高中数学 第1章 立体几何初步6垂直关系同步教学案 北师大版必修2

教学准备1. 教学目标1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力2. 教学重点/难点1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力3. 教学用具4. 标签教学过程二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。

2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：符号表示：1. 何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：符号表示：三、知识应用例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点求证：DF∥平面ABC例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1四自测达标1.对于直线m, n和平面，，能得出的一个条件是（）2.下列命题错误的是（）A．若，那么内的所有直线都垂直于B. 若，那么内一定存在直线平行于C. 若不垂直于，那么内定不存在直线垂直于D. 若，那么内有无数条直线都垂直于3.若直线a//直线b，且a平面，则直线b与平面的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB平面PCD（2）求证：若E为PCD的垂心，则CE平面PAB。

第1课时垂直关系的判定[核心必知]1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法．如图，记作：二面角α­AB­β.(4)二面角的平面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．如图二面角α－l－β，若有①O∈l.②OAα，OBβ.③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．4．两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理：[问题思考]1．若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：不一定垂直．例如，a1∥a2∥a3∥…，且a1，a2…α，l与这组平行直线垂直．有可能直线l在这个平面内或与平面斜交．2．在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线？提示：(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想．(2)两条相交直线可以确定这个平面，虽然两条平行直线也可以确定这个平面，但由于平行线的传递性，直线垂直于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直．如图：aα，bα，a∥b，l⊥a，l⊥b，但l不垂直于α.3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时，AD才与桌面所在的平面垂直．。

高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案【名师授课教案】1教学目标1. 掌握面面垂直的性质定理;2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证,灵活运用知识学会分析问题、解决问题。

2、能力目标:以学生的经验为基础,通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力;在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。

在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。

逐步培养抽象的逻辑思维,使学生学会提出问题,培养学生解决问题的能力。

通过变式练习培养学生的发散思维,培养学生的创新能力。

3、情感目标:进一步丰富数学学习的成功体验,激发对空间图形研究的兴趣,形成积极参与数学活动,主动与他人合作交流的意识。

2学情分析1.充分利用现实情景,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。

利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示图形,强调学生的动手操作实验和主动参与。

通过实验-猜想-论证-运用,培养学生分析问题解决问题的能力;通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促自主探究。

2.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者;在本节的备课和教学过程中,为学生的动手实践,自主探索与合作交流提供机会,搭建平台;鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题,尊重学生的个人感受和独特见解;帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值,作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。

通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适,自我选择3重点难点重点:掌握面面垂直的性质定理;难点:定理的应用。

4教学过程。

直线与平面垂直的判定教学设计鹰潭市余江二中鲁珺αl⊥b ,a l a l αα⊂⊂⊥⊥≠≠若，，《直线与平面垂直的判定》教案说明鹰潭市余江二中鲁珺本节课是北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第一章第六节“6.1 垂直关系的判定”的第一课时。

我将从以下五个方面来阐述我对这堂课的教学设计：一、教学内容的数学本质几何学是研究空间图形的科学。

几何直观和几何语言是认识和描述现实世界空间与图形关系的重要工具。

由于几何图形本身具有很强的直观性。

以直观图形为载体的逻辑推理层次清晰、结论明确、可信度强，在某种意义上，几何直观已经渗透到一切数学领域中，甚至在那些看来几何是无所作为的领域内，几何直观仍然保持着强盛的生命力。

几何作为一种直观、形象的数学模型，在发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神方面具有独特的价值。

创新，源于问题，往往发端于直觉。

与数学其他分支相比，几何图形的直观、形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更为有利的条件。

在几何中，视觉思维占主导地位，学生在运用观察、操作、作图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中，获得视觉上的愉悦，能增强探究的好奇心，激发出潜在的创造力，形成创新意识。

在高中阶段，几何的呈现形式是用综合几何的方法认识几何图形，用解析几何和向量几何的方法处理平面曲线和空间图形。

这里变换的方法和代数的方法是研究几何的通性通法。

在立体几何中，点、线、面的平行、垂直等关系是研究的基本内容，这些关系在长方体中都有很好的体现，长方体是学习理解立体几何基本内容的重要模型。

降维是处理立体几何问题的重要思想和方法，通过分解、投影等方式将立体几何（三维）问题转化为平面几何（二维）的问题。

此外，相当多的空间图形都可以和立方体等基本图形建立联系。

在处理方式上，以直观感知和操作确认作为重点，强调建立和提升学生的空间想象力和几何直观能力。

垂直关系是立体几何中的重点，而直线与平面垂直的判定体现了转化的数学思想，本节课的设计，意在让学生经历直观感知、操作确认、思辨认证、度量计算等几个阶段，学生通过观察事物图片、模型等，直观认识和理解直线与平面垂直这一特殊的相交关系，并能将其与线线垂直相互转化，体现降维的思想方法。

6.2 垂直关系的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.【主干自填】1．直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直的性质定理3．平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面□09垂直于另一个平面．10平行于另一个平面或在另一个平面(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线□内．【即时小测】1．思考下列问题(1)一般地，如果直线a⊥α，直线b⊥α，这时，a和b平行吗？你能给出证明吗？提示：a和b平行．证明如下：如图，假定a和b不平行．设a⊥α，b⊥α，垂足分别为A，B.过点B作a的平行线b′，由异面直线垂直的定义，b′与平面α内过点A的任意直线都垂直，也即有b′⊥α，b∩b′＝B，故直线b与b′确定一个平面，记为β，且记α∩β＝l，在平面β内，过点B有且仅有一条直线垂直于l，故b′与b重合，a与b平行．(2)一般地，平面α⊥β，α∩β＝MN，ABβ，AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？你能给出证明吗？提示：直线AB和平面α垂直．证明如下：如图，在平面α内作直线BC⊥MN，则∠ABC是二面角α－MN－β的平面角，因为平面α⊥平面β，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC，又已知AB⊥MN，从而AB⊥α.2．△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定提示：C 因为l ⊥AB ，l ⊥AC ，AB α，AC α，且AB ∩AC ＝A ，所以l ⊥α，同理可证m ⊥α，所以l ∥m .3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n⇒n ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4提示：C ①②③正确，④中n 与平面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)． 4．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在底面ABC 上的投影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．不能确定提示：A 由AC ⊥BC 1，AC ⊥AB ， 得AC ⊥平面ABC 1，又AC 平面ABC ， ∴平面ABC 1⊥平面ABC .∴C 1在底面ABC 上的投影H 必在交线AB 上．例1 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.[变式训练1]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1，B1C，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.例2 已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明] (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F，平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内且交点为D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．类题通法面面垂直性质定理的转化面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．[变式训练2]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明(1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD.∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.例3 如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.求证：(1)平面SBC⊥平面KBD；(2)平面SBC不垂直于平面SDC.[证明] (1)连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.(2)假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.类题通法垂直性质的应用常见方法线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．[变式训练3]如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AD＝D，∴BC⊥平面PAB. 又AB平面PAB，∴BC⊥AB.易错点⊳对面面垂直的性质定理理解错误[典例] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC ＝90°，∠PBA≠90°.求证：平面PBC⊥平面PAB.[错解] ∵∠PBC＝90°，平面PAB⊥平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.[错因分析] 面面垂直的性质定理应用错误，由平面PAB⊥平面ABCD得出线面垂直，必须是在其中一个平面内作交线(AB)的垂线，该垂线与另一个平面垂直．[正解]过点P作PH⊥AB于点H.∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PH⊥平面ABCD.∵BC平面ABCD，∴BC⊥PH.∵∠PBC＝90°，∴BC⊥PB.而∠PBA≠90°，于是点H与点B不重合，即PB∩PH＝P.∵PB，PH平面PAB，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.课堂小结1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归与转化思想，其转化关系如下：1．下列说法正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行答案 C解析垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面，故A、B错误；由线面垂直的性质定理知C正确；D中这条直线可能在平面内，故D错误．故选C.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案 A解析∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ或m与β相交；C错，有可能mβ或m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么( ) A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案 C解析当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错；如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β，又bβ，∴a′⊥b，∴b⊥α，而lα，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错．4．如图在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案 5解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.。

高中数学第1章立体几何初步6垂直关系同步教学案北师大版必修2【课时目标】1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥b⇒l⊥α．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C ．2 D．32．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是( )A．a⊥β B．a∥βC．aβ D．aβ或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．§6垂直关系6．1 垂直关系的判定(一)答案知识梳理2．两条相交直线aαbαa∩b＝A作业设计1．B[只有④正确．]2．D3．C[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD 、AC 异面，∴选C ．]4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．]5．A [⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC 平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．] 6．A[PO⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO 全等，OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心． 只有③正确．] 7．①④⑤8．∠A 1C 1B 1＝90° [如图所示，连接B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC，B 1C 1∥BC，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等)] 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN．又∵MN⊥B 1M ，∴MN⊥面C 1B 1M ， ∴MN⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E≌△CBF， ∴∠B 1BE ＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B 1BCC 1，CF 平面B 1BCC 1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B ，∴CF⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ， ∴CD⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ， 连接AG ，FG ．又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG∥EF．∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD ，AG 平面PAD ． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D ，∴EF⊥平面PCD ． 12．证明 连接AB 1，CB 1， 设AB ＝1．∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO＝CO ，∴B 1O⊥AC． 连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O ， ∴B 1O⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ， ∴BC⊥平面SAB ． 又∵AQ 平面SAB ，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC 平面SBC ， ∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ， ∴SC⊥平面APQ ．∵PQ 平面APQ ，∴PQ⊥SC．6．1 垂直关系的判定(二)【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．2．平面与平面的垂直①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a⊥β⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①② 2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( ) ①若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β； ②若m⊥n，α∩β＝m ，n α，则α⊥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAEC．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥ 平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．6．1 垂直关系的判定(二) 答案知识梳理1．两个半平面这条直线这两个半平面2．①直二面角②垂线aα作业设计1．B[①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B．]2．C3．B[②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C[当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B[如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝32，∴∠BOD＝60°．] 6．C[如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．]7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知 EF∥BC．因为EF ⊆平面ABC ．BC 平面ABC ． 所以EF∥平面ABC ．(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知 CC 1⊥平面A 1B 1C 1．又A 1D 平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ． 又因为A 1D⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D 平面A 1FD ， 所以平面A 1FD⊥平面BB 1C 1C ． 13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC ， ∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A ， ∴BC⊥平面PAC ．(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知， BC⊥平面PAC ， ∴DE⊥平面PAC ．又∵AE 平面PAC ，PE 平面PAC ， ∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵PA⊥底面ABC ，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角．6．2 垂直关系的性质(一)【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．文字语言垂直于同一个平面的两条直线______符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒________ 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG⊥平面α于G ，直线EF α，且PF⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE>PG>PFB ．PG>PF>PEC ．PE>PF>PGD ．PF>PE>PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA⊥BCB ．BC⊥平面PACC ．AC⊥PBD ．PC⊥BC 5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD ，∠ACB＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，A A′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC⊥BC，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．求证：MN⊥平面A 1BC ．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．6．2 垂直关系的性质(一) 答案知识梳理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线作业设计1．B [由线面垂直的定义知B 正确．]2．C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．]3．C [由于PG⊥平面α于G ，PF⊥EF，∴PG 最短，PF<PE ，∴有PG<PF<PE ．故选C ．]4．C [PA⊥平面ABC ，得PA⊥BC，A 正确； 又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC ， ∴BC⊥PC，B 、D 均正确． ∴选C ．]5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B ．] 6．A [设P 在面α的射影为O ，则PA⊥面PBC ， ∴PA⊥BC，又BC⊥PO， ∴BC⊥AO，同理AC⊥BO， ∴O 为△ABC 的垂心．] 7．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．8．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．9．6解析 由题意知CO⊥AB， ∴CO⊥面ABD ，∴CO⊥OD，∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1． ∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON∥AM． 又∵MN∥OA，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM ．∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 11．证明连接AG 并延长交BC 于D ，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，∴AGGD＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′，又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．证明∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC平面ABC，MN⊆平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊆平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．13．证明如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．6．2 垂直关系的性质(二)【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒a α．(2)已知平面α⊥平面β，a ⊆α，a⊥β，那么a∥α(a 与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( ) A ．a⊥β B ．a∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l ，平面γ⊥α，γ⊥β，则( ) A ．l∥γ B ．l γ C ．l 与γ斜交 D ．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条4．若α⊥β，直线a α，直线b β，a ，b 与l 都不垂直，那么( ) A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直，也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行5．设x ，y ，z 中有两条直线和一个平面，已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x⊥yy∥z可推得x⊥z，则x ，y ，z 中可能为平面的是( )A ．x 或yB ．xC ．yD ．z6．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD⊥平面BDCB ．平面ABC⊥平面ABDC ．平面ABC⊥平面ADCD ．平面ABC⊥平面BED二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P∈α，P ∉l ，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O ，空间一点P 到α、β、γ的距离分别是2 cm 、3 cm 、6 cm ，则点P 到O 的距离为________．9．在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，BC 1⊥AC，则点C 1在底面ABC 上的射影H 必在________．三、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．证明：AB⊥PC．13．如图所示，已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD ＝AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD ； (2)求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1．1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 2．判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a∥b a⊥α⇒b⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa⊥α⇒a⊥β．6．2 垂直关系的性质(二) 答案知识梳理1．垂直 交线 a⊥β1．D2．D[在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ．]3．A[若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]4．C5．A6．D7．①③④解析由性质定理知②错误．8．7 cm解析P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．12．证明因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA．因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC．如图，取AB的中点D，连结PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC．13．证明(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN．又∵MF 平面ABCD，AN平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1．又∵NA平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．。

6.2 垂直关系的性质-北师大版必修2教案一、课程目标本节课的主要目标是学习垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理，理解垂直关系的性质，掌握相关定理的证明以及应用。

二、教学重难点1.领会垂线两定理和平行四边形性质的证明过程2.掌握垂心及其性质，应用定理解决实际问题3.熟练运用相关公式和算法解决相关数学题目三、教学内容及教学时长1. 垂线两定理教学内容•垂线两定理的内容和定义•垂线两定理的证明和推论•实例探究教学时长2学时教学步骤1.引入垂线两定理的背景以及应用价值（5分钟）2.教授垂线两定理的定义，并分别讲解两个定理的证明过程（30分钟）3.指导学生通过实例练习巩固掌握（50分钟）2. 平行四边形性质教学内容•平行四边形定义及基本性质•平行四边形四小定理•实例分析教学时长2 学时教学步骤1.引入平行四边形的知识点，让学生理解其定义以及基本性质（5分钟）2.介绍平行四边形的四小定理，并带领学生掌握证明方法（30分钟）3.实例分析，让学生通过练习提升应用能力（75分钟）3. 垂心定理教学内容•垂心的定义及其性质•垂心定理的运用•实例探究教学时长3 学时教学步骤1.以实例为引入，让学生直观理解垂心的概念和性质（15分钟）2.教授垂心定理的证明过程，并指导学生运用算法化解实际问题（80分钟）3.综合讲解相关公式，让学生通过反复练习掌握技巧技巧（85分钟）四、教学评价本节课的教学评价主要考核学生对垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理及其应用的掌握情况，评价途径包括日常课堂练习、作业表现和期中期末评测。

五、教学建议本节课主要是将具体问题虚化为抽象问题，激发学生解决抽象问题的思维能力，因此在教学中应注重概念的剖析和证明方法的灵活运用，尤其要关注重整理概念，突出方法，并利用实例进行讲解，提高学生的应用实践能力和解题能力。

§6垂直关系6．1垂直关系的判定学习目标核心素养1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．(重点)2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直．(重点、难点)3．了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．(重点、易错点)1.通过应用判定定理证明空间中的垂直关系，提升逻辑推理素养．2．通过求解二面角的大小培养直观想象数学运算素养.1．直线与平面垂直的概念及判定定理(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如下图．(3)直线与平面垂直的判定定理：文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言假设直线a平面α，直线b平面α，直线l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，那么l⊥平面α思考1：假设一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么此直线与平面什么关系？提示：相交、垂直或在平面内．2．二面角(1)二面角的概念：①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．③二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β.(2)二面角的平面角：文字语言以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图形语言符号语言假设α∩β＝l，OAα，OBβ，且OA⊥l，OB⊥l，那么∠AOB为二面角α-l-β的平面角取值X围0°≤θ≤180°直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角思考2：二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示：没关系．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直：定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)记法α⊥β(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号语言假设直线AB平面β，AB⊥平面α，那么β⊥α思考3：假设两个平面垂直，那么一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？提示：平行、垂直、斜交．1．平面α及α外一直线l，给出以下命题：①假设l垂直于α内两条直线，那么l⊥α；②假设l垂直于α内所有直线，那么l⊥α；③假设l垂直于α内任意一条直线，那么l⊥α；④假设l垂直于α内两条平行直线，那么l⊥α.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3C[根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．]2．空间四边形ABCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]3．如下图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，那么在△ABC，△P AC的边所在的直线中．(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．(1)AB，BC，AC(2)BC[(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC 垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，又AP 平面P AC，所以BC⊥AP.]4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________．45°[∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角，其大小为45°.]线面垂直的判定点．求证：直线SD⊥平面ABC.[证明]∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，那么AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.1．在本例中，假设AB＝BC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系．[解]∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.又由本例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.2．将本例改为：四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且P A＝PC，PB＝PD.假设O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.[证明]在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.1．直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①平面内的两条相交直线；②都垂直．2．要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．面面垂直的判定【例2】如下图，在四面体ABCS中，∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB ＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明]法一：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，那么有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，设其值为a，那么△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如下图，连接AD，SD，那么AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝22a，BD＝BC2＝22a，在Rt△ABD中，AD＝22a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.证明面面垂直的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直〞；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，那么另一个也垂直于此平面.[跟进训练]1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.[证明]∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.二面角[探究问题]1．如下图，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，请根据二面角的平面角的定义作出二面角S-BC-A的平面角，并说明理由．提示：取BC的中点O，连接SO，AO，因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC.同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角．2．在上述问题中，假设BC＝1，SA＝32，请计算二面角S-BC-A的大小．提示：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin 60°＝3 2.同理可求SO＝3 2.又SA＝32，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角S-BC-A的大小为60°.【例3】如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，P A＝BC＝1.(1)求证：平面P AC⊥平面PBC；(2)求二面角P-BC-A的大小．[解](1)证明：∵A，B，C在⊙O上，∴⊙O所在平面可记为平面ABC，∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.∵C在圆周上，且异于A、B两点，AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.又AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.又BC平面PBC，∴平面P AC⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面P AC，∵PC平面P AC，∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△P AC中，P A＝1，AC＝3，∠P AC＝90°，∴tan∠PCA＝33，∴∠PCA＝30°，所以二面角P-BC-A的大小是30°.1．本例条件不变，试求二面角C-P A-B的大小．[解]∵P A⊥平面ABC.∴P A⊥AC，P A⊥AB，∴∠CAB即为二面角C-P A-B的平面角，在Rt△ACB中，易知AB＝2，BC＝1，∴AC＝3，∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝30°，∴二面角C -P A -B 的大小为30°.2．本例条件不变，试求二面角A -PB -C 的正弦值．[解] 过A 作AE ⊥PB 于点E ，过E 作EF ⊥PB 交PC 于点F ，连AF ，那么∠AEF 即为二面角A -PB -C 的平面角(图略)．由例题知，BC ⊥平面P AC ，又AF 平面P AC ，∴AF ⊥BC ，又PB ⊥AE ，PB ⊥EF ， ∴PB ⊥平面AEF ， ∴AF ⊥PB ， 又BC ∩PB ＝B ， ∴AF ⊥平面PBC . ∴△AFE 为直角三角形． 在Rt △P AC 中，P A ＝1，AC ＝ 3. ∴PC ＝2，∴AF ＝32， 在Rt △P AB 中，P A ＝1，AB ＝2， ∴PB ＝5，∴AE ＝25. ∴在Rt △AFE 中，sin ∠AEF ＝AF AE ＝3225＝154.1．求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角→证明→计算．2．要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等．1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①假设a∥b，a⊥α，那么b⊥α；②假设α∥β，a⊥α，那么a⊥β.2．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求〞．3．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．1．思考辨析(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．()(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，那么该直线与该平面垂直．()(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么该直线与该平面垂直．()(4)假设直线l不垂直于平面α，那么α内不存在直线垂直于直线l.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥βwordC[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.]3．如下图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，那么二面角B-P A-C的大小为________．90°[∵P A⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，∴BA⊥P A，CA⊥P A，因此，∠BAC即为二面角B-P A-C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B-P A-C的大小为90°.]4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE沿AE、DE折起，使点B与点C重合于点P.求证：平面PED⊥平面P AD.[证明]由矩形ABCD知折起前AB⊥BE，所以折起后AP⊥PE，同理PD⊥PE，因为PD∩P A＝P，所以PE⊥平面P AD，因为PE平面PED，所以平面PED⊥平面P AD.。

北京师范大学出版社必修2 第一章立体几何初步垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定教材分析：本节课是垂直关系的判定的第一课时，主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用,是立体几何的核心内容之一。

其中线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法，而判定定理则体现了线线垂直与线面垂直的转化。

学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体空间图形的飞跃有非常重要的作用。

另外，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带,因此线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析：学生在初中几何中已学过线线垂直，并对线面垂直有直观的认识，而高中也已经学习了直线和平面、平面与平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

教学目标：1.知识与技能：通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理进行简单应用。

2.过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，让学生在合作探究中逐步构建知识结构，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

3.情感、态度与价值观：通过让学生亲身经历线面垂直定义及定理的探究，让学生进一步认识到数学与生活的联系，体会数学原理的广泛应用，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重点：直线与平面垂直的判定定理。

教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。

教学准备：多媒体课件，三角板，三角形纸片教师教法：本节课主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用，其中定义的教学是一个重构的过程，是一个意义赋予的过程，需要经历定义的引入，理解，运用三个阶段。

因此设计的教法为：呈现定义原型，构建定义，运用定义。

判定定理的教学策略是重视其发现过程，让学生在探索中感受、体验、成长。

高中数学北师大版必修2第一章《6.1垂直关系的判定》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1、知识与技能:(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;(2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法;(3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、过程与方法:(1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程;(2)探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情态与价值:培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

2学情分析(1)学生的起点能力分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象(学生的客观现实)和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构(学生的数学现实),这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义,感悟直线与平面垂直的意义;以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。

(2)学习行为分析本节课安排在立体几何的初始阶段,是学生空间观念形成的关键时期,课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义,进而通过辨析讨论,深化对定义的理解。

进一步,在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理,并在教师的指导下,通过动手操作、观察分析、自主探索等活动,切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。

继而,通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。

再通过练习与课后小结,使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。

3重点难点教学重点:对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用。

教学难点:探究、归纳直线与平面垂直的判定定理,体会定义和定理中所包含的转化思想.。