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初中中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333D. √22. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或13. 若a，b，c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形4. 一个多项式f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，它的根是：A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 1, 3, 4D. 2, 2, 35. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为4，那么直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 内切6. 以下哪个是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆7. 一个数列1, 3, 5, ..., 19，这个数列共有多少项？A. 10B. 11C. 12D. 138. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是：A. 29B. 32C. 35D. 389. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长增加2米，宽增加1米，面积增加8平方米，求原长方形的宽是多少？A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米10. 一个分数的分子与分母的和是21，如果分子增加5，分母增加1，新的分数等于1，求原分数是多少？A. 3/18B. 4/17C. 5/16D. 6/15二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________。
12. 一个数的绝对值是它本身，这个数是非负数，即这个数是________。
13. 一个多项式f(x) = x^2 - 5x + 6可以分解为________。
14. 一个数的立方根等于它本身，这个数是________。
15. 如果一个数列的前三项是1, 2, 3，且每一项都是前一项的两倍，这个数列的第5项是________。
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
数学竞赛试题及答案初中一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. 根号2C. 1/3D. 4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 18C. 20D. 22答案：C3. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C4. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - x - 6 = 0答案：B5. 一个圆的直径为10，其面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，其斜边长为________。
答案：52. 如果一个数的立方等于-8，那么这个数是________。
答案：-23. 一个数的绝对值是5，这个数可能是________或________。
答案：5 或 -54. 一个圆的周长是2πr，如果周长是12π，那么半径r是________。
答案：65. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac小于0，那么这个方程的解是________。
答案：无实数解三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个二次函数y=ax^2+bx+c，其中a=1，b=-3，c=2，求这个函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3/2, -1/4)。
2. 一个长方形的长是宽的两倍，如果周长是24，求长方形的长和宽。
答案：长为8，宽为4。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：略2. 证明平行四边形的对角线互相平分。
答案：略。
2023年全国初中数学竞赛试题一、选择题:1.已知实数a ≠b, 且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2 。
则b +a 旳值为（ ） A.23; B.-23; C-2; D-132、若直角三角形旳两条直角边长为a 、b, 斜边长为c, 斜边上旳高为h, 则有（ ） A.ab=h ; B. + = ; C. + = ; D.a2 +b2=2h23、一条抛物线y=ax2+bx+c 旳顶点为（4, -11）, 且与x 轴旳两个交点旳横坐标为一正一负, 则a 、b 、c 中为正数旳（ ）A.只有a;B.只有b;C.只有c;D.只有a 和b 4.如图所示, 在△ABC 中, DE ∥AB ∥FG, 且FG 到DE 、AB 旳距离之比为1: 2。
若△ABC 旳面积为32, △CDE 旳面 积为2, 则△CFG 旳面积S=（ ） A.6; B.8; C.10; D.125、假如x 和y 是非零实数, 使得∣x ∣+y=3和∣x ∣y+x3=0, 那么x+y 等于（ ） A.3; B 、 ; C 、 ; D 、4- 二、填空题:6.如图所示, 在△ABC 中, AB=AC, AD=AE, ∠BAD=600, 则∠EDC=_____________（度）。
7、据有关资料记录, 两个都市之间每天旳 通话次数T 与这两个都市旳人口数m 、n （单位: 万人）以及两个都市间旳距离d （单位: km ）有T= 旳关系（k为常数）。
现测得A.B.C 三个都市旳人口及它们之间旳距离如图所示, 且已知A.B 两个都市间每天旳 通话次数为t, 那么B.C 两个都市间每天旳 次数为 次（用t 表达）。
8、已知实数a 、b 、x 、y 满足a+b=x+y=2 , ax+by=5 , 则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= 。
9、如图所示, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC （BC ＞AD ）, ∠D=900, BC=CD=12, ∠ABE=45, 若AE=10, 则CE 旳长度为 。
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初中八年级数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 82. 一个数的平方根是4，这个数是：A. 16B. -16C. 4D. -43. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是：A. 25π cm²B. 50π cm²C. 75π cm²D. 100π cm²4. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数可能是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 05. 下列哪个分数是最简分数：A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 6/96. 一个正整数n，如果n²+n+1是质数，那么n的取值范围是：A. n=0B. n=1C. n=2D. n=-17. 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米，它的体积是：A. 72 cm³B. 144 cm³C. 216 cm³D. 432 cm³8. 一个数列的前三项是2, 4, 6，如果这是一个等差数列，那么第四项是：A. 8B. 9C. 10D. 119. 一个数的立方根是2，这个数是：A. 6B. 8C. 4D. 210. 一个数的相反数是-7，那么这个数是：A. 7B. -7C. 0D. 14二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是36，这个数是_________。
12. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是_________。
13. 如果一个数的立方是-8，那么这个数是_________。
14. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是_________。
15. 一个圆的直径是10厘米，那么它的周长是_________厘米。
三、解答题（共50分）16. （10分）解方程：2x + 5 = 1717. （15分）证明：在一个直角三角形中，如果一条直角边是另一条直角边的两倍，那么斜边是这条直角边的根号3倍。
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
初中数学竞赛试题及答案pdf一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（3无限循环）B. √2C. 3.14D. 1/32. 一个数的平方等于它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 0或13. 如果一个等腰三角形的底边长为6，高为4，那么它的周长是多少？A. 12B. 14C. 16D. 184. 一个数列的前三项是2，4，8，那么第四项是多少？A. 16B. 32C. 64D. 1285. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πC. 75πD. 100π6. 下列哪个图形的面积是最大的？A. 边长为4的正方形B. 半径为4的圆C. 长为6，宽为4的矩形D. 底边为6，高为4的等腰三角形7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 08. 一个数的相反数是-3，那么这个数是？A. 3B. -3C. 0D. 69. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是？A. 4B. 1/4C. 1/2D. 210. 下列哪个表达式的值是最小的？A. 5 - 3B. 5 + 3D. 5 ÷ 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的立方等于-8，这个数是______。
12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，那么它的斜边长是______。
13. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
14. 如果一个数除以3的商是5，那么这个数是______。
15. 一个圆的直径是10，那么它的周长是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 一个等差数列的前三项分别是3，7，11，求这个数列的第10项。
17. 一个长方形的长是宽的两倍，且周长是24，求这个长方形的面积。
18. 一个三角形的内角和是多少？19. 一个数的平方加上这个数本身等于0，求这个数。
20. 一个圆的半径增加2，那么它的面积增加了多少？答案一、选择题1. B2. D3. C4. B5. C6. B7. C8. A9. A 10. A二、填空题11. -2 12. 5 13. 4 14. 15 15. 31.4三、解答题16. 第10项是31。
初中数学竞赛试题及答案pdf一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于9，这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案：C3. 计算下列算式的结果：(2x + 3)(2x - 3) = ?A. 4x^2 - 6x + 6B. 4x^2 - 9C. 4x^2 + 6x - 9D. 4x^2 + 9答案：B4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边之间的夹角为90度，那么这个三角形的周长是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：D5. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C7. 以下哪个是完全平方数？A. 36B. 49C. 64D. 81答案：C8. 一个数的立方等于-8，这个数是？A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不是答案：A9. 计算下列算式的结果：(a + b)^2 = ?A. a^2 + 2ab + b^2B. a^2 - 2ab + b^2C. a^2 + b^2D. a^2 - b^2答案：A10. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：412. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第5项是______。
答案：1713. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。
答案：2214. 如果一个数除以3余2，除以5余1，那么这个数可能是______（写出一个符合条件的数即可）。
答案：1115. 一个直角三角形的两直角边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的斜边长是______厘米。
2012年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市一、选择题：（每题7分，共42分）1、化简38194233122172+---+的结果是（ ）A 、2B 、 －2C 、－33D 、332、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如果做对3题以上的（含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ）。
A 、70% B 、 79% C 、74% D 、81%3、如图：在△ABC 中，,31,31,31CA CF BC BE AB AD ===则AN:NL:LE 等于（ ）A 、2：1：1B 、3：2：1C 、3：3：1D 、2：3：14、满足方程xy y x y x ++=+)(222的所有非负整数解的组数有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45、如图：正方形ABCD 的边长为152，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE ，DB 于M ，N,则△DMN 的面积为（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、116、使分式334222+-+-x x x x 的值为整数的实数x 的值的个数是（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题（每题7分，共28分）7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 . 8、边长为9cm, 40cm,41cm 的三角形的重心到外心的距离是9、已知二次函数c bx ax y ++=2,一次函数4)1(2k x k y --=，若它们的图像对于问题任意的数k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 10、代数式49)8(922+-++x x 的最小值是 三、解答题（共三大题，70分）11、已知关于x 的方程024)2810()4)(2(2=+----x k x k k 的根是整数，求满足条件的所有实数k 的值（20分）12、如图：在矩形ABCD 中，点P 在AB 上，且△ACP 是等腰三角形，O 是AC 的中点，OE ⊥ AB 于有，点Q 是OE 的中点，求证：PQ ⊥ CE （25分）.13、已知二次函数4)3(2++--=m x m x y 图像与轴交于）点点0,(),0,(21x B x A (x 1<x 2),与y 轴交于点C,若∠CAB 与∠CBA 是锐角。
（1）求m 的值；（2）是否可能出现∠CAB ＝∠CBA ？ 若可能，求出m 的值；若不可能，比较∠CAB 与∠CBA 的大小；（3）当∠CAB 与∠CBA 互余时，△ABC 的面积是多少？（25分）2011年全国初中数学竞赛试题(考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分)一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。
每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设32x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、22、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b ）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b ）△（c, d ）＝（ac+bd, ad+bc ）。
如果对于任意实数u, v,都有（u, v ）△（x, y ）＝（u, v ）,那么（x, y ）为（ ）A 、（0, 1）B 、（1, 0）C 、（﹣1， 0）D 、（0, ﹣1） 3、已知A ，B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ ）A 、83- B 、53-C 、1D 、1134、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，2BDF S S ∆＝，3BCF S S ∆＝，4CEF S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ ） A 、13S S ﹤24S S B 、13S S ＝24S S C 、13S S ﹥24S S D 、不能确定 5、设33331111++++1232011S L ＝，则4S 的整数部分等于（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数a, b （其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 .8、如图，双曲线2y x=（0x >）与矩形OABC 的边BC ， BA 分别交于点E ， F ， 且AF ＝BF ，连结EF ，则△OEF 的面积为 .9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数为 .10、设四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数FB CEDA第4题图CAP为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1, 求a b c ++的值.12、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ， 延长AD 交CH 于点P ， 求证：点P 为CH 的中点.13、若从1,2,3,…，n 中任取5个两两互素的不同的整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ， 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值.14、如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°,AB ＝2AC. 点P 在△ABC 内,且, PB=5, PC=2, 求△ABC 的面积.2011年全国初中数学联赛江西赛区初赛试题（考试时间2011年3月二0日9：30—11：30）第一试一、选择题（每题7分，共42分）1、设a 为质数，并且872+a 和782+a 都是质数，若记877+=a x ，788+=a y ，财在以下情况中，必定成立的是（ ）A 、x,y 都是质数B 、x,y 都是合数C 、x,y 一个是质数，一个是合数D 、对于不同的a,以上各情况皆可 2、化简2121722321217223---++的结果是（ ）A 、2B 、2-C 、2D 、-23、2011201132+的末位数字是( )A 、1B 、3C 、5D 、7 4、方程1168143=--+---+x x x x 的解的情况是（ ）A 、无解B 、恰有一解C 、恰有两个解D 、有无穷多个解5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中的全体正三角形的个数是（ ） A 、24 B 、36 C 、38 D 、766、设a,b 为整数，并且一元二次方程0)6()32(22=++++++ab a x b a x 有等根α，而一元二次方程0)122()224(22=--+--+b a x b a ax 有等根β，那么以α、β为根的一元二次方程是（ ）A 、06722=++x x B 、0622=+-x xC 、0442=++x x D 、0)(2=+++ab x b a x二、填空题( 每题7分，共28分)1、Rt △ABC 的三条边长分别为3、4、5，若将其为内切圆挖去，则剩下部分的面积等于2、若c x b x a x x x x +-+-+-=--+)4()4()4(3752323，则(a,b,c)= ( )3、如图：正方形ABCD 的边长为1，E 是CD 边 外的一点，满CE ∥BD,BE=BD,则CE=4、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{1,2,3,4,5,6,7,8,9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S 表示圆周上所有的十二个数的和，那么数S 所有可能的取值情况有 种。
第二试一（20分）试确定，对于怎样的整数a,方程029)3(4522=-++-a x a x 的正整数解？并求出方程的所有正整数解。
二（25分）锐角△ABC 的外心为O ，外接圆的半径为R ，延长AO ，BO ，CO ，分别与对边BC ，CA ，AB 交于D 、E 、F ；证明RCF BE AD 2111=++。
三、（25分）设k 为正整数，证明：1、如果k 是两个连续正整数的乘积，那么25 k+6也是两个连续正整数的乘积；2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么 k 也是两个连续正整数的乘积；2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题第 一 试一. 选择题（每小题7分，共42分）1、化简26481353++-+的结果是（ ）．（A ）、2； （B ）、22； （C ）2； （D ）、21． 2、△ABC 是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形，H 是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．(A)、12； (B)、13；(C)、26；(D)、30．3、设ab ≠0，且函数b ax x x f 42)(21++=与b ax x x f 24)(22++=有相同的最小值u ；函数a bx x x f 42)(23++-=与a bx x x f 24)(24++-=有相同的最大值v ；则u+v 的值( ).(A)、必为正数；(B)、必为负数；(C)、必为0； (D)、符号不能确定．4、若关于x 的方程没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）．(A)、；(B)、；(C)、； (D)、．5、正方形ABCD 中，E,F 分别是AB,BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于N ；若AF 平分∠BAC ，DE ⊥AF ，；记BFCFz ON BN y OM BE x ===,,,,则有（ ）. （A ）、x>y>z ； （B ）、x=y=z ； （C ）、x=y>z ； （D ）、x>y=z ．6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）．(A)、4种； (B)、 8种； (C)12种、； (D)、16种．二、 填空题（每小题7分，共28分）1、若k 个连续正整数之和为2010，则k 的最大值是 ．2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 .3、圆内接四边形ABCD 的四条边长顺次为：AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 .4、在±1±2±3±5±20中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 ．第 二 试一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长a,b 是方程k x k x 4)2(2++-=0的两根，求 k 的值并确定直角三角形三边之长．二、（25分）如图，自△ABC 内的任一点P ，作三角形三条边的垂线： PD ⊥BC ，PE ⊥CA ，PF ⊥AB ，若BD=BF,CD=CE ；证明：AE=AF ．三、（25分）已知a,b,c 为正整数，且cb ba ++33为有理数，证明cb ac b a ++++222为整数．“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 1．若10,20==c b b a ，则c b ba ++的值为（ ）． （A ）2111 （B ）1121 （C ）21110 （D ）112102．若实数a ，b 满足02212=++-b ab a ，则a 的取值范围是（ ）．（A ）a（B ）a 4 （C ）a ≤或 a ≥4 （D ）≤a ≤43．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =32，BC =224-，CD ＝24，则AD 边的长为（ ）．（A ）62 （B ）64ADCB第3题图P DOy x CAB·第9题图（C ）64+ （D ）622+4．在一列数,,,321x x x ……中，已知11=x ，且当k ≥2时，]}42[]41{[411----+=-k k x x k k （取整符号［a ］表示不超过实数的最大整数，例如[2.6]=2,[0.2]=0），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）． （A ）（2010，2） （B ）（2010，） （C ）（2012，） （D ）（0，2）二、填空题6．已知a ＝15-，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则ADAE． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i－1．若的最小值0n 满足30002000<<n ，则正整数的最小值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、如图：△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF .求证：BCEFPAD =∠tan ．12．如图，抛物线bx ax y +=2（a 0）与双曲线xky =相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.(1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.13．求满足m m p p 28222-=++的所有素数p 和正整数m .2009年全国初中数学江西赛区预赛试题（2009年3月22日上午9：30~11：30）一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） 1、已知非零实数a 、b 满足|2a －4|+|b+2|+(a-3)b 2+4=2a ，则a+b 等于（ ） A 、－1 B 、0 C 、1 D 、22、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（ ）A 、21B 、1C 、51+D 、251+3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+223y x by ax 只有正数解的概率为（ ）A 、112 B 、29 C 、518 D 、13364、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B → C →D →A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A 、10B 、16C 、18D 、325、关于x 、y 的方程29222=++y xy x 的整数解（x 、y ）的组数为（ ）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、 后轮胎。
