠ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点 ∴AO∠BC ，AO 平分∠BAC ∵AB 与∠O 相切于点D ，∴OD∠AB 而OF∠AC ∴OF=OD∴AC 是∠O 的切线（2）解：在Rt∠BOD 中设∠O 的半径为r ，则OD=OE=r ，∴r 2+（ √3 ）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt∠AOD 中AD= √33 OD= √33∴阴影部分的面积=2S∠AOD ﹣S 扇形DOF=2× 12 ×1× √33 ﹣ 60⋅π⋅12360= √33 ﹣ π621．【答案】（1）解：如图所示：扇形CEF 为所求作的图形；（2）解：∵∠ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4∴AB= 4√2由（1）可知CD平分∠ACB∴CD∠AB∴CD= 2√2设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr= 90π×2√2180∴r= √22答：所制作圆锥底面的半径长为√2222．【答案】（1）解：过O作OH∠AB于H，并延长交∠O于D∴∠OHA＝90°，AH＝12AB∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝√OA2−OH2=√502−252=25√3cm ∴AB＝50 √3cm；（2）解：连接OB∵OA ＝50cm ，OH ＝25cm∴OH ＝ 12OA∵∠OHA ＝90° ∴∠OAH ＝30° ∴∠AOH ＝60° ∵OA ＝OB ，OH∠AB ∴∠BOH ＝∠AOH ＝60° ∴∠AOB ＝120°∴AB⌢ 的长是： 120π×50180=100π3 cm ． 23．【答案】（1）证明：如图，连接CO∵CD 与∠O 相切于点C ∴∠OCD=90° ∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO=∠BCD ∵∠ACO=∠CAD ∴∠CAD=∠BCD 在∠ADC 和∠CDB 中{∠CAD =∠BCD ∠ADC =∠CDB∴∠ADC∠∠CDB ． （2）解：设CD 为x则AB= 32 x ，OC=OB= 34 x∵∠OCD=90°∴OD= √OC 2+CD 2 = √(34x)2+x 2 = 54 x∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x由（1）知，∠ADC∠∠CDB∴AC CB = CD BD即 2CB =x 12x解得CB=1∴AB= √AC 2+BC 2 = √5∴∠O 半径是 √5224．【答案】（1）解：结论：∠FAG 是等腰三角形；理由：如图1∵BC 为直径∴∠BAD +∠CAD =90° ∴∠BAD =∠C ∵AE⌢=AB ⌢ ∴∠ABE =∠C ∴∠ABE =∠BAD ∴AF =BF∵∠BAD +∠CAD =90° ∴∠DAC =∠AGB ∴FA =FG∴△FAG 是等腰三角形； （2）解：（1）中的结论成立； ∵BC 为直径∴∠BAD +∠CAD =90°∴∠BAD=∠C∵AE⌢=AB⌢∴∠ABE=∠C∴∠ABE=∠BAD∴AF=BF∵∠BAD+∠CAD=90°∴∠DAC=∠AGB∴FA=FG∴△FAG是等腰三角形；（3）解：由（2）得：AF=BF=FG∵BG=26∴FB=13∴{BD−DF=7BD2+DF2=169解得：BD=12∴AD=AF−DF=13−5=8∴AB=√AD2+BD2=√82+122=4√13.第11页共11。

中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。

中考数学总复习《圆的综合题》练习题(带答案)班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，⊙O与矩形ABCD的边AB，CD，AD相切，切点分别为E，F，G，边BC与⊙O交于M，N两点．下列五组条件中，能求出⊙O半径的有①已知AB，MN的长；②已知AB，BM的长；③已知AB,BN的长；④已知BE，BN的长；⑤已知BM，BN的长．（）A．2组B．3组C．4组D．5组2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个．A．1B．2C．3D．03．嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为()A．3m B．134m C．154m D．5m4．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是() A．120°B．180°C．240°D．300°5．半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2+CD2＝（）A．28B．26C．18D．356．如图，⊙O与⊙ABC的边AB，AC相切于点B，D，若圆心O在BC边上，⊙C=30°，OC=2，则图中阴影部分的面积是（）A．π6B．π3C．2π3D．4π37．如图，小明从点A出发沿直线前进9米到达点B，向左转45∘后又沿直线前进9米到达点C，再向左转45∘后沿直线前进9米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．72米B．80米C．100米D．64米8．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为A．1⊙2B．2⊙1C．1⊙4D．4⊙19．已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=√33x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4，则当r1=1时，r4=（）A．3B．32C．33D．3410．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC∧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若⊙APB=80°，则⊙ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°11．如图，AB是⊙O的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（）A．∠BOC是圆心角B．AC是⊙O的弦C．∠C是圆周角D．AC+OC<12AB12．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．2π3B．2 √3﹣π3C．2 √3﹣2π3D．4 √3﹣2π3二、填空题13．如图，半径为2的⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，D，C，且与AB相切于点A，则菱形的边长为．14．若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长．15．如图，则⊙ABC中，⊙BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则AD̂的长为．（结果保留π）16．某个正多边形有一个外角是36°，则这个正多边形是边形.17．有一扇形的铁皮，其半径为30cm，圆心角为60∘，若用此扇形铁皮围成一个圆锥形的教具（不计接缝），则此圆锥的高是．18．如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，⊙ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是.三、综合题19．如图，AB为⊙ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：⊙PAE⊙⊙PEC；（2）求证：PE为⊙O的切线；（3）若⊙B=30°，AP= 12AC，求证：DO=DP．20．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，⊙ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E，DE平分⊙ADC，连结AE，BD。

中考数学总复习《圆的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．△ABC是△O内接三角形，△BOC=80°，那么△A等于（）A．80°B．40°C．140°D．40°或140°2．如图，把直径为60cm的圆形车轮（⊙O）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为30πcmB．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为60πcmC．当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心O运动的路径的长为7.5πcmD．当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心O运动的路径的长为45πcm3．下列说法正确的是（）A．垂直于弦的直线必经过圆心B．平分弦的直径垂直于弦C．平分弧的直径平分弧所对的弦D．同一平面内，三点确定一个圆4．一根钢管放在V形架内，横截面如图所示，钢管的半径是6，若∠ACB=60°，则阴影部分的面积是（）A．18√3−12πB．36√3−12πC．18√3−6πD．36√3−24π5．半径为2cm 的△O中有长为2√3cm的弦AB，则弦AB所对的圆周角度数为() A．60°B．90°C．60°或120°D．45°或90°6．如图，A点在半径为2的△O上，过线段OA上的一点P作直线l，与△O过A点的切线交于点B，且△APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O交BC边于点D，交AC边于点E，连结DE。

下列五个结论：①BD=DE；②△CDE是等腰三角形；③2DE2=CA·CE；④DE=AB·sinB；⑤S△DECS△ABC=cos2C。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, DEBE=DHBCDE BE =212-3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．4．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.（1）求证：AE=BF；（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9【解析】分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB 为直角，即BD 垂直于AC ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD =DC =BD =12AC ，进而确定出∠A =∠FBD ，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形AED 与三角形BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF ，BG ，由三角形AED 与三角形BFD 全等，得到ED =FD ，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似，由相似得比例，求出GE 的长，由GE +ED 求出GD 的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD ．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠A =∠C =45°． ∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB =90°，即BD ⊥AC ，∴AD =DC =BD =12AC ，∠CBD =∠C =45°，∴∠A =∠FBD ．∵DF ⊥DG ，∴∠FDG =90°，∴∠FDB +∠BDG =90°．∵∠EDA +∠BDG =90°，∴∠EDA =∠FDB ．在△AED 和△BFD 中，A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED ≌△BFD （ASA ），∴AE =BF ； （2）连接EF ，BG ． ∵△AED ≌△BFD ，∴DE =DF ．∵∠EDF =90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF =45°． ∵∠G =∠A =45°，∴∠G =∠DEF ，∴GB ∥EF ，∴∠FEB =∠GBA ． ∵∠GBA =∠GDA ，∴∠FEB =∠GDA ；（3）∵AE =BF ，AE =2，∴BF =2．在Rt △EBF 中，∠EBF =90°，∴根据勾股定理得：EF 2=EB 2+BF 2．∵EB =4，BF =2，∴EF∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DEEF． ∵EF=∴DE=． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EBED，即GE •ED =AE •EB ，∴GE =8，即GE，则GD =GE +ED∴1191011092252S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以AD 为弦的⊙O 交AB 、AC 于E 、F ，已知EF ∥BC ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若已知AE=9，CF=4，求DE 长；（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan ∠AFE 的值及GD 长．【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（318367- 【解析】试题分析：（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到DE DF =，根据垂径定理得到OD ⊥EF ，根据平行线的性质得到OD ⊥BC ，于是得到结论；（2）连接DE ，由DE DF =，得到DE=DF ，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过F 作FH ⊥BC 于H ，由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到FH=12DF=12×6=3，3227CF HF -=，根据三角函数的定义得到tan ∠AFE=tan ∠C=37HF CH =；根据相似三角形到现在即可得到结论． 试题解析：（1）连接OD ， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2，∴DE DF =， ∴OD ⊥EF ， ∵EF ∥BC ， ∴OD ⊥BC ， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）连接DE ， ∵DE DF =， ∴DE=DF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠3=∠4， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠4， ∵∠DFC=∠AED ， ∴△AED ∽△DFC ，∴AE DE DF CF =，即94DEDE =， ∴DE 2=36， ∴DE=6；（3）过F 作FH ⊥BC 于H ， ∵∠BAC=60°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，∴FH=12DF=162⨯=3，∴=， ∵EF ∥BC ， ∴∠C=∠AFE ，∴tan ∠AFE=tan ∠C=HF CH =； ∵∠4=∠2．∠C=∠C ， ∴△ADC ∽△DFC ， ∴AD CDDF CF=， ∵∠5=∠5，∠3=∠2， ∴△ADF ∽△FDG ， ∴AD DFDF DG=，∴CD DF CF DG =，即64DG=，∴DG=183675．点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.6．（1）问题背景如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AB=AC ，P 为BmC 上一动点（不与B ，C 重合），求证：2PA=PB+PC ．小明同学观察到图中自点A 出发有三条线段AB ，AP ，AC ，且AB=AC ，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC 绕着点A 顺时针旋转90°至△QAB （如图①）； 第二步：证明Q ，B ，P 三点共线，进而原题得证． 请你根据小明同学的思考过程完成证明过程． （2）类比迁移如图②，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB=AC ，AB ⊥AC ，垂足为A ，求OC 的最小值． （3）拓展延伸如图③，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB=43AC ，AB ⊥AC ，垂足为A ，则OC 的最小值为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）OC 最小值是2﹣3；（3）32． 【解析】试题分析：（1）将△PAC 绕着点A 顺时针旋转90°至△QAB （如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA ，将△OAC 绕点O 顺时针旋转90°至△QAB ，连接OB ，OQ ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB，∴2AP=PC+PB．（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴在Rt△OAQ中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=32﹣3 ，即OC最小值是32﹣3；（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC =43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ， 当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，]∴BQ 的最小值为2，∴OC 的最小值为34×2=32， 故答案为32． 【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.7．如图1，等边△ABC 的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作AC 、CB 、BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 ；（2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边△DEF 的顶点D 重合，且AB ⊥DE ，DE =2π，将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与⊙O 的圆心O 重合，⊙O 的半径为3，将它沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．8．如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，AC ＝4，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E ．（1）求∠AEC 的度数；（2）求证：四边形OBEC 是菱形．【答案】（1）30°；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．【详解】（1）解：在△AOC中，AC＝4，∵AO＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°；（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．∴∠EAB＝∠AEC．∴CE∥OB，又∵CO∥EB∴四边形OBEC为平行四边形．又∵OB＝OC＝4．∴四边形OBEC是菱形．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．9．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.10．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）332 23π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。

中考数学总复习《圆的综合题》练习题-附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC=20°.则∠D的大小为()A．100°B．110°C．120°D．130°2．如图，矩形ABCD为∠O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交∠O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5C．+1D．3．如图，在⊙O中∠AOB=90°，点C是优弧AB上一点，则∠ACB的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．60°4．如图，∠O中弦AD∠BC，DA＝DC，∠AOC＝160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，∠O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°6．已知AB，CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么AB⏜与CD⏜的关系是（）A．AB=CD B．AB>CD C．AB<CD D．不能确定7．如图，在△ABC中∠C=90°，AB=7 ，AC=4以点C为圆心、CA为半径的圆交AB于点D，求弦AD的长为（）A．4√337B．327C．2√337D．1678．如图，AB是∠O的直径，弦MN∠AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②AM⌢=BN⌢；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝12AB；④若M为AN⌢的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④9．将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（）A．4B．4√3C．4√5D．2√14 10．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）m．A．4√2B．5 C．√30D．2√1511．如图，在矩形ABCD中AB=3cm，AD=4cm若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在⊙B外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 12．如图，⊙O的直径AB=6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP= 1：5，则CD的长为（）．A．3B．4C．2√5D．√5二、填空题(共6题；共7分)13．若圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆弧的半径为．14．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，AB⌢m__=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．15．如图，点E（0，3），O（0，0），C（4，0）在∠A上，BE是∠A上的一条弦．则sin∠OBE=．16．如图，在平面直角坐标系xOy中A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是∠ABC 的内心，则点I的坐标为；点I关于原点对称的点的坐标为．17．如图：P是∠O的直径BA延长线上一点，PD交∠O于点C，且PC=OD，如果∠P=24°，则∠DOB=18．已知AB是⊙O的弦，AB=8cm，OD⊥AB于点C，OC=3cm，则⊙O的半径是cm.三、综合题(共6题；共69分)19．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作∠O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∠PE．（1）求证：AP=AO；（2）若tan∠OPB= 12，求弦AB的长；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 ．20．如图，PA 、PB 是∠O 的切线，A 、B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与∠O交于C 点，连接AC ，BC ．（1）求证：四边形ACBP 是菱形；（2）若∠O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．21．已知，如图，在Rt∠ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ．（1）按要求尺规作图：作AD 的垂直平分线(保留作图痕迹）；（2）若AD 的垂直平分线与AB 相交于点O ，以O 为圆心作圆，使得圆O 经过AD 两点．①求证：BC 是∠O 的切线；②若 CD =2√2，AD =2√6 ，求∠O 的半径．22．如图，已知AB 是∠O 的直径，弦CD 与直径AB 相交于点F ．点E 在∠O 外，作直线AE ，且∠EAC=∠D ．（1）求证：直线AE 是∠O 的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF 的长．23．如图，AH 是∠O 的直径，AE 平分∠FAH ，交∠O 于点E ，过点E 的直线FG∠AF ，垂足为F ，B 为半径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD上．（1）求证：直线FG是∠O的切线（2）若CD=10，EB=5，求∠O的直径24．如图，∠O是∠ABC的外接圆，AB为直径，D是∠O上一点，且弧CB=弧CD，CE∠DA交DA的延长线于点E.（1）求证：∠CAB＝∠CAE；（2）求证：CE是∠O的切线；（3）若AE＝1，BD＝4，求∠O的半径长.参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】C 13．【答案】1814．【答案】（32+48π）cm² 15．【答案】3516．【答案】（3，2）；（-3，-2） 17．【答案】72° 18．【答案】519．【答案】（1）证明：∵PG 平分∠EPF∴∠DPO=∠BPO ∵OA∠PE ∴∠DPO=∠POA ∴∠BPO=∠POA ∴PA=OA（2）解：过点O 作OH∠AB 于点H ，则AH=HB= 12AB∵tan∠OPB= OH PH =12，∴PH=2OH设OH=x ，则PH=2x由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH ﹣PA=2x ﹣10 ∵AH 2+OH 2=OA 2，∴（2x ﹣10）2+x 2=102 解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=8 ∴AH=6，∴AB=2AH=12（3）P、A、O、C；A、B、D、C；P、A、O、D；P、C、O、B 20．【答案】（1）证明：连接AO，BO，∵PA、PB是∠O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= 1 2∠APB=30°∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四边形ACBP是菱形（2）解：连接AB交PC于D∴AD∠PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD= √32OA= √32∴PD= 32，∴PC=3，AB= √3∴菱形ACBP的面积= 12AB•PC=2√32．21．【答案】（1）解：如图所示：（2）①证明：如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线∴∠CAD=∠BAD∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD∠AC∴∠ODB=∠C=90°∴OD∠BC∵OD为∠O半径∴BC是∠O的切线．②如图，过点D作DH∠AB于H∵∠C=90°∴DC∠AC∵AD为∠BAC的角平分线∴DH=CD= 2√2在Rt∠ADH中AH=√AD2−DH2=√(2√6)2−(2√2)2=4设∠O半径为r，∴OA=OD=r∴OH=AH-OA=4-r在Rt∠OHD中∴r2=(4−r)2+(2√2)2∴r=3即∠O的半径为3．22．【答案】（1）解：连接BD ，如图∵AB 是∠O 的直径∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90° ∵∠EAC=∠ADC ，∠CDB=∠BAC ∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90° ∴直线AE 是∠O 的切线； （2）解：∵AB 是∠O 的直径∴∠ACB=90°在Rt∠ACB 中∠BAC=30° ∴AB=2BC=2×4=8由勾股定理得：AC=√82−42=4√3 在Rt∠ADB 中cos∠BAD =34=ADAB∴34=AD 8 ∴AD=6∴BD=√82−62 =2√7∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ∴∠DFB∠∠AFC ∴BF FC =BD AC∴BF103=2√74√3∴BF=5√219． 23．【答案】（1）【解答】解：如图1，连接OE∵OA=OE∴∠EAO=∠AEO∵AE 平分∠FAH∴∠EAO=∠FAE∴∠FAE=∠AEO∴AF∠OE∴∠AFE+∠OEF=180°∵AF∠GF∴∠AFE=∠OEF=90°∴OE∠GF∵点E 在圆上，OE 是半径∴GF 是∠O 的切线．（2）【解答】∵四边形ABCD 是矩形，CD=10∴AB=CD=10，∠ABE=90°设OA=OE=x ，则OB=10﹣x在Rt∠OBE 中∠OBE=90°，BE=5由勾股定理得：OB 2+BE 2=OE 2∴（10﹣x ）2+52=x 2∴x =54AH =2×254=254∴∠O 的直径为252．24．【答案】（1）证明：连接BD∵弧CB=弧CD∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC∵四边形ACBD是圆内接四边形∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB∴∠CAB＝∠CAE（2）证明：连接OC∵AB为直径∴∠ACB＝90°＝∠AEC又∵∠CAB＝∠CAE∴∠ABC＝∠ACE∵OB＝OC∴∠BCO＝∠CBO∴∠BCO＝∠ACE∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°∴EC∠OC∵OC是∠O的半径∴CE是∠O的切线（3）证明：过点C作CF∠AB于点F又∵∠CAB＝∠CAE，CE∠DA∴AE＝AF在∠CED和∠CFB中∵∠DEC=∠BFC=90°∠EDC=∠BFCCD=BC∴∠CED∠∠CFB（AAS）∴ED＝FB设AB＝x，则AD＝x﹣2在∠ABD中由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42解得，x＝5∴∠O的半径的长为5 2。

专题十圆的综合问题一、非动态问题例题1如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作EF AC ⊥于点E ，交AB 的延长线于点F ，连接AD ．(1)求证：EF 是O 的切线．(2)求证：FBD FDA △△∽．(3)若4DF =，2BF =，求O 的半径长．练习题1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ．(1)如图①，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若∠ABC ＝66°，求∠ACM ；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE ＝EC ；(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA ＝34，求S △ADE ：S △ACM 的值．2．如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH ．(1)求证：MH 为O 的切线．(2)若32MH =，34AC BC =，求O 的半径．(3)如图2，在（2）的条件下分别过点A 、B 作O 的切线，两切线交于点D ，AD 与O 相切于点N ，过N 点作NQ BC ⊥，垂足为E ，且交O 于Q 点，求线段AO 、CN 、NQ 的长度．3．如图，点P 在y 轴的正半轴上，P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和P 于E 、F 两点，连接AC 、FC ，AC 与BD 相交于点G ．(1)求证：ACF ADB =∠∠；(2)求证：CF DF =；(3)DBC ∠=______°；(4)若3OB =，6OA =，则△GDC 的面积为______．4．如图，四边形ABCD 内接于半圆O ，BC 是半圆O 的直径，CE 是半圆O 的切线，CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，14DE BC =，OE 与CD 相交于点F ，连接BF 并延长交AE 的延长线于点G ，连接CG ．(1)求证：AD BC ∥．(2)探究OF 与BF 的数量关系．(3)求tan GBC ∠的值．5．【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在O 中，AB 是弦，OP AB ⊥，垂足为P ，则OP 的长是弦AB 的弦心距．(1)若O 的半径为5，OP 的长为AB 的长为______．(2)若O 的半径确定，下列关于AB 的长随着OP 的长的变化而变化的结论：①AB 的长随着OP 的长的增大而增大；②AB 的长随着OP 的长的增大而减小；③AB 的长与OP 的长无关．其中所有正确结论的序号是______．(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．(4)已知如图②给定的线段EF 和O ，点Q 是O 内一定点．过点Q 作弦AB ，满足AB EF =，请问这样的弦可以作______条．6．已知O 为ACD ∆的外接圆，AD CD =．(1)如图1，延长AD 至点B ，使BD AD =，连接CB ．①求证：ABC ∆为直角三角形；②若O 的半径为4，5AD =，求BC 的值；(2)如图2，若90ADC ∠=︒，E 为O 上的一点，且点D ，E 位于AC 两侧，作ADE ∆关于AD 对称的图形ADQ ∆，连接QC ，试猜想QA ，QC ，QD 三者之间的数量关系并给予证明．7．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC 和△DEF 中，若∠A +∠E ＝∠B +∠D ＝90°，且AB ＝DE ，则△ABC 和△DEF 是余等三角形．(1)图2，等腰直角△ABC ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），则图中△________和△________是余等三角形，并求证：AD 2+BD 2＝2CD 2．(2)图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为5，且AD 2+BC 2＝100，①求证：△ABC 和△ADC 是余等三角形．②图4，连接BD 交AC 于点I ，连接OI ，E 为AI 上一点，连接EO 并延长交BI 于点F ，若∠ADB ＝67.5°，IE ＝IF ，设OI ＝x ，S △y 关于x 的函数关系式．8．如图1，在等腰ABC 中，AB AC ==120BAC ∠=︒，点D 是线段BC 上一点，以DC 为直径作O ，O 经过点A ．(1)求证：AB 是O 的切线；(2)如图2，过点A 作AE BC ⊥垂足为E ，点F 是O 上任意一点，连结EF ．①如图2，当点F 是DC 的中点时，求EF BF的值；②如图3，当点F 是O 上的任意一点时，EF BF 的值是否发生变化？请说明理由．(3)在（2）的基础上，若射线BF 与O 的另一交点G ，连结EG ，当90GEF ∠=︒时，直接写出EF EG -的值．9．【证明体验】（1）如图1，过圆上一点A 作O 切线AD ，AC 是弦（不是直径），若AB 是直径，连接BC ，求证：DAC ABC ∠=∠；（2）如图2，若AB 不是直径，DAC ∠______ABC ∠（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如图3，（1）、（2）的结论是否成立，说明理由；【归纳结论】（4）由以上证明可知：切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的______；【结论应用】（5）如图4，ABC 内接圆于O ，弦BE AB ⊥，交AC 于F ，过点A 作O 的切线AD ，交EB 的延长线于点D ．若6AD =，2sin 3ACB ∠=，求线段BE 的长．10．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形(1)如图①，半圆O的直径为BC，OA⊥OB，点E在过点A的切线上，且BE=BA，点D 是AC 上的动点（不在点A、C上），求证：四边形AEBD为准平行四边形．(2)如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，∠B≠∠D，若⊙O的半径为5，AB=AD，则①准平行四边形ABCD的面积S是线段AC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；②准平行四边形ABCD的面积S有最大值吗？如果有求出最大值，如果没有，说明理由．二、动点问题例题2（2021·浙江温州·三模）如图，在⊙O中，AB是直径，点D在圆内，点C在圆上，CD⊥半径OA于点E，延长AD交⊙O于F点，连结BF．当点M从点C匀速运动到点D 时，点N恰好从点B匀速运动到点A，且M，N同时到达点E．(1)请判断四边形ACBF 的形状，并说明理由．(2)连结AM 并延长交⊙O 于点G ，连结OG ，DN ．记CM ＝x ，AN ＝y ，已知y ＝12．①求出AE 和BF 的长度．②当M 从C 到E 的运动过程中，若直线OG 与四边形BFDN 的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x 的值．练习题1．（2021·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，E 是线段AB 上的一个动点，经过A ，D ，E 三点的⊙O 交线段AC 于点K ，交线段CD 于点H ，连接DE 交线段AC 于点F ．(1)求证：AE ＝DH ；(2)连接DK ，当DE 平分∠ADK 时，求线段DE 的长；(3)连接HK ，KE ，在点E 的运动过程中，当线段DH ，HK ，KE 中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE 的长．2．（2022·河北·石家庄外国语教育集团一模）已知，在半圆O 中，直径AB =6，点C ，D 在半圆AB 上运动，（点C ，D 可以与A ，B 两点重合），弦CD =3．(1)如图1，当∠DAB=∠CBA 时，求证：△CAB ≌△DBA ；(2)如图2，若∠DAB =15°时，求图中阴影部分（弦AD 、直径AB 、弧BD 围成的图形）的面积；(3)如图3，取CD 的中点M ，点C 从点A 开始运动到点D 与点B 重合时结束，在整个运动过程中：①点M 到AB 的距离的最小值是___________；②直接写出点M 的运动路径长___________．3．（2022·湖南长沙·九年级期中）已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧 AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ．①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．4．（2022·广东·深圳中学一模）（1）【基础巩固】如图1，△ABC 内接于⊙O ，若∠C ＝60°，弦AB =r ＝______；（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，点B 为弧AC 上一动点（不与点A ，点C 重合）求证：AB ＋BC ＝BD（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD 、AB 、BC ）和一条道路劣弧 CD围成，已知CM DM =千米，∠DMC ＝60°， CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M 另外三个入口分别在点C 、D 、P 处，其中点P 在 CD 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．5．（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）在矩形ABCD 中，5AB cm =，BC 10cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点时就停止移动，设两点移动的时间为t 秒，解答下列问题：(1)如图1，当t 为几秒时，PBQ △的面积等于24cm ？(2)如图2，以Q 为圆心，PQ 为半径作Q ．在运动过程中，是否存在这样的t 值，使Q 正好与四边形DPQC 的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东深圳·一模）在O 中，弦CD 平分圆周角ACB ∠，连接AB ，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若1tan3CAB ∠=，且B 是CE 的中点，O ，求DE 的长．(3)P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ⊥于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP +的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．7．（2021·四川德阳·二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，OE ⊥AB 于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若点F 是OA 的中点，OE ＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE ＋PF 取最小值时，直接写出BP 的长．8．（2022·湖南永州·一模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于D ，过D 点作O 的切线DE 交AC 于E ．(1)求证：DE AC ⊥；(2)若10AB =，3cos 5ABC ∠=，求DE 的长；(3)在（2）的条件下,若P 为线段BD 上一动点，过P 点作BC 的垂线交AB 于N ，交CA 的延长线于M ，求证：PN PM +是定值，并求出定值是多少？9．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校一模）[问题提出](1)如图1，已知线段AB ＝4，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是________；[问题探究](2)如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决](3)如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝BC＝120米，∠ACB ＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分 BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．10．（2021·江苏南京·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC＝6，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．(1)【操作与发现】当E运动到AE CD⊥处，利用直尺与圆规作出点E与F．（保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，证明AF ABAE AD=．(3)【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证AF AB AE AD=．(4)【延伸与应用】点E在运动的过程中，直接写出EF的最小值______．三、动圆问题例题3（2021·山东威海·一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，点O 在射线AC 上（点O 不与点A 重合），过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，以点O 为圆心，OD 为半径画半圆O ，分别交射线AC 于E ，F 两点，设OD =x ．(1)如图1，当点O 为AC 边的中点时，则x =；(2)如图2，当点O 与点C 重合时，连接DF ，求弦DF 的长；(3)若半圆O 与BC 无交点，则x 的取值范围是．练习题1．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 落在x 轴上，点B 的坐标为()1,0-，3AB =，6BC =，边AD 与y 轴交于点E ．(1)直接写出点A 、C 、D 的坐标；(2)在x 轴上取点()3,0F ，直线()0y kx b k =+≠经过点E ，与x 轴交于点M ，连接EF ．①当15MEF ∠=︒时，求直线()0y kx b k =+≠的函数表达式；②当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边所在直线相切时，求点M 的坐标．9．（2021·江苏镇江·一模）如图1，ABC 中，5AB =，AC =7BC =，半径为r 的O 经过点A 且与BC 相切，切点M 在线段BC 上（包含点M 与点B 、C 重合的情况）．(1)半径r 的最小值等于__________．(2)设BM =x ，求半径r 关于x 的函数表达式；(3)当BM =1时，请在图2中作点M 及满足条件的O ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）10．（2022·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，且∠ABE ＝∠CBF ，延长BE 交CD 的延长线于点G ，H 为BG 中点，连结CH 分别交BF ，AD 于点M ，N ．(1)求证：BF CH ⊥．(2)当FG ＝9时．①求tan FBG ∠的值．②在线段CH 上取点P ，以E 为圆心，EP 为半径作E （如图），当E 与四边形ABMN 某一边所在直线相切时，求所有满足条件的HP 的长．11．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图：已知线段5AM =，射线AS 垂直于AM ，点N 在射线AS 上，设AN n =，点P 在经过点N 且平行于AM 的直线上运动，PAM ∠的平分线交直线NP 于点Q ，过点Q 作QB AP ∥，交线段AM 于点B ，连接PB 交AQ 于点C ，以Q 为圆心，QC 为半径作圆．(1)求证：PB 与Q 相切；(2)已知Q 的半径为3，当AM 所求直线与Q 相切时，求n 的值及PA 的长；(3)当2n 时，若Q 与线段AM 只有一个公共点，则Q 的半径的取值范围是______．四、圆的图形变换问题例题4平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1．让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB 上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B ？（2）在OQ 旋转过程中．简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值：（3）如图，当点P 恰好落在BC 边上时．求α及S 阴影．拓展如图．当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x （x ＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．练习题1．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O 的半径．2．如图，已知AB 为O 的直径，CD 为弦．CD =AB 与CD 交于点E ，将CD沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长BA 至P ，使AP OA =，连接PC ．(1)求O 的半径；(2)求证：PC 是O 的切线；(3)点N 为 ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点M ，连接MN 交AB 于点G ．交 BC 于点F的值．（F与B、C不重合）．求NG NF3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．(1)思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；(2)探究：如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．①在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．4．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．点A点的左上方，且tan∠AOB(1)S扇形AOB＝；(2)点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为；(3)在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP<180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°），①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．5．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．(1)AG ＝；(2)如图2，将半圆O 绕点E 逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O 的对应点为O ′，点F 的对应点为F ′，设M 为半圆O ′上一点．①当点F ′落在AD 边上时，求点M 与线段BC 之间的最短距离；②当半圆O ′交BC 于P ，R 两点时，若PR 的长为53π，求此时半圆O ′与正方形ABCD 重叠部分的面积；③当半圆O ′与正方形ABCD 的边相切时，设切点为N ，直接写出tan ∠END 的值．6．如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与CD 交于点M ，将弧CD 沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP =OA ，链接PC ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点G 为弧ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ，交弧BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE ▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．7．如图，在ABE △中，BE AE >，延长BE 到点D ，使DE BE =，延长AE 到点C ，使CE AE =．以点E 为圆心，分别以BE 、AE 为半径作大小两个半圆，连结CD ．（1）求证：AB CD =；（2）设小半圆与BD 相交于点M ，24BE AE ==．①当ABE S 取得最大值时，求其最大值以及CD 的长；②当AB 恰好与小半圆相切时，求弧AM 的长．8．在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP ' ．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与 AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．②求AP 的长．（2）如图2，BO '与 AB 相交于点D ，若点D 为 AB 的中点，且//PD OB ，求 AB 的长．9．如图，矩形ABCD 中，4=AD ，AB m =（4m >），点P 是DC 上一点（不与点D ，C 重合），连接AP ，APQ 与APD △关于AP 对称，PM 是过点A ，P ，Q 的半圆O 的切线，且PM 交射线AB 于点M ．（1）当AP PM =时，半圆O 与AB 所围成的封闭图形的面积为___________；（2）当Q 在矩形ABCD 内部时，①判断PAQ ∠与AMP ∠是否相等，并说明理由；②若3tan 4PAQ ∠=，求AM 的长；（3）当14DP DC =时，若点Q 落在矩形ABCD 的对称轴上，求m 的值及此时半圆O 落在矩形ABCD 内部的弧长．10．如图1，在正方形ABCD 中，10AB =，点O 、E 在边CD 上，且2CE =，3DO =，以点O 为圆心，OE 为半径在其左侧作半圆O ，分别交AD 于点G ，交CD 延长线于点F ．（1）AG =________．（2）如图2，将半圆O 绕点E 逆时针旋转()0180αα︒<<︒，点O 的对应点为O '，点F 对应点为F '，当半圆O '交BC 于P 、R 两点时，若弧PR 的长为5π3，求此时半圆O '与正方形ABCD 重叠部分的面积．（3）当半圆O '与正方形ABCD 相切时，设切点为N ，直接写出tan END ∠的值．11．如图⊙O 中直径AB ＝2，点E 是AB 的中点，点C 是AE 上的一个动点，将CB 沿线段BC 折叠交AB 于点D ．（1）如图1，当∠ABC ＝20°时，求此时 AC 的长．（2）如图2，连结AC ，当点D 与点О重合时，求此时AC 的长．（3）设AC ＝x ，DO ＝y ，请直接写出y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的大小．（2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）．（3）若点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边所在直线上时，直接写出PB 旋转到PQ 时点B 经过的路径的长（结果保留π）．13．如图1，四边形ABCD 是正方形，且AB ＝8，点O 与B 重合，以O 为圆心，作半径长为5的半圆O ，交BC 于E ，交AB 于F ，交AB 延长线于G 点，M 是半圆O 上任一点；发现：AM 的最大值为，S 阴影＝．如图2，将半圆O 绕点F 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．思考：（1）若点C 落在半圆O 的直径GF 上，求圆心O 到AB 的距离；（2）若α＝90°，求半圆O 落在正方形内部的弧长；探究：在旋转过程中，若半圆O 与正方形的边相切，求点A 到切点的距离．【注：sin37°＝35，sin53°＝45，tan37°＝34】14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，O 是AD 的中点，以O 为圆心，在AD 的下方作半径为3的半圆O ，交AD 于点E ，F ．（1）思考：连接BD ，交半圆O 于点G 、H ，求GH 的长；（2）探究：将线段AP 连带半圆O 绕点A 顺时针旋转，得到半圆O '，设其直径为E F ''，旋转角为α（0180α<<︒）；①设F '到直线AD 的距离为m ，当72m >时，求α的取值范围．②若半圆O '与线段AB 相切，或半圆O '与线段BC 相切，设切点为R ，直接写出 F R '的长．（3sin 494︒=，3cos 414︒=，3tan 374︒=，结果保留π）15．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，O 是AC 的中点，以点O 为圆心在AC 的右侧作半径为3的半圆O ，分别交AC 于点D 、E ，交AB 于点G 、F ．思考：连接OF ，若OF AC ⊥，求AF 的长度；探究：如图2，将线段CD 连同半圆O 绕点C 旋转．（1）在旋转过程中，求点O 到距离的最小值；（2）若半圆O 与Rt ABC 的直角边相切，设切点为K ，连接AK ，求AK 的长．16．如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，30BAC ∠=︒，点O 为对角线AC 上的动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心在AC 下方作半径为2的半圆O ，交AC 于点E 、F ．（1）当半圆O 过点A 时，求半圆O 被AB 边所截得的弓形的面积；（2）若M 为 EF的中点，在半圆O 移动的过程中，求BM 的最小值；（3）当半圆O 与矩形ABCD 的边相切时，求AE 的长．17．如图1，扇形OAB 的半径为4，∠AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是 AB 上一动点．（1）连接AQ 、BQ 、PQ ，则∠AQB 的度数为；（2）当P 是OB 中点，且PQ ∥OA 时，求 AQ的长；（3）如图2，将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的 QB'恰好与半径OA 相切于点C ．若OP ＝3，求点O 到折痕PQ 的距离．18．如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，以MN 为直径的半圆O 按如图所示位置摆放，点M 与点A 重合，点N 在边AC 的中点处，点N 从现在的位置出发沿AC CB -方向以每秒2个单位长度的速度运动，点M 随之沿AC CB -下滑，并带动半圆O 在平面内滑动，设运动时间为t 秒（0t ≥），点N 运动到点B 处停止，点P 为半圆中点．（1）如图2，当点M 与点A 重合时，连接OP 交边AB 于E ，则EP 为____________；（2）如图3，当半圆的圆心O 落在了Rt ABC ∆的斜边AB 的中线时，求此时的t ，并求出此时CMN ∆的面积；（3）在整个运动的过程中，当半圆与边AB 有两个公共点时，求出t 的取值范围；（4）请直接写出在整个运动过程中点P 的运动路径长．19．如图1，矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，以AD 为直径在矩形ABCD 内作半圆O ．（1）若点M 是半圆O 上一点，则点M 到BC 的最小距离为________；（2）如图2，保持矩形ABCD 固定不动，将半圆O 绕点A 顺时针旋转α()090α︒<<︒度，得到半圆O'，则当半圆O'与BC相切时，求旋转角α的度数；AD'与边BC有交点时，求tanα的取值范围．（3）在旋转过程中，当20．如图，半圆O的直径4AB=，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现 AP的长与 QB的长之和为定值l，求l；思考点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________．探究当半圆M与AB相切时，求 AP的长．（注：结果保留π，cos35= ，cos55=。

中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定2．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（）A．44°B．45°C．54°D．67°3．下列命题：①三点确定一个圆；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对的圆心角相等；其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A．60B．60πC．65D．65π5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．3π2B．4π3C．4D．2+ 3π26．下列命题正确的个数有（）①长度相等的弧叫做等弧；②三点确定一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④弧相等，则弧所对的圆心角相等．A．1B．2C．3D．47．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．2 πcm2C．6πcm2D．3πcm28．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若⊙ACE=25°，则⊙D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E 为弧CD上一点，且OE⊙CD，垂足为F，OF=300√3米，则这段弯路的长度为A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米10．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则⊙AED的度数是（）A．30°B．60°C．45°D．36°11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，⊙CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（）A．√32B．12C．√33D．√312．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若⊙BOD=⊙BCD，则BD̂的长为（）A．πB．32πC．2πD．3π二、填空题(共6题；共7分)13．如图，△ABC中AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C，则阴影部分的面积为．14．如图，Rt⊙ABC中⊙C=90°，⊙A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．15．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，则另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是cm，该光盘的面积是cm2．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆OB=√13，BC=4则tanA的值为．R，则AC 17．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊙AB交半圆于点D，且CD=√32的长为18．如图，在矩形ABCD中AB=2，BC=4点E为BC上一动点，过点B作AE的垂线交AE于点F，连接DF则DF的最小值是．三、综合题(共6题；共60分)19．如图，在△ABC中以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥BC 垂足为点E.（1）求证：AB=BC；（2）若DE=3，CE=6，求直径AB长.20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.（1）若⊙BAD＝80°，求⊙DAC的度数；（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长.21．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，⊙BAC=30°，点D是弦AC上的一点.（1）若OD⊙AC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断△ADO形状，并说明理由.22．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值．23．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，点D是弧BC的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F.（1）求证：DF=DE（2）若BD=6，CE=8求⊙O的半径.24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC,垂足为F，交AB的延长线于点E．（1）求证: EF是⊙O的切线；（2）若AF=6,EF=8，求⊙O的半径．参考答案1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】23π14．【答案】√3≤OA ≤43√3 15．【答案】10；24π 16．【答案】2317．【答案】12R 或32R 18．【答案】√17−119．【答案】（1）证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线 ∴OD ⊥DE ∵DE ⊥BC ∴OD ∥BC ∴∠ODA =∠C又∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ∴∠OAD=∠C∴AB=BC（2）解：连接BD ∵AB为直径∴∠BDA=90°∴∠BDC=90°∴△DEB∼△CED∴DEBE=CEDE∴3BE=63∴BE=3 2∴BC=15 2∴AB=15 220．【答案】（1）解：如图，连接OC∵DC切⊙O于C∴OC⊙CF∴⊙ADC＝⊙OCD＝90°∴AD //OC∴⊙DAC＝⊙OCA∵OA＝OC∴⊙OAC＝⊙OCA∴⊙DAC＝⊙OAC∵⊙BAD＝80°∴⊙DAC＝12⊙BAD＝12×80°＝40°（2）解：连接BC.∵AB是直径∴⊙ACB＝90°＝⊙ADC ∵⊙DAC＝⊙BAC∴⊙ADC⊙⊙ACB∴ACAB=ADAC∵AD＝6，AB＝8∴AC8=6AC∴AC＝4 √3.21．【答案】（1）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∵AB=8cm，⊙BAC=30°∴BC=4∵OD⊙AC∴OD//BC∵OA=OB∴OD=12BC=2（2）△ADO是等腰三角形.理由如下：如图，过O作OQ⊥AC于Q,连接OC,∵AB=8,∠BAC=30°∴AC=AB·cos30°=8×√32=4√3∴CQ=AQ=2√3∴OQ=12OA=2设OD=x,则CD=2OD=2x∴DQ=2x−2√3由勾股定理可得：x2=(2x−2√3)2+22∴(√3x−4)2=0∴x1=x2=4√3 3∴AD=4√3−2×4√33=4√33=OD∴△ADO是等腰三角形.22．【答案】（1）证明：连接OD∵OD＝OB∴⊙ODB＝⊙OBD．∵AB是直径∴⊙ADB＝90°∴⊙CDB＝90°．∵E为BC的中点∴DE＝BE∴⊙EDB＝⊙EBD∴⊙ODB＋⊙EDB＝⊙OBD＋⊙EBD 即⊙EDO＝⊙EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线∴AB⊙BC∴⊙EBO ＝90°∴⊙ODE ＝90°∴DE 是⊙O 的切线（2）解：连接AE∵S 2＝5S 1，E 为BC 的中点∴S ⊙ACE ＝3S 1∴S ⊙ADE ＝2S 1∴AD =2DC∵⊙CBO ＝90°，⊙CDB ＝90° ∴⊙BDC⊙⊙ADB∴AD BD =DB DC∴DB 2＝AD •DC ，即 DB =√2DC∴DB AD =√2DC 2DC =√22∴tan⊙BAC ＝ DB AD =√2223．【答案】（1）解： ∵AB =AC AB ⏜=AC ⏜ ∵ 点 D 是 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点∴BD ⏜=CD ⏜∴AB ⏜+BD ⏜=AC ⏜+CD ⏜∴ABD ⏜=ACD ⏜∴∠ACD =∠ABD =90°在 △ACF △ABE 中{∠A =∠A AB =AC ∠ABE =∠ACF∴△ACF ≌△ABE(ASA)∴CF =BE又 ∵BD ⏜=CD ⏜∴BD =CD∴CF −CD =BE −BD ，即 DF =DE （2）解：连接 AD由（1）知 ∠ACD =90°∴AD 是 ⊙O 的直径∴∠DCE =90°又 ∵CD =BD =6在 Rt △DCE 中令 AB =AC =x ，在 Rt △ABE 中由 AB 2+BE 2=AE 2 ，得 x 2+(6+10)2=(x +8)2 解得 x =12 ，即 AC =12在 Rt △ACD 中∴⊙O 的半径为 12AD =3√5 24．【答案】（1）证明：连接OD ．∵EF⊙AF∴⊙F ＝90°．∵D 是 BC⌢ 的中点，∴BD ⌢=CD ⌢ ． ∴⊙EOD ＝⊙DOC ＝ 12⊙BOC ∵⊙A ＝ 12⊙BOC ，∴⊙A ＝⊙EOD ∴OD⊙AF ．∴⊙EDO ＝⊙F ＝90°．∴OD⊙EF∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙AFE 中∵AF ＝6，EF ＝8 ∴AE =√AF 2+EF 2 ＝ √62+82 ＝10 设⊙O 半径为r ，∴EO ＝10﹣r ． ∵⊙A ＝⊙EOD ，⊙E ＝⊙E∴⊙EOD⊙⊙EAF ，∴OD AF ＝ OE EA ∴r 6=10−r 10 ．∴r ＝ 154 ，即⊙O 的半径为 154 ．。

中考数学总复习《圆的综合题》专题测试卷-含答案班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）A．4B．5C．8D．102．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．83．在平面直角坐标系xOy中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离4．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定5．如图，点P是⊙O外的一点，PA、PC是⊙O的切线，切点分别为A，C，AB是⊙O的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（）A．PO∥BCB．PD=2ODC．若∠ABC=2∠CPO，则⊙PAC是等边三角形D．若⊙PAC是等边三角形，则∠ABC=2∠CPO6．如图，AB是⊙O的直径，⊙C=15°，则⊙BAD的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知⊙A=100°，⊙C=30°，则⊙DFE的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于()A．10πB．12πC．24πD．5π9．如图，⊙A是⊙O的圆周角，⊙A=40°，则⊙BOC的度数为（）A．50°B．80°C．90°D．120°10．如图，在圆O中，半径OA=√61，弦BC=10，点Q是劣弧AC上的一个动点，连接BQ，作CP⊥BQ，垂足为P．在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是（）A．6B．7C．8D．911．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，点O为圆心∠DCO=55°则∠CAD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°12．如图，在矩形ABCD中AB＝3，BC＝2 √3以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则DE⌢的长为（）A．√33πB．πC．2√33πD．√3π二、填空题(共6题；共7分)13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD若⊙CAB=40°，则⊙CAD=．14．如图，OA是⊙O的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点．若PA=1，PB=2则sin∠OPB=．15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则⊙PCD的周长等于cm．16．现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）.餐桌两边AB 和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝2米，AB＝1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米.（结果保留π）17．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧BC上任意一点（不与B，C重合）AH=1CH=2.延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CE于点F，则OC=，HE⋅HF=.18．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，⊙PCD周长为4r，则tan⊙APB=三、综合题(共6题；共60分)19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA=30°，DF=4，求FG的长．20．如图，⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊙AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE=6，求tanC．⌢的中点，连结CE交AB于21．如图，已知⊙ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AD点F，且BF＝BC.（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，sinB＝45，求CE的长.22．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长.23．如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分⊙BAD，连接BF（1）求证：AD⊙ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．24．如图，在Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90o，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．参考答案1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】25° 14．【答案】3515．【答案】1416．【答案】2π3 ﹣ √3217．【答案】2.5；4 18．【答案】4319．【答案】（1）证明：∵ C ，A ，D ，F 在⊙O 上，⊙CAF=90°∴ ⊙D=⊙CAF=90°． ∵ AB⊙CE ，BG⊙DF ∴ ⊙BED=⊙G=90°．∴ 四边形BEDG 中，⊙ABG=90°． ∴ 半径OB⊙BG ． ∴ BG 是⊙O 的切线． （2）解：连接CF∵ ⊙CAF=90°∴ CF是⊙O的直径．∴ OC=OF．∵直径AB⊙CD于E∴ CE=DE．∴ OE是⊙CDF的中位线．∴OE=12DF=2．∵AD⌢=AD⌢，⊙AFD=30°∴ ⊙ACD=⊙AFD=30°．∴∠CAE=90°−∠ACE=60°．∵ OA=OC∴ ⊙AOC是等边三角形．∵ CE⊙AB∴ E为AO中点∴ OA=2OE=4，OB=4．∴BE=BO+OE=6．∵ ⊙BED=⊙D=⊙G=90°∴四边形BEDG是矩形．∴ DG=BE=6．∴FG=DG−DF=2．20．【答案】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴⊙B=⊙ODB，∵AB=AC，∴⊙B=⊙C，∴⊙ODB=⊙C，∴OD⊙AC，∵DF⊙AC，∴OD⊙DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接BE，AD∵AB是直径∴⊙AEB=90°∵AB=AC，AC=3AE=6∴AB=3AE=6，AE=2∴CE=4AE=8∴BE= √AB2−AE2=4 √2∴tanC= BECE=√22．21．【答案】（1）BC与⊙O相切证明：连接AE∵AC是⊙O的直径∴⊙E＝90°∴⊙EAD+⊙AFE＝90°∵BF＝BC∴⊙BCE＝⊙BFC∵E为弧AD中点∴⊙EAD＝⊙ACE∴⊙BCE+⊙ACE＝90°∴AC⊙BC∵AC为直径∴BC是⊙O的切线.（2）解：∵⊙O的半为2 ∴AC＝4∵sinB＝45=ACAB∴AB＝5∴BC＝√AB2−AC2＝3∵BF＝BC∴BF＝3，AF＝5﹣3＝2∵⊙EAD＝⊙ACE，⊙E＝⊙E ∴⊙AEF⊙⊙CEA∴EAEC=AFAC=12∴EC＝2EA设EA＝x，EC＝2x由勾股定理得：x2+4x2＝16x＝4√55（负数舍去）即CE＝8√55.22．【答案】（1）证明：连接OC∵点C为弧BF的中点∴弧BC=弧CF.∴∠BAC=∠FAC.∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC.∴∠OCA=∠FAC.∵AE⊙DE∴∠CAE+∠ACE=90°.∴∠OCA+∠ACE=90°.∴OC⊙DE.∴DE是⊙O的切线.（2）解：由勾股定理得AD=5∵∠OCD=∠AEC=90°⊙D=⊙D∴⊙OCD⊙⊙AED∴ODAD=OCAE即5−r5=r3解得r= 15 8∴⊙O的半径长为15 8.23．【答案】（1）证明：连接OC，如图∵AC平分⊙BAD∴⊙1=⊙2∵OA=OC∴⊙1=⊙3∴⊙2=⊙3∴OC⊙AD∵ED切⊙O于点C∴OC⊙DE∴AD⊙ED（2）解：OC交BF于H，如图∵AB为直径∴⊙AFB=90°易得四边形CDFH为矩形∴FH=CD=4，⊙CHF=90°∴OH⊙BF∴BH=FH=4∴BF=8在Rt⊙ABF中，AB= √AF2+BF2=√22+82=2√17∴⊙O的半径为√17．24．【答案】（1）解：相切证明：连接OD，OE∵点E是AB中点，点O是BC中点∴OE是⊙ABC的中位线，∴OE⊙AC∴⊙1＝⊙4，⊙2＝⊙3∵OC＝OD，∴⊙3＝⊙4，∴⊙1＝⊙2∵OB＝OD，OE＝OE，∴⊙OBE⊙⊙ODE∴⊙ODE＝⊙OBE＝90o∴OD⊙DE，∴直线DF与⊙O相切.（2）解：设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8－x在Rt⊙FOD中OD2+FD2=OF2∴x2+42=(8−x)2，∴x＝3∴⊙O半径为3∵⊙FBE＝⊙FDO＝90°，⊙F＝⊙F，∴⊙FBE⊙⊙FDO，∴BFDF=BEOD∵BF＝FC－BC＝2，OD＝3，DF＝4，∴BE＝32，∵点E是AB中点，∴AB＝2BE＝3在Rt⊙ABC中，AC＝√AB2+BC2＝3√5。